精品解析：上海市浦东模范中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026学年第一学期九年级阶段练习（10月）数学学科试卷 一、选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意； B. ，不是二次函数，故选项不符合题意； C. ，不是二次函数，故选项不符合题意； D. ，是二次函数，故选项符合题意； 故选：． 2. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到，由此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图像有最低点， 函数图象开口向上， 则， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键． 3. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键； 根据图象特点可得到，，，，即可判断选项A；根据对称轴不是直线，可得，即可判断选项B；根据图象可知，当时，，即可判断选项C；根据图象可知，当时，，即可判断选项D． 【详解】解：由二次函数图象可知，函数图象开口向上，即， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， ∴，可判断选项A错误； ∵当对称轴时，可得， 而由图象分析可知，二次函数的对称轴不是直线， ∴，故选项B错误； 由图象可知当时，，故选项C正确； 由图象可知当时，，故选项D错误； 故选：C． 4. 如图，，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理可证明，，据此可判断A、D；过点B作，交直线于点G，交直线于点H，证明四边形和四边形都是平行四边形，得到；证明，得到，据此可判断C；根据现有条件无法证明，据此可判断B。 【详解】解：∵， ∴，，故A正确， ∴ ，故D正确； 如图所示，过点B作，交直线于点G，交直线于点H， ∵，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴，故C正确； 根据现有条件无法证明，故B错误。 5. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：已知， A．添加后，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； B．添加后，可得，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； C．添加后，满足两组对应边的比相等且夹角对应相等，能判定与相似，不合题意； D．添加后，有两组对应边的比相等，但不能确定夹角相等，不能判定与相似，符合题意． 6. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： （1）当时，函数图像的顶点坐标是； （2）当时，且时，y随x的增大而减小； （3）无论取何值（），函数图像都经过定点．其中正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将函数解析式中含参数的项合并，令其系数为0可求定点；结合二次函数顶点公式、对称轴与增减性的关系，逐一验证结论． 【详解】解：由题意得函数解析式为， （1）当时，，，， ∴对称轴为， 顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为，故（1）正确； （2）当时，，抛物线开口向下， 对称轴为， ∵， ∴， ∴，即对称轴在直线右侧， ∴当时，先随的增大而增大，再减小，故（2）错误； （3）将解析式整理为， 令，解得或， 将代入得，将代入得， ∴无论取何值（），函数图像恒过定点，故（3）正确， 综上，正确的结论有2个． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 若，且，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，用表示，代入所求分式约分即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 将其代入所求分式得： ， ， ． 8. 已知两个三角形相似，若它们的对应中线之比为，那么它们对应高的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，对应中线比与对应高的比都等于相似比，可直接得出结果． 【详解】解：∵ 两个三角形相似，相似三角形对应中线的比和对应高的比都等于相似比． ∵ 已知两个相似三角形对应中线之比为． ∴ 它们对应高的比等于相似比，为． 9. 已知四条线段、、、成比例，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，按题目给出的线段顺序列出比例式，再利用比例的基本性质计算求解. 【详解】解：∵四条线段，，，成比例，顺序与给出顺序一致， ∴， 根据比例的基本性质得 ， 解得 10. 已知二次函数的表达式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断二次函数的对称轴，利用对称轴判断随的增大而增大时，的取值范围，利用自变量取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：二次函数的二次项系数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 开口向下的二次函数，在对称轴左侧，函数值随着自变量的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 要求在直线的左侧，函数值随的增大而增大， ． 11. 已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，较长线段与整个线段的比为黄金比， 先求出的长度，再用长度减去得到． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴ 12. 若二次函数图像过点，则此函数图像还经过一定点______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数顶点式可得对称轴为，利用抛物线上关于对称轴对称的点纵坐标相等，求已知点的对称点即可得到定点． 【详解】解：由二次函数顶点式，可得函数的对称轴为直线， 设点关于直线的对称点为，根据对称点的横坐标性质得， ， 无论取何值，点都满足函数解析式， 函数图像恒过定点． 13. 将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了把化成顶点式，二次函数图象的平移，先把抛物线化为，再结合“上加下减，左加右减”进行作答． 【详解】解：依题意，把为， ∵向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， 故答案为：． 14. 若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为轴，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【详解】解：由，得出开口向上，和对称轴为轴， ∴与点关于即轴对称， ∵当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线得出三角形相似，根据线段比求出相似比，利用面积比等于相似比的平方求出大三角形面积比，最后作差求出四边形面积比． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在中，，，垂足为点D，如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角的余角相等证明，结合直角证明，利用相似比及射影定理推论求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 17. 如图，在边长为4的正方形中，点E为边上的动点（不与点A、B重合），将沿着翻折得到，过点F分别作，，垂足分别为点M、N，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点F作于点H，根据折叠性质可得，垂直平分，从而、、三点共线且；延长交于，通过证明，建立与的数量关系，进而表示出，利用二次函数性质求解最大值． 【详解】解：如图所示，连接，过点F作于点H， 由折叠的性质可得 ，垂直平分， ∵， ∴、、三点共线，且，  ∴ ； ∵， ∴，  ∵，  ∴，  在中，，  ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ； 设，则，，  ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴、、三点共线， ∴， ∴，  ∴， ∵， ∴当时，取得最大值． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 证明：对于任意实数m，关于x的函数：与x轴有两个交点． 【答案】证明：令，得一元二次方程， 则该方程的二次项系数，一次项系数，常数项， 判别式 ， ∵对任意实数，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即对于任意实数，该函数与轴有两个交点． 【解析】 【分析】令，得一元二次方程，再证明即可． 【详解】略 19. 如图，在中，点D、E分别在边上，．，连接． （1）若，求线段的长； （2）若的面积是36，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行可得，再由相似三角形的性质求解即可； （2）利用共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得 ∴ ∵共以为底边上的高， ∴ ∴ ∴． 20. 如图是由单位长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．用无刻度直尺作出符合要求的图形．（不写作法，保留作图痕迹，每小题单独写结论） （1）在图1中，求作，交于点E； （2）在图2中，求作，垂足为点H； （3）图3中，在上求作一点M，连接，使得平分的面积． 【答案】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：所求图形，如图所示； （3）解：所求图形，如图所示． 【解析】 【分析】（1）取格点F，连接，交于点E，根据平行四边形的判定及性质求解； （2）取格点G，连接，通过构造全等三角形，根据全等三角形的性质求解； （3）由图可得的面积为10，要使的面积为5，已知，即取点M，使得点M到的距离为，根据网格特点结合正方形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由网格特点可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即． 【小问2详解】 解：如图， 由网格特点可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图， 由网格特点可得点E，F分别是正方形的中心，它们到正方形的边的距离为边长的一半， 且平行网格线， ∴，且点M到的距离为， ∴， ∵， ∴， ∴平分的面积． 21. 如图，某校为打造校园休闲走廊，准备修建一座抛物线形拱形花架走廊，供藤蔓花卉攀爬生长．该花架左右两侧设有竖直等高立柱，立柱顶端连接抛物线形拱形框架，整体结构稳固美观实用．若以左侧立柱底部为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，建立平面直角坐标系（单位：米）．经测量，花架走廊净宽（两侧立柱水平间距）为6米，立柱高度为2米，最高点距地面高度为3米，且抛物线形拱形框架恰好经过两根立柱的顶端． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若花架内垂直高度不低于2.5米的区域既方便行人通行，又适宜花卉生长．结合函数图象与性质，求出该区域对应的自变量x的取值范围； （3）为提升夜间景观效果，现计划在花架内部悬挂两条相互平行的彩色灯带．灯带两端均固定在拱形框架上且保持水平绷直（即为一条线段）．设两条灯带所在直线分别为和，其中．若两条灯带的长度之和恰好等于花架的总水平跨度，且上方灯带长度是下方灯带长度的．请直接写出m和n的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用问题． （1）先根据题意，得到抛物线顶点坐标，选择顶点式作为二次函数的表达式，代入已知点，即可求得二次函数表达式，最后将求出的顶点式整理为一般式即可； （2）先令，求出相应方程的两个根，再根据题意结合函数图象性质，即可求得当 时，自变量x的取值范围； （3）将代入，求出灯带的水平跨度为，同理求出下面这条灯带的水平跨度为，根据题意建立关于m，n的方程组，解方程组即可求出m，n的值． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为：， 将立柱顶端点代入表达式：， 解得：， 即， 展开整理得：； 【小问2详解】 解：令，得到， 整理得：， 解得：，， ∵花架内垂直高度不低于2.5米， ∴， 结合函数图象可知，此时对应的自变量x的取值范围为：； 【小问3详解】 解：将代入， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴该灯带的水平跨度为； 同理可得，另一条灯带的水平跨度为； 由题意可知：， 令，， 方程组化为：， 解得：， 即， 解得：， ∴，． 22. 已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接． （1）证明：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：， ． ， ． 平分， ， ． （2） ， ． ，， ． 又， ， ． ， ． 又， ， ． 【解析】 【分析】（1）由，可得，推出，根据角平分线的定义可得，即可证明； （2）由平行线的性质可得，推出，可证明，得到，结合，，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识． 23. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）抛物线上有一点，且满足，求点的坐标； （3）点为直线上方抛物线上一点，连接，交于点，请直接写出的最大值，并直接写出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到点、、的坐标，采用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）利用等角证得，将角度相等的条件转化为线段比例关系，分点在轴左侧和右侧两种情况讨论，分别求出直线的解析式，然后联立直线和抛物线的方程，求出符合条件的点； （3）设点的坐标为，延长与的延长线交于点，利用相似求出点的坐标，根据表示的面积，求出点的坐标后再表示，然后将表示出来，可知当点位于抛物线顶点时，取得最大值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 根据题意可知，，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 将坐标代入抛物线的表达式， 可得， 解得， 故抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：已知，，设点的坐标为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴， ，， ∵，， ， ，即， 可得， 则直线的解析式为， 代入， 可得， 解得，， 当，，此时点与点重合，舍去， 当，，此时点的坐标为； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴， ，， 同上可得， 可得，即， 可得， 则直线的解析式为， 代入， 可得， 解得，， 当，，此时点与点重合，舍去， 当，，此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，设点的坐标为，过点作轴，交于点，连接，，，连接并延长与的延长线交于点， 点为直线上方抛物线上一点，则， 轴， ， ， ， ， ， 即， 解得， 则点的坐标为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为， 当，， 点的坐标为， 可得， 则， ， 可知当取最大值时，取得最大值， 抛物线，开口向下， 当时，取得最大为， 故的最大值为，点的坐标为． 24. 在平行四边形中，，点E是射线上一点（不与点B、C重合），，连接，过点C作的平行线，交射线于点G． （1）求证：； （2）如图，当点E在线段上时，求证：； （3）若，且，求的长 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （2）证明，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及平行线的性质证明，再由证明即可； （2）先证明，再结合的性质证明即可； （3）分在线段上和点在线段延长线上，然后根据得到，则，设，再表示出，再对和运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在线段上时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴，即 ∴， 解得（舍负）， ∴； 当点在线段延长线上时，如图： 同理可证明，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴，即， ∴， 解得（舍负）， ∴， 综上：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级阶段练习（10月）数学学科试卷 一、选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： （1）当时，函数图像的顶点坐标是； （2）当时，且时，y随x的增大而减小； （3）无论取何值（），函数图像都经过定点．其中正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 若，且，那么______． 8. 已知两个三角形相似，若它们的对应中线之比为，那么它们对应高的比为______． 9. 已知四条线段、、、成比例，则的值为______． 10. 已知二次函数的表达式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 11. 已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长是______． 12. 若二次函数图像过点，则此函数图像还经过一定点______． 13. 将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 14. 若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 15. 如图，在中，，，那么______． 16. 如图，在中，，，垂足为点D，如果，，那么______． 17. 如图，在边长为4的正方形中，点E为边上的动点（不与点A、B重合），将沿着翻折得到，过点F分别作，，垂足分别为点M、N，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 证明：对于任意实数m，关于x的函数：与x轴有两个交点． 19. 如图，在中，点D、E分别在边上，．，连接． （1）若，求线段的长； （2）若的面积是36，求的面积． 20. 如图是由单位长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．用无刻度直尺作出符合要求的图形．（不写作法，保留作图痕迹，每小题单独写结论） （1）在图1中，求作，交于点E； （2）在图2中，求作，垂足为点H； （3）图3中，在上求作一点M，连接，使得平分的面积． 21. 如图，某校为打造校园休闲走廊，准备修建一座抛物线形拱形花架走廊，供藤蔓花卉攀爬生长．该花架左右两侧设有竖直等高立柱，立柱顶端连接抛物线形拱形框架，整体结构稳固美观实用．若以左侧立柱底部为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，建立平面直角坐标系（单位：米）．经测量，花架走廊净宽（两侧立柱水平间距）为6米，立柱高度为2米，最高点距地面高度为3米，且抛物线形拱形框架恰好经过两根立柱的顶端． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若花架内垂直高度不低于2.5米的区域既方便行人通行，又适宜花卉生长．结合函数图象与性质，求出该区域对应的自变量x的取值范围； （3）为提升夜间景观效果，现计划在花架内部悬挂两条相互平行的彩色灯带．灯带两端均固定在拱形框架上且保持水平绷直（即为一条线段）．设两条灯带所在直线分别为和，其中．若两条灯带的长度之和恰好等于花架的总水平跨度，且上方灯带长度是下方灯带长度的．请直接写出m和n的值． 22. 已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接． （1）证明：； （2）如果，求证：． 23. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）抛物线上有一点，且满足，求点的坐标； （3）点为直线上方抛物线上一点，连接，交于点，请直接写出的最大值，并直接写出此时点的坐标． 24. 在平行四边形中，，点E是射线上一点（不与点B、C重合），，连接，过点C作的平行线，交射线于点G． （1）求证：； （2）如图，当点E在线段上时，求证：； （3）若，且，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $