专题03 勾股定理（期末复习知识清单，3知识&9题型&3易错&3方法清单）八年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学勾股定理专题知识清单全面覆盖定理探究、逆定理及应用三大核心内容，包含9类典型题型、3项易错警示与3种解题方法，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单采用四维架构组织知识，通过“赵爽弦图推导”培养抽象能力，“圆柱最短路径展开”渗透模型意识，标注“忽视直角前提”等易错点，总结分类讨论等方法，助力学生系统复习，教师精准教学。

专题03勾股定理 （3知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】勾股定理的探究 1. 勾股定理的探索过程 · 情境引入：通过测量直角三角形（如等腰直角三角形、一般直角三角形）的三条边长，观察边长平方之间的关系，发现规律：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 · 特例验证： · 等腰直角三角形：设直角边为 (a)，斜边为 (c)，则（如直角边为1的等腰直角三角形，斜边为，满足）。 · 一般直角三角形：通过网格图中以直角边和斜边为边长的正方形面积关系验证（例如直角边为3、4的直角三角形，两个小正方形面积和为，等于斜边为5的正方形面积）。 2. 勾股定理的内容 · 文字表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 · 符号表示：在 中，，直角边为 (a)、(b)，斜边为 (c)，则。 3. 勾股定理的证明（面积法） · 赵爽弦图：以直角三角形的斜边为边长作大正方形，内部用四个全等的直角三角形和一个小正方形填充，通过大正方形面积等于四个直角三角形面积与小正方形面积之和，推导出。 · 美国总统伽菲尔德的证明：将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和，化简后得到。 【清单02】勾股定理的逆定理 1. 逆定理的内容 · 文字表述：如果一个三角形的三边长 (a)、(b)、(c) 满足，那么这个三角形是直角三角形，且边长为 (c) 的边所对的角是直角。 · 作用：判断一个三角形是否为直角三角形。 2. 逆定理的证明 · 构造法：已知 的三边长 (a)、(b)、(c) 满足，构造一个直角三角形 (A'B'C')，使直角边为 (a)、(b)，斜边为 (c')，根据勾股定理得，则 ，通过“SSS”全等判定可得，从而是直角三角形。 3. 勾股数 · 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 · 常见勾股数： · 基本勾股数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）等； · 勾股数的倍数：若（(a)，(b)，(c)）是勾股数，则（(ka)，(kb)，(kc)）（(k) 为正整数）也是勾股数（如（6，8，10）是（3，4，5）的2倍）。 4. 判断直角三角形的步骤 · （1）确定三角形三边长中的最大边（设为 (c)）； · （2）验证 是否等于：若相等，则为直角三角形；否则，不是直角三角形。 【清单03】 勾股定理的简单应用 1. 已知直角三角形两边求第三边 · 直接应用公式： · 已知直角边 (a)、(b)，求斜边：； · 已知斜边 (c) 和直角边 (a)，求另一直角边：（或）。 · 注意：结果若为无理数，可保留根号或根据要求取近似值。 2. 解决实际问题 · 最短路径问题： · 平面上：两点之间线段最短，结合勾股定理计算折线路径长度（如长方形中沿表面爬行的最短路径，需将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形求解）。 · 立体图形（如圆柱、长方体）：将侧面展开为平面，转化为平面上的直角三角形问题（例如圆柱侧面蚂蚁爬行路径，展开后圆柱底面周长的一半与高为直角边，母线长为斜边）。 · 高度与距离问题： · 梯子靠墙问题：梯子长度为斜边，梯子底部到墙的距离和梯子顶端到地面的距离为直角边（如梯子斜靠墙面，下滑后梯子长度不变，利用勾股定理列方程求解高度变化）。 · 航海问题：两船分别沿垂直方向航行，一段时间后相距距离可通过勾股定理计算（如甲船沿正东方向航行，乙船沿正北方向航行，出发后两船的距离为直角三角形斜边）。 · 判断物体是否为直角三角形结构：例如检测三角形零件、门框是否为直角，通过测量三边长并验证是否满足勾股定理的逆定理。 3. 方程思想的应用 · 在直角三角形中，若已知一边及另两边的数量关系（如比例关系、差或和），可设未知数，利用勾股定理列方程求解（例如直角三角形中，一条直角边比另一条直角边大2，斜边为10，设较短直角边为 (x)，则，解方程得边长）。 4. 分类讨论思想 · 已知三角形两边长，求第三边时，需考虑该边是直角边还是斜边（如已知三角形两边为3和4，第三边可能为5（斜边）或（直角边））。 【题型一】已知两边求第三边 【例1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（    ） A．3 B． C． D．1 【变式1-1】底边长为，底边上的高为的等腰三角形的腰长为（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】一个直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上中线长为 ． 【题型二】利用勾股定理判断三角形形状 【例2】若的三边、、满足，则形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式2-1】在中，已知的三个内角之比为，则这个三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【变式2-2】已知a，b，c为三角形的三边且满足，则三角形的形状为 【题型三】勾股定理与方程思想结合 【例3】如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】如图，在中，，为上任意一点，那么的值是 ． 【变式3-2】如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型四】利用勾股定理解决折叠问题 【例4】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-1】如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【变式4-2】如图，在中，，，，点在边上运动，沿着折叠得到．若线段与边相交，则记交点为． (1)若，求的长度； (2)如图，当，求的长度； (3)如图，在点的运动过程中，当时，连接，直接写出的长度． 【题型五】勾股定理与最短路径问题 【例5】如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点C是的中点．现有一只蚂蚁从点C爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ） A．2 B．13 C．17 D．22 【变式5-1】中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【变式5-2】综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【题型六】勾股定理中的实际应用 【例6】年月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地点出发．我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船分别到达点和点，且相距海里．请通过计算说明该橡皮艇的航行方向． 【变式6-1】如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 【变式6-2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【题型七】勾股定理与等腰三角形分类讨论 【例7】如图，在矩形中，，点是边上一动点． (1)如图1，连结，将沿对折得到，使点落在矩形内部，若，求的长； (2)如图2，点是边上一点，连结、，将沿对折得到，将沿对折得到，使得点在直线上，当点恰好落在边上时，求的长； (3)如图3，过点作，垂足为点，连结，若为等腰三角形时，直接写出的长． 【变式7-1】如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当的面积是时，求的值； (3)当点在的角平分线上时，求的值； (4)当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 【变式7-2】如图，在中，，，．有一动点从点开始以的速度沿的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当 时，点回到点； (2)当点在上，且时，求此时的值； (3)当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【题型八】勾股定理证明线段关系 【例8】如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 【变式8-1】（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 【变式8-2】（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    【题型九】勾股定理与网格问题 【例9】综合探究：“在中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的边长分别为（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式（）的最小值． 【变式9-1】“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． (1)如图1，AB的长度为________，中AB边上的高的长度为________． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 【变式9-2】在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 【题型一】忽视勾股定理的适用条件 【例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【变式1-2】阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ． 【题型二】非直角三角形中误用勾股定理 【例2】如图，在中，，， ， ，则长（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 【变式2-1】如图，在中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为 ． 【变式2-2】已知：如图，在中，，点是高上一点，．若，，求的长． 【题型三】勾股定理逆定理应用中的逻辑错误 【例3】如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【变式3-1】如图，，分别是和中垂线，分别交于点F，D．若，则的面积为 ． 【变式3-2】在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AB的长． 【题型一】勾股定理中的最值问题 方法技巧 一、利用“两点之间线段最短”解决最值问题 在平面几何中，当涉及到求两点之间距离的最小值时，“两点之间线段最短”是最基本的原理。若这两点之间的路径需要经过某条直线（如坐标轴、某条已知直线等），可通过作对称点的方法，将折线转化为直线，再利用勾股定理计算最短距离。 具体步骤： 1. 确定待求最短距离的两个定点及所经过的直线（对称轴）。 2. 作出其中一个定点关于对称轴的对称点。 3. 连接对称点与另一个定点，所得线段与对称轴的交点即为路径最短时的中间点。 4. 此时，对称点与另一个定点之间的线段长度即为最短路径长度，该长度可通过勾股定理，结合坐标系中两点的坐标差（或几何图形中的边长关系）计算得出。 示例：在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(4,6)，在x轴上找一点P，使PA+PB最小。首先作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴交于点P，此时PA+PB=PA'+PB=A'B。根据勾股定理，A'B的长度为√[(4-1)²+(6-(-2))²]=√(9+64)=√73，即PA+PB的最小值为√73。 二、利用“垂线段最短”解决最值问题 当问题中涉及到一点到一条直线的距离最值时，根据“垂线段最短”可知，该点到直线的垂线段长度即为最小值。若此垂线段长度需结合勾股定理计算（如已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边上的高的最小值等），可直接构造直角三角形，利用勾股定理及面积法求解。 具体步骤： 1. 明确所求距离的定点和定直线。 2. 过定点作定直线的垂线，垂足即为距离最短的点，垂线段长度为最小值。 3. 若已知条件中给出直角三角形的相关边长，可先利用勾股定理求出未知边长，再通过面积相等（两直角边乘积的一半等于斜边与斜边上高的乘积的一半）求出垂线段（高）的长度。 示例：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是边AB上的动点，求点P到AC的最短距离。因为点P在AB上，点P到AC的距离即点P到直线AC的垂线段长度，当P与B重合时，距离为BC=4；当P与A重合时，距离为0。但根据“垂线段最短”，点P到AC的最短距离是过点P作AC的垂线，垂足为D，PD的最小值为0（当P与A重合时）。若改为点P是BC边上的动点，求点P到AB的最短距离，则过点P作AB的垂线PE，PE的最小值为当P与C重合时，即斜边上的高。先由勾股定理得AB=√=5，再根据面积法，AC×BC=AB×CE（CE为斜边上的高），即3×4=5×CE，解得CE=12/5，所以点P到AB的最短距离为12/5。 【例1】如图，为等边三角形，，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则周长的最小值（   ） A．2 B． C． D．4 【变式1—1】如图中，，，为边的中点，点和点分别为边和上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 【变式1—2】综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 【题型二】勾股定理中的赵爽弦图问题 方法技巧 一、赵爽弦图的结构特征与核心关系 赵爽弦图由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成整体大正方形。设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a<b），斜边为c，小正方形边长为b-a，大正方形边长为c。核心数量关系包括： 1. 面积关系：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，即，化简后可直接推导勾股定理 2. 边长关系：大正方形边长=直角三角形斜边c，小正方形边长=较长直角边-较短直角边（b-a） 二、基础模型应用策略 已知直角三角形边长求面积 · 整体代换法：若已知a+b和ab，利用；若已知a-b和ab，利用. 已知弦图面积求边长 · 若已知大正方形面积S，则 · 若已知小正方形面积S小和直角三角形面积S△，则有，联立可得 三、动态弦图问题解题技巧 · 旋转拼接型：当直角三角形绕顶点旋转时，关注重叠部分面积变化，利用全等三角形性质证明面积关系（如重叠四边形面积为定值） · 折叠对称型：折叠后对应边相等，通过设未知数表示折叠前后线段长度，建立勾股方程求解 【例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．连接，，若，，则大正方形的边长为（    ）    A．2 B． C． D． 【变式2—1】在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为 【变式2—2】利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 【题型三】勾股定理中的新定义问题 方法技巧 一、理解新定义是前提 1. 逐字研读，提取核心要素：对于题目中给出的新定义，务必逐字逐句仔细阅读，圈点出定义中的关键词、限制条件和本质特征。例如，若定义“勾股三角形”为“三边长为连续正整数的直角三角形”，则核心要素为“连续正整数”“直角三角形”。 2. 举例验证，深化理解：在初步理解新定义后，可尝试根据定义举出具体例子，或判断一些简单的已知图形/数值是否符合该定义，通过实例来检验和加深对新定义的理解，避免因理解偏差导致后续解题错误。 二、关联勾股定理是关键 1. 明确勾股定理的核心内容：勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即）及其逆定理（若一个三角形的三边长满足，则该三角形为直角三角形）是解决此类问题的理论基础，必须熟练掌握。 2. 寻找新定义与勾股定理的连接点：分析新定义中哪些描述或条件与直角三角形、边长关系有关，将新定义的表述“翻译”成勾股定理或其逆定理所能处理的数学语言。例如，若新定义涉及“某两条线段的平方和等于第三条线段的平方”，则直接指向勾股定理的应用。 三、构建数学模型是核心 1. 设元表示，将文字转化为符号：根据新定义和题目条件，合理设出未知数（通常设线段长度为(x)等），用含未知数的代数式表示出新定义中涉及的各量，将文字描述的关系转化为方程或不等式等数学模型。 2. 依据勾股定理列方程（组）：利用新定义与勾股定理的联系，建立关于所设未知数的方程（组）。例如，若新定义的图形是某种特殊直角三角形，则根据其特殊性（如边的比例关系、角度关系等）结合勾股定理列出方程。 四、求解与验证是保障 1. 准确求解方程（组）：运用恰当的方法求解所列出的方程（组），注意计算的准确性。在求解过程中，可能会涉及到一元二次方程，要熟练掌握其解法（因式分解法、配方法、公式法）。 2. 检验结果的合理性：解出未知数的值后，务必代入原方程（组）进行检验，确保解的正确性。同时，还要结合新定义的限制条件、实际问题的背景（如线段长度不能为负、边长为正整数等）对解进行筛选，舍去不符合题意的解。 五、常见类型及应对策略 1. 新定义“勾股数”类：题目可能会给出一种新的“勾股数”定义（如广义勾股数、某类特殊勾股数）。应对策略：紧扣新定义中数的构成条件，结合勾股数的基本性质（若(a,b,c)是勾股数，则(ka,kb,kc)（(k)为正整数）也是勾股数等），通过设元、列方程进行求解和判断。 2. 新定义“图形”类：如定义“勾股四边形”（四边中存在两条边的平方和等于另外两条边平方和的四边形）、“勾股三角形”（具有某种特定性质的直角三角形）等。应对策略：画出符合新定义的图形，标注已知条件和所求量，利用勾股定理在直角三角形中的应用，通过作辅助线（如连接对角线构造直角三角形），将四边形问题转化为三角形问题来解决。 3. 新定义“运算”或“关系”类：定义一种新的关于线段长度的运算或数量关系，该关系满足勾股定理的形式。应对策略：深刻理解新运算或关系的本质，将其转化为标准的形式，再应用勾股定理解决。 【例3】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂直四边形”． (1)【概念理解】如图①，在四边形中，，，则四边形__________（填“是”或“不是”）“垂直四边形”． (2)【性质探究】如图②，四边形的对角线交于点O，．求证：． (3)【问题解决】如图③，是四边形内一点，分别连接，且，，，连接交于点； ①试证明：四边形是“垂直四边形”； ②若，，，则的长为__________．（直接写出答案） 【变式3—1】定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．如图1，在中，若，则是“类勾股三角形”． (1)等边三角形　　　（填“是”或“不是”）“类勾股三角形”． (2)如图2，在中，； ①若，，判断是不是“类勾股三角形”，并说明理由． ②若是“类勾股三角形”，，，，且，求． (3)如图3，在等边的边，上各取一点、，且，，相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且． ①求证：． ②连接，若，，求等边的边长． 【变式3—2】定义：如果一个三角形一边的平方与另一边上高的平方之和等于第三边的平方，则称这个三角形为“牵手三角形”，这条边与第三边的交点称为“牵手顶点”．例如图1，在中，是边上的高，若，则为“牵手三角形”，点为“牵手顶点”． (1)等边三角形______“牵手三角形”（填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”，，是边上的高．在不添加其他线段和字母的情况下，找出图中一组相等的线段，并说明理由； (3)运用（2）中的结论解决下列问题： ①已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”且是边上的高．若，则的长是______； ②如图3，为“牵手三角形”，其中为“牵手顶点”，是边上的高，，若．求证：为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03勾股定理 （3知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】勾股定理的探究 1. 勾股定理的探索过程 o 情境引入：通过测量直角三角形（如等腰直角三角形、一般直角三角形）的三条边长，观察边长平方之间的关系，发现规律：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 o 特例验证：  等腰直角三角形：设直角边为 (a)，斜边为 (c)，则（如直角边为1的等腰直角三角形，斜边为，满足）。  一般直角三角形：通过网格图中以直角边和斜边为边长的正方形面积关系验证（例如直角边为3、4的直角三角形，两个小正方形面积和为，等于斜边为5的正方形面积）。 2. 勾股定理的内容 o 文字表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 o 符号表示：在 中，，直角边为 (a)、(b)，斜边为 (c)，则。 3. 勾股定理的证明（面积法） o 赵爽弦图：以直角三角形的斜边为边长作大正方形，内部用四个全等的直角三角形和一个小正方形填充，通过大正方形面积等于四个直角三角形面积与小正方形面积之和，推导出。 o 美国总统伽菲尔德的证明：将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和，化简后得到。 【清单02】勾股定理的逆定理 1. 逆定理的内容 o 文字表述：如果一个三角形的三边长 (a)、(b)、(c) 满足，那么这个三角形是直角三角形，且边长为 (c) 的边所对的角是直角。 o 作用：判断一个三角形是否为直角三角形。 2. 逆定理的证明 o 构造法：已知 的三边长 (a)、(b)、(c) 满足，构造一个直角三角形 (A'B'C')，使直角边为 (a)、(b)，斜边为 (c')，根据勾股定理得，则 ，通过“SSS”全等判定可得，从而是直角三角形。 3. 勾股数 o 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 o 常见勾股数：  基本勾股数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）等；  勾股数的倍数：若（(a)，(b)，(c)）是勾股数，则（(ka)，(kb)，(kc)）（(k) 为正整数）也是勾股数（如（6，8，10）是（3，4，5）的2倍）。 4. 判断直角三角形的步骤 o （1）确定三角形三边长中的最大边（设为 (c)）； o （2）验证 是否等于：若相等，则为直角三角形；否则，不是直角三角形。 【清单03】 勾股定理的简单应用 1. 已知直角三角形两边求第三边 o 直接应用公式：  已知直角边 (a)、(b)，求斜边：；  已知斜边 (c) 和直角边 (a)，求另一直角边：（或）。 o 注意：结果若为无理数，可保留根号或根据要求取近似值。 2. 解决实际问题 o 最短路径问题：  平面上：两点之间线段最短，结合勾股定理计算折线路径长度（如长方形中沿表面爬行的最短路径，需将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形求解）。  立体图形（如圆柱、长方体）：将侧面展开为平面，转化为平面上的直角三角形问题（例如圆柱侧面蚂蚁爬行路径，展开后圆柱底面周长的一半与高为直角边，母线长为斜边）。 o 高度与距离问题：  梯子靠墙问题：梯子长度为斜边，梯子底部到墙的距离和梯子顶端到地面的距离为直角边（如梯子斜靠墙面，下滑后梯子长度不变，利用勾股定理列方程求解高度变化）。  航海问题：两船分别沿垂直方向航行，一段时间后相距距离可通过勾股定理计算（如甲船沿正东方向航行，乙船沿正北方向航行，出发后两船的距离为直角三角形斜边）。 o 判断物体是否为直角三角形结构：例如检测三角形零件、门框是否为直角，通过测量三边长并验证是否满足勾股定理的逆定理。 3. 方程思想的应用 o 在直角三角形中，若已知一边及另两边的数量关系（如比例关系、差或和），可设未知数，利用勾股定理列方程求解（例如直角三角形中，一条直角边比另一条直角边大2，斜边为10，设较短直角边为 (x)，则，解方程得边长）。 4. 分类讨论思想 o 已知三角形两边长，求第三边时，需考虑该边是直角边还是斜边（如已知三角形两边为3和4，第三边可能为5（斜边）或（直角边））。 【题型一】已知两边求第三边 【例1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的基本应用，熟练掌握勾股定理是解题关键，根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，直接计算即可． 【详解】解：∵ 两直角边长分别为1和2， ∴ 第三边（斜边）长． 故选：C． 【变式1-1】底边长为，底边上的高为的等腰三角形的腰长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的高也是等腰三角形的中线是解题的关键．根据等腰三角形底边上的高也是中线，将底边平分，形成两个全等的直角三角形，应用勾股定理即可计算腰长． 【详解】解：等腰三角形底边上的高也是中线， 底边的一半为， 又高为， 腰长． 故选：C． 【变式1-2】一个直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上中线长为 ． 【答案】6.5或6 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质．先利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：当长为5和12的边长为两条直角边时，斜边长为：， 则斜边上的中线长为：． 当边长为12的边为斜边时， 则斜边上的中线的长为：； 故答案为：6.5或6． 【题型二】利用勾股定理判断三角形形状 【例2】若的三边、、满足，则形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、等腰三角形的判定、勾股定理逆定理的应用，解题的关键是通过代数变形得到边的关系． 通过因式分解将方程化为，结合三角形边长为正，得出或者，从而判断形状． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或者， ∴为等腰三角形或直角三角形 故选：D． 【变式2-1】在中，已知的三个内角之比为，则这个三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和三角形的分类的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 利用三角形内角和为，根据角之比设未知数，求出各角度数，从而判断三角形形状，然后即可求解． 【详解】解：∵的三个内角之比为， 设三个角分别为、、， ∴， 即， ∴， ∴三个角分别为、、， ∴是直角三角形， 故选：C． 【变式2-2】已知a，b，c为三角形的三边且满足，则三角形的形状为 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了配方法的应用及勾股定理的逆定理，由配方法得，结合勾股定理的逆定理，即可求解；掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ，，， ，，， ， ， 为直角三角形． 【题型三】勾股定理与方程思想结合 【例3】如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】如图，在中，，为上任意一点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，平方差公式；过点A作于点D，由勾股定理得，，运用平方差公式得，即，再由可得出结论. 【详解】解：过点A作于点D，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴D是中点， ∴，， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式3-2】如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解． (1)连接，根据线段垂直平分线的性质可知，根据可得，根据勾股定理的逆定理可以判断结论成立； (2)设，可得，根据，可得：，，根据勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即可得到的值． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； （2）解：，， 设，则， ， ， 在中，， 即， (负值舍去)， ． 【题型四】利用勾股定理解决折叠问题 【例4】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 【变式4-1】如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，在中， ，，，得，由勾股定理得，然后求出，再分当时，当时两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中， ，，， ∴， 由勾股定理得： ， ∵点为的中点， ∴， 由折叠性质得，，， ∴当为直角三角形时，有以下两种情况： 当时，如图所示， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于点，如图所示， 同上理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 【变式4-2】如图，在中，，，，点在边上运动，沿着折叠得到．若线段与边相交，则记交点为． (1)若，求的长度； (2)如图，当，求的长度； (3)如图，在点的运动过程中，当时，连接，直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)； (3)的长为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据勾股定理得，然后利用等面积法即可求解； （）过作于点，同（）理得，由折叠性质可知，，，所以，求得，故有，然后通过勾股定理即可求解； （）分如图，当与重合时，如图，当在下方时，然后通过全等三角形的判定与性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于点， 同（）理得， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当与重合时， ∴， ∴； 如图，当在下方时， 过作于点，作于点， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 综上可得：的长为或． 【题型五】勾股定理与最短路径问题 【例5】如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点C是的中点．现有一只蚂蚁从点C爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ） A．2 B．13 C．17 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题． 画出展开图，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵圆柱底面周长为20，高为12， ∴，， 根据勾股定理可得． 故选：B． 【变式5-1】中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【答案】5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 【变式5-2】综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【题型六】勾股定理中的实际应用 【例6】年月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地点出发．我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船分别到达点和点，且相距海里．请通过计算说明该橡皮艇的航行方向． 【答案】北偏西 【分析】本题考查了解决航海问题(勾股定理的应用)， 与方向角有关的计算题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求出两船行走的路程，利用勾股定理的逆定理说明与上午8时两船与P点三个位置成直角三角形，以此求得该橡皮艇的航行方向． 【详解】解：∵上午6时出发，到上午8时，我国海警舰艇以每小时海里的速度，橡皮艇以每小时海里的速度， ∴我国海警舰艇行走的路程为海里， 橡皮艇行走的路程为海里， ∴， ∵上午8时两船分别到达点和点，且相距海里， ∴上午8时我国海警舰艇、橡皮艇与P，三个位置成直角三角形， ∴， ∵我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行， ， ∴该橡皮艇的航行方向为北偏西方向． 【变式6-1】如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 【变式6-2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）画出圆柱侧面展开图，求出，，根据勾股定理即可求出； （2）由题意得，米，求出米，根据勾股定理求出米， 米．问题得解． 【详解】（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接． ∵圆柱的底面半径为， ∴， ∵点为中点， ∴． 在中，． 故答案为： （2）解：如图， 由题意得， 在中，米， 当风筝沿方向再上升4米时，米， 在中，米， 米． 故答案为：2 【题型七】勾股定理与等腰三角形分类讨论 【例7】如图，在矩形中，，点是边上一动点． (1)如图1，连结，将沿对折得到，使点落在矩形内部，若，求的长； (2)如图2，点是边上一点，连结、，将沿对折得到，将沿对折得到，使得点在直线上，当点恰好落在边上时，求的长； (3)如图3，过点作，垂足为点，连结，若为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)或6． (3)当的长度是或6或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查矩形的性质、折叠变换、特殊角的三角函数值、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质． (1)根据折叠性质及对应的三角函数值求的长； (2)由题意证明，在中，利用勾股定理建立方程求得的值； (3)由勾股定理求得的长，根据相似三角形的性质用含的代数式表示线段的长，分类讨论∶ ①当时，②当时， ③当时，分别列方程求得的长度即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， 又∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得． （2）由折叠的性质得，． ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理： ， 即， 解得． 经检验，都符合题意． ∴或6． （3）设，则， 由勾股定理得： ． ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 当点P在上运动时： ①当时，， 解得． ②当时，． ∵， ∴， ∴， ∴． 代入得， 解得． ③当时，过点B作，垂足为F，如图 则． 由勾股定理得： ． ∵， ∴，即， 解得． 综上所述，当的长度是或6或时，为等腰三角形． 【变式7-1】如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当的面积是时，求的值； (3)当点在的角平分线上时，求的值； (4)当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或； 【分析】本题考查了列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （）根据题意列代数式可求得答案； （）分当在线段上时，当在线段延长线上时两种情况分析即可； （）过作于点，则，根据角平分线的性质得，证明，则有，所以，设，则，然后通过勾股定理得，再求出的值即可； （）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：当在线段上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 当在线段延长线上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 综上可得：当的面积是时，的值为或； （3）解：如图，过作于点，则， ∵点在的角平分线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴的值为； （4）解：如图， 当时， ∴，解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上可得：的值为或． 【变式7-2】如图，在中，，，．有一动点从点开始以的速度沿的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当 时，点回到点； (2)当点在上，且时，求此时的值； (3)当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理的应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （）先由勾股定理求出的长度，进而求出周长即可 得解； （）由题知，，然后在中利用勾股定理建立方程求解即可； （）分点在上、点在上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴当点回到点时（秒）， 故答案为：； （2）解：如图， ∵点在上，且， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； （3）解：如图，当在上时，此时， ∴， 当在上时， 如图，， 此时， ∴， ∴， 如图，， 过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：当为等腰三角形时，满足条件的的值为或或或． 【题型八】勾股定理证明线段关系 【例8】如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据是等腰直角三角形，＝，根据勾股定理，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，， ∴， ∴ 故答案为：． （2）和都是等腰直角三角形，，， ，，， ， 连接，如图所示： 在和中，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作于，如图所示： ，，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ． 【变式8-1】（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】本题是勾股定理证明平方关系． （1）①由勾股定理可得，，再结合，即可得出结论； ②过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （2）过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （3）以、为边作长方形，连接、，则，由探究得：，求出，当、、三点共线时，最小，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ； （3）如图，以、为边作长方形，连接、， 由（1）中规律可得， 由（2）得：， ∵，，， ∴， 解得：， 当、、三点共线时，最小， ∴的最小值的最小值， 故答案为：． 【变式8-2】（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    【答案】（1）①60°；②；（2）；（3）的度数是或 【分析】（1）①由条件易证，从而得到：．由点，，在同一直线上和等边三角形性质可求出，从而可以求出的度数． ②由①得，即可得出． （2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形可求，从而由勾股定理得出结论． （3）分两种情况求解，由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知∠． 【详解】解：（1）①如图，    和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ∴． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为． ②≌， ． 故答案为． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，，， ∴． （3）如图，由（1）知，    ， ， ， 如图，同理求得    ∴， ， 的度数是或 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出是解本题的关键． 【题型九】勾股定理与网格问题 【例9】综合探究：“在中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的边长分别为（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式（）的最小值． 【答案】(1)3.5 (2) (3)45 【分析】本题主要考查“勾股定理”，理解题意中的构图法，并运用构图法构造问题中所求式子对应的三角形是解题关键． （1）通过作差法，用大正方形的面积减去三个小三角形的面积即可； （2）根据根号下式子的特征，确定横、纵格子的个数，来确定顶点的位置，画出对应的三角形，再通过作差法求面积即可； （3）构造两个直角三角形，使斜边长等于式子中每个根式的值，再通过将军饮马求最值的方法求解出线段和的最值，即可求出该式子的最值． 【详解】（1）由图，得， 故答案为：3.5． （2）如图，根据题意构造， ∴． （3）如图，构造图形如下，则线段，线段， 作点M关于直线的对称点，连接，则为的最小值，即的长为代数式的最小值， ∴， ∴的最小值为45． 【变式9-1】“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． (1)如图1，AB的长度为________，中AB边上的高的长度为________． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)17 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，三角形的三边关系，利用数形结合的思想，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，设中边上的高的长度为，再根据即可求出的长； （2）依据题意构造，由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接，设，结合勾股定理得到，再结合两点间线段最短求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设边上的高的长度为， ， 又∵， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 构造，如图所示： 由勾股定理，得， 在中，， ； （3）解：， 如图，在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接， 设，则， 由勾股定理得：，， ， ，， 的最小值为17． 【变式9-2】在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________． （2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， ②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________． 【答案】（1）①见解析；②2，；（2）①，；②；③ 【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论； ②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； ③把看成点到两点和的距离之差，当点和重合时，可得最大值，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②， ， 的面积， 设点到边的距离， 的面积， 点到边的距离， 故答案为：2，； （2）①轴，轴，， ，， 故答案为：，； ②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点． ∵， ∴， ， ， 即的最小值为， 故答案为：； ③把式看成点到两点和的距离之差，即， 点在直线上，且在点右边时，，有最大值， 最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称最短路径问题，勾股定理的逆定理． 【题型一】忽视勾股定理的适用条件 【例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 【变式1-1】下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 【变式1-2】阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ． 【答案】 锐角 或 【分析】（1）先确定最长边，计算最长边的平方与另外两边平方和的大小，根据材料中的规则判断三角形形状； （2）分 “是最长边” 和 “ 是最长边” 两种情况，利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：（1）由， 可知， ∴该三角形是锐角三角形； 故答案为：锐角； （2）∵三边长分别为，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查三角形形状的判断（勾股定理的拓展），涉及的知识点是勾股定理、三角形三边关系．解题中用到的方法是分类讨论法（第二问需考虑最长边的不同情况）．解题关键是准确确定最长边，避免漏解（第二问易忽略 “ 是最长边” 的情况）．易错点是第二问漏算其中一种情况，导致答案不完整． 【题型二】非直角三角形中误用勾股定理 【例2】如图，在中，，， ， ，则长（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”和角对的直角边是斜边的一半推导线段长度． 过作，由得；结合的“三线合一”性质得，进而计算出的长度． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2-1】如图，在中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点E作，证明出，得到，，，，然后证明出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】已知：如图，在中，，点是高上一点，．若，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识．根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，则，设则，由勾股定理得到，由得到，得到，在中，，得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 设则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【题型三】勾股定理逆定理应用中的逻辑错误 【例3】如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 【变式3-1】如图，，分别是和中垂线，分别交于点F，D．若，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理逆定理． 连接，，由线段垂直平分线的性质推出，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出面积． 【详解】解：连接，， ∵，分别是和中垂线， ∴， ， ， ， ∴， ∵， ． 故答案为：24． 【变式3-2】在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AB的长． 【答案】(1)为从村庄A到河边最近的路，见解析 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是从村庄A到河边最近的路，理由如下：     ∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴，即， ∴为从村庄A到河边最近的路； （2）解：设千米， ∵， ∴千米， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴的长为千米． 【题型一】勾股定理中的最值问题 方法技巧 一、利用“两点之间线段最短”解决最值问题 在平面几何中，当涉及到求两点之间距离的最小值时，“两点之间线段最短”是最基本的原理。若这两点之间的路径需要经过某条直线（如坐标轴、某条已知直线等），可通过作对称点的方法，将折线转化为直线，再利用勾股定理计算最短距离。 具体步骤： 1. 确定待求最短距离的两个定点及所经过的直线（对称轴）。 2. 作出其中一个定点关于对称轴的对称点。 3. 连接对称点与另一个定点，所得线段与对称轴的交点即为路径最短时的中间点。 4. 此时，对称点与另一个定点之间的线段长度即为最短路径长度，该长度可通过勾股定理，结合坐标系中两点的坐标差（或几何图形中的边长关系）计算得出。 示例：在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(4,6)，在x轴上找一点P，使PA+PB最小。首先作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴交于点P，此时PA+PB=PA'+PB=A'B。根据勾股定理，A'B的长度为√[(4-1)²+(6-(-2))²]=√(9+64)=√73，即PA+PB的最小值为√73。 二、利用“垂线段最短”解决最值问题 当问题中涉及到一点到一条直线的距离最值时，根据“垂线段最短”可知，该点到直线的垂线段长度即为最小值。若此垂线段长度需结合勾股定理计算（如已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边上的高的最小值等），可直接构造直角三角形，利用勾股定理及面积法求解。 具体步骤： 1. 明确所求距离的定点和定直线。 2. 过定点作定直线的垂线，垂足即为距离最短的点，垂线段长度为最小值。 3. 若已知条件中给出直角三角形的相关边长，可先利用勾股定理求出未知边长，再通过面积相等（两直角边乘积的一半等于斜边与斜边上高的乘积的一半）求出垂线段（高）的长度。 示例：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是边AB上的动点，求点P到AC的最短距离。因为点P在AB上，点P到AC的距离即点P到直线AC的垂线段长度，当P与B重合时，距离为BC=4；当P与A重合时，距离为0。但根据“垂线段最短”，点P到AC的最短距离是过点P作AC的垂线，垂足为D，PD的最小值为0（当P与A重合时）。若改为点P是BC边上的动点，求点P到AB的最短距离，则过点P作AB的垂线PE，PE的最小值为当P与C重合时，即斜边上的高。先由勾股定理得AB=√=5，再根据面积法，AC×BC=AB×CE（CE为斜边上的高），即3×4=5×CE，解得CE=12/5，所以点P到AB的最短距离为12/5。 【例1】如图，为等边三角形，，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则周长的最小值（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】提示：如图，连接． ，是等边三角形， ，，， ， ， ， 平分， ，，， ， 点在射线上运动，且． 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，即有， ． 当三点共线时，有最小值， 此时的值最小，最小为， 即周长有最小值，最小值为． 根据对称性可知， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， 周长的最小值为， 故选：B． 【变式1—1】如图中，，，为边的中点，点和点分别为边和上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点C作于点G，过点D作于点H，连接，，，，，，证明，得出，证明，得出，根据两点之间线段最短，得出当F、H、B三点共线时，最小，即最小，且最小值为，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点C作于点G，过点D作于点H，连接，，，，，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当F、H、B三点共线时，最小，即最小，且最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式1—2】综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 【答案】（1）；；；（2）200米；（3）41 【分析】（1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【题型二】勾股定理中的赵爽弦图问题 方法技巧 一、赵爽弦图的结构特征与核心关系 赵爽弦图由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成整体大正方形。设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a<b），斜边为c，小正方形边长为b-a，大正方形边长为c。核心数量关系包括： 1. 面积关系：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，即，化简后可直接推导勾股定理 2. 边长关系：大正方形边长=直角三角形斜边c，小正方形边长=较长直角边-较短直角边（b-a） 二、基础模型应用策略 已知直角三角形边长求面积  整体代换法：若已知a+b和ab，利用；若已知a-b和ab，利用. 已知弦图面积求边长  若已知大正方形面积S，则  若已知小正方形面积S小和直角三角形面积S△，则有，联立可得 三、动态弦图问题解题技巧  旋转拼接型：当直角三角形绕顶点旋转时，关注重叠部分面积变化，利用全等三角形性质证明面积关系（如重叠四边形面积为定值）  折叠对称型：折叠后对应边相等，通过设未知数表示折叠前后线段长度，建立勾股方程求解 【例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．连接，，若，，则大正方形的边长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题以“赵爽弦图”为背景考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据题意及全等三角形的判定得出，确定，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2—1】在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理，注意隐含的已知条件来解答此类题．根据题意得到，进而求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：风车的外围周长（虚线部分）为76， ． ， ，． 在中，． 故答案为：5． 【变式2—2】利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）以直角斜边长c为中间留白部分正方形的边长构造即可； （3）根据图形结合完全平方公式证明即可； （4）利用勾股定理和完全平方公式说明即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）解：画图为 （3）证明：大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以整理得． （4）解：由（3）可知， 因为， 所以，， 利用完全平方公式，可得 所以直角三角形的面积为． 【题型三】勾股定理中的新定义问题 方法技巧 一、理解新定义是前提 1. 逐字研读，提取核心要素：对于题目中给出的新定义，务必逐字逐句仔细阅读，圈点出定义中的关键词、限制条件和本质特征。例如，若定义“勾股三角形”为“三边长为连续正整数的直角三角形”，则核心要素为“连续正整数”“直角三角形”。 2. 举例验证，深化理解：在初步理解新定义后，可尝试根据定义举出具体例子，或判断一些简单的已知图形/数值是否符合该定义，通过实例来检验和加深对新定义的理解，避免因理解偏差导致后续解题错误。 二、关联勾股定理是关键 1. 明确勾股定理的核心内容：勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即）及其逆定理（若一个三角形的三边长满足，则该三角形为直角三角形）是解决此类问题的理论基础，必须熟练掌握。 2. 寻找新定义与勾股定理的连接点：分析新定义中哪些描述或条件与直角三角形、边长关系有关，将新定义的表述“翻译”成勾股定理或其逆定理所能处理的数学语言。例如，若新定义涉及“某两条线段的平方和等于第三条线段的平方”，则直接指向勾股定理的应用。 三、构建数学模型是核心 1. 设元表示，将文字转化为符号：根据新定义和题目条件，合理设出未知数（通常设线段长度为(x)等），用含未知数的代数式表示出新定义中涉及的各量，将文字描述的关系转化为方程或不等式等数学模型。 2. 依据勾股定理列方程（组）：利用新定义与勾股定理的联系，建立关于所设未知数的方程（组）。例如，若新定义的图形是某种特殊直角三角形，则根据其特殊性（如边的比例关系、角度关系等）结合勾股定理列出方程。 四、求解与验证是保障 1. 准确求解方程（组）：运用恰当的方法求解所列出的方程（组），注意计算的准确性。在求解过程中，可能会涉及到一元二次方程，要熟练掌握其解法（因式分解法、配方法、公式法）。 2. 检验结果的合理性：解出未知数的值后，务必代入原方程（组）进行检验，确保解的正确性。同时，还要结合新定义的限制条件、实际问题的背景（如线段长度不能为负、边长为正整数等）对解进行筛选，舍去不符合题意的解。 五、常见类型及应对策略 1. 新定义“勾股数”类：题目可能会给出一种新的“勾股数”定义（如广义勾股数、某类特殊勾股数）。应对策略：紧扣新定义中数的构成条件，结合勾股数的基本性质（若(a,b,c)是勾股数，则(ka,kb,kc)（(k)为正整数）也是勾股数等），通过设元、列方程进行求解和判断。 2. 新定义“图形”类：如定义“勾股四边形”（四边中存在两条边的平方和等于另外两条边平方和的四边形）、“勾股三角形”（具有某种特定性质的直角三角形）等。应对策略：画出符合新定义的图形，标注已知条件和所求量，利用勾股定理在直角三角形中的应用，通过作辅助线（如连接对角线构造直角三角形），将四边形问题转化为三角形问题来解决。 3. 新定义“运算”或“关系”类：定义一种新的关于线段长度的运算或数量关系，该关系满足勾股定理的形式。应对策略：深刻理解新运算或关系的本质，将其转化为标准的形式，再应用勾股定理解决。 【例3】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂直四边形”． (1)【概念理解】如图①，在四边形中，，，则四边形__________（填“是”或“不是”）“垂直四边形”． (2)【性质探究】如图②，四边形的对角线交于点O，．求证：． (3)【问题解决】如图③，是四边形内一点，分别连接，且，，，连接交于点； ①试证明：四边形是“垂直四边形”； ②若，，，则的长为__________．（直接写出答案） 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂直四边形”的定义证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）①先证明，得到，可证，即，从而四边形是垂直四边形， ②根据垂直四边形的性质、勾股定理、结合①的结论计算即可． 【详解】（1）解：是， 证明：连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂直四边形； （2）证明：∵， ∴， 由勾股定理得，，， ∴； （3）①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ 即， ∴四边形是垂直四边形； ②由①得，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式3—1】定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．如图1，在中，若，则是“类勾股三角形”． (1)等边三角形　　　（填“是”或“不是”）“类勾股三角形”． (2)如图2，在中，； ①若，，判断是不是“类勾股三角形”，并说明理由． ②若是“类勾股三角形”，，，，且，求． (3)如图3，在等边的边，上各取一点、，且，，相交于点，是的高，若是“类勾股三角形”，且． ①求证：． ②连接，若，，求等边的边长． 【答案】(1)是 (2)①是，证明见解析；② (3)①证明见解析；②等边的边长为． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，“类勾股三角形”的定义判断； （2）①求解，，结合，可得结论； ②根据勾股定理得到，分三种情况，根据“类勾股三角形”的定义解答； （3）①根据“类勾股三角形”的定义得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②证明，得到，结合，，可得，，，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当为等边三角形时， ， ∴， ∴等边三角形一定是“类勾股三角形” 故答案为：是 （2）解：①在中，；，， ∴，， ∴， ∴是“类勾股三角形”． ②∵在中，，，，，且， ∴， ∵是“类勾股三角形”， ∴当时，则（舍去）， 当时，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴（不符合题意，舍去） 当时，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：是“类勾股三角形”，，，，且，． （3）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的高，是“类勾股三角形”， ， ∴由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． ∴等边的边长为． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理的含义，含30度角的直角三角形的性质，“类勾股三角形”的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式3—2】定义：如果一个三角形一边的平方与另一边上高的平方之和等于第三边的平方，则称这个三角形为“牵手三角形”，这条边与第三边的交点称为“牵手顶点”．例如图1，在中，是边上的高，若，则为“牵手三角形”，点为“牵手顶点”． (1)等边三角形______“牵手三角形”（填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”，，是边上的高．在不添加其他线段和字母的情况下，找出图中一组相等的线段，并说明理由； (3)运用（2）中的结论解决下列问题： ①已知为“牵手三角形”，其中点为“牵手顶点”且是边上的高．若，则的长是______； ②如图3，为“牵手三角形”，其中为“牵手顶点”，是边上的高，，若．求证：为等腰三角形． 【答案】(1)不是 (2)，理由见解析 (3)①8；②见解析 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的性质： （1）直接根据“牵手三角形”的定义，即可求解； （2）根据“牵手三角形”的定义，可得，在中，再由勾股定理可得，即可解答； （3）①由（2）得：，在中，再由勾股定理可得，即可求解；②证明，可得，，从而得到，再由，可得，延长交于点F，证明，可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵等边三角形的三边相等， ∴等边三角形一边的平方与另一边上高的平方之和大于第三边的平方， ∴等边三角形不是“牵手三角形”； 故答案为：不是 （2）解：，理由如下： ∵为“牵手三角形”，是边上的高， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：①如图， 由（2）得：， 在中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8 ②证明：由（2）得：， ∵， ∴和、均为直角三角形， 在和中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 如图，延长交于点F， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公2 / 64 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $