4.2 一元一次方程及其解法（讲义）数学新教材苏科版七年级上册

第三章 一元一次方程 4.2 一元一次方程及其解法 1.理解一元一次方程的定义，能依据定义准确判断一个式子是不是一元一次方程，区分方程、一元一次方程2.掌握一元一次方程的解法步骤，规范进行移项、去括号、去分母等变形，理解每一步变形依据(等式性质3.会检验数值是否为一元一次方程的解，熟练掌握"已知一元一次方程的解，求参数"，体会代入思想。4.会处理解的关系类题型(同解、解互为相反数等)，了解简单绝对值方程的解法，提升分类讨论能力。 课标要点 1.理解一元一次方程的概念，能识别一元一次方程:只含一个未知数、未知数次数为 1、整式方程 2.熟练掌握一元一次方程完整求解步骤，知道每一步变形的依据与易错限制条件。 3.会检验一个数是不是一元一次方程的解;会把方程的解代入原方程求参数。 4.会解决同解、解满足数量关系类问题;能求解简单绝对值一元一次方程。 学习重难点 重点： 1.-元一次方程概念辨析，判断各式是否为一元一次方程 2.一元一次方程的解法:移项、去括号、去分母，规范解方程, 3.检验方程的解;已知方程的解求参数. 难点： 1.去分母时常数项漏乘公倍数、分子多项式忘记加括号。 2.括号前是负号时，去括号全部变号容易出错。 3.绝对值方程的分类讨论，不漏解、不增根。 v 知识点 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1.去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 特别提醒 1.解方程每一步变形依据都是等式性质；变形前先看清结构： 2.含参数、绝对值、小数分母、有无隐藏限制条件； 3.凡是求出参数、求出绝对值方程的解，优先回代检验。 随学随练 1．（26-27七年级上·全国·单元复习）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A．11 B． C．2 D．4 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程， 去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 拓展一元一次方程变形辨析 核心思路：判断解方程每一步变形是否正确，对照等式两条性质核査;重点关注去分母、去括号、移项的符号陷阱。 活学活用 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在学习了一元一次方程的解法后，小李独立完成了解方程：，具体步骤如下： 解：去分母，得：（1） 去括号，得：（2） 移项，得：（3） 合并同类项，得：（4） 两边同乘以，得： （5） 你认为小李在解题过程中存在变形错误的步骤是（　　） A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（5） 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）小勤解方程的过程如下： 解：去分母（方程两边乘10），得．    ① 去括号，得．      ② 移项、合并同类项，得．   ③ 系数化为1，得．    ④ 小勤解答过程中错误步骤的序号为___________． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）解方程：．小马虎同学给出如下解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 两边同时除以，得， 根据上述信息，解答下列问题： (1)指出上述解答过程中的错误步骤（直接写序号，简要说明错误的原因）； (2)给出正确的解答过程． 拓展 已知一元一次方程的解求参数 核心思路：把给定解代入原方程，替换未知数，得到只含参数的新一元一次方程，求出参数，最后回代验证 活学活用 5．（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 7．（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 8．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为（    ）． A． B． C． D． 题型 判断是否是一元一次方程 解题贴士 1.是等式，带有等号"=" 2.只含有一个未知数 3.未知数次数为 1 4.未知数不能在分母、根号里面(整式方程)5.先化简再判断，不能只看原始形式 ▌例1 （25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26七年级下·山西长治·期末）下列等式是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26七年级下·四川乐山·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型 判断是否是一元一次方程的解 解题贴士 1.将数值分别代入方程左边、右边 2.分开计算左右两边结果 3.左边 = 右边，则是方程的解;否则不是4.代入负数、分数时，一定要加括号 ▌例2（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-1（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． ▌对点练2-2（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，上表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是（　　） 0 1 2 5 3 1 A． B． C． D． 题型 解一元一次方程 解题贴士 合并同类型 1.把数值分别代入式子的左边、右边2.分别计算出左边结果、右边结果3.若左边 = 右边，就是方程的解;不相等则不是4.代入负数、分数时，记得添括号，防止符号出错 去括号 1.乘法分配律，括号外系数乘括号内每一项2.括号前面是负号，去括号后括号内每一项都变号3.一般先去小括号，再去中括号4.去括号完成后，再移项、合并同类项 去分母 1.找所有分母的最小公倍数2.等式两边每一项都乘公倍数，常数项不要漏乘3.分子是多项式时，去掉分母后，分子整体加括号4.去分母之后，依次去括号、移项、合并同类项 ▌例3（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）解方程．（要求写计算过程） (1) (2) ▌对点练3-1（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2) ； (3) ▌对点练3-2（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． ▌对点练3-3（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程： (1)； (2)． 题型 已知一元一次方程的解，求参数 解题贴士 1.把已知解代入原方程，替换未知数 2.得到只含参数的一元一次方程 3.按解方程步骤求出参数 4.求出参数后，回代检验 ▌例4（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知是关于的方程的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． ▌对点练4-1（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． ▌对点练4-2（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． ▌对点练4-3（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的解是整数，且是正整数，求满足条件的所有值的和． 题型 一元一次方程解的关系(同解、解互为相反数) 解题贴士 1.同解问题:先解不含参数的方程，把解代入另一个方程求参数 2.解互为相反数:分别求出两个方程的解，两解相加等于0列等式 3.解存在倍数关系:根据题意列出等式计算 4.审题分清谁是基准量 ▌例5（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． ▌对点练5-1（25-26七年级上·湖南株洲·期末）一元一次方程解答题：已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． ▌对点练5-2（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）两个关于的方程，方程的解比方程的解小4，求的值． ▌对点练5-3（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 题型 绝对值方程 解题贴士 1.基础形式=a:a >0两解;a =0-解;a <0 无解 2.把绝对值里面整体看成未知数，先求出绝对值等于多少 3.去掉绝对值，分两种情况讨论 4.求出解之后带回原方程检 ▌例6（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)． (2)． ▌对点练6-1（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程： (1)； (2)． ▌对点练6-2（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)； (2)． ▌对点练6-3（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 基础通关 1．（24-25六年级下·山东烟台·期中）下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知关于x的方程的解是， 则a的值为（    ） A． B．2 C． D．8 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 5．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）下列方程的变形中，属于移项的是（    ） A．由1，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）将四个数排列成，并且规定．若的值为6，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）若，则__________． 8．（26-27七年级上·全国·单元测试）当________时，式子的值是． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为________． 10．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若与的解相同，则的值为__________． 11．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·山东淄博·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 素养提升 13．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）方程 去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·四川凉山·期末）小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·云南普洱·期末）定义一种新的运算：．例如：，则当时，x的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 16．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知关于的方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（25-26七年级上·北京海淀·期末）记为M，为N．我们知道，当这两个代数式中的x取某一确定的有理数时，M和N的值也随之确定，例如当时，．若x和M，N的值如下表所示，则a和c的值分别是（   ） x的值 2 c M的值 3 b N的值 a b A．4，1 B．，1 C．4， D．， 18．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）若与互为相反数，则a的值为______________． 19．（26-27七年级上·全国·单元测试）小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________． 20．（25-26七年级下·河南开封·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 21．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和3的两点之间的距离是_____ ；表示﹣3和1两点之间的距离是_____ ．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么x＝_________ ． (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_______ ，最小距离是_____ ． (4)若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则=_____ ． 22．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 23．（26-27七年级上·广东东莞·阶段检测）数轴上两点A、B，点A在点B左边，原点O是线段上的一点，已知，且．点A，点B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)______，______，并在数轴上面标出A、B两点； (2)若，求x的值； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 迁移创新 24．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，如．按照这个规定，方程的解为（   ）． A． B． C．或 D． 25．（25-26七年级上·天津南开·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 26．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 27．（25-26七年级下·山东淄博·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，．若x是大于且小于的有理数，且，则x的值为___________． 28．（2026·宁夏固原·三模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 29．（25-26七年级上·浙江台州·期末）符号“h”表示一种运算，它对一些整数的运算如下： ，，，，，… (1)利用以上运算的规律写出______； (2)计算的值； (3)若（n为整数），求n的值． 30．（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值 ． 31．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次方程 4.2 一元一次方程及其解法 1.理解一元一次方程的定义，能依据定义准确判断一个式子是不是一元一次方程，区分方程、一元一次方程2.掌握一元一次方程的解法步骤，规范进行移项、去括号、去分母等变形，理解每一步变形依据(等式性质3.会检验数值是否为一元一次方程的解，熟练掌握"已知一元一次方程的解，求参数"，体会代入思想。4.会处理解的关系类题型(同解、解互为相反数等)，了解简单绝对值方程的解法，提升分类讨论能力。 课标要点 1.理解一元一次方程的概念，能识别一元一次方程:只含一个未知数、未知数次数为 1、整式方程 2.熟练掌握一元一次方程完整求解步骤，知道每一步变形的依据与易错限制条件。 3.会检验一个数是不是一元一次方程的解;会把方程的解代入原方程求参数。 4.会解决同解、解满足数量关系类问题;能求解简单绝对值一元一次方程。 学习重难点 重点： 1.-元一次方程概念辨析，判断各式是否为一元一次方程 2.一元一次方程的解法:移项、去括号、去分母，规范解方程, 3.检验方程的解;已知方程的解求参数. 难点： 1.去分母时常数项漏乘公倍数、分子多项式忘记加括号。 2.括号前是负号时，去括号全部变号容易出错。 3.绝对值方程的分类讨论，不漏解、不增根。 v 知识点 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1.去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 特别提醒 1.解方程每一步变形依据都是等式性质；变形前先看清结构： 2.含参数、绝对值、小数分母、有无隐藏限制条件； 3.凡是求出参数、求出绝对值方程的解，优先回代检验。 随学随练 1．（26-27七年级上·全国·单元复习）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项B的方程含两个未知数， 选项C的方程是分式方程， 选项D的方程中未知数最高次数为2，均不符合一元一次方程的要求； 只有选项A的符合要求． 2．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A．11 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】把代入方程，得到关于的方程，解方程即可解答． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程， 去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则计算，得到正确结果即可，需注意括号前是负因数时，去括号后括号内各项要改变符号． 【详解】解：， ， 去括号后得到． 4．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 拓展一元一次方程变形辨析 核心思路：判断解方程每一步变形是否正确，对照等式两条性质核査;重点关注去分母、去括号、移项的符号陷阱。 活学活用 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1)等式的性质2 (2)一 (3)完整的解题过程． 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【分析】（1）根据等式的性质回答即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤逐步判断即可； （3）根据解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步方程左右两边乘12，依据是等式的性质2； （2）解：上述小萌的解题过程从第一步开始出现错误，错误原因是漏乘12； （3）略 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在学习了一元一次方程的解法后，小李独立完成了解方程：，具体步骤如下： 解：去分母，得：（1） 去括号，得：（2） 移项，得：（3） 合并同类项，得：（4） 两边同乘以，得： （5） 你认为小李在解题过程中存在变形错误的步骤是（　　） A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（5） 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的求解过程． 逐步检查小李的解题步骤是否正确即可． 【详解】解：（1）错误，去分母时未乘以6，且分数项的分子未作为一个整体处理导致符号错误； （2）错误，去括号时未乘以2； （3）错误，移项时未变号； （4）正确； （5）正确； 变形错误的步骤是（1）（2）（3）． 故选：B． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）小勤解方程的过程如下： 解：去分母（方程两边乘10），得．    ① 去括号，得．      ② 移项、合并同类项，得．   ③ 系数化为1，得．    ④ 小勤解答过程中错误步骤的序号为___________． 【答案】①②/②① 【分析】去分母与去括号有误，错误原因是：去分母时各项都要乘以10，而不含分母的项5漏乘了10；去括号时42没有变号． 【详解】解：去分母（方程两边乘10），得．    ① 去括号，得．      ② 移项、合并同类项，得．   ③ 系数化为1，得．    ④ 小勤解答过程中错误步骤的序号为①②， 故答案为：①②． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）解方程：．小马虎同学给出如下解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 两边同时除以，得， 根据上述信息，解答下列问题： (1)指出上述解答过程中的错误步骤（直接写序号，简要说明错误的原因）； (2)给出正确的解答过程． 【答案】(1) 错误步骤：，，和， 原因：步骤去分母时，右边常数项没有乘以； 步骤去括号时，左边减号去括号没有变号，应为误写为； 步骤移项时，将左边的移到右边应变为； 步骤两边同时除以时，应得 (2)． 【分析】此题考查了一元一次方程解法，等式的性质，熟练掌握一元一次方程解法及步骤是解题的关键． （）根据等式的性质和去括号法则即可求解； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 两边同时除以，得． 拓展 已知一元一次方程的解求参数 核心思路：把给定解代入原方程，替换未知数，得到只含参数的新一元一次方程，求出参数，最后回代验证 活学活用 5．（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于x的一元一次方程的解为1， ∴ 解得． 7．（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据同解方程的定义，先求出第一个方程的解，再将解代入第二个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵ 方程与的解相同， ∴把代入，得， 解得． 8．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和一元一次方程的解法．先将已知方程的解代入，得到与的关系式，再将该关系式代入所求方程，利用一元一次方程的性质求解的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 ∴把代入，得 ∴ 又∵所求方程为，即 ∴将代入，得 ∵原方程是一元一次方程， ∴ ∴两边同时除以，得 ∴ 故选：B． 题型 判断是否是一元一次方程 解题贴士 1.是等式，带有等号"=" 2.只含有一个未知数 3.未知数次数为 1 4.未知数不能在分母、根号里面(整式方程)5.先化简再判断，不能只看原始形式 ▌例1 （25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，两边为整式的等式，逐一分析选项． 【详解】解：A.含2个未知数，不符合题意； B.中未知数最高次数为2，不符合题意； C.符合一元一次方程的要求，符合题意； D.不是等式，不属于方程，不符合要求． ▌对点练1-2（25-26七年级下·山西长治·期末）下列等式是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的概念判断，一元一次方程需满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A. ，含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B. ，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； C. ，满足只含1个未知数，未知数次数为1，且为整式方程，是一元一次方程，符合题意； D. ，分母含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意． ▌对点练1-3 （25-26七年级下·四川乐山·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A的方程含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，所以A错误； 选项B的方程中，未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义，所以B错误； 选项C的方程，只含1个未知数，未知数最高次数为1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程定义，所以C正确； 选项D的不含未知数，不是方程，不符合要求，所以D错误． 题型 判断是否是一元一次方程的解 解题贴士 1.将数值分别代入方程左边、右边 2.分开计算左右两边结果 3.左边 = 右边，则是方程的解;否则不是4.代入负数、分数时，一定要加括号 ▌例2（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意． 故选：D． ▌对点练2-1（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． ▌对点练2-2（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． ▌对点练2-3（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，上表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是（　　） 0 1 2 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程． 首先将方程变形为，观察表格可知，当时，，即可得出方程的解． 【详解】解：∵方程可以变形为， 而由表格中的对应值可知，当时，， ∴是方程的解， 故选：C． 题型 解一元一次方程 解题贴士 合并同类型 1.把数值分别代入式子的左边、右边 2.分别计算出左边结果、右边结果 3.若左边 = 右边，就是方程的解;不相等则不是 4.代入负数、分数时，记得添括号，防止符号出错 去括号 1.乘法分配律，括号外系数乘括号内每一项 2.括号前面是负号，去括号后括号内每一项都变号3.一般先去小括号，再去中括号 4.去括号完成后，再移项、合并同类项 去分母 1.找所有分母的最小公倍数 2.等式两边每一项都乘公倍数，常数项不要漏乘 3.分子是多项式时，去掉分母后，分子整体加括号 4.去分母之后，依次去括号、移项、合并同类项 ▌例3（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）解方程．（要求写计算过程） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：． ▌对点练3-1（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为1，得 ． （2）解： 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． （3）解： 去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得 ； 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． ▌对点练3-2（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． ▌对点练3-3（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据解一元一次方程的方法及步骤即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得； （2）解：， 去分母（方程两边同乘），得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 题型 已知一元一次方程的解，求参数 解题贴士 1.把已知解代入原方程，替换未知数 2.得到只含参数的一元一次方程 3.按解方程步骤求出参数 4.求出参数后，回代检验 ▌例4（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知是关于的方程的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，已知一元一次方程的解求参数，熟练掌握解一元一次方程的方法，是解题的关键． （1）把代入关于的方程，解关于m的方程即可； （2）将代入关于的方程，解关于y的方程即可． 【详解】（1）解：将代入方程，可得： ， 解得：． （2）解：由（1），于是， 解得． ▌对点练4-1（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． （1）根据小林的错误解法求出a的值； （2）根据正确方程求出其解即可． 【详解】（1）解：， 去分母时，方程右边的漏乘了6，所以， 解得， 因为此时方程的解为， 所以， 解得； （2）当时，正确的方程为， ， ， ， ． ▌对点练4-2（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． ▌对点练4-3（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的解是整数，且是正整数，求满足条件的所有值的和． 【答案】4 【分析】先解一元一次方程，再由解是整数以及k是正整数求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 因为关于的方程的解是整数，且是正整数， 所以或， 所以满足条件的所有值的和为． 题型 一元一次方程解的关系(同解、解互为相反数) 解题贴士 1.同解问题:先解不含参数的方程，把解代入另一个方程求参数 2.解互为相反数:分别求出两个方程的解，两解相加等于0列等式 3.解存在倍数关系:根据题意列出等式计算 4.审题分清谁是基准量 ▌例5（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】先解两个方程得出，，再根据两方程的解互为相反数得出，解方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， ， 去分母得， 去括号得，， 合并同类项得， ∵两个方程的解互为相反数 ∴， 解得，， ∴的值为． ▌对点练5-1（25-26七年级上·湖南株洲·期末）一元一次方程解答题：已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数的定义，一元一次方程的解及一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．先解方程，得，因为两个方程的解互为相反数，所以是方程的解，代入计算即可求解． 【详解】解：解方程， ， ， ， 解得， 两个方程的解互为相反数， ∴是方程的解， 代入，得， ， ， ， ， 解得． ▌对点练5-2（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）两个关于的方程，方程的解比方程的解小4，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是方程的解的定义，解一元一次方程，理解方程解的含义并列出关于a的一元一次方程是解题的关键． 先分别解出两个方程的解，然后根据题意列出关于a的一元一次方程并解答即可． 【详解】解：解方程得，， 解方程得，， ∵方程的解比方程的解小4， ∴， 解得． ▌对点练5-3（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 【答案】，方程②的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．用含的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于的方程，求解可得的值，将的值代入方程②中即可解得的值． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵方程①的解比方程②的解大2， ∴，解得：， 将代入方程②中得：， 解得：． 题型 绝对值方程 解题贴士 1.基础形式=a:a >0两解;a =0-解;a <0 无解 2.把绝对值里面整体看成未知数，先求出绝对值等于多少 3.去掉绝对值，分两种情况讨论 4.求出解之后带回原方程检 ▌例6（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据绝对值的性质，分两种情况讨论，进一步解一元一次方程即可； （2）根据绝对值的性质，分三种情况讨论，进一步解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ， 分两种情况讨论： 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，符合， 原方程的解为：或． （2）解： 分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，不符合，故舍去， 原方程的解为：或． ▌对点练6-1（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． ▌对点练6-2（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． ▌对点练6-3（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 【答案】(1)或 (2)m的值是或 【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； （1）仿照题中所给方法进行求解即可； （2）先得出方程的解，然后再代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ①若，则； ②若，则 所以原方程的解是或． （2）解：由，得， ①若，则； ②若，则． 所以的解是或． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以m的值是或． 基础通关 1．（24-25六年级下·山东烟台·期中）下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为，且等号两边都是整式的方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 选项A、中，未知数的最高次数为，不符合一元一次方程定义，∴ A错误； ∵ 选项B、的分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，∴ B错误； ∵ 选项C、中含有和两个未知数，不符合定义，∴ C错误； ∵ 选项D、，只含有一个未知数，未知数次数为，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，∴ D正确． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去括号得：． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知关于x的方程的解是， 则a的值为（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵方程的解是， ∴， 解得： 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 【答案】A 【分析】先明确等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立．对比原方程和移项后的方程，分析方程两边的变化．因为原方程右边有，移项后右边没有、左边出现，所以判断方程两边同时进行的运算． 【详解】解：两边同时减去， 得， 合并同类项得． 5．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）下列方程的变形中，属于移项的是（    ） A．由1，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据移项的定义，即把方程中某一项改变符号后从等号一侧移到另一侧的变形叫做移项，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A中，由得，是等式两边同乘3，将系数化为1，不属于移项，∴A不符合题意； ∵选项B中，由得，是等式两边同除以3化简方程，不属于移项，∴B不符合题意； ∵选项C中，由得，是等式两边同除以5，将系数化为1，不属于移项，∴C不符合题意； ∵选项D中，由 得 ，将原方程右侧的改变符号后移到左侧，符合移项的定义，∴D符合题意． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）将四个数排列成，并且规定．若的值为6，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题目规定的新运算规则列出方程，再求解一元一次方程即可得到x的值． 【详解】解：∵，且的值为6 ∴， ∴， ∴， ∴，即 解得， 故选：B． 7．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）若，则__________． 【答案】3或 【分析】将绝对值方程分类讨论即可求解． 【详解】解：， 则或 ∴或． 8．（26-27七年级上·全国·单元测试）当________时，式子的值是． 【答案】 【分析】根据式子的值为列出一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：由题意得， 解得． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，列出一元一次方程，求解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ． 10．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若与的解相同，则的值为__________． 【答案】 【分析】先解方程得到的值，再将的值代入 ，即可求解得到的值． 【详解】解：解一元一次方程， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 将代入， 得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 11．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 12．（25-26七年级下·山东淄博·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解的定义，把代入误抄后的方程即可求出a的值； （2）把a的值代入原方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：依题意可知方程的解为． 把代入，得． ， ， ； （2）解：把代入，可得原方程为． 去分母，得 ． 去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 素养提升 13．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）方程 去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为此方程的最简公分母是3，将方程两边同时乘3，去掉分母，对乘3后的式子进行整理，对比选项得到结果即可． 【详解】方程的分母为，将方程两边同时乘，得，对应选项B． 【点睛】去分母时要将方程两边的每一项都乘最简公分母，不能漏乘不含分母的项． 14．（25-26七年级上·四川凉山·期末）小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目给出小明在解方程时犯了一个常见的符号错误：去括号时没有改变括号内第二项的符号．我们可以通过他错误的解反推出参数的值，然后将代入原方程，正确解出方程的解．关键在于理解错误操作下的方程形式，并据此建立等式求出． 【详解】解：因此他的错误方程为： ． 代入错误解， 解得： 代入原方程： 即： 解得： 15．（25-26七年级上·云南普洱·期末）定义一种新的运算：．例如：，则当时，x的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定的运算规则，代入得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵，且 ∴， 解得． 16．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知关于的方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，解方程得到，由方程的解为正整数，可知是5的正因数，从而求出整数的值，再求和即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的方程的解为正整数， ∴是正整数， 又∵k为整数， ∴是5的正因数，即或， 解得或， ∴ 所有整数的和为， 故选：C． 17．（25-26七年级上·北京海淀·期末）记为M，为N．我们知道，当这两个代数式中的x取某一确定的有理数时，M和N的值也随之确定，例如当时，．若x和M，N的值如下表所示，则a和c的值分别是（   ） x的值 2 c M的值 3 b N的值 a b A．4，1 B．，1 C．4， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，解一元一次方程，把代入中求出的值即可得到a的值，再根据当时，M和N的值都为b建立方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，，当时，， 由表格可知，当时，M和N的值都为b， ∴， 解得， 故选：A． 18．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）若与互为相反数，则a的值为______________． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数之和为列方程，求解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得． 19．（26-27七年级上·全国·单元测试）小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________． 【答案】 【分析】设被污染的数字为，将已知解代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：设●表示的数字为，则原方程为， ∵方程的解为， ∴将代入方程得， 两边同乘得， 去括号得， 整理得， 解得． 20．（25-26七年级下·河南开封·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【分析】方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，即可求得的值． 【详解】解：方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：， 把代入方程，得， 解得：． 21．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和3的两点之间的距离是_____ ；表示﹣3和1两点之间的距离是_____ ．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么x＝_________ ． (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_______ ，最小距离是_____ ． (4)若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则=_____ ． 【答案】(1)1；4 (2)1或-5 (3)10；2 (4)7 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式，即两点表示的数之差的绝对值可得； （2）根据绝对值的几何意义，找到距离为3的点即可； （3）分别求出点和所对应的数，再利用两点间的距离公式求解即可； （4）根据绝对值的几何意义知，就是表示数的点到和的距离之和． 【详解】（1）；． （2）， 在数轴上，到距离为3的点有两个， 在的左侧，；在的右侧，． 或． （3），， ，． 当，时，距离为； 当，时，距离为； 当，时，距离为； 当，时，距离为； 综上所述，最大距离为10，最小距离为2． （4）表示数a的点位于﹣2与5之间， ． ． 22．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下： 解第一个方程， ， ， 解第二个方程， ， 解得：， ， 这两个方程不是“和解方程”． (2) 【分析】（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案； （2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 关于的方程与方程是“和解方程”， ， ． 23．（26-27七年级上·广东东莞·阶段检测）数轴上两点A、B，点A在点B左边，原点O是线段上的一点，已知，且．点A，点B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)______，______，并在数轴上面标出A、B两点； (2)若，求x的值； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2)x的值为4或 (3)的值为定值，不随时间变化而变化，值为 【分析】（1）根据，且，确定a和b的值； （2）分别用含x的代数式表示出和长度，再根据建立等式，求解即可； （3）分别表示出t秒后，点A、B、P对应的数，再代入，化简即可． 【详解】（1）解：，，原点O是线段上一点， ，， ，； （2）①点P在点A左侧，，不合题意； ②点P在线段上，可知：，， ， 解得：； ③点P在点B右侧，可知：，， ， ， 解得：； 综上所述，x的值为4或． （3）的值为定值，不随时间变化而变化，理由如下： t秒后，点A表示的数为，点P表示的数为，点B表示的数为， ，， ， 的值为定值，不随时间变化而变化，值为． 迁移创新 24．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，如．按照这个规定，方程的解为（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】分和两种情况，分别根据的定义，化简方程并求解即可． 【详解】解：①当，即时， ∴原方程可化为，解得，符合题意； 情况2：当，即时，， ∴原方程可化为，解得，不符合题意舍弃． 综上，方程的解为． 【点睛】需要灵活使用分类讨论思想． 25．（25-26七年级上·天津南开·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 方程与是“美好方程”， ∴方程的解是， 可化为：， ， ， 故选：B． 26．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查含绝对值的方程，通过分析方程的解的情况，根据绝对值方程的性质，讨论参数的取值对根数量的影响． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵方程恰好有三个根， ∴或， 当时，原方程化为或。 方程无解，方程有一解，故原方程只有1个根，不合题意； 当时，原方程化为或。 由得或；由得，故原方程有3个根，符合题意； 综上，， 故选：D． 27．（25-26七年级下·山东淄博·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，．若x是大于且小于的有理数，且，则x的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程求解，理解新定义的整数部分与小数部分的含义，根据的取值范围确定，再将原方程转化为关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：是大于且小于的有理数，根据定义可得， ， 又 ， ， 将，代入方程， 得， 整理得 ， 移项得 ， 解得 ． 28．（2026·宁夏固原·三模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 【答案】或 【分析】由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， 两个圈的和各为，横、竖的和也各为， 则， 得， 由， 得， 由， 得， 当时，，则， 当时，，则， 29．（25-26七年级上·浙江台州·期末）符号“h”表示一种运算，它对一些整数的运算如下： ，，，，，… (1)利用以上运算的规律写出______； (2)计算的值； (3)若（n为整数），求n的值． 【答案】(1) (2) (3)2027 【分析】本题考查数字规律型、解一元一次方程、有理数的加减混合计算，（1）根据题意，总结归纳得，进而求解即可； （2）根据归纳的规律求解即可； （3）根据题意得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵（n为整数）， ∴， ∴． 30．（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值 ． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的新定义，熟练掌握定义，灵活解方程是解题的关键． （1）根据定义计算判定即可； （2）根据定义解答即可； （3）根据定义，解答即可． 【详解】（1）解：①由，得，又，， 符合新定义， 故①是“友好方程”； ②由，得，又，， 不符合新定义， 故②不是“友好方程”， 故答案为：①． （2）解：由，得， 由关于x的一元一次方程是“友好方程”， 故， 解得． （3）解：一元一次方程的解为， 由一元一次方程的解为， 故， 由， 得， 解得， 故关于x的一元一次方程变形为， 由关于x的一元一次方程是“友好方程”， 故， 解得， 故m与n的值分别为． 31．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【答案】(1)是 (2)或 (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，一元一次方程的解法，绝对值方程的应用； （1）由方程的解是，方程的解是，再利用新定义的含义计算并判断即可； （2）分别解方程，，再结合新定义可得：，即，进一步求解即可； （3）分别解方程，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即， ∴或， 解得：或； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $