第四章 平面直角坐标系（四大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版八年级上册

第四章 平面直角坐标系 知识点一・确定位置的方法 （1）有序数对(a,b):先横坐标，后纵坐标，顺序不能调换 （2）方向 +距离(方位角):用角度和距离确定平面内点位置平面直角坐标系 构成:两条互相垂直、有公共原点的数轴;水平为x轴，竖直为y轴O 象限符号:第一象限(十,+);第二象限(一,+);第三象限(一,-);第四象限0(+,一) 坐标轴上点:x轴上点纵坐标y=0;y轴上点横坐标=0;坐标轴上的点不属于2任何象限 知识点二・点的坐标特征 （1）平行坐标轴:平行x轴，纵坐标相等;平行y轴，横坐标相等 （2）对称点坐标:关于 x轴对称(x,y)→(x,-y);关于y轴对称(x,y)→(-x,y)。 （3）关于原点对称(x,y)→(-x,-y) （4）距离:点到x轴距离是纵坐标绝对值y;点到y轴距离是横坐标绝对值 知识点三 图形的坐标变换 。平移规律:左减右加横坐标，上加下减纵坐标 。易错:图形平移，所有顶点坐标同步变化;区分【点平移】和【坐标系平移】简单图形的坐标表示 自主建立平面直角坐标系，写出多边形顶点坐标。 。坐标法求图形面积:割补法(矩形减周围直角三角形) 知识点四 坐标应用 根据坐标描点，画出图形;通过坐标判断图形形状 易错点1·平面直角坐标系与象限 易错提醒 1.有序数对(a,b)顺序不能颠倒，(2,3)与(3,2)不是同一个点。 2.坐标轴上的点不属于任何象限，看到坐标y=0或x =0，不能说在一/二/三/四象限。 3.点到x轴距离是|y，到y轴距离是x，极易搞反! 【对点训练】1．在电影院中，如果将“12排8号”用有序数对表示为，那么“7排9号”可以用有序数对表示为________，有序数对表示的含义是____________． 【对点训练】2．若点在x轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】3．平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】4．已知平面直角坐标系内一点，若点在轴上，则的值为（        ） A．2 B． C．10 D． 【对点训练】5．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】6．在平面直角坐标系中，点P的横坐标是，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是（     ） A． B．或 C． D．或 易错点2··对称点坐标 易错提醒 1.关于x轴对称:x不变，y变号;关于y轴对称:y不变，x变号;原点对称 x、y 都变号。 2.题目如果是图形对称，图形上每个顶点都要做对称变换。 【对点训练】1．平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______． 【对点训练】2．在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【对点训练】3．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【对点训练】4．平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 易错点3·平移变换 易错提醒 1.口诀:左减右加横坐标，上加下减纵坐标;只对点坐标操作。 2.坐标轴平移≠点平移，坐标轴向左移等价于点向右移，容易符号写反。 【对点训练】1．在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 【对点训练】2．点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标是________． 【对点训练】3．点在轴上，若将点向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为________． 【对点训练】4．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度后得到点，则的坐标为__________． 【对点训练】5．在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是________． 【对点训练】6．在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度后得到点，则_______________． 易错点4·坐标求面积 易错提醒 1.坐标求面积优先割补法;不要直接拿坐标相乘。 2.点坐标含负数时，求线段长度一定要加绝对值。 【对点训练】1．已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为______． 【对点训练】2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 【对点训练】3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，．将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，其中点、、分别为点、、的对应点． (1)请在平面直角坐标系中画出； (2)若点在轴上，且以、、为顶点的三角形的面积是，请求出点的坐标． 【对点训练】4．如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为．且、满足，现同时将点分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点．连接． (1)求点的坐标； (2)若点E在点A的上方时，连接、，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标：若不存在，试说明理由． 【对点训练】5．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点和关于轴对称，则值为（     ） A． B． C． D． 3．经过，两点作直线，则直线（     ） A．平行于y轴 B．平行于x轴 C．与x轴，y轴都有交点 D．经过原点 4．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．若点关于原点的对称点是，则的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 6．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．已知线段经过平移得到线段（点A与点C对应），点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．点在坐标系上第______象限． 10．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为________． 11．已知点，，若轴，则A，B两点间的距离是______． 12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴方向平移至三角形，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 13．在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)分别写出以下顶点的坐标；A________，B________； (2)在网格中画出关于y轴对称的，并写出顶点C关于y轴对称的点的坐标； (3)在x轴上找一点P，使，求点P的坐标． 14．在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 15．已知：如图，平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、． (1)若点坐标为，求三角形的面积； (2)直线经过点，且平行于轴，问直线上是否存在一点，使三角形的面积为6，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 16．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，点在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． (1)分别求出A，C两点的坐标； (2)当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 平面直角坐标系 知识点一・确定位置的方法 （1）有序数对(a,b):先横坐标，后纵坐标，顺序不能调换 （2）方向 +距离(方位角):用角度和距离确定平面内点位置平面直角坐标系 构成:两条互相垂直、有公共原点的数轴;水平为x轴，竖直为y轴O 象限符号:第一象限(十,+);第二象限(一,+);第三象限(一,-);第四象限0(+,一) 坐标轴上点:x轴上点纵坐标y=0;y轴上点横坐标=0;坐标轴上的点不属于2任何象限 知识点二・点的坐标特征 （1）平行坐标轴:平行x轴，纵坐标相等;平行y轴，横坐标相等 （2）对称点坐标:关于 x轴对称(x,y)→(x,-y);关于y轴对称(x,y)→(-x,y)。 （3）关于原点对称(x,y)→(-x,-y) （4）距离:点到x轴距离是纵坐标绝对值y;点到y轴距离是横坐标绝对值 知识点三 图形的坐标变换 。平移规律:左减右加横坐标，上加下减纵坐标 。易错:图形平移，所有顶点坐标同步变化;区分【点平移】和【坐标系平移】简单图形的坐标表示 自主建立平面直角坐标系，写出多边形顶点坐标。 。坐标法求图形面积:割补法(矩形减周围直角三角形) 知识点四 坐标应用 根据坐标描点，画出图形;通过坐标判断图形形状 易错点1·平面直角坐标系与象限 易错提醒 1.有序数对(a,b)顺序不能颠倒，(2,3)与(3,2)不是同一个点。 2.坐标轴上的点不属于任何象限，看到坐标y=0或x =0，不能说在一/二/三/四象限。 3.点到x轴距离是|y，到y轴距离是x，极易搞反! 【对点训练】1．在电影院中，如果将“12排8号”用有序数对表示为，那么“7排9号”可以用有序数对表示为________，有序数对表示的含义是____________． 【答案】 “16排28号” 【分析】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数解答． 【详解】解：∵“12排8号”用有序数对表示为， ∴“7排9号”应表示为； 表示的含义是“16排28号”． 【对点训练】2．若点在x轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在轴上的纵坐标为，列方程先求出的值，再计算横坐标即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即，解得， 将代入横坐标得， ∴点的坐标为． 【对点训练】3．平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点满足横坐标小于0，纵坐标大于0 ∴ 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 【对点训练】4．已知平面直角坐标系内一点，若点在轴上，则的值为（        ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中轴上点的坐标特征，轴上所有点的横坐标为，据此列一元一次方程即可求解的值． 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的横坐标为 ∴ 移项得 解得 【对点训练】5．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，任意一点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴点到轴的距离为． 【对点训练】6．在平面直角坐标系中，点P的横坐标是，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，解题关键是掌握点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合已知横坐标即可求出点的所有可能坐标。 【详解】解：∵ 点的横坐标为，点到轴的距离为， 又∵ 平面直角坐标系中，点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴ 点的纵坐标为或， ∴ 点的坐标为或． 易错点2··对称点坐标 易错提醒 1.关于x轴对称:x不变，y变号;关于y轴对称:y不变，x变号;原点对称 x、y 都变号。 2.题目如果是图形对称，图形上每个顶点都要做对称变换。 【对点训练】1．平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______． 【答案】 【分析】需先明确关于x轴对称的点的坐标特征，再根据该特征计算点P的对称点坐标． 【详解】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点关于x轴的对称点为， ∴点关于x轴对称点坐标为． 【对点训练】2．在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，有理数的加法，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵点关于y轴对称的点是， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 【对点训练】3．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 【对点训练】4．平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为. 【详解】解：由题意知，，， . 易错点3·平移变换 易错提醒 1.口诀:左减右加横坐标，上加下减纵坐标;只对点坐标操作。 2.坐标轴平移≠点平移，坐标轴向左移等价于点向右移，容易符号写反。 【对点训练】1．在直角坐标系中，点，将点先向右平移个单位长度，再向下移动个单位长度，平移后点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标的平移规律，按照左减右加，上加下减的规律计算即可． 【详解】解：已知点原坐标为， 将点向右平移个单位长度，横坐标变为， 再向下平移个单位长度，纵坐标变为， ∴平移后点的坐标为． 【对点训练】2．点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标平移的变化规律计算，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，即可得到对应点的坐标． 【详解】解：坐标平移的变化规律为：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减． ∵点的坐标为， ∴向左平移个单位长度后，横坐标变为， ∴再向上平移个单位长度后，纵坐标变为， ∴对应点的坐标为． 【对点训练】3．点在轴上，若将点向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】利用x轴上点的纵坐标为0求出m的值，得到点A的坐标，再根据向上平移的坐标变化规律计算点B的坐标． 【详解】解：点在轴上， ，解得， 点的坐标为， 将点向上平移个单位长度得到点，平移后横坐标不变，纵坐标加， 点的坐标为，即． 【对点训练】4．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度后得到点，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，即可求解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中点的平移规律为：左右平移时，横坐标变化，纵坐标不变，右加左减的规律， ∵点向右平移个单位长度， ∴的横坐标为，纵坐标不变仍为， ∴． 【对点训练】5．在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：将点向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加， 第一次平移后点的坐标为， 再向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标减， 点的坐标为． 【对点训练】6．在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度后得到点，则_______________． 【答案】 【分析】平移的坐标变化规律为：横坐标仅左右平移时改变，上下平移时不变；纵坐标上移加，下移减，根据对应坐标相等求出和，再计算即可． 【详解】解：∵点仅向下平移个单位得到点，横坐标不变， ∴； ∵向下平移个单位，纵坐标减， ∴， 解得； ∴． 易错点4·坐标求面积 易错提醒 1.坐标求面积优先割补法;不要直接拿坐标相乘。 2.点坐标含负数时，求线段长度一定要加绝对值。 【对点训练】1．已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为______． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【对点训练】2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据点，，得，，又的面积为，求出的长，再根据平移规律即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∵将线段平移后得到线段，点在轴上， ∴，，， ∴四边形的面积是． 【对点训练】3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，．将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，其中点、、分别为点、、的对应点． (1)请在平面直角坐标系中画出； (2)若点在轴上，且以、、为顶点的三角形的面积是，请求出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)或 【分析】（1）先根据平移的性质确定点、、的对应点、、，然后再顺次连接即可； （2）设，则，再根据三角形的面积公式列绝对值方程求得p的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图： ， 点到轴的距离为3． 设，则， 以为顶点的三角形的面积是3， ，即，解得：， 点的坐标为或． 【对点训练】4．如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为．且、满足，现同时将点分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点．连接． (1)求点的坐标； (2)若点E在点A的上方时，连接、，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标：若不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）运用非负数的性质，确定a，b的值，得到A，B的坐标，根据平移的规律得到C，D的坐标； （2）如图，过点E作，则，运用平行线性质证明即可． （3）设点M坐标为，根据面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D， ∴，； （2）解：，理由如下： 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴； （3）解：∵，， ∴； ∵三角形的面积是三角形面积的 ∴的面积， 当点M在x轴正半轴上时，设点， ∴， ∴， ∴，且点， ∴点或点(不合题意舍去)， ∴当点时，使三角形的面积是三角形面积的． 【对点训练】5．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为，的面积为10 (2)存在，点D的坐标为或 【分析】（1）直接根据平移规律即可得点C的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得点C的坐标为； ， ， ∴， 所以的面积为10； （2）解：存在，由（1），点B的坐标为， ∴点B到x轴的距离为4， ∵，， ， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或， ∴点D的坐标为或． 1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据平方的非负性判断纵坐标的正负，再由各象限内点的坐标的符号特征求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， 所以点所在的象限是第二象限． 2．已知点和关于轴对称，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，便可求解． 【详解】解：点和关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．经过，两点作直线，则直线（     ） A．平行于y轴 B．平行于x轴 C．与x轴，y轴都有交点 D．经过原点 【答案】A 【详解】解：∵点、的横坐标相等，纵坐标不相等， ∴直线轴． 4．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位， ∴所对应的点的横坐标是，纵坐标是， ∴所对应的点的坐标是． 5．若点关于原点的对称点是，则的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求得m、n，再代入加法运算即可解答． 【详解】解：点关于原点的对称点是， ∴,， ∴． 6．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形中点的坐标变化，发现横坐标等于运动次数，纵坐标以为周期循环，根据除以的余数确定纵坐标． 【详解】解：观察图形可知，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，…… ， 由此可知，动点的横坐标为运动次数，纵坐标按的顺序循环变化，周期为． ， 第次运动后，动点的横坐标为，纵坐标为循环中的第个数，即， 动点的坐标为． 7．点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点所在的象限，确定其横坐标、纵坐标的正负值以及大小，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点M距离x轴6个单位长度， ∴点M的纵坐标为6， ∵点M距离y轴2个单位长度， ∴点M的横坐标为， ∴点M的坐标为． 8．已知线段经过平移得到线段（点A与点C对应），点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【详解】解：因为点A坐标为，且平移后对应点C的坐标为， 则，， 又因为点B坐标为， 则，， 所以点B对应点D的坐标为． 9．点在坐标系上第______象限． 【答案】四 【详解】解：∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴该点在第四象限． 10．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据点平移的规律：左右平移改变横坐标，右移横坐标加，上下平移改变纵坐标，下移纵坐标减，代入原坐标计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， ∴ 点的横坐标为，点的纵坐标为， 即得到的点的坐标为． 11．已知点，，若轴，则A，B两点间的距离是______． 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上所有点的横坐标相等，先求出的值，再计算两点间的距离． 【详解】解：轴， ，两点的横坐标相等， ，即点的坐标为， 横坐标相同的两点，距离为纵坐标差的绝对值， ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴方向平移至三角形，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，再根据四边形面积为，得出的长，即可求得点的坐标． 【详解】解：点坐标为，点坐标为， , 将沿轴方向向右平移得到， ，，，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，和的纵坐标相同， 点坐标为，且四边形面积为， 四边形的面积为 ， ， 点的坐标为． 13．在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)分别写出以下顶点的坐标；A________，B________； (2)在网格中画出关于y轴对称的，并写出顶点C关于y轴对称的点的坐标； (3)在x轴上找一点P，使，求点P的坐标． 【答案】(1)；． (2)解：如图1所示，即为所求，其中． (3)或 【分析】（1）根据坐标系直接求解即可； （2）根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可作图，即可求解对称点坐标； （3）先由割补法求解的面积，再设，根据三角形面积公式建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点，如图2，， ∵， ∴ 解得或， 即点P的坐标为或． 14．在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由平移的性质可得点的坐标； （2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据求解即可； （3）根据的面积等于的面积，求解即可． 【详解】（1）解：∵将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点， ∴，即； （2）解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图，点的纵坐标为， 由的面积等于的面积， 得：， 解得：或， 或． 15．已知：如图，平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、． (1)若点坐标为，求三角形的面积； (2)直线经过点，且平行于轴，问直线上是否存在一点，使三角形的面积为6，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)15 (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵、， ∴， ∵点坐标为， ∴三角形的面积； （2）解：根据题意设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， ∴点的坐标为或． 16．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，点在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． (1)分别求出A，C两点的坐标； (2)当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． 【答案】(1)点，点 (2) (3)的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）． 【分析】（1）由点A，点C分别在x轴上，y轴上，可求解； （2）通过计算可得此时点P在上，且，可求点P坐标； （3）分点P在，，，上，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：（1）点在轴上，点在轴上， ， ， 点，点； （2）由（1）可知：点，点， 当点移动了4秒时，移动的路程为：， 此时点在上，且， 点； （3）①如图1所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ②如图2所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ③如图3所示，当点在上时， 的面积为10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ④如图4所示，当点在上时， 的面积是10， ，即，解得， 点的坐标为， 运动时间为（秒）． 综上所述：①的坐标为，运动时间为（秒）；②点的坐标为，运动时间为（秒）；③点的坐标为，运动时间为（秒）；④点的坐标为，运动时间为（秒）． 4 / 17 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