4.2一元一次方程及其解法 讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本讲义聚焦“一元一次方程及其解法”核心知识点，先通过定义（等号两边为整式、含一个未知数、最高次数1）构建概念认知，再系统梳理解法步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）及依据（等式性质），形成从概念理解到技能应用的学习支架。 资料设计注重概念辨析（如判断一元一次方程）、解法训练（含各类方程求解）及错误分析（如去分母漏乘、去括号变号错误），结合“美好方程”等新定义题，培养抽象能力、运算能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过练习与解析巩固知识，查漏补缺。

4.2一元一次方程及其解法 知识点一：一元一次方程 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的方程。 例1：下列式子：①a-2=；②2x=4；③ =2x+2；④x2-5x=6； ⑤4b+3；⑥x+2y=0；是一元一次方程的有： 巩固练习： 1.下列式子是一元一次方程的是（ ） A.2a+b B.3x2=1 C.2x+y=4 D.x+1=-2 2.已知下列式子：①+8=4；②3a+b=5；③5x2+2=7；④3x=；⑤+2=1；⑥x-1≠0 ⑦2+3=5；⑧x+1=2x+；⑨3a=10；⑩xy=1，其中一元一次方程的个数有（ ）个。 A.4 B.8 C.5 D.6 3.若（m+2）x｜m｜-1=4，是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ） 4.若关于x的方程（m+1）x2+(2m-3)x+3m=0是一元一次方程，则m的值是（ ） 知识点二：解一元一次方程 1.依据：等式的基本性质。 2.步骤：（1）移项： ①目的：一般把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边； ②依据：等式的基本性质1 ③方法：移项变号，即将方程里的项从等号的一边移到等号另一边，一定要改变所移项的符号；如果只在等号的一边，改变每一项的前后顺序，则不用变号，要注意区分。 （2）去括号：去括号法则 ①括号前面是“-”，将“-”以及括号一同去掉，括号里面的每一项都变号，“+”变“-”，“-”变“+”；②括号前面是“+”，直接去括号，每一项的符号不改变；③括号前面有数字时，一定要根据乘法分配律，将数字乘进括号里面的每一项上，再去括号； （3）去分母：方程的各项都要乘所有分母的最小公倍数，从而约分去分母； ①依据：等式的基本性质2 ②注意：不含分母的项千万不要漏乘 （4）合并同类项 （5）化未知数的系数为1 例1：运用等式的基本性质解下列方程 3x-2=7 24-2x=8 -5=15 例2：方程x-4=3x+5,移项后正确的是（ ） A.x+3x=5+4 B.x-3x=5-4 C.x-3x=-4+5 D.x-3x=5+4 巩固练习： 1.下列选项正确的是（ ） A.由5x=2x-3移项可得5x-2x=3 B.-1=，去分母得2（2x-1）-1=3(x-3) C.由2（2x-1）-3(x-3)=1,去括号得4x-2-3x-9=1 D.由2（x+1）=x+7去括号，移项，合并同类项，得x=5 2.下列变形错误的是（ ） A.由3a=3b，得a=b B.1-(x-1)=2得1-x+1=2 C.-x=1得x-1-2x=2 D.由-2x=2x得x=-1 例3：在解方程 - =1时，去分母正确的是（ ） A.2（x+1）-6x-3=1 B. 2（x+1）-(6x-3)=1 C. 2（x+1）-6x-3=6 D. 2（x+1）-(6x-3)=6 例4：解下列方程 （1）3x-20=25-2x (2)2x=-2(x-1) (3)-x=+1 (4)=1+ (5)-=-1 (6)(x-5)=(x-1)- 巩固练习： 1.若代数式2a-1与1+a,互为相反数，则a=( ). 2.当x取何值时，代数式的值与1-的值互为相反数？ 3.已知x=2是关于x的一个方程3x+a=0的一个解，则a的值是（ ） 4.对于两个非0得数a,b,规定a®b=a-，若(2x+1)®2=1，则x得值为（ ） 5.当x取什么值时，代数式与1-的值相等？ 6.解下列方程：（1）4-（x-3）=2(x-1) (2)+1= (3) 4x-3(20-x)=3 (4) - = -1 例5：解方程 (1) 2（x+1）-(x-1)=2(x-1)+(x+1) (2)=-2 巩固练习：（1）3（2x-3）-(3-2x)=5(3-2x)+(2x-3) (2)-= 例6：关于x的方程=1-的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为（ ） 巩固练习： 1.已知a,b为常数，关于x的一元一次方程=1-,无论k为何值，它的解总是x=3,则ab= 2.已知关于x的方程x-=-1有正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ） A.-14 B.-45 C.45 D.-135 3.若关于x的方程2x+3=kx的解时整数，则整数k可以取何值？ 4.已知x=2是方程ax+12=24+a的解，解方程+2=10- 例7：明明解方程3x-=5-(2x-1)时，在去分母这一步出现了错误，并继续解方程。 解：去分母得6x-3x+1=5-2(2x-1) 改正： ，依据 去括号得 ，依据 移项得 ，依据 合并同类项得 ，依据 系数化为1得 ，依据 巩固练习： 1.下面时一位同学解方程得过程，请认真阅读并完成相应的问题 -=1 解：3（x+3）-2(3x-2)=6……第一步 3x+9-6x-4=6……第二步 3x-6x=6-9+4……第三步 -3x=1……第四步 X=-……第五步 （1）以上解题过程，第一步的依据是 （2）从第（ ）步开始出现错误，错误原因是 （3）请写出正确的解题过程 例8.小明解关于x的方程+2=，由于粗心大意，在去分母时，方程左边2没有乘6，由此求得的解为x=3,试求a的值，并求出方程正确的解。 巩固练习： 粗心的小红在解方程+1=a-时，把“2-x”抄成了”x-2”,解得x=4, （1）请帮小红求出a处的数字 （2）请求出原方程正确的解 例9.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程” （1）若关于x的方程3x+m=0和4x-2=x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n,求n的值 （3）若关于x的一元一次方程x+3=2x+k和x+1=0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）+3=2y+k+2的解 巩固练习：【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x,y满足x+y=10,则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程” 例如：一元一次方程x-9=0的解是x=9,方程｜y｜=1的所有解是y=1或y=-1.当y=1时，X+y=10，所以｜y｜=1是一元一次方程x-9=0的“友好方程” 【问题解决】 （1）已知关于y的方程 ：①2y-2=4；②｜y｜=3；请通过计算说明哪个方程是一元一次方程x-13=0的“友好方程” （2）若关于y的方程｜y-1｜=1是关于x的一元一次方程x- =a+1的“友好方程”，求a的值 答案解析 知识点一：一元一次方程 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的方程。 例1：下列式子：①a-2=；②2x=4；③ =2x+2；④x2-5x=6； ⑤4b+3；⑥x+2y=0；是一元一次方程的有： 参考答案：②③ 巩固练习： 1.下列式子是一元一次方程的是（ ） A.2a+b B.3x2=1 C.2x+y=4 D.x+1=-2 参考答案：D 2.已知下列式子：①+8=4；②3a+b=5；③5x2+2=7；④3x=；⑤+2=1；⑥x-1≠0 ⑦2+3=5；⑧x+1=2x+；⑨3a=10；⑩xy=1，其中一元一次方程的个数有（ ）个。 A.4 B.8 C.5 D.6 参考答案： ①④⑧⑨共4个，故选A 3.若（m+2）x｜m｜-1=4，是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ） 解析：因为（m+2）x｜m｜-1=4，是关于x的一元一次方程，则｜m｜-1=1,解得m=2或m=-2，又因为m+2≠0，m≠-2，故m得值为2 4.若关于x的方程（m+1）x2+(2m-3)x+3m=0是一元一次方程，则m的值是（ ） 解析：因为（m+1）x2+(2m-3)x+3m=0是一元一次方程，则意味着二次项得系数为0，即m+1=0，m=-1 知识点二：解一元一次方程 1.依据：等式的基本性质。 2.步骤：（1）移项： ①目的：一般把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边； ②依据：等式的基本性质1 ③方法：移项变号，即将方程里的项从等号的一边移到等号另一边，一定要改变符号；如果只在等号的一边，改变每一项的前后顺序，则不用变号，要注意区分。 （2）去括号：去括号法则 ①括号前面是“-”，将“-”以及括号一同去掉，括号里面的每一项都变号，“+”变“-”，“-”变“+”；②括号前面是“+”，直接去括号，每一项的符号不改变；③括号前面有数字时，一定要根据乘法分配律，将数字乘进括号里面的每一项上，再去括号； （3）去分母：方程的各项都要乘所有分母的最小公倍数，从而约分去分母； ①依据：等式的基本性质2 ②注意：不含分母的项千万不要漏乘 （4）合并同类项 （5）化未知数的系数为1 例1：运用等式的基本性质解下列方程 3x-2=7 24-2x=8 -5=15 参考答案：x=3；x=8；x=40 例2：方程x-4=3x+5,移项后正确的是（ ） A.x+3x=5+4 B.x-3x=5-4 C.x-3x=-4+5 D.x-3x=5+4 解析：谨记从等号一边移到另一边同时变号；正确选D 巩固练习： 1.下列选项正确的是（ ） A.由5x=2x-3移项可得5x-2x=3 B.-1=，去分母得2（2x-1）-1=3(x-3) C.由2（2x-1）-3(x-3)=1,去括号得4x-2-3x-9=1 D.由2（x+1）=x+7去括号，移项，合并同类项，得x=5 解析： A.由5x=2x-3移项可得5x-2x=3；等号右边的-3并没有移动，因而不该变号，故错 B.-1=，去分母得2（2x-1）-1=3(x-3)；第二项1没乘6，故而不对 C.由2（2x-1）-3(x-3)=1,去括号得4x-2-3x-9=1；第二个括号前面是负号，去了括号要每项变号，故而不对 D.由2（x+1）=x+7去括号，移项，合并同类项，得x=5；正确 2.下列变形错误的是（ ） A.由3a=3b，得a=b B.1-(x-1)=2得1-x+1=2 C.-x=1得x-1-2x=2 D.由-2x=2x得x=-1 参考答案：D 例3：在解方程 - =1时，去分母正确的是（ ） A.2（x+1）-6x-3=1 B. 2（x+1）-(6x-3)=1 C. 2（x+1）-6x-3=6 D. 2（x+1）-(6x-3)=6 解析：谨记每一项都要乘6，正确选D 例4：解下列方程 （1）3x-20=25-2x (2)2x=-2(x-1) (3)-x=+1 (4)=1+ (5)-=-1 (6)(x-5)=(x-1)- 参考答案：（1）x=9；（2）x=；（3）x=；（4）x=3；（5）x=；（6）x=16 巩固练习： 1.若代数式2a-1与1+a,互为相反数，则a=( ). 解析：因为代数式2a-1与1+a,互为相反数，所以2a-1+1+a=0，化简得3a=0,a=0 2.当x取何值时，代数式的值与1-的值互为相反数？ 解析：+1-=0，解得x=- 3.已知x=2是关于x的一个方程3x+a=0的一个解，则a的值是（ ） 解析：将x=2代入方程3x+a=0为6+a=0,解得a=-6 4.对于两个非0得数a,b,规定a®b=a-，若(2x+1)®2=1，则x得值为（ ） 参考答案： 5.当x取什么值时，代数式与1-的值相等？ 解析：令=1-解得x= 6.解下列方程：（1）4-（x-3）=2(x-1) (2)+1= (3) 4x-3(20-x)=3 (4) - = -1 参考答案：（1）x=3；（2）x=；（3）x=9；（4）x= 例5：解方程 (1) 2（x+1）-(x-1)=2(x-1)+(x+1) (2)=-2 解：2（x+1）-(x+1) = (x-1)+ 2(x-1) 解：=-2 （x+1）=(x-1) 3（x-5）=2(2x+3)-12 3（x+1）=5(x-1) 3x-15=4x+6-12 3x+3=5x-5 3x-4x=6-12+15 3x-5x=-5-3 -x=9 -2x=-8 x=-9 X=4 巩固练习：（1）3（2x-3）-(3-2x)=5(3-2x)+(2x-3) (2)-= 参考答案：（1）x=；（2）x=84 例6：关于x的方程=1-的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为（ ） 解析：把k当作常数，解方程=1-，可得x=，又因为它的解为整数，所以x=为整数，即可得下表： 2k+3 1 -1 5 -5 k -1 -2 1 -4 所以符合条件的所有整数k的和为-6 巩固练习： 1.已知a,b为常数，关于x的一元一次方程=1-,无论k为何值，它的解总是x=3,则ab= 解析：理解：无论k为何值，它的解总是x=3，也就意味着方程得解与k无关，也就是说含k的项不存在，也就是含k项的系数为0.带着这个思路解题。 将x=3代入方程=1-去分母，移项，化简得k(24+3b)=21-4a,由题意得 24+3b=0,解得b=-8；21-4a=0,解得a=，所以，ab=-8×=-42 2.已知关于x的方程x-=-1有正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ） A.-14 B.-45 C.45 D.-135 解析：将a看作常数，先求x的解得，又因为此解为正整数，a为整数，则a+4得取值可为-5，-1，所以，a分别为-9，-5，所以整数a的所有可能的取值的和为-9-5=-14，故选A 3.若关于x的方程2x+3=kx的解是整数，则整数k可以取何值？ 解析：由方程2x+3=kx得x=,因为x是整数，即为整数，即k-2可取1，-1，3，-3，如下表： k-2 1 -1 3 -3 k 3 1 5 -1 所以，k可取1，-1，3，5 4.已知x=2是方程ax+12=24+a的解，解方程+2=10- 解析：将x=2代入方程ax+12=24+a为2a+12=24+a,解得a=12，a=12代入方程+2=10-为+2=10-，求解可得y= 例7：明明解方程3x-=5-(2x-1)时，在去分母这一步出现了错误，并继续解方程。 解：去分母得6x-3x+1=5-2(2x-1) 改正： ，依据 去括号得 ，依据 移项得 ，依据 合并同类项得 ，依据 系数化为1得 ，依据 参考答案：6x-3x-3=30-2(2x-1),等式得基本性质2 6x-3x-3=30-4x+2，乘法分配律和去括号得法则 6x-3x+4x=30+2+3,等式得基本性质1 7x=35,合并同类项法则 X=5,等式得基本性质2 巩固练习： 1.下面时一位同学解方程得过程，请认真阅读并完成相应的问题 -=1 解：3（x+3）-2(3x-2)=6……第一步 3x+9-6x-4=6……第二步 3x-6x=6-9+4……第三步 -3x=1……第四步 X=-……第五步 （1）以上解题过程，第一步的依据是 （2）从第（ ）步开始出现错误，错误原因是 （3）请写出正确的解题过程 参考答案：（1）等式的基本性质2； （2）二，去括号时，括号前面是“-”，去了括号没有变号 （3）-=1 解：3（x+3）-2(3x-2)=6 3x+9-6x+4=6 3x-6x=6-9-4 -3x=-7 X= 例8.小明解关于x的方程+2=，由于粗心大意，在去分母时，方程左边2没有乘6，由此求得的解为x=3,试求a的值，并求出方程正确的解。 解析：将x=3代入2（2x-1）+2=3(x-a)为2×5+2=3（3-a）可得12=9-3a,解得a=-1 将a=-1代入原方程为+2=，求解可得x=-7 巩固练习： 粗心的小红在解方程+1=a-时，把“2-x”抄成了”x-2”,解得x=4, （1）请帮小红求出a处的数字 （2）请求出原方程正确的解 解析：（1）将x=4代入方程+1=a-可得=a-，求解可得a=3 (2)将a=3代入原方程为+1=3-求解可得x=8 例9.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程” （1）若关于x的方程3x+m=0和4x-2=x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n,求n的值 （3）若关于x的一元一次方程x+3=2x+k和x+1=0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）+3=2y+k+2的解 解析：（1）解方程4x-2=x+10得x=4,因此方程3x+m=0得解为x=-3，将x=-3代入方程3x+m=0为-9+m=0,求解可得m=9 (2)设“美好方程”得另一个解为a,则由题意可得a+n=1,｜a-n｜=8, 由a+n=1可得a=1-n,代入｜a-n｜=8为｜1-2n｜=8,去绝对值可得n1=-,n2= (3)解方程x+1=0可得x1=-2026，因为一元一次方程x+3=2x+k和x+1=0是“美好方程”，所以方程x+3=2x+k得解为x2=2027, 因为求关于y的一元一次方程（y+1）+3=2y+k+2可化为 （y+1）+3=2（y+1）+k，所以y+1=2027,所以y=2026 巩固练习：【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x,y满足x+y=10,则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程” 例如：一元一次方程x-9=0的解是x=9,方程｜y｜=1的所有解是y=1或y=-1.当y=1时，X+y=10，所以｜y｜=1是一元一次方程x-9=0的“友好方程” 【问题解决】 （1）已知关于y的方程 ：①2y-2=4；②｜y｜=3；请通过计算说明哪个方程是一元一次方程x-13=0的“友好方程” （2）若关于y的方程｜y-1｜=1是关于x的一元一次方程x- =a+1的“友好方程”，求a的值 解析：（1）解方程①2y-2=4得y=3,解方程 ②｜y｜=3得y=3或y=-3. 解一元一次方程x-13=0得x=13，13+（-3）=10，所以②｜y｜=3是一元一次方程x-13=0的“友好方程” （2）解方程｜y-1｜=1可得y=2或y=0，解方程x- =a+1，得x=4a+3 当4a+3+2=10时，a=；当4a+3+0=10时a=，所以a可取或 学科网（北京）股份有限公司 $