专题04 平面直角坐标系（期末复习知识清单，2知识&13题型清单）八年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学平面直角坐标系知识清单系统梳理了核心内容，涵盖点的位置与坐标系、图形变换与坐标变化两大知识模块及13类典型题型，搭建了从基础概念到变换规律再到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型清单”融合设计，知识模块分点细化定义、特征及注意点，题型含例题与变式覆盖基础到综合，培养几何直观与推理意识。如“象限内点坐标特征”标注重难点，“平移变换规律”配例题变式，助力学生系统构建知识网络，教师可精准设计分层教学提升实效。

专题04平面直角坐标系（2知识&13题型清单） 【清单01】点的位置与坐标系 1. 有序数对 · 定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a, b)。 · 作用：平面上物体的位置可以用有序数对来确定，通过两个有顺序的数可以唯一地表示一个点在平面内的位置。例如，在教室中，座位的位置可以用“几排几列”这样的有序数对来描述。 · 注意点：有序数对(a, b)与(b, a)是不同的，当a≠b时，它们表示平面上不同的位置，因为数对中两个数的顺序不同，所代表的位置也就不同。 2. 平面直角坐标系的构成 · 坐标原点：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系，这个公共原点称为坐标原点，通常用字母O表示。 · 坐标轴： · x轴（横轴）：水平的数轴叫做x轴，习惯上取向右为正方向。 · y轴（纵轴）：铅直的数轴叫做y轴，习惯上取向上为正方向。 · 象限：坐标轴把平面分成四个部分，每个部分叫做一个象限。 · 右上部分叫做第一象限，其中点的横、纵坐标均为正数。 · 左上部分叫做第二象限，其中点的横坐标为负数，纵坐标为正数。 · 左下部分叫做第三象限，其中点的横、纵坐标均为负数。 · 右下部分叫做第四象限，其中点的横坐标为正数，纵坐标为负数。 · 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限。x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。 3. 点的坐标 · 定义：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a, b)叫做点P的坐标，记作P(a, b)。 · 坐标的确定方法：过点作x轴的垂线，垂足对应的数字即为该点的横坐标；过点作y轴的垂线，垂足对应的数字即为该点的纵坐标，然后将横坐标写在前，纵坐标写在后，用逗号隔开，再用小括号括起来。 · 特殊位置点的坐标特征： · 原点：坐标为(0, 0)，它是x轴和y轴的交点。 · x轴上的点：纵坐标为0，即坐标形式为(x, 0)，其中x为任意实数。 · y轴上的点：横坐标为0，即坐标形式为(0, y)，其中y为任意实数。 · 第一象限内的点：横坐标x>0，纵坐标y>0。 · 第二象限内的点：横坐标x<0，纵坐标y>0。 · 第三象限内的点：横坐标x<0，纵坐标y<0。 · 第四象限内的点：横坐标x>0，纵坐标y<0。 4. 坐标平面内的点与有序数对的关系 · 坐标平面内的每一个点都对应着唯一的一个有序数对（即点的坐标）。 · 反过来，每一个有序数对都对应着坐标平面内唯一的一个点。 · 这种关系表明坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。 【清单02】图形变换与坐标变化 1. 平移变换与坐标变化 · 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 · 点的平移与坐标变化规律： · 沿x轴方向平移： · 点P(x, y)向右平移a个单位长度，得到的对应点P1的坐标为。这是因为向右平移时，点在x轴方向上的位置增加，而y轴方向上的位置不变。 · 点P(x, y)向左平移a个单位长度，得到的对应点P2的坐标为。向左平移时，点在x轴方向上的位置减少，y轴方向位置不变。 · 沿y轴方向平移： · 点P(x, y)向上平移b个单位长度，得到的对应点P3的坐标为。向上平移时，点在y轴方向上的位置增加，x轴方向位置不变。 · 点P(x, y)向下平移b个单位长度，得到的对应点P4的坐标为。向下平移时，点在y轴方向上的位置减少，x轴方向位置不变。 · 沿斜向（即先沿x轴再沿y轴或先沿y轴再沿x轴）平移： · 点P(x, y)先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，得到的对应点P5的坐标为。 · 其他斜向平移情况可类似推导，即分别按照x轴和y轴方向的平移规律进行坐标变化。 · 图形的平移与坐标变化：图形上所有点的坐标都按照上述点的平移规律进行变化，那么整个图形就实现了相应的平移。反过来，如果图形上所有点的坐标都发生了上述规律的变化，则说明图形进行了相应的平移。 2. 对称变换与坐标变化 · 关于x轴对称： · 定义：如果两个点关于x轴对称，那么它们在x轴的两侧，且到x轴的距离相等，同时它们的连线垂直于x轴。 · 坐标变化规律：点P(x, y)关于x轴对称的点P6的坐标为。即横坐标不变，纵坐标互为相反数。因为关于x轴对称时，x轴方向的位置不变，y轴方向的位置变为相反方向。 · 关于y轴对称： · 定义：如果两个点关于y轴对称，那么它们在y轴的两侧，且到y轴的距离相等，同时它们的连线垂直于y轴。 · 坐标变化规律：点P(x, y)关于y轴对称的点P7的坐标为。即纵坐标不变，横坐标互为相反数。因为关于y轴对称时，y轴方向的位置不变，x轴方向的位置变为相反方向。 · 关于原点对称： · 定义：如果两个点关于原点对称，那么它们的连线经过原点，且到原点的距离相等。 · 坐标变化规律：点P(x, y)关于原点对称的点P8的坐标为。即横、纵坐标都互为相反数。因为关于原点对称时，x轴和y轴方向的位置都变为相反方向。 3. 简单图形变换后坐标的确定 · 已知图形顶点坐标和变换方式，求变换后图形顶点坐标：对于一个由多个顶点组成的图形，如三角形、四边形等，要确定其经过平移、对称等变换后的坐标，只需将图形各个顶点的坐标按照相应的变换规律进行计算，得到变换后各个顶点的坐标，然后依次连接这些顶点即可得到变换后的图形。 · 已知变换前后图形顶点坐标，判断变换方式：通过对比变换前后图形对应顶点的坐标变化情况，依据平移、对称等变换的坐标变化规律，判断出图形所进行的变换方式。例如，如果图形各顶点的横坐标都增加了某个数值，纵坐标不变，则图形向右平移了相应的单位长度；如果各顶点的横、纵坐标都变为原来的相反数，则图形关于原点对称。 【题型一】坐标系基本概念辨析 【例1】在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据点的横纵坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 故选：B． 【变式1-1】如果点在第二象限，则关于轴的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了点所在的象限、点坐标的轴对称变换，熟练掌握点所在象限的符号特征是解题关键．先求出关于轴的对称点的坐标为，再求出，则可得，，据此解答即可得． 【详解】解：关于轴的对称点的坐标为， ∵点在第二象限， ∴， ∴，， ∴， ∴点在第二象限， 故选：B． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，因此位于第四象限． 故答案为：四． 【题型二】点的坐标特征 【例2】在平面直角坐标系中，点在（   ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【答案】C 【分析】此题考查了点的坐标，根据在坐标轴上点的坐标特征进行解答即可； 根据点的坐标特征，纵坐标为0的点在轴上；横坐标为正时，点在轴正半轴上． 【详解】解：∵点的纵坐标， ∴该点在轴上。 又∵横坐标， ∴该点在轴正半轴， 故选：C． 【变式2-1】如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形，，轴．若， ， ， 则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，由轴， ， ， 则，过作轴于点，交于点，根据等腰三角形性质可得，又， ，则，所以，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵轴，，， ∴， 如图，过作轴于点，交于点， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作于，由等边三角形的性质和勾股定理可得，，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形，边长为，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【题型三】对称点坐标特征 【例3】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的立方根为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，立方根，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列方程求解a和b，再计算的值，最后求立方根． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴， ∴，即的立方根为1． 故选：C． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键．由平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征求解即可得到答案． 【详解】解：∵点关于y轴对称的点为， ∴， 故选：B． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是利用“关于轴对称的点，纵坐标相等、横坐标互为相反数”求出、的值． 根据关于轴对称的点的坐标规律，列等式求、，再计算的值． 【详解】解：点与点关于轴对称， ∴ ，， 解得，， 则， 故答案为：． 【题型四】点到坐标轴及原点的距离 【例4】平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（   ） A． B．4 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴且， ∵点P到y轴的距离是4， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第二象限点的横坐标为负、纵坐标为正，即可求解． 【详解】解：设点坐标为， ∵点到轴的距离为3， ∴； ∵点到轴的距离为1， ∴； 又∵点P在第二象限， ∴． ∴． ∴点的坐标为． 故选：C． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标系中与y轴平行的直线上点的坐标特点：根据轴，可知点M与点N的横坐标相等，从而建立方程求解． 【详解】解：因为轴，点N的横坐标为， 所以点M的横坐标， 解得， 代入点M的纵坐标， 故点M的坐标为， 故答案为：． 【题型五】平行与坐标轴的直线上的坐标特点 【例5】已知直线轴，且，则的长为(        ) A．4 B．5 C．9 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离．由轴可知点与点的横坐标相等，据此求出的值，再计算纵坐标之差的绝对值即为的长度． 【详解】解：轴， 点与点的横坐标相等， 即， ， ． 此时点的纵坐标为，点的纵坐标为， 的长度为． 故选：B． 【变式5-1】已知M、N两点分居y轴两侧，且轴，，则点N坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中平行于坐标轴的线段的坐标特征，熟练掌握“平行于x轴的线段上的点纵坐标相等”及“两点间距离的坐标计算方法”是解题的关键． 先根据“轴”确定N的纵坐标，再结合“M、N分居y轴两侧”确定N的横坐标符号，最后通过“”计算N的横坐标． 【详解】解：设N点坐标为． ∵ 轴， ∴ ． ∵ 在y轴左侧，且M、N分居y轴两侧， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ 或． 若，则（不符合，舍去）； 若，则． ∴ N点坐标为． 故选：A． 【变式5-2】已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征． 根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴点和点的横坐标相等， 即， 解得， 代入点的纵坐标，得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【题型六】图形平移与坐标变化 【例6】在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可． 【详解】解：将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是，即． 故选：B． 【变式6-1】点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，由已知可得，，进而得到线段先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段，即得到，，再代入代数式计算即可求解，由对应点坐标的变化得出平移的方式是解题的关键． 【详解】解：∵点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，， ∴，， ∵将线段平移至，点，的坐标分别为，， ∴线段先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴， 故选：． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A的坐标为，再根据平移后点O的对应点的坐标为，得点A的对应点的横坐标为，纵坐标为，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵矩形的顶点， ∴点A的坐标为， ∵平移后点O的对应点的坐标为， ∴点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【题型七】用坐标描述地理位置 【例7】王伟坐在教室的第5列、第6排，他的位置用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，他的位置用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用数对表示位置，读懂题意，掌握数对表示位置的规则是解决问题的关键．先理解题中数对表示位置的规则，再由张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，确定张乐位置为第列、第排，即可确定答案． 【详解】解：李林坐在教室的第列，张乐与李林在同一列，则张乐在教室的第列； 王伟坐在教室的第排，张乐在王伟的前一排，则张乐在教室的第排； 张乐的位置用数对表示是第列、第排， 即张乐的位置用数对表示是， 故选：B． 【变式7-1】妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作，东东的座位是第7列第4行，记作（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数对与位置的关系，熟练掌握数对中列与行的表示规则是解题的关键．根据妙妙座位的记法，明确数对中列数在前、行数在后的规则，据此确定东东座位的数对表示． 【详解】解：∵ 妙妙座位第3列第6行，记作，即数对中第一个数表示列，第二个数表示行， 东东座位是第7列第4行， ∴ 记作， 故选：． 【变式7-2】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示法，目标A，B的位置表示为，，按照此方法在表示目标E的位置为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，结合目标A，B的位置表示为，，故观察图中，得目标E的位置为，即可作答． 【详解】解：∵目标A，B的位置表示为，， ∴观察图中，得目标E的位置为， 故答案为：． 【题型八】由坐标确定图形形状与面积 【例8】如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 【变式8-1】如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点的变化规律．由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在A点相遇； … 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵， 故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是第一次相遇的点， 物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，如图， 此时相遇点的坐标为：， 故选：B． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最短距离，全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接，得，可证，将转化到上，轴时为最小值，即可求得答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接， ∵点A的坐标为， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型九】简单旋转后的点的坐标 【例9】如图，边长为2的等边的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到等边，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．设与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出、，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C，    ∵是等边三角形，旋转角为， ∴， ∴轴， ∵等边的边长为2， ∴， ∵， ∴，， 又∵在第四象限， ∴点的坐标为 故选：A． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，勾股定理求出，，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作，交y轴于点F， 的坐标为 ∴， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【变式9-2】如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【题型十】坐标规律探究 【例10】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是得到点的坐标变化规律；由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，然后问题可求解． 【详解】解：由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去， ∵， ∴第2025次运动后，动点P的坐标为； 故选D． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键．观察图形可以看出；；每个为一组，由于，在负半轴，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答． 【详解】解：观察图形可以看出；每个为一组， ， 在负半轴，纵坐标为， 的横坐标分别为， 则的横坐标为, 的横坐标为， 的坐标为． 故选：C． 【变式10-2】如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、…的圆心依次按点A、O、B、C循环，点A的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据题意，依次求出点，，，…，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 由此可见，点的坐标可表示为，点的坐标可表示为 当时， 点的坐标为， 所以点的坐标为 故答案为：． 【题型十一】动点坐标表示及分类讨论 【例11】如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图象性质． （1）根据非负数的性质易得，，从而得出点A，C的坐标，然后根据轴交x轴于点B得出点B的坐标； （2）过点E作，根据平行线性质得，且，，所以，然后把代入计算即可； （3）分类讨论：设P，Q点运动的时间为t，①当点P在y轴正半轴上，设，；②当点P在y轴负半轴上时，设点P的坐标为，，利用可得到关于t的方程，再解方程求出t，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， 解得，， 又∵，， ∴点A坐标为，点C坐标为， ∵轴交x轴于点B， ∴点B的坐标为， 即点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． （2）解：如图，过点E作， ∵轴， ∴轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． （3）解：由题意知，设P，Q点运动的时间为t， 当点P在y轴正半轴上，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； ②当点P在y轴负半轴上时，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】 【变式11-1】如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a、b满足，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动(回到O为止)． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)点的移动时间为3秒或秒 【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标确定、点的运动路径与距离计算，解题的关键是利用非负数的性质求出、的值，结合点的运动路径分析各阶段位置． （1）由非负数的性质得、，再据轴确定的坐标； （2）计算3秒运动的距离，结合各段路径长度确定点的位置； （3）分段和段两种情况，据到轴距离求出路径长，进而算时间． 【详解】（1）解：∵， ∴，，得，， ∴，， ∵轴，在轴上， ∴ （2）解：点3秒运动的距离：，，，， ∴在段，从出发走了， 故答案为： （3）解：①当在段时，到轴距离为3， 路径长：，时间：（秒）； ②当在段时，到轴距离为3， 路径长：，时间：（秒）； 答：点的移动时间为3秒或秒． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】此题主要考查了长方形的性质，长方形的面积公式，梯形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点C的坐标，再利用矩形的性质求出点B的坐标； （2）①利用轴得出建立方程求解即可；②先求出长方形的面积，再表示出梯形的面积，进而建立方程求出时间t即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 四边形是长方形，点的坐标是， ， （2）解：①由题意得，， ， ，， 轴， ， 四边形是长方形， ， ， 当值为秒时，直线轴； ②，， ， 由运动知，，， ， ∴梯形的面积 ， 四边形的面积是长方形的面积的， ， ， ， ，． 【题型十二】坐标与几何图形综合 【例12】长方形位于平面直角坐标系中平行移动． (1)如图1，若轴且点A的坐标，点C的坐标为，在边上有动点P，过点P作直线交边于点Q，并使得． ①当时，求P点的坐标． ②当在直线上存在一点M，使得是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标． (2)如图2，若轴且A、B关于x轴对称，连接、、，且平分，求证： 【答案】(1)（1）①点；②点M坐标为或 (2)证明见解析 【分析】（1）①根据矩形的性质颗求出和的长度，再根据及，求出、的长，从而得到P点的坐标； ②分类讨论，当时，过点作于点，证得四边形是矩形，根据矩形的性质得到、，进而证得，根据全等三角形的性质得到、 结合，求出的长，从而得到点的坐标； 当时，证得，进而证得，根据全等三角形的性质得到、，结合，求出的长，从而得到点的坐标； （2）令与轴的交点为，连接，根据矩形的性质证得和，进而证得，根据角平分线的性质和平行的性质，证得，进而证得，根据等边对等角的性质，证得，从而证得． 【详解】（1）①解：根据题意得，长方形中，轴且点A的坐标，点C的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 、 、 即 解得、 点的纵坐标为 点的坐标为； ②当时，过点作于点， 四边形是矩形， 、 、 、 、 、 点坐标为 点的坐标为； 当时， 、 、 、 、 ，且 点坐标为 点的坐标为， 综上所述，点M坐标为或； （2）证明：令与轴的交点为，连接， 、 轴、 轴 平分 ． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质和利用分类讨论思想是解题的关键． 【变式12-1】如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)如图1，填空：点的坐标为______，点的坐标为_____；若以为斜边构造等腰直角，则点的坐标______； (2)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)，；或 (2)①见解析；②的大小不变，为定值 【分析】（1）先根据非负性求出点的坐标为，点的坐标为，①点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，证明，则，，由得到，求出，即可求解点的坐标；②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，同理可求即可； （2）①延长、，相交于点，证，得，再证，得，则，即可得出结论；②过点作于点，于点，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 分两种情况：①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点， 轴， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 点； ②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点， 同①得， ，， ， ， ， 点； 综上所述，点的坐标为或； 故答案为：，；或； （2）①证明：如图2，延长、，相交于点， ， ， ，， ， 又， ， ， 是的角平分线， ， ，， ， ， ， ； ②的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点作于点，于点， 则， ， ， 由①可知，， ， ， 是的角平分线， ， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式12-2】已知：在平面直角坐标系中，的顶点、分别在轴、轴上，且， ． (1)如图1，，，当点B在第四象限时，求点B的坐标； (2)如图2，若平分，交于，过作轴于点，证明：； (3)如图3，当点C在轴正半轴上运动，点在轴正半轴，点在第四象限时，作轴于点，试判断，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质： （1）过点作于，由“”可证得，根据全等三角形对应边相等，即可得到答案； （2）延长，交于点，利用“”证得，进而证得，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）作于，则，利用“”可证得，可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作于，   ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点B坐标为； （2）证明：延长，交于点，   ，， ， 平分， ， ， 又， ， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下：作于，则， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型十三】坐标中的新定义问题 【例13】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 【变式13-1】平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3或9 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）找到x、y轴距离最大为4的点即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4， ∴点等距的点是； 故答案为： （2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解： 若，此时或， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或1（舍去）； 若，此时， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 【变式13-2】在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点M逆时针旋转得到点Q，称点Q为点P关于点M的“k阶变换点”．已知点． (1)如图1，若点，点Q为点P关于点M的“1阶变换点”则点Q的坐标为 ； (2)如图2；若点M为x轴上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，点Q的纵坐标为，求点M的坐标； (3)如图3，正方形，点A坐标为，M是正方形上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查点的平移，旋转的性质，两点间距离，读懂题意是解题的关键． （1）先根据定义和求出点的坐标，再根据题意即可求出点Q的坐标； （2）设，根据题意得出，最后利用即可求出点M的坐标； （3）找出的最大值与最小值，即可得出． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故点P向左移动1个单位，向上移动1个单位后是， ∵点绕点M逆时针旋转得到点Q， 故， 故答案为：； （2）解：设， ， 故点P向左或向右取决于，上下不平移，则， 点与都在x轴上，点Q的纵坐标为， 应在左侧， ， ， 解得， ． （3）解：； 设，则，， ，， ， 当时，则 ，， 此时存在最大值，， 当时，则 ，， 此时存在最小值，， ． 学科网（北京）股份有限公2 / 46 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平面直角坐标系（2知识&13题型清单） 【清单01】点的位置与坐标系 1. 有序数对 · 定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a, b)。 · 作用：平面上物体的位置可以用有序数对来确定，通过两个有顺序的数可以唯一地表示一个点在平面内的位置。例如，在教室中，座位的位置可以用“几排几列”这样的有序数对来描述。 · 注意点：有序数对(a, b)与(b, a)是不同的，当a≠b时，它们表示平面上不同的位置，因为数对中两个数的顺序不同，所代表的位置也就不同。 2. 平面直角坐标系的构成 · 坐标原点：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系，这个公共原点称为坐标原点，通常用字母O表示。 · 坐标轴： · x轴（横轴）：水平的数轴叫做x轴，习惯上取向右为正方向。 · y轴（纵轴）：铅直的数轴叫做y轴，习惯上取向上为正方向。 · 象限：坐标轴把平面分成四个部分，每个部分叫做一个象限。 · 右上部分叫做第一象限，其中点的横、纵坐标均为正数。 · 左上部分叫做第二象限，其中点的横坐标为负数，纵坐标为正数。 · 左下部分叫做第三象限，其中点的横、纵坐标均为负数。 · 右下部分叫做第四象限，其中点的横坐标为正数，纵坐标为负数。 · 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限。x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。 3. 点的坐标 · 定义：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a, b)叫做点P的坐标，记作P(a, b)。 · 坐标的确定方法：过点作x轴的垂线，垂足对应的数字即为该点的横坐标；过点作y轴的垂线，垂足对应的数字即为该点的纵坐标，然后将横坐标写在前，纵坐标写在后，用逗号隔开，再用小括号括起来。 · 特殊位置点的坐标特征： · 原点：坐标为(0, 0)，它是x轴和y轴的交点。 · x轴上的点：纵坐标为0，即坐标形式为(x, 0)，其中x为任意实数。 · y轴上的点：横坐标为0，即坐标形式为(0, y)，其中y为任意实数。 · 第一象限内的点：横坐标x>0，纵坐标y>0。 · 第二象限内的点：横坐标x<0，纵坐标y>0。 · 第三象限内的点：横坐标x<0，纵坐标y<0。 · 第四象限内的点：横坐标x>0，纵坐标y<0。 4. 坐标平面内的点与有序数对的关系 · 坐标平面内的每一个点都对应着唯一的一个有序数对（即点的坐标）。 · 反过来，每一个有序数对都对应着坐标平面内唯一的一个点。 · 这种关系表明坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。 【清单02】图形变换与坐标变化 1. 平移变换与坐标变化 · 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 · 点的平移与坐标变化规律： · 沿x轴方向平移： · 点P(x, y)向右平移a个单位长度，得到的对应点P1的坐标为。这是因为向右平移时，点在x轴方向上的位置增加，而y轴方向上的位置不变。 · 点P(x, y)向左平移a个单位长度，得到的对应点P2的坐标为。向左平移时，点在x轴方向上的位置减少，y轴方向位置不变。 · 沿y轴方向平移： · 点P(x, y)向上平移b个单位长度，得到的对应点P3的坐标为。向上平移时，点在y轴方向上的位置增加，x轴方向位置不变。 · 点P(x, y)向下平移b个单位长度，得到的对应点P4的坐标为。向下平移时，点在y轴方向上的位置减少，x轴方向位置不变。 · 沿斜向（即先沿x轴再沿y轴或先沿y轴再沿x轴）平移： · 点P(x, y)先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，得到的对应点P5的坐标为。 · 其他斜向平移情况可类似推导，即分别按照x轴和y轴方向的平移规律进行坐标变化。 · 图形的平移与坐标变化：图形上所有点的坐标都按照上述点的平移规律进行变化，那么整个图形就实现了相应的平移。反过来，如果图形上所有点的坐标都发生了上述规律的变化，则说明图形进行了相应的平移。 2. 对称变换与坐标变化 · 关于x轴对称： · 定义：如果两个点关于x轴对称，那么它们在x轴的两侧，且到x轴的距离相等，同时它们的连线垂直于x轴。 · 坐标变化规律：点P(x, y)关于x轴对称的点P6的坐标为。即横坐标不变，纵坐标互为相反数。因为关于x轴对称时，x轴方向的位置不变，y轴方向的位置变为相反方向。 · 关于y轴对称： · 定义：如果两个点关于y轴对称，那么它们在y轴的两侧，且到y轴的距离相等，同时它们的连线垂直于y轴。 · 坐标变化规律：点P(x, y)关于y轴对称的点P7的坐标为。即纵坐标不变，横坐标互为相反数。因为关于y轴对称时，y轴方向的位置不变，x轴方向的位置变为相反方向。 · 关于原点对称： · 定义：如果两个点关于原点对称，那么它们的连线经过原点，且到原点的距离相等。 · 坐标变化规律：点P(x, y)关于原点对称的点P8的坐标为。即横、纵坐标都互为相反数。因为关于原点对称时，x轴和y轴方向的位置都变为相反方向。 3. 简单图形变换后坐标的确定 · 已知图形顶点坐标和变换方式，求变换后图形顶点坐标：对于一个由多个顶点组成的图形，如三角形、四边形等，要确定其经过平移、对称等变换后的坐标，只需将图形各个顶点的坐标按照相应的变换规律进行计算，得到变换后各个顶点的坐标，然后依次连接这些顶点即可得到变换后的图形。 · 已知变换前后图形顶点坐标，判断变换方式：通过对比变换前后图形对应顶点的坐标变化情况，依据平移、对称等变换的坐标变化规律，判断出图形所进行的变换方式。例如，如果图形各顶点的横坐标都增加了某个数值，纵坐标不变，则图形向右平移了相应的单位长度；如果各顶点的横、纵坐标都变为原来的相反数，则图形关于原点对称。 【题型一】坐标系基本概念辨析 【例1】在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】如果点在第二象限，则关于轴的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【题型二】点的坐标特征 【例2】在平面直角坐标系中，点在（   ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【变式2-1】如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形，，轴．若， ， ， 则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【题型三】对称点坐标特征 【例3】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的立方根为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为 ． 【题型四】点到坐标轴及原点的距离 【例4】平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（   ） A． B．4 C．1 D． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 【题型五】平行与坐标轴的直线上的坐标特点 【例5】已知直线轴，且，则的长为(        ) A．4 B．5 C．9 D．15 【变式5-1】已知M、N两点分居y轴两侧，且轴，，则点N坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为 ． 【题型六】图形平移与坐标变化 【例6】在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ． 【题型七】用坐标描述地理位置 【例7】王伟坐在教室的第5列、第6排，他的位置用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，他的位置用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作，东东的座位是第7列第4行，记作（   ）． A． B． C． D． 【变式7-2】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示法，目标A，B的位置表示为，，按照此方法在表示目标E的位置为 ． 【题型八】由坐标确定图形形状与面积 【例8】如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式8-1】如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为 ． 【题型九】简单旋转后的点的坐标 【例9】如图，边长为2的等边的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到等边，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【题型十】坐标规律探究 【例10】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、…的圆心依次按点A、O、B、C循环，点A的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为 ． 【题型十一】动点坐标表示及分类讨论 【例11】如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-1】如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a、b满足，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动(回到O为止)． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？ 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 【题型十二】坐标与几何图形综合 【例12】长方形位于平面直角坐标系中平行移动． (1)如图1，若轴且点A的坐标，点C的坐标为，在边上有动点P，过点P作直线交边于点Q，并使得． ①当时，求P点的坐标． ②当在直线上存在一点M，使得是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标． (2)如图2，若轴且A、B关于x轴对称，连接、、，且平分，求证： 【变式12-1】如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)如图1，填空：点的坐标为______，点的坐标为_____；若以为斜边构造等腰直角，则点的坐标______； (2)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由． 【变式12-2】已知：在平面直角坐标系中，的顶点、分别在轴、轴上，且， ． (1)如图1，，，当点B在第四象限时，求点B的坐标； (2)如图2，若平分，交于，过作轴于点，证明：； (3)如图3，当点C在轴正半轴上运动，点在轴正半轴，点在第四象限时，作轴于点，试判断，与之间的关系，并说明理由． 【题型十三】坐标中的新定义问题 【例13】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【变式13-1】平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 【变式13-2】在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点M逆时针旋转得到点Q，称点Q为点P关于点M的“k阶变换点”．已知点． (1)如图1，若点，点Q为点P关于点M的“1阶变换点”则点Q的坐标为 ； (2)如图2；若点M为x轴上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，点Q的纵坐标为，求点M的坐标； (3)如图3，正方形，点A坐标为，M是正方形上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $