4.3 用一元一次方程解决问题（讲义）数学新教材苏科版七年级上册

第三章 一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题 1.理解用一元一次方程解决实际问题的基本思路，掌握建模思想，能识别各类应用题的等量关系。 2.掌握列一元一次方程解应用题的完整步骤:审、设、列、解、验、答。 3.会分析配套、工程、行程、利润、数字等常见题型中的数量关系，准确设未知数、列出方程。 4.会检验结果是否符合实际意义，区分数学解和实际问题的合理解，体会方程模型的价值。 课标要点 1.能从实际情境中提取信息，分析数量之间的相等关系，建立一元一次方程模型。 2.掌握列方程解应用题的一般流程，规范书写解题格式。 3.会解决配套、工程、行程、销售利润、数字等典型实际问题。 4.能对方程的解进行检验，判断解是否符合现实意义，舍去不合理解。 学习重难点 重点： 1.列一元一次方程解应用题的基本步骤。 2.找准等量关系，根据等量关系列出一元一次方程。 3.利润、行程、工程、配套等基础题型的解题模板。 难点： 1.复杂情境中寻找隐藏的等量关系 2.行程问题(相遇、追及)、利润折扣问题中的数量辨析。 3.检验解是否符合实际，正确取舍结果。 v 知识点 列一元一次方程解应用题的步骤 审:审题，分清已知量、未知量，找出等量关系 设:设未知数(直接设/间接设)，带上单位列:根据等量关系列出一元一次方程 解:解方程，求出未知数的值 验:双重检验:①是否是方程的解;②是否符合实际意义答:写出完整答案，带单位 特别提醒 列一元一次方程解应用题遵循审、设、列、解、验、答六步；检验包含两层，既要检验数值是否为方程的解，还要检验结果是否符合现实意义 易错提醒 误区 1：设未知数或者写答案时，忘记带上单位，解题过程单位不统一； 误区 2：只检验是不是方程的解，忽略检验结果是否符合实际，人数、物品数量出现小数、负数不舍去； 误区 3：翻译等量关系出错，配套比例写反、相遇追及混淆路程和与路程差； 误区 4：利润率理解错误，误以标价作为计算基准，利润率的基准是进价。 教材延伸 找准等量关系是列方程的核心；直接设元不好列式时，可以选用间接设未知数的方法简化列式。 知识点 常用的等量关系 行程问题:路程 =速度x时间 相遇:路程和=总路程;追及:路程差=相距路程 工程问题:工作总量=工作效率x工作时间-般把总工程看作 1;合作效率 =各效率之和 利润问题:. 利润 =售价-进价;利润率=利润:进价;售价=标价x折扣 配套问题:配套物品数量满足固定比例. 数字问题:两位数ab=10a+b 随学随练 1．（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）某工厂生产一批机器零件，现在生产每个零件所用的时间由更新设备前的9分减少到4分．原来生产80个零件所用的时间，现在能生产多少个零件？ 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 4．（25-26七年级上·广东河源·期末）某商场花费元购进甲、乙两种服装共件，进价和售价如下表所示： 种类 进价/(元/件) 售价/(元/件) 甲 乙 (1)商场购进甲、乙两种服装各多少件？ (2)将这些服装全部售完，可获利多少元？ 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 拓展·未知数的选取技巧 核心思路：优先直接设所求量；直接设不好列式时，选用间接设元；设元时统一单位。 活学活用 1．（25-26七年级上·福建漳州·期末）学校筹备“数学文化节”，七年级（）班负责布置《九章算术》展区．在为各小组分配彩色卡纸时发现：如果每组分张，会多出张；如果每组分张，则还缺张．请通过列一元一次方程解决：全班有多少个小组？共有多少张卡纸？ 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）在水流速度3千米/小时的条件下，一艘船从甲港口出发顺流而下到乙港口需要小时，当它从乙港口返回甲港口则需要小时． (1)当在平静的湖水中航行时，这艘船的平均速度是多少？ (2)求甲乙两港口之间的路程？ 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）两支一样高的蜡烛，同时点燃后，第一支蜡烛每小时缩短，第二支蜡烛每小时缩短．后，第二支蜡烛的高度是第一支蜡烛的2倍，求这两支蜡烛原来的高度． 4．（25-26七年级上·山东临沂·期末）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少竿竹竿？ 拓展 结果的实际检验 核心思路：解出来的值要满足现实约束，人数、零件数必须是正整数，时间、速度为正数，不符合的解直接舍去 活学活用 5．（25-26七年级上·福建福州·期末）我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 10 10 40 (1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分； (2)参赛者E得64分，他答对了__________道题； (3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 6．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）一超市会把临近保质期的食品特价销售，某款鸡蛋一盒有30个，每盒原价24.9元，特价每盒只要19.9元，但是还有16天就要过期了．一餐厅购买了几盒该款特价鸡蛋，发现比平时按原价购买少花了40元．过期鸡蛋必须销毁，不考虑其他因素，对于这次购买的特价鸡蛋，该餐厅每天至少正常消耗多少个才能比按原价购买便宜？ 题型 配套问题 解题贴士 1.找到配套比例(如 1 个螺栓配 2 个螺母) 2.利用比例写等量关系:A 数量:B 数量= 配套比 3.设生产其中一种零件的人数为未知数，表示出两种零件产量 4.解方程后检验数量为正整数 ▌例1 （26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． (1)1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ (2)该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ ▌对点练1-1．（22-23七年级上·河南开封·阶段检测）某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ ▌对点练1-2（25-26七年级下·山西临汾·期末）某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ ▌对点练1-3 （25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 题型 工程问题(单人、合作) 解题贴士 1.无总量时，把总工作量记作 1 2.工作效率 =1:单独完成时间 3.合作工作量=各个人工作量相加 4.等量关系:已完成工作量之和 =总工作量 ▌例2（25-26七年级上·河南信阳·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． (1)如何安排生产可使每天生产的产品配套？ (2)该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ ▌对点练2-1（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ ▌对点练2-2（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ ▌对点练2-3（25-26七年级上·全国·期末）满池水的游泳池需要换水，单独打开甲管小时可将全池水排完，单独打开乙管小时可将全池水排完，若两管同时打开小时后，关闭甲管让乙管排水小时，再打开甲管同时关闭乙管，几小时后可将余下水放完？ 题型 行程问题(相遇、追及) 解题贴士 1.分清类型:相向相遇、同向追及 2.相遇:两者路程相加 =初始距离 3.追及:快的路程 -慢的路程=初始距离 4.单位统一，速度、时间单位保持一致 ▌例3（25-26七年级上·北京东城·阶段检测）已知，点A、B在数轴上对应的数分别是a、b； (1)求 、 ； (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点P与点B的距离是3个单位长度； (3)在（2）的条件下，动点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发向数轴负方向运动，求几秒后点P与点Q的距离等于3个单位长度． ▌对点练3-1（26-27七年级上·全国·课后作业）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道共需要的时间，在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照到火车上的时间是，求这列火车行驶的平均速度． ▌对点练3-2（26-27七年级上·天津·开学考试）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ ▌对点练3-3（26-27七年级上·全国·开学考试）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 题型 ·销售利润、折扣问题 解题贴士 1.分清概念:进价、标价、售价、折扣、利润、利润率 2.牢记公式:利润=售价-进价;售价 =标价 x折扣 3.利润率是以进价为基准，不是标价 4.注意“打几折”就是原价的十分之几 ▌例4（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ ▌对点练4-1（25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ ▌对点练4-2（25-26七年级下·河南南阳·期末）某企业生产一种产品，每件的成本为400元，销售价为510元，第一季度销售了件．为了进一步扩大市场，该企业决定在降低生产成本的同时降低销售价．经过市场调研，预测第二季度这种产品每件销售价降低，销售量将提高． (1)填空：第二季度这种产品每件销售价为 元，销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)在保持总销售利润（总销售利润（销售价成本）销售量）不变的情况下，该产品每件的成本应降低多少元？ ▌对点练4-5（26-27七年级·全国·小升初衔接）一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 题型 -数字问题 解题贴士 1.两位数、三位数要用数位权重表示 2.十位数字为a，个位b，两位数:10a+b 3.新数、原数的关系作为等量关系 4.数位上数字范围:0~9，首位不能为 0 ▌例5（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）【探究发现】 “河图洛书”是中国优秀传统文化的瑰宝，可转化为如图1所示的“三阶幻方”，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”． 【尝试运用】 (1)在图2所示的“三阶幻方”中，的值为_____； (2)如果将9个连续的正整数填入一个“三阶幻方”，使得“幻方和”是2025，那么这9个数中最小的数是______； (3)如图3，现将“幻方”稍作改进变成“幻圆”，将，4，，8，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． ▌对点练5-1（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）观察下面的一列数：… (1)写出第7个数______，第8个数________； (2)写出第n个数_________（用含n的代数式表示，n为正整数）； (3)拓展：取相邻的三个数，若这三个数的和为，求这三个数． ▌对点练5-2（25-26七年级上·江苏·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． ▌对点练5-3（25-26七年级上·河南郑州·期末）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的洛书，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：研究发现三阶幻方中间的数字与9个数的和有确定的数量关系．如果设数字连续性三阶幻方中间的数字是，则幻方中9个数字之和是_________（用含的字母代数式表示） (2)应用：请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； (3)拓展：数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2030吗？并说明理由． 题型 和差倍分问题 解题贴士 1.抓住关键词:一共、比…. 多、比... 少、几倍 2.梳理两个量之间加减、倍数关系 3.适合直接设未知数，等量关系直白 ▌例6（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题： (1)一种小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，需多少千克的小麦？ (2)某学校七年级一班有44人报名参加了文学社或书画社．已知参加书画社的人数比参加文学社的人数多4人，两个社都参加的有16人．问：参加书画社的有多少人？ ▌对点练6-1（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）少先队员去植树，如果每人种棵，还有棵没人种；如果其中人各种棵，其余的人各种棵，这些树正好种完，有多少个少先队员参加植树？一共种多少棵树？ ▌对点练6-2（25-26七年级上·河南周口·期末）某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？设应调往甲处x人，根据题意可列得方程？ ▌对点练6-3（25-26七年级上·北京·期末）在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 题型 方案选择问题 解题贴士 1.分别写出不同方案的费用表达式，找到费用相等的临界点。 2.分区间讨论，对比临界点，判断不同条件下哪种方案更划算。 ▌例7（22-23七年级上·全国·期末）延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ ▌对点练7-1（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ ▌对点练7-2（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ ▌对点练7-3（24-25七年级上·浙江宁波·期末）为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 题型 动点问题 解题贴士 1.抓住关键词：起点、方向、速度、相遇、相距、追上、停止。 2.梳理动点运动过程，用时间t表示动点对应的位置、走过路程。 3.画出数轴或线段图，距离用右边的数减左边的数表示，注意分类讨论。 4.优先直接设运动时间t为未知数，列出等量关系求解，最后检验取值范围。 ▌例8（26-27七年级上·重庆·阶段检测）如图，数轴上有，，三点，表示的数分别是，，． (1)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度同时向右运动．设，两点运动的时间为（秒），当点与点的距离是点与点的距离的倍时，求的值； (2)在的条件下，点继续保持原速度向左运动，点改变运动方向，以原速向左运动．若时，求点表示的数． ▌对点练8-1（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点P为的中点，则x的值为　　　　　，点P到点A的距离为　　　　　； (2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为　　　　　　；若点P在点A的左侧，点P到点A，B的距离之和为　　　　　　（用含x的式子表示）； (3)某时刻点A，B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A，B之间的距离为2个单位长度时，请求出点P表示的数． ▌对点练8-2（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是________； (2)数轴上表示和7的两点之间的距离为6，则的值为________； (3)若表示一个有理数，则的最小值=________； (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，①两只电子蚂蚁在数轴上相遇时，求它们所在的位置？ ②两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时，求各自所在的位置？ ▌对点练8-3（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面． 【问题解决】 (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 (3)若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； (4)在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； 基础通关 1．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 5．（25-26七年级下·河南南阳·期末）今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 6．（2026·广西南宁·三模）钢琴素有“乐器之王”的美称．如图，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，其中白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．设黑色琴键为个，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 8．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）用一元一次方程的知识，可把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设，两边同时乘以10得：，，即，整理得：，解得，即，把化为分数是__________． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“给在庭院玩耍的孩童们分梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．不知有多少孩童和多少梨？”则梨有________个． 11．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）如图，某校的饮水机有温水和开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的流速为20毫升/秒，开水的流速为15毫升/秒．小美先后接了一些温水和开水共220毫升，一共用了12秒（接开水和温水之间的时间差忽略不计）．则小美接开水用了______秒． 12．（2026七年级上·湖北武汉·专题练习）列一元一次方程应用题：在一次美化校园活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派22人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？ 13．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）某商场将某种商品按标价的八折出售，此时商品的利润率是，已知这种商品的成本价为1800元． (1)想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？ (2)这种商品的原价是多少？ 14．（25-26七年级上·湖南永州·期末）为庆祝永州队斩获湘超联赛冠军，学校以“学习湘超拼搏精神，师生共练健身体魄”为主题开展体育器材采购活动，七年级（1）班计划购买篮球、足球若干个．已知该体育用品店对篮球和足球实行相同折扣销售： 打折前，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元；班长为响应活动，按此折扣购买了5个篮球和4个足球，总共花费688元． (1)求打折前篮球、足球的单价各为多少元？ (2)该体育用品店对篮球和足球打几折销售？ 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 素养提升 16．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）下图是某月的月历表，从表的竖列任取三个数相加，不可能得到的是（     ） A．30 B．42 C．36 D．20 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，把每个质量相同的钩码挂在杠杆支撑点的两边，杠杆保持平衡．若把杠杆左、右两边的钩码各减少1个，则杠杆的左端（     ） A．下降 B．上升 C．不动 D．无法确定 18．（26-27七年级上·全国·课后作业）将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 19．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 21．（2026·浙江嘉兴·二模）如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．（26-27七年级上·重庆璧山·阶段检测）如图，点、在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁、分别从、两点同时出发，相向而行，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒． (1)运动_____秒钟时，两只蚂蚁相遇在点；点在数轴上表示的数是_____； (2)若运动秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出的值（写出解题过程）． 23．（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)用含的式子表示点、点在数轴上所表示的数； (2)求两点相遇时，相遇点在数轴上所表示的数； (3)当两点相距个单位长度时，求的值． 24．（26-27七年级上·全国·课后作业）类比探究： (1)【课本再现】下面是人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1  销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是元． 根据题意，得，解得． 设亏损的那件衣服的进价是元． （请你在方框内补全解题过程） 所以， 由此可知卖这两件衣服共 （填“盈利”或“亏损”）了 元； (2)【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件700元的价格购进了200件，并以每件1100元的价格销售了一部分．为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价40％销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是53600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 25．（26-27七年级上·全国·单元测试）为举办校园文化节，甲、乙两班准备给每位同学购买演出服装（一人一套），两班共82人（其中甲班比乙班人多，且甲班不足80人），下面是供货商给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至40套 41套至80套 81套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两班各自单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5300元． (1)甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名同学？ (3)如果甲班有5名同学被调去参加书画比赛不能参加演出，请你为两班设计一种最省钱的购买服装方案． 迁移创新 26．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． ①若，则________； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，则符合条件的整数x的和为________． (2)翻折变换 ①若关于原点翻折数轴，、两点经折叠后重合，数轴上A、B两点之间的距离为2026，A在B的左侧，则A点表示________，B点表示________． ②折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，折叠中点对应的数是________．那折叠后10表示的点和表示________的点重合； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 27．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示和3的两点之间的距离是_______； (2)小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠数轴，若表示2的点与表示的点重合． ①则与表示10的点重合的点表示的数是______； ②这时如果，（在的左侧）两点之间的距离为2026，且，两点经过折叠后重合，则，表示的数分别是多少？ (3)如图，在数轴上剪下12个单位长度（从到11）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是几？       28．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 29．（2026·北京·中考真题）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 30．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题 1.理解用一元一次方程解决实际问题的基本思路，掌握建模思想，能识别各类应用题的等量关系。 2.掌握列一元一次方程解应用题的完整步骤:审、设、列、解、验、答。 3.会分析配套、工程、行程、利润、数字等常见题型中的数量关系，准确设未知数、列出方程。 4.会检验结果是否符合实际意义，区分数学解和实际问题的合理解，体会方程模型的价值。 课标要点 1.能从实际情境中提取信息，分析数量之间的相等关系，建立一元一次方程模型。 2.掌握列方程解应用题的一般流程，规范书写解题格式。 3.会解决配套、工程、行程、销售利润、数字等典型实际问题。 4.能对方程的解进行检验，判断解是否符合现实意义，舍去不合理解。 学习重难点 重点： 1.列一元一次方程解应用题的基本步骤。 2.找准等量关系，根据等量关系列出一元一次方程。 3.利润、行程、工程、配套等基础题型的解题模板。 难点： 1.复杂情境中寻找隐藏的等量关系 2.行程问题(相遇、追及)、利润折扣问题中的数量辨析。 3.检验解是否符合实际，正确取舍结果。 v 知识点 列一元一次方程解应用题的步骤 审:审题，分清已知量、未知量，找出等量关系 设:设未知数(直接设/间接设)，带上单位列:根据等量关系列出一元一次方程 解:解方程，求出未知数的值 验:双重检验:①是否是方程的解;②是否符合实际意义答:写出完整答案，带单位 特别提醒 列一元一次方程解应用题遵循审、设、列、解、验、答六步；检验包含两层，既要检验数值是否为方程的解，还要检验结果是否符合现实意义 易错提醒 误区 1：设未知数或者写答案时，忘记带上单位，解题过程单位不统一； 误区 2：只检验是不是方程的解，忽略检验结果是否符合实际，人数、物品数量出现小数、负数不舍去； 误区 3：翻译等量关系出错，配套比例写反、相遇追及混淆路程和与路程差； 误区 4：利润率理解错误，误以标价作为计算基准，利润率的基准是进价。 教材延伸 找准等量关系是列方程的核心；直接设元不好列式时，可以选用间接设未知数的方法简化列式。 知识点 常用的等量关系 行程问题:路程 =速度x时间 相遇:路程和=总路程;追及:路程差=相距路程 工程问题:工作总量=工作效率x工作时间-般把总工程看作 1;合作效率 =各效率之和 利润问题:. 利润 =售价-进价;利润率=利润:进价;售价=标价x折扣 配套问题:配套物品数量满足固定比例. 数字问题:两位数ab=10a+b 随学随练 1．（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）某工厂生产一批机器零件，现在生产每个零件所用的时间由更新设备前的9分减少到4分．原来生产80个零件所用的时间，现在能生产多少个零件？ 【答案】现在能生产180个零件 【分析】设现在能生产x个零件，根据工作量工作效率工作时间建立方程求解即可． 【详解】解：设现在能生产x个零件， 由题意得， 解得，   答：现在能生产180个零件． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 【答案】(1)小华用能追上小明 (2)小华起跑后两人首次相遇 【分析】（1）设小华用能追上小明，根据题意列一元一次方程求解； （2）设小华起跑后两人首次相遇，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明； （2）解：设小华起跑后两人首次相遇， 根据题意得， 解得 答：小华起跑后两人首次相遇． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价是80元 【分析】设这种服装每件的标价是元，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设这种服装每件的标价是元， 由题意得：， 解得， 答：这种服装每件的标价是80元． 4．（25-26七年级上·广东河源·期末）某商场花费元购进甲、乙两种服装共件，进价和售价如下表所示： 种类 进价/(元/件) 售价/(元/件) 甲 乙 (1)商场购进甲、乙两种服装各多少件？ (2)将这些服装全部售完，可获利多少元？ 【答案】(1)购进甲种服装6件，乙种服装5件； (2)元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用及利润计算，核心是根据总进价与总件数的等量关系求解服装数量，再利用利润公式计算总获利． （1）通过设甲种服装的件数为未知数，结合总件数表示出乙种服装的件数，依据“甲的总进价乙的总进价总花费”建立方程，解方程即可得到两种服装的数量； （2）先分别计算甲、乙两种服装的单件利润，再结合（1）中所求的数量，根据“总利润单件利润销售数量”计算总获利． 【详解】（1）解：设购进甲种服装件，则购进乙种服装件． 根据题意列方程：， 解得：， 则， 答：购进甲种服装6件，乙种服装5件． （2）解：甲种服装每件获利(元)， 乙种服装每件获利(元)， 总获利为(元)； 答：可获利元． 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 【答案】千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用(行程问题)，关键是根据轿车与货车行驶同样距离的时间差建立等量关系列方程求解． 【详解】解：设常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 根据题意，轿车比货车少用分钟，可列方程：， 方程两边同时乘以得：， 合并同类项得：； 答：常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 拓展·未知数的选取技巧 核心思路：优先直接设所求量；直接设不好列式时，选用间接设元；设元时统一单位。 活学活用 1．（25-26七年级上·福建漳州·期末）学校筹备“数学文化节”，七年级（）班负责布置《九章算术》展区．在为各小组分配彩色卡纸时发现：如果每组分张，会多出张；如果每组分张，则还缺张．请通过列一元一次方程解决：全班有多少个小组？共有多少张卡纸？ 【答案】全班共有个小组，共有张卡纸 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，灵活运用“卡纸总数不变”这一等量关系是解题的关键．根据两种分组方式下卡纸总数相等，可列出方程，进而求出小组数量和卡纸总数． 【详解】解：设全班共有个小组 依题意得 解得 （张） 答：全班共有个小组，共有张卡纸． 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）在水流速度3千米/小时的条件下，一艘船从甲港口出发顺流而下到乙港口需要小时，当它从乙港口返回甲港口则需要小时． (1)当在平静的湖水中航行时，这艘船的平均速度是多少？ (2)求甲乙两港口之间的路程？ 【答案】(1)千米/小时 (2)千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设船在静水中的速度为千米小时，水流速度已知为千米小时，根据顺流和逆流的路程相等列出方程，求解， （2）根据（1）的结论，列出算式，计算即可求解． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为千米/小时，水流速度千米/小时，根据题意得， ． 解得． 答：这艘船在平静湖水中的平均速度是12千米/小时． （2）解：甲乙两港口之间的路程为． 答：甲乙两港口之间的路程是40.5千米． 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）两支一样高的蜡烛，同时点燃后，第一支蜡烛每小时缩短，第二支蜡烛每小时缩短．后，第二支蜡烛的高度是第一支蜡烛的2倍，求这两支蜡烛原来的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查对于一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准题中的等量关系． 设两支蜡烛原来的高度为，根据题意可得第一支蜡烛后的剩余高度为；第二支蜡烛后的剩余高度为，进而列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两支蜡烛原来的高度为． ∵第一支蜡烛每小时缩短，后缩短， ∴剩余高度为． ∵第二支蜡烛每小时缩短，后缩短， ∴剩余高度为， ∵后第二支蜡烛的高度是第一支的2倍， ∴ 解得． 4．（25-26七年级上·山东临沂·期末）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少竿竹竿？ 【答案】竹竿有62竿 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设竹竿有竿，根据人数相等列方程求解即可． 【详解】解：设竹竿有竿，根据题意列方程得： 解得 答：竹竿有62竿． 拓展 结果的实际检验 核心思路：解出来的值要满足现实约束，人数、零件数必须是正整数，时间、速度为正数，不符合的解直接舍去 活学活用 5．（25-26七年级上·福建福州·期末）我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 10 10 40 (1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分； (2)参赛者E得64分，他答对了__________道题； (3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)14 (3)不可能， 理由如下： 设参赛者F答对了y道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不是整数，不符合题意， 参赛者F说他得了分，是不可能的． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设参赛者E答对了x道题，则答错了道题，根据得分为64分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设参赛者F答对了y道题，则答错了道题，根据得分为80分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，由该值不为整数，即可得出参赛者F不可能得80分． 【详解】（1）解：，即参赛者答对1道题得5分， ，即答错1道题得分； 故答案为：，； （2）解：设参赛者E答对了x道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 即他答对了道题； 故答案为： （3）略 6．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）一超市会把临近保质期的食品特价销售，某款鸡蛋一盒有30个，每盒原价24.9元，特价每盒只要19.9元，但是还有16天就要过期了．一餐厅购买了几盒该款特价鸡蛋，发现比平时按原价购买少花了40元．过期鸡蛋必须销毁，不考虑其他因素，对于这次购买的特价鸡蛋，该餐厅每天至少正常消耗多少个才能比按原价购买便宜？ 【答案】该餐厅每天至少正常消耗12个鸡蛋才能比按原价购买便宜 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 【详解】解：设该餐厅购买了x盒该款特价鸡蛋， 由题意，得， 解得：， 设该餐厅每天正常消耗个鸡蛋，当消耗的鸡蛋按原价计算的总价等于购买特价鸡蛋的总花费时，达到盈亏平衡点， 由题意，得， 解得：， 所以该餐厅每天至少正常消耗12个鸡蛋才能比按原价购买便宜． 题型 配套问题 解题贴士 1.找到配套比例(如 1 个螺栓配 2 个螺母) 2.利用比例写等量关系:A 数量:B 数量= 配套比 3.设生产其中一种零件的人数为未知数，表示出两种零件产量 4.解方程后检验数量为正整数 ▌例1 （26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． (1)1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ (2)该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 【答案】(1)用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； (2)B小组还需要8天才能完成全部订单 【分析】（1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列方程求解即可； （2）设B小组还需要天才能完成全部订单，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意得， 解得， ∴做盒底的铁皮为（张）． 答：用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； （2）解：设B小组还需要天才能完成全部订单． 根据题意得， 解得， 答：B小组还需要8天才能完成全部订单． ▌对点练1-1．（22-23七年级上·河南开封·阶段检测）某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． ▌对点练1-2（25-26七年级下·山西临汾·期末）某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套 【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可. 【详解】解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．     根据题意，列方程得．         解得．                 ∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．         答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套. ▌对点练1-3 （25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人. (2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 题型 工程问题(单人、合作) 解题贴士 1.无总量时，把总工作量记作 1 2.工作效率 =1:单独完成时间 3.合作工作量=各个人工作量相加 4.等量关系:已完成工作量之和 =总工作量 ▌例2（25-26七年级上·河南信阳·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． (1)如何安排生产可使每天生产的产品配套？ (2)该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ 【答案】(1)人生产茶杯，则人生产茶壶 (2)先安排人工作小时，再增加人（共人）一起工作小时，可完成任务 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设先安排人做，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意得， 解得： ∴人生产茶壶， 答：人生产茶杯，则人生产茶壶； （2）解：设先安排人做，根据题意得， 解得： 答：先安排人工作小时，再增加人（共人）一起工作小时，可完成任务． ▌对点练2-1（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要𝑥天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． ▌对点练2-2（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 【答案】(1) 两队合作需要12天完成此工程 (2) 甲队还需要10天才能完成工程 【分析】 将总工作量看作单位1，结合甲乙单独完成工程的时间得到各自的工作效率，再根据工作总量、工作效率、工作时间的关系列方程求解两小问． 【详解】（1）解：记总工作量为单位1． 设两队合作需要天完成此工程. 甲队工作效率为，乙队工作效率为 ； 由题意得， 解得； 答：两队合作需要12天完成此工程． （2）解：记总工作量为单位1． 设乙队离开后，甲队还需要天才能完成工程． 由题意得， 解得； 答：甲队还需要10天才能完成工程． ▌对点练2-3（25-26七年级上·全国·期末）满池水的游泳池需要换水，单独打开甲管小时可将全池水排完，单独打开乙管小时可将全池水排完，若两管同时打开小时后，关闭甲管让乙管排水小时，再打开甲管同时关闭乙管，几小时后可将余下水放完？ 【答案】小时后可将余下水放完 【分析】设小时后可将余下水放完，根据工作效率工作时间工作总量，列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设小时后可将余下水放完， 根据题意可列方程：， 解得：， 答：小时后可将余下水放完． 题型 行程问题(相遇、追及) 解题贴士 1.分清类型:相向相遇、同向追及 2.相遇:两者路程相加 =初始距离 3.追及:快的路程 -慢的路程=初始距离 4.单位统一，速度、时间单位保持一致 ▌例3（25-26七年级上·北京东城·阶段检测）已知，点A、B在数轴上对应的数分别是a、b； (1)求 、 ； (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点P与点B的距离是3个单位长度； (3)在（2）的条件下，动点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发向数轴负方向运动，求几秒后点P与点Q的距离等于3个单位长度． 【答案】(1)；5 (2)3秒或9秒后，点P与点B的距离是3个单位长度 (3)1秒或3秒后，点P与点Q的距离等于3个单位长度 【分析】（1）根据绝对值的非负性质即可求解； （2）先求出与点B的距离为3个单位长度的点P的位置，即可求解； （3）分相遇前与相遇后两种情况． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即； （2）解：当点P在点B的左侧时，点P表示的数为， 此时点P运动的时间为（秒）； 当点P在点B的右侧时，点P表示的数为， 此时点P运动的时间为（秒）； 综上，3秒或9秒后，点P与点B的距离是3个单位长度； （3）解：设t秒后点P与点Q的距离等于3个单位长度， 当点P与点Q相遇前，点P与点Q的距离等于3个单位长度， 则， 解得； 当点P与点Q相遇后，点P与点Q的距离等于3个单位长度， 则， 解得； 综上，1秒或3秒后，点P与点Q的距离等于3个单位长度． ▌对点练3-1（26-27七年级上·全国·课后作业）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道共需要的时间，在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照到火车上的时间是，求这列火车行驶的平均速度． 【答案】 【分析】设这列火车行驶的平均速度是，根据总路程等于火车长加上隧道长，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设这列火车行驶的平均速度是． 根据题意，得． 解得． 答：这列火车行驶的平均速度是． ▌对点练3-2（26-27七年级上·天津·开学考试）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟． （2）爸爸出发后5分钟与小明相遇． 【分析】（1）根据爸爸追小明时，两人行走路程相等的关系列一元一次方程求解即可； （2）再根据相遇时，两人行走路程和等于总路程的关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟. 小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟， ∵追上时两人行走路程相等， ∴， 解得：， ∴此时爸爸行走路程为（米）， ∵， ∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟； （2）设爸爸出发后分钟与小明相遇， ∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程， ∴， 解得：． ∴爸爸出发后分钟与小明相遇． ▌对点练3-3（26-27七年级上·全国·开学考试）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接同时出发正在步行的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 题型 ·销售利润、折扣问题 解题贴士 1.分清概念:进价、标价、售价、折扣、利润、利润率 2.牢记公式:利润=售价-进价;售价 =标价 x折扣 3.利润率是以进价为基准，不是标价 4.注意“打几折”就是原价的十分之几 ▌例4（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． ▌对点练4-1（25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】(1)降价前每件衬衫的利润率为 (2)每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 【分析】（1）根据利润率公式列式计算即可； （2）设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据销售收入进货成本利润，建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 答：降价前每件衬衫的利润率为． （2）解：设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标， 由题意得：， 解得， 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． ▌对点练4-2（25-26七年级下·河南南阳·期末）某企业生产一种产品，每件的成本为400元，销售价为510元，第一季度销售了件．为了进一步扩大市场，该企业决定在降低生产成本的同时降低销售价．经过市场调研，预测第二季度这种产品每件销售价降低，销售量将提高． (1)填空：第二季度这种产品每件销售价为 元，销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)在保持总销售利润（总销售利润（销售价成本）销售量）不变的情况下，该产品每件的成本应降低多少元？ 【答案】(1)， (2)该产品每件的成本应降低元 【分析】（1）用原销售价乘以即可得到第二季度每件销售价；用原销售量m乘以即可得到第二季度销售量； （2）设该产品每件的成本应降低x元，利用两个季度的总销售利润相等，建立关于x的方程，求解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：第二季度这种产品每件销售价为元， 销售量为； （2）解：设该产品每件的成本应降低x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该产品每件的成本应降低元． ▌对点练4-5（26-27七年级·全国·小升初衔接）一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量： （箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 题型 -数字问题 解题贴士 1.两位数、三位数要用数位权重表示 2.十位数字为a，个位b，两位数:10a+b 3.新数、原数的关系作为等量关系 4.数位上数字范围:0~9，首位不能为 0 ▌例5（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）【探究发现】 “河图洛书”是中国优秀传统文化的瑰宝，可转化为如图1所示的“三阶幻方”，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”． 【尝试运用】 (1)在图2所示的“三阶幻方”中，的值为_____； (2)如果将9个连续的正整数填入一个“三阶幻方”，使得“幻方和”是2025，那么这9个数中最小的数是______； (3)如图3，现将“幻方”稍作改进变成“幻圆”，将，4，，8，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先找到中心数，计算“幻方和”，通过每行、每列、每条对角线上数字之和都相等的关系列等式求解即可． （2）设9个连续的正整数中最小的数为，按照“幻方和”的定义列方程求解即可． （3）由于“幻圆”的横、竖的和都相等，求得“幻圆和”后即可求出横、竖方向的和，进而可列方程求解及内正方形缺失的数，最后对剩余两个数进行判断即可． 【详解】（1）解：由题可知，中心数为， “幻方和”为， 第二行：，解得第二行第一个数为； 第一列：，解得第一行第一个数为； 第一行：，解得； 第三列：，解得； 故． （2）解：设9个连续正整数中最小的数为， 则个连续正整数依次为 ，，，，，，，，， 总和为 ， 三阶幻方有行，行全部数字相加就是个数的总和， 个数总和为， 则有， 解得． （3）解： 个数的总和为， 且横、竖两组4个数的和相等， 每组的和为， 对横方向可列方程为： ， 解得， 已使用数字、、、、， 竖方向剩余数字为、、， 由于横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等， 已求得“幻圆”和为， 内正方形缺少的数为； 由于和外正方形上部这两个数同时位于竖向和外正方形上， 故或； 则 ， 或． ▌对点练5-1（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）观察下面的一列数：… (1)写出第7个数______，第8个数________； (2)写出第n个数_________（用含n的代数式表示，n为正整数）； (3)拓展：取相邻的三个数，若这三个数的和为，求这三个数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）（2）观察式子：奇次项时为负数，偶次项为正数，根据此规律即可得答案； （3）观察数据可得，前一个数乘以等于相邻的后一个数，则设第一个数为x，那么第二个数为，第三个数为，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 依此规律第7个数是：，第8个数是： （2）解：由（1）可得，第n个数是，（n为正整数）； （3）解：观察数据可得，前一个数乘以等于相邻的后一个数， 则设第一个数为x，那么第二个数为，第三个数为 由题意得， 解得 那么这三个相邻的数分别为． ▌对点练5-2（25-26七年级上·江苏·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 【答案】方法运用：；类比探究：；数学应用： 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意理解并运用无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 方法运用：设，则，那么，解得x的值即可； 类比探究：设，则，那么，解得m的值即可； 数学应用：根据得，再根据计算即可． 【详解】解：方法运用： 设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：； 类比探究： 设， 则， 那么， 解得：， 即； 数学应用： ∵， ∴， ∴． ▌对点练5-3（25-26七年级上·河南郑州·期末）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的洛书，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：研究发现三阶幻方中间的数字与9个数的和有确定的数量关系．如果设数字连续性三阶幻方中间的数字是，则幻方中9个数字之和是_________（用含的字母代数式表示） (2)应用：请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； (3)拓展：数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2030吗？并说明理由． 【答案】(1) (2) 如图即为所求 (3) 解：十字框中五个数字之和不能等于2030． 理由：设十字框中最中间一个数为，由题意得 解得， 由题意可知，应为奇数， ∴十字框中五个数字之和不能等于． 【分析】本题考查的是数字类规律探索，用代数式表示数的规律，一元一次方程的应用，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）观察可知，幻方中个数字之和等于中间的数的倍，即可用含的字母代数式表示幻方中个数字之和； （2）先根据题意，求出幻方中间的数字是，再根据图1的规律填入数字即可； （3）设十字框中最中间一个数为，根据题意列出方程求出的值，再根据应为奇数，即可求解． 【详解】（1）解：观察图可知，幻方中个数字之和等于中间的数的倍． 故答案为：． （2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， ∴幻方中个数字之和等于， ∴幻方中间的数字是 （3）略 题型 和差倍分问题 解题贴士 1.抓住关键词:一共、比…. 多、比... 少、几倍 2.梳理两个量之间加减、倍数关系 3.适合直接设未知数，等量关系直白 ▌例6（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题： (1)一种小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，需多少千克的小麦？ (2)某学校七年级一班有44人报名参加了文学社或书画社．已知参加书画社的人数比参加文学社的人数多4人，两个社都参加的有16人．问：参加书画社的有多少人？ 【答案】(1)需4000千克小麦 (2)参加书画社的有32人 【分析】（1）设需千克的小麦，根据小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，可列方程，解答即可； （2）设参加书画社的有人，则参加文学社的有人，根据七年级一班有44人，两个社都参加的有16人，可列方程，解答即可． 【详解】（1）解：设需千克的小麦， 根据题意得：， 解得：， ∴需4000千克小麦． （2）解：设参加书画社的有人，则参加文学社的有人， 根据题意得：， 解得：， ∴参加书画社的有32人． ▌对点练6-1（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）少先队员去植树，如果每人种棵，还有棵没人种；如果其中人各种棵，其余的人各种棵，这些树正好种完，有多少个少先队员参加植树？一共种多少棵树？ 【答案】参加植树的少先队员有个，一共种棵树． 【分析】以树的总棵数不变为突破口，设少先队员人数为未知数，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设参加植树的少先队员有个． ∵ 两种植树方式的树的总棵数相等 ， ∴， 即， 解得， ∴树的总棵数为（棵）， 答：有个少先队员参加植树，一共种棵树． ▌对点练6-2（25-26七年级上·河南周口·期末）某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？设应调往甲处x人，根据题意可列得方程？ 【答案】 【分析】设应调往甲处x人，根据在甲处植树的人数是乙处人数的2倍列方程即可． 【详解】解：设应调往甲处x人， 根据题意可列得方程为：． ▌对点练6-3（25-26七年级上·北京·期末）在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 【答案】小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次，分析变化后的搜索量，根据“变化后小七的搜索量是小宇搜索量的4倍”，可列出方程，最后求解方程并求得小宇和小七的搜索量． 【详解】解：设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次， 根据题意列方程得：， 解得：， ∴小七的搜索量为：（次） 即小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次． 题型 方案选择问题 解题贴士 1.分别写出不同方案的费用表达式，找到费用相等的临界点。 2.分区间讨论，对比临界点，判断不同条件下哪种方案更划算。 ▌例7（22-23七年级上·全国·期末）延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人 (2)304元 (3)购买51张票划算些 【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，  根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以； （2）先求出购团体票的费用，再用1240 元团体票的费用就是节约的钱； （3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用， 比较两个费用的大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 由题意可得： ， 解得， 则 ． 答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人． （2）解：（元）． （3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为： 元， 购51张票的费用为：元． ， ∴购买51张票划算些． ▌对点练7-1（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． ▌对点练7-2（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． ▌对点练7-3（24-25七年级上·浙江宁波·期末）为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)按“套餐一”计费需要101元 (2)该月小宁通话时间为300分钟 (3)存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用按“套餐一”计费所需费用（通话时间）（上网流量），即可求出结论； （2）设该月小宁通话时间为x分钟，根据11月小宁按“套餐二”计费需付128元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为 ，根据按套餐一和套餐二计费相等，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）； 答：按“套餐一”计费需要101元； （2）解：设该月小宁通话时间为分钟， 根据题意得：， 解得：； 答：该月小宁通话时间为300分钟； （3）解：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为， 根据题意得：， 解得：． 答：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24． 题型 动点问题 解题贴士 1.抓住关键词：起点、方向、速度、相遇、相距、追上、停止。 2.梳理动点运动过程，用时间t表示动点对应的位置、走过路程。 3.画出数轴或线段图，距离用右边的数减左边的数表示，注意分类讨论。 4.优先直接设运动时间t为未知数，列出等量关系求解，最后检验取值范围。 ▌例8（26-27七年级上·重庆·阶段检测）如图，数轴上有，，三点，表示的数分别是，，． (1)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度同时向右运动．设，两点运动的时间为（秒），当点与点的距离是点与点的距离的倍时，求的值； (2)在的条件下，点继续保持原速度向左运动，点改变运动方向，以原速向左运动．若时，求点表示的数． 【答案】(1) (2)点表示的数为或． 【分析】利用点的运动规律写出动点对应的代数式，借助两点间距离公式表示线段长度，再根据等量关系列方程求解； 需要分段讨论绝对值，检验解的合理性． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，由题知，时刻，点和点表示的数分别为和， 因为点在点右侧，点在点右侧， 所以，， ，，   解得； （2）解：当时，点表示的数为：，点表示的数为：， 设点改变方向后的运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 则，， ， ， 解得或， ∴当时，点表示的数为或． 【点睛】数轴动点核心：左减右加；距离用绝对值表示，遇到绝对值方程要分类讨论，求出解后务必验证是否符合对应范围． ▌对点练8-1（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点P为的中点，则x的值为　　　　　，点P到点A的距离为　　　　　； (2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为　　　　　　；若点P在点A的左侧，点P到点A，B的距离之和为　　　　　　（用含x的式子表示）； (3)某时刻点A，B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A，B之间的距离为2个单位长度时，请求出点P表示的数． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据数轴上中点坐标公式计算即可得出的值，再根据数轴上两点间的距离公式计算即可得出点P到点A的距离； （2）分两种情况：当点在点的左侧（包括点）时，当点在点的右侧时，分别计算即可得出的值；表示出点P在点A的左侧时，点到点的距离为，点到点的距离为，再求和即可； （3）设运动时间为秒，则秒后点对应的数为，点对应的数为，根据数轴上两点间的距离公式列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点P为的中点，数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x， ∴， ∴点P到点A的距离为； （2）解：∵点P在原点的右侧， ∴， 当点在点的左侧（包括点）时，即，此时点到点的距离为，点到点的距离为，距离之和为，故不符合题意； 当点在点的右侧时，即，此时点到点的距离为，点到点的距离为，距离之和为， 解得，符合题意； 若点P在点A的左侧，此时点到点的距离为，点到点的距离为，则点P到点A，B的距离之和为； （3）解：设运动时间为秒， 由题意可得，秒后点对应的数为，点对应的数为， 由题意可得， 当时，解得，此时点P表示的数为； 当时，解得，此时点P表示的数为； 综上所述，当点A，B之间的距离为2个单位长度时，点P表示的数为或 ▌对点练8-2（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是________； (2)数轴上表示和7的两点之间的距离为6，则的值为________； (3)若表示一个有理数，则的最小值=________； (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，①两只电子蚂蚁在数轴上相遇时，求它们所在的位置？ ②两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时，求各自所在的位置？ 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①相遇在数轴上的位置；②点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程求解； （3）根据数轴上两点之间的距离公式以及绝对值的几何意义求解； （4）设运动时间为秒，则秒后点表示的数为，点表示的数为，①由题意得，，解方程求出时间，即可求解相遇的位置； ②根据数轴上两点之间的距离公式得到绝对值方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示4和8两点之间的距离是； （2）解：由题意得， 解得或 ∴的值为或 （3）解：即为表示数的点到表示数与的点的距离之和， 故当表示数的点在表示数与的点之间（包括端点）时，距离之和最小，即为， 故的最小值为； （4）解：设运动时间为秒，则秒后点表示的数为，点表示的数为， ①由题意得，，解得， 此时， ∴点和点相遇在数轴上的位置； ②由题意得， 或 解得或 当时，表示的数为，点表示的数为； 当时，表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为． ▌对点练8-3（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面． 【问题解决】 (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 (3)若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； (4)在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2) (3)，4.5 (4)2秒 【分析】（1）找出折痕点，即可解答； （2）找出折痕点，即可解答； （3）根据对称点到折痕点的距离相等，列方程求解； （4）根据题意，点P对应的数为，再根据数轴上两点间的距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得折痕点是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； （2）解：因为数2对应的点与数对应的点重合， 所以，折痕点是数对应的点， ， ∴此时数0对应的点与数对应的点重合； （3）解：由（2）可知，折痕点是数对应的点， 数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧）， 设点A对应的数为x，点B对应的数为， ， 解得：， 则， 所以，点A对应的数为，点B对应的数为； （4）解：据题意，得点P对应的数为， 则， 解得， 答：时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 基础通关 1．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将配套关系转化为螺母总数量是螺钉总数量2倍的等量关系，据此列方程． 【详解】解：∵生产螺钉的工人数为人， ∴生产螺母的工人数为人， ∴每天生产螺钉总数为个，生产螺母总数为个． ∵1个螺钉配2个螺母，即螺母总数量是螺钉总数量的2倍， ∴． 3．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 【答案】D 【分析】设出原售价，利用成本不变找到等量关系，列方程求解后即可得到成本． 【详解】解：设该服装的原售价为元， 根据题意得， 解得， 则该服装的成本为（元）． 5．（25-26七年级下·河南南阳·期末）今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】设东东今年年龄为未知数，根据年龄倍数关系表示出爷爷今年年龄，再结合12年后的年龄倍数关系列方程求解． 【详解】解：设东东今年的年龄是岁， 根据题意，得：， 解得 ， 答：东东今年的年龄是9岁． 6．（2026·广西南宁·三模）钢琴素有“乐器之王”的美称．如图，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，其中白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．设黑色琴键为个，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设黑色琴键为个，根据白色琴键比黑色琴键多16个，表示出白色琴键个数，再根据总数为88列方程即可． 【详解】解：∵设黑色琴键为个，且白色琴键比黑色琴键多16个， ∴白色琴键有个， ∵键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个， ∴． 7．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设长方体的高为，则盒子的宽为，根据“正方形的边长相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形的边长． 【详解】解：设长方体的高为，则盒子的宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴这个正方形纸板的边长为． 8．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等”列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 9．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）用一元一次方程的知识，可把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设，两边同时乘以10得：，，即，整理得：，解得，即，把化为分数是__________． 【答案】 【分析】仿照题干给出的方法，拆分整数部分与循环小数部分，设未知数列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，其循环节为2位， 将等式两边同乘，得， 移项合并同类项，得， 解得 ， ∴ ． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“给在庭院玩耍的孩童们分梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．不知有多少孩童和多少梨？”则梨有________个． 【答案】36 【分析】根据两种分梨方式中，孩童人数固定不变，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设梨有个， ∵每人分4个梨多12个时，孩童人数可表示为， ∵每人分6个梨恰好分完时，孩童人数可表示为， 又∵孩童人数固定不变， ∴列方程得：， 解得：． 11．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）如图，某校的饮水机有温水和开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的流速为20毫升/秒，开水的流速为15毫升/秒．小美先后接了一些温水和开水共220毫升，一共用了12秒（接开水和温水之间的时间差忽略不计）．则小美接开水用了______秒． 【答案】 【分析】设小美接开水用了x秒，则接温水用了秒，利用“温水水量开水水量总水量”这一等量关系列一元一次方程求解． 【详解】解：设小美接开水用了x秒，则接温水用了秒， 根据题意，得， 解得， 答：小美接开水用了4秒． 12．（2026七年级上·湖北武汉·专题练习）列一元一次方程应用题：在一次美化校园活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派22人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？ 【答案】支援拔草和植树的分别有16和6人． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，设支援拔草的有x人，则支援植树的有人，根据拔草的人数是植树人数的2倍，列出方程，求解即可． 【详解】解：设支援拔草的有x人，则支援植树的有人， 根据题意得：， 解得， 则（人）． 答：支援拔草和植树的分别有16和6人． 13．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）某商场将某种商品按标价的八折出售，此时商品的利润率是，已知这种商品的成本价为1800元． (1)想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？ (2)这种商品的原价是多少？ 【答案】(1) 示意图为： (2) 这种商品的原价是元． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意用示意图表示即可； （2）设这种商品的原价为元，根据商品按标价的八折出售，此时商品的利润率是，商品的成本价为1800元，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，（元）； （2）解：设这种商品的原价为元， 根据题意，得， 解得， 答：这种商品的原价是元． 14．（25-26七年级上·湖南永州·期末）为庆祝永州队斩获湘超联赛冠军，学校以“学习湘超拼搏精神，师生共练健身体魄”为主题开展体育器材采购活动，七年级（1）班计划购买篮球、足球若干个．已知该体育用品店对篮球和足球实行相同折扣销售： 打折前，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元；班长为响应活动，按此折扣购买了5个篮球和4个足球，总共花费688元． (1)求打折前篮球、足球的单价各为多少元？ (2)该体育用品店对篮球和足球打几折销售？ 【答案】(1)打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元； (2)篮球和足球打8折出售． 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“，买3个篮球和2个足球共需480元，买2个篮球和3个足球共需470元”列方程组求解． （2）设篮球和足球打m折，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元． 根据题意，得． 解得． 答：打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元． （2）解：设篮球和足球打m折出售． 由题意，得． 解得． 答：篮球和足球打8折出售． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 【答案】(1)8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠 (2)学生14人，非学生游客16人 【分析】本题考查一次函数的实际应用，有理数的混合运算，利用方程解决问题是解题的关键； （1）让非学生游客享受8折优惠的同时，使尽量多的学生享受6折优惠即可； （2）设学生有x人，非学生游客有人，列方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知家长买团体票可以享受优惠， 因为团体购票需要10人以上（含10人）， 则方案一：8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案二：8位家长和3位学生购买团体票，剩余1位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案三：8位家长和4位学生购买团体票， 需付款（元）； ， 所以8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠； （2）解：设学生有x人，非学生游客有人， 即， 解得， ， 答：学生14人，非学生游客16人． 素养提升 16．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）下图是某月的月历表，从表的竖列任取三个数相加，不可能得到的是（     ） A．30 B．42 C．36 D．20 【答案】D 【分析】设取的最小数为x，则其他两个数分别为，令这三个数的和分别为对应选项中的数，建立方程求解即可． 【详解】解：设取的最小数为x，则其他两个数分别为， ∴这三个数的和为， 当时，解得，符合月历表，故A不符合题意； 当时，解得，符合月历表，故B不符合题意； 当时，解得，符合月历表，故C不符合题意； 当时，解得，不符合月历表，故D符合题意； 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，把每个质量相同的钩码挂在杠杆支撑点的两边，杠杆保持平衡．若把杠杆左、右两边的钩码各减少1个，则杠杆的左端（     ） A．下降 B．上升 C．不动 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由题意和图可知，左右两边的钩码数量乘以钩码到支撑点的距离的积相等时，杠杆保持平衡， 当杠杆左、右两边的钩码各减少1个时，左边的乘积为，右边的乘积为， ∵， ∴杠杆的左端下降. 18．（26-27七年级上·全国·课后作业）将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由进价表示出标价与实际售价，再根据利润售价进价的等量关系列方程． 【详解】解：设这种商品每件的进价是元， ∵ 按进价提高后标价， ∴ 标价为元， ∵ 以九折优惠卖出， ∴ 实际售价为元， ∵ 每件获利元， ∴ ． 19．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设B种型号的笔记本有本，则C种型号的有本，根据单价数量费用列方程，将看作已知数求解即可． 【详解】解：设B种型号的笔记本有本，则C种型号的有本， 根据题意得，， 去括号得，， 合并同类项得，， 移项得，， 系数化为1得，． 20．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 21．（2026·浙江嘉兴·二模）如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得，，由“完美矩形”的周长得，列式计算即可求解． 【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， ∵“完美矩形”的周长为26， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴正方形d的边长为5． 22．（26-27七年级上·重庆璧山·阶段检测）如图，点、在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁、分别从、两点同时出发，相向而行，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒． (1)运动_____秒钟时，两只蚂蚁相遇在点；点在数轴上表示的数是_____； (2)若运动秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出的值（写出解题过程）． 【答案】(1)； (2)解：运动t秒时，蚂蚁M所在位置的数为，蚂蚁N所在位置的数为， 由题意，得， 整理得：， 当时，解得． 当时，解得． 综上，t的值为​或10． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）先表示出运动t秒时蚂蚁M和蚂蚁N所在位置表示的数，然后根据两只蚂蚁的距离为10列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． （2）略． 23．（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)用含的式子表示点、点在数轴上所表示的数； (2)求两点相遇时，相遇点在数轴上所表示的数； (3)当两点相距个单位长度时，求的值． 【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为 (2)相遇点在数轴上表示的数是（即） (3)当秒或秒时，两点相距个单位长度 【分析】（1）根据沿数轴运动左减右加，列代数式即可； （2）根据当相遇时，在数轴上表示的数相等，即可得到答案； （3）根据用两点数值差的绝对值表示数轴上两点间的距离，列出两点距离为的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是，动点从点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数为，点表示的数为； （2）解：当相遇时，， 解得：，代入， ∴相遇点在数轴上表示的数是（即）； （3）解：由（1）可知，两点间的距离为， 由，得或， 解得或． ∴当秒或秒时，两点相距个单位长度． 24．（26-27七年级上·全国·课后作业）类比探究： (1)【课本再现】下面是人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1  销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是元． 根据题意，得，解得． 设亏损的那件衣服的进价是元． （请你在方框内补全解题过程） 所以， 由此可知卖这两件衣服共 （填“盈利”或“亏损”）了 元； (2)【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件700元的价格购进了200件，并以每件1100元的价格销售了一部分．为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价40％销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是53600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】(1)亏损，8 (2)降价前共售出140件 【分析】（1）设亏损的那件衣服的进价是元，根据利润=售价-进价，即可分别得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再用总售价-总进价即可得出结论． （2）设降价前共售出m件，则降价后共售出件，根据题意列方程计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解得． ∴亏损8元. （2）解：设降价前共售出件，则降价后共售出件． 根据题意，得53600． 解得． 答：降价前共售出140件． 25．（26-27七年级上·全国·单元测试）为举办校园文化节，甲、乙两班准备给每位同学购买演出服装（一人一套），两班共82人（其中甲班比乙班人多，且甲班不足80人），下面是供货商给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至40套 41套至80套 81套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两班各自单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5300元． (1)甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名同学？ (3)如果甲班有5名同学被调去参加书画比赛不能参加演出，请你为两班设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)比单独购买可以节省1200元 (2)甲班有44名同学，乙班有38名同学 (3)甲、乙两班合买81套服装最省钱 【分析】（1）两班共82人，属于81套以上，单价为50元，然后根据题意列式求解即可； （2）设甲班有名学生，则乙班有学生人，根据“一共应付5300元”列一元一次方程求解即可； （3）根据题意计算三种方案的花费，然后比较即可． 【详解】（1）解：∵两班共82人，属于81套以上，单价为50元， ∴（元）， 答：比单独购买可以节省1200元； （2）解：设甲班有名学生，则乙班有学生人， ∵其中甲班比乙班人多，且甲班不足80人， ∴甲班人数在41至79之间，单价为60元，乙班人数在3至40之间，单价为70元， 根据题意得，， 解得， ， 答：甲班有44名同学，乙班有38名同学； （3）解：因为甲班有5名同学被调去参加书画比赛不能参加演出， 所以甲班需服装39套，乙班需服装38套， 方案一：甲、乙两班合买77套服装，单价为60元， ∴费用为（元）； 方案二：甲、乙两班合买81套服装，单价为50元， ∴费用为（元）； 方案三：两班各自单独给每位同学购买一套服装的费用为为（元）； ∵， ∴甲、乙两班合买81套服装最省钱． 迁移创新 26．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． ①若，则________； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，则符合条件的整数x的和为________． (2)翻折变换 ①若关于原点翻折数轴，、两点经折叠后重合，数轴上A、B两点之间的距离为2026，A在B的左侧，则A点表示________，B点表示________． ②折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，折叠中点对应的数是________．那折叠后10表示的点和表示________的点重合； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①或；② (2)①，；②， (3) 【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离定义进行解答即可；②根据数轴上两点间的距离定义得到符合条件的整数，再求和即可； （2）①根据数轴上两点间的距离定义进行解答即可；②折叠中点对应的数是两个端点表示的数的平均数，据此进行解答即可； （3）先求出点表示的数为，再根据折叠中点对应的数是两个端点表示的数的平均数进行解答即可． 【详解】（1）解：①∵可理解为数轴上表示数的点与表示的点之间的距离为． ∵或 ∴或 ②∵在数轴上表示3和的两点间的距离为， ∴要使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，则符合条件的整数为， ∴符合条件的整数x的和为； （2）解：①根据题意可得，、两点位于原点两侧且到原点的距离相等， ∵数轴上A、B两点之间的距离为，A在B的左侧， ∴A点表示，B点表示． ②折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，折叠中点对应的数是， 设折叠后10表示的点和表示的点重合，则， 解得， 即折叠后10表示的点和表示的点重合； （3）解：∵点A对应的点落在点B的右边，并且，点B表示的数是8， ∴点表示的数为， 由题意可得，点C表示的数是． 27．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示和3的两点之间的距离是_______； (2)小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠数轴，若表示2的点与表示的点重合． ①则与表示10的点重合的点表示的数是______； ②这时如果，（在的左侧）两点之间的距离为2026，且，两点经过折叠后重合，则，表示的数分别是多少？ (3)如图，在数轴上剪下12个单位长度（从到11）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是几？       【答案】(1)； (2)①；②M点表示的数是，则N点表示的数是； (3)或或． 【分析】（1）根据两点间距离的求法直接求解即可； （2）①根据折痕点的定义求解即可；②根据题意求出折痕点表示的数是，再求解即可； （3）设三条线段的长度分别是，求出，得到三条线段的长度分别是，分三种情况进行讨论解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和3的两点之间的距离是； （2）解：∵表示2的点与表示的点重合． ∴折痕点是， ∴与表示10的点重合的点表示的数是； ②设M点表示的数是，则N点表示的数是， ∴ 解得， ∴， 即M点表示的数是，则N点表示的数是； （3）解：∵三条线段的长度之比为， ∴可设三条线段的长度分别是， ∵从到11的距离为， ∴ 解得， ∴三条线段的长度分别是， ①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上可知，折痕处对应的点表示的数可能是或或． 28．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 29．（2026·北京·中考真题）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为，得出全程路程；再根据B类成绩规则，由公示成绩算出它含维护的实际总耗时，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，与总路程相等建立方程求解． 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 30．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 【答案】(1)540件 (2)21天 (3)选方案三 【分析】（1）设这批智能手表共有x件，根据“A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天”列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列一元一次方程，解方程即可求解； （3）应分为三种情况讨论：①由A厂单独完成；②由B厂单独完成；③按（2）问方式完成，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出既省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：设这批智能手表共有x件，根据题意列方程得， ， 解得：． 答：这批智能手表共有540件； （2）解：设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列方程得， ， 解得：． 所以，（天）． 答：B厂共生产智能手表21天； （3）解：方案一：A厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案二：B厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案三：A厂工作9天，B厂工作21天，时间为21天，费用为元． 比较时间：；比较费用：． 所以，方案三既省时又省钱． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $