专题09一元一次方程的应用知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题09一元一次方程的应用知题通关讲义 知识点01：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数。 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6答：写出答案，包括单位。 知识点 02 两种设元方法对比 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量 b=B种配件总数量a 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。 解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 5. 球赛积分问题 相等关系： 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数； 比赛总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分。 6. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 7.利息问题 （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）。 （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数)。 8.年龄问题 “年龄问题” 的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住 “年龄差” 是解答年龄问题的关键。 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 1、审题提取等量关系错误，自行增设题干不存在的条件 易错提醒：列方程前梳理题干给出的和、差、倍、分数量关系；方程所有数量必须来源于题干已知信息，不得引入题目未给出的等量关系。 2、设未知数格式不规范，单位处理不一致 易错提醒：若所求量带有单位，设未知数时需要标注对应单位；方程内部所有参与运算的数量单位必须统一，单位不统一直接列式会造成方程错误。 3、配套问题配套比例列式颠倒 易错提醒：依据题目给出的配套比值建立等式；零件数量之比等于配套规定比值；严格区分两类零件的前后顺序，防止比例左右倒置。 4、行程问题行驶方向识别错误，公式选用不当 易错提醒：基础关系式路程=速度×时间；相遇问题总路程等于两者路程之和；追及问题路程差等于初始相距距离；准确区分相向、同向、背向三种行驶方向。 5、工程问题总工作量与效率运算错误 易错提醒：题干未给出具体总工作量时，将总工作量记为1；工作总量＝工作效率×工作时间；多人合作时，总工作效率等于单人工作效率相加，不可直接相加工作时间。 6、利润问题利润率计算公式分母混淆 易错提醒：单件利润＝售价－进价；利润率=利润÷进价×100%；利润率计算的分母为进价，不能使用售价作为分母进行运算。 7、求解完成后未检验解的实际意义 易错提醒：得到方程的解之后，检验结果是否符合实际背景；人数、物件个数必须为正整数；不符合实际背景的解直接舍去。 8、日历问题相邻日期差值判断错误 易错提醒：日历横向相邻日期差值为1，纵向相邻日期差值为7；不能将纵向日期差值记作1；根据该规律正确表示其余未知日期。 9、分配问题移多补少等量关系建立错误 易错提醒：物资调配类题目，注意同时观察调出一方与接收一方的数量变化；调出方数量减少，接收方数量增加；只计算其中一侧数量变化会造成等量关系错误。 10、答题时直接写方程结果，缺少完整答题步骤 易错提醒：解应用题需要完成设元、列方程、解方程、检验、作答完整流程；不可省略设未知数以及最后的答句。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏 ★★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★★ 题型十 电费和水费问题 ★★ 题型十一 行程问题 ★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 配套问题 1．在红色文化纪念馆，同学们可以制作红旗来表达对革命先烈的敬意和缅怀之情．已知1张黄色卡纸可制作3个大星星或8个小星星，1个大星星配4个小星星为一套．现有30张卡纸，设用x张卡纸制作大星星，其余卡纸制作小星星，恰好配套组成国旗上的五个星星．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据大星星与小星星的配套比例关系，结合卡纸数量和制作星星数量的对应关系列方程，核心是利用“1个大星星配4个小星星”的配套规则建立等量关系． 【详解】解：∵用张卡纸制作大星星，现有30张卡纸， ∴制作小星星的卡纸为张， ∵1张黄色卡纸可制作3个大星星， ∴大星星总数为个， ∵1张黄色卡纸可制作8个小星星， ∴小星星总数为个， 又∵1个大星星配4个小星星为一套，即小星星数量是大星星数量的4倍， ∴ 故选：C． 2．某工厂安排120名工人加工一批桌子，每张桌子由一张桌面和四条腿组成，每个工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿（每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿恰好配套，每天应该安排______人生产桌面． 【答案】40 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配人生产桌面，则人生产桌腿，找出合适的等量关系，列方程即可． 【详解】解：设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 由题意，得， 解得， ∴每天应该安排40人生产桌面． 故答案为：40． 3．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 4．已知某工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)一数学课外兴趣小组到该工厂去参观，得知工厂要制作一批糖果盒，厂长不知如何分配工人，同学们决定运用学过的知识帮助工厂解决实际问题．通过调查得知：每个工人平均每小时可以制作盒身5个或盒底12个，该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么你认为调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工36人，有女工52人 (2)调12名女工帮男工制作盒身时，能使每小时制作的盒身与盒底配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）设调名女工帮男工制作盒身，根据每小时制作的盒身与盒底恰好配套，列出一元一次方程，解方程， 即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工36人，有女工52人． （2）解：设调名女工帮男工制作盒身， 由题意得：， 解得． 答：调12名女工帮男工制作盒身时，能使每小时制作的盒身与盒底配套 题型二 工程问题 5．整理一批数据，由人整理需要完成．现在计划先由一些人整理，再增加人整理，完成这项工作的，若设先由人整理，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据一人完成需小时，可得每人每小时的工作效率为，先由人整理小时，完成的工作量为，再增加人后，有人整理小时，完成的工作量为，总完成工作量等于，由此列出方程． 【详解】解：设先由人整理小时， 则根据题意，可列方程为， 故答案为：． 6．一项工程甲队单独做需40天完成，乙队单独做需60天完成，甲队先单独做5天，然后甲、乙两队合作完成这项工程．若两队合作天完成这项工程，根据题意可列方程，列该方程所依据的相等关系是（     ） A．甲队5天的工作量+乙队的工作量=总工作量 B．甲队5天的工作量+两队合作的工作量=总工作量 C．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×合作天数=总工作量 D．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×总工作天数=总工作量 【答案】B 【详解】解：总工作量记为1．甲队单独做5天的工作量为，甲、乙合作天的工作量为． 方程的等量关系为甲队5天的工作量与两队合作的工作量之和等于总工作量， 对应选项B． 7．解决问题： (1)甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨．为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？ (2)一收割机队每天收割小麦15公顷，收割完一片麦地的后，该收割机队改进操作，效率提高到原来的倍，因此比预定时间提早2天完成收割任务．问：这片麦地有多少公顷？ 【答案】(1)应从甲煤场运80吨煤到乙煤场 (2)这片麦地有360公顷 【分析】（1）设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设这片麦地有x公顷，则预定总时间为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从甲煤场运x吨煤到乙煤场， 由题意可得：， ， ， ， ， 答：应从甲煤场运80吨煤到乙煤场． （2）解：设这片麦地有x公顷，则预定总时间为， 由题意可得：，解得：， 答：这片麦地有360公顷． 8．在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产业话语权．为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手开展一款高端芯片的研发工作．已知甲科研团队单独完成这款芯片的研发需要20个月，乙科研团队单独完成这项研发需要30个月． (1)若甲科研团队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？ (2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的，求甲、乙科研团队各工作了多少个月． 【答案】(1)9个月 (2)甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设还需要x个月才能完成，根据题意可求出甲、乙的工作效率，再根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可； （2）设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设还需要x个月才能完成， 由题意得，， 解得， 答：还需要9个月才能完成； （2）解：设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月． 题型三 销售盈亏 9．某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 【答案】150 【分析】设这款服装每件的标价为x元，根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设这款服装每件的标价为x元， ， 解得， 答：这款服装每件的标价为150元． 10．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（     ） A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元 【答案】C 【分析】第一次付款80元，未超过100元，不享受优惠，因此第一次商品原价为80元；第二次付款252元，存在两种优惠情况，需分情况计算第二次商品原价，再计算两次商品总原价后，按优惠方案算出一次性购买的应付款即可. 【详解】解：∵ 第一次购物付款元，不超过元，不享受优惠， ∴ 第一次购买商品的原价为元， 分两种情况讨论第二次购物： 情况1：若第二次购物原价超过元但不超过元，按九折付款， 设第二次商品原价为元， 根据题意，得，解得， 两次商品总原价为元，，可享受八折优惠， ∴ 应付款为元； 情况2：若第二次购物原价超过元，按八折付款， 设第二次商品原价为元， 根据题意，解得， 两次商品总原价为元，可享受八折优惠 ∴ 应付款为元 综上，应付款为288元或316元. 11．秋季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用480000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天超出或不足计划数的部分（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按七折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 【答案】(1)这七天共销售运动鞋1440双 (2)每双鞋的定价应为300元 (3)这批运动鞋全部销售后张老板共盈利102000元 【分析】（1）根据正负数的意义列式计算即可； （2）设每双鞋的定价应为x元．利用总利润、销售单价、销售数量、进货总价的关系列出关于x的一元一次方程求解即可； （3）利用总利润、销售单价、销售数量、进货总价求解即可． 【详解】（1）解： （双）． 答：这七天共销售运动鞋1440双． （2）解：设每双鞋的定价应为x元． 根据题意： ． 答：每双鞋的定价应为300元． （3）解：第五天的实际销售量：（双）， 第8、9天共销售：（双）， 剩余运动鞋数量：（双） 总销售额：（元）； 张老板共盈利：（元） 答：这批运动鞋全部销售后张老板共盈利102000元． 12．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． (1)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (2)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 【答案】(1)每盒糖果的进价为元． (2)商场可获利元或元． 【分析】（1）根据题意，先计算出月份1盒饼干的售价，继而得出月份1盒饼干的售价和1盒糖果的售价，根据饼干销售量为盒，糖果的销售量为盒，据总销售额总成本，建立一元一次方程，求解即可． （2）由于销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元，可计算出月成交销售额，设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额建立一元一次方程，求解出的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盒饼干售价为元，则1盒糖果的售价为元， 由题意得： 解得：， 所以月1盒饼干的售价为元， 由此得出月份1盒饼干的售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干的销售量为盒，糖果的销售量为： （盒）， 设每盒饼干的进价为元，则每盒糖果的进价为元，由题意得： ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为元． （2）解：由题意得： = =76000（元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， 当饼干的数量大于盒，糖果的数量小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： （元） 解得：， （盒） 当饼干的数量大于盒小于盒，糖果的数量大于盒小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： ， 解得：． （盒）， 综上，购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 或购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 当购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 答：当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元， 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元． 题型四 比赛积分 13．一次数学测试有25题，答对一题得4分，答错一题倒扣1分，明明答了全部试卷，得60分，他答对（　　）题． A．20 B．19 C．18 D．17 【答案】D 【分析】设答对题数为未知数，根据得分规则列方程求解即可． 【详解】解：设明明答对题，则答错题， 根据题意得， 解得， 即答对17题． 14．为提高青少年体质，某地组织当地各校篮球队进行了联赛，比赛的部分积分情况如表： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 10 6 4 16 10 3 7 13 10 0 10 10 … … … … … 某球队参加了10场比赛，积分为15分，则该球队的胜场数为________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据所给数据列出方程是解题的关键． 根据C球队的积分可知负一场积1分，再结合A球队的积分可知胜一场积2分，设胜场数为x，根据积分列方程求解即可． 【详解】解：由C球队可知负一场积分， 由A球队可知胜一场积分， 设该球队胜场数为，则负场数为， 由题意得：， 解得． 故答案为5． 15．我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 10 10 40 (1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分； (2)参赛者E得64分，他答对了__________道题； (3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)14 (3)不可能， 理由如下： 设参赛者F答对了y道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不是整数，不符合题意， 参赛者F说他得了分，是不可能的． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设参赛者E答对了x道题，则答错了道题，根据得分为64分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设参赛者F答对了y道题，则答错了道题，根据得分为80分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，由该值不为整数，即可得出参赛者F不可能得80分． 【详解】（1）解：，即参赛者答对1道题得5分， ，即答错1道题得分； 故答案为：，； （2）解：设参赛者E答对了x道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 即他答对了道题； 故答案为： （3）略 16．为响应“足球从娃娃抓起，从基层抓起，从基础抓起”的号召，某校开展了“校长杯足球联赛”，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技．学校运动场的宣传栏中的部分比赛成绩信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 七年一班 6 5 1 0 16 七年二班 6 6 0 0 18 七年三班 6 3 2 1 11 ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的七年四班，完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求七年四班的获胜场数． 【答案】(1)3，1，0 (2)七年四班胜7场 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题； （1）由七年二班队的胜场和总积分可得胜一场的积分，再由七年一班的总积分可得平一场的积分，最后由七年三班的总积分可得负一场的积分； （2）设七年四班胜x场，根据积分是23分，可列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵七年二班胜了6场，积分为18分， ∴胜1场的积分为分 ∵七年一班胜5场，平1场，积分为16分， ∴平1场的积分为分， ∵七年三班胜3场，平2场，负1场，积分为11分， ∴负1场的积分为分． 故答案为：3，1，0． （2）解：设七年四班胜场，则平了场． 由（1）知，胜1场积分为3分，平1场积分为1分，负1场积分为0分， ∴， 解得． 答：七年四班胜7场． 题型五 方案选择 17．商店将标价为6元的笔记本，采用如下方式进行促销；若购买不超过3本，则按原价付款；若一次性购买3本以上，则超过的部分打七折．小明有54元钱，他购买笔记本的数量是（　　） A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本 【答案】C 【分析】易得54元可购买的商品一定超过了3本，关系式为：3×原价+超过3本的本数×打折后的价格≤54，把相关数值代入计算求得最大的正整数解即可． 【详解】解答：解：设他购买笔记本的数量是x本，依题意有 3×6+（x﹣3）×6×0.7≤54， 解得x≤． 故他购买笔记本的数量是最多11本． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程不等式即可． 18．一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若单独租用甲车，15天可以完成任务；若单独租用乙车，30天可以完成任务．已知两车合运，共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．在租甲、乙两车，单独租甲车，单独租乙车这三种方案中，租金最少是______元． 【答案】60000 【分析】根据甲车单独运输需要15天，乙车单独运输需要30天，求得甲乙一起运输需要10天；设甲车每天的租金为x元，根据两车合运，共需租金65000元列方程求解即可解答； 【详解】解：设甲车每天的租金为x元，则乙车每天的租金为（x-1500）元， 甲车单独运输需要15天，则每天运输，乙车单独运输需要30天，则每天运输， 甲乙一起运输，则每天运输+=，即甲乙一起运输需要10天， ∴10x+10（x-1500）=65000，解得：x=4000， ∴甲车每天的租金为4000元，乙车每天的租金为2500元， 单独租甲车租金为：4000×15=60000元， 单独租乙车租金为：2500×30=75000元， ∴三种方案中，租金最少是60000元； 故答案为：60000； 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，由两车单独运完的天数求得两车一起运完的天数是解题关键． 19．刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 【答案】(1) 使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元. (2) 累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用； （2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解． 【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元， 使用方案二，单次电费为元； （2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多， 根据题意可得：， 解得：， 答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 20．某市的城乡居民医疗保险实行门诊费用分段累计报销制度，各级医院的报销比例如表所示．为有效引导居民合理选择医院进行诊疗，该市推行分级诊疗政策：由一级医院转诊至更高级别的三级医院后，在三级医院产生的诊疗费用执行基准报销比例． 全年门诊累计费用（单位：元） 三级医院报销比例 一级医院报销比例 基准报销比例 0~500 不报销 不报销 不报销 500~3000的部分 3000~100000的部分 超过100000的部分 不报销 不报销 不报销 说明：①全年门诊累计费用指自然年度内在本市所有参保的医院门诊诊疗的总费用； ②相同疾病在不同级别医院产生的诊疗费用相同． (1)王先生本年度第一次在参保医院门诊进行诊疗， ①若在三级医院诊疗产生1300元的费用，求王先生实际支付的诊疗费用； ②若在三级医院诊疗的实际支付费用比在一级医院诊疗的实际支付费用多400元，求王先生本次诊疗产生的费用； (2)本市某位患者本年度门诊累计费用为元（的范围是），目前因患病需到三级医院门诊就诊，预计本次诊疗费用为元，全年门诊累计费用不超过100000元，现有两种方案： 方案一：直接到三级医院就诊； 方案二：先到一级医院办理转诊（需支付挂号、检查等费用200元，该费用计入全年门诊累计费用，并执行一级医院报销比例），然后转诊至三级医院就诊． 根据以上信息，用含和的式子分别表示两种方案的实际支付费用，并直接判断哪种方案实际支付的费用更少． 【答案】(1)①王先生实际支付900元；②本次诊疗费用为2500元； (2) 方案一：累计费用，本次费用的自付部分， 当时，； 当时，； 当时，； 方案二：累计总费用， 当时，； 若，； 若，； 若，； 当时，； 若，； 若，； 当时， 若，则（方案一省钱）； 若，则； 若，则（方案二省钱）； 当时， 若，则（方案一省钱）； ，则； 若，则（方案二省钱）． 【分析】本题考查的是列代数式和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）①先判断1300元属于500～3000元区间，按三级医院报销比例，计算自付费用； ②设诊疗费为x元，分别列出三级、一级医院自付费用表达式，根据费用差列方程求解； （2）分别计算两方案自付费用，通过作差比较大小，判断即可． 【详解】（1）解：①1300元属于500～3000元区间，三级医院报销比例为， 自付费用（元）， 答：王先生实际支付900元； ②设本次诊疗费用为x元， 三级医院自付：， 一级医院自付：， 根据题意：， 解得， 答：本次诊疗费用为2500元； （2）解：已知的范围是，全年累计， 方案一（直接三级医院）： 累计费用，本次费用的自付部分， 当时，全部不报销，， 当时，中不报销，其余报销， ∴， 当时，中不报销，段报销， 超过部分报销， ∴， 方案二：先到一级医院转诊，先支付200元(一级医院，计入累计，按一级医院比例)，再转诊至三级医院支付b元(按基准比例)，累计总费用，需分和讨论． 当时，； 若，即，则200元和b均不报销，． 若，即， 则200元不报，b中元不报，其余元按基准报销(自付)， ． 若，即，则200元不报，b中段2500元自 ，超过3000部分自付， ． 当时，； 若，即，则200元中元不报，其余元按一级医院报销(自付)，故；b全部在0段，自付，故 ． 若，即， 则同上，b中元自付，超过部分自付， ， 当时，在区间内，，，令相等解得， 若，则（方案一省钱）； 若，则； 若，则（方案二省钱）； 当时，在区间内，，， 令相等解得， 若，则（方案一省钱）； 若，则； 若，则（方案二省钱）． 题型六 数字问题 21．相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（    ） A． B．9 C．5 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的减法和乘法运算，解题的关键是正确列出算式．首先由，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，列式求解即可． 【详解】解：由图2可得，， ∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍， ∴在图3的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于， ∴． 故选：D． 22．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则图中“”代表的数字是________． 5 7 【答案】1 【分析】先标注幻方各位置的未知数，利用每行每列对角线和相等的条件，整理方程求解． 【详解】解：设幻方九个位置如下： 5 7 结合题意可得：， 解得：． 23．我们知道，，反过来，，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下： 设① 则② 把等式②的两边分别减去①的两边得，即 解这个方程，得 所以． (1)在以上解答过程中，由①得到②，根据的理由是：____________； (2)类比小明的解答方法，将无限循环小数写成分数的形式． 【答案】(1)等式的性质 (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，等式的性质． （1）根据等式的性质求解即可解答； （2）仿照题目中的方法列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由①得到②等式两边同乘以， 故答案为：等式的性质； （2）解：设， 则， 得，， 解得， ∴． 24．对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上的数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位上的数字减去个位上的数字的差加上十位上的数字之和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． (1)计算______； (2)若是一个“互差数”，且，那么的值是______． 【答案】(1)3 (2)或840 【分析】（1）根据的定义求解即可； （2）设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为，再根据题意可得，，求解得出，进而可得，列出符合题意的情况即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为， 依题意得，，， ∴，， ∴ 解得， ∴， ∴，即， ∵互不相等，且当时，， ∴此时不符合百位数字是一位数的要求，舍去， ∴，或，， ∴或840． 题型七 几何问题 25．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽？设这枚纪念币的长宽分别为，，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据长和宽的比例关系设出未知数，再结合周长公式列出方程．已知长和宽的比为，设长为，宽为，根据长方形周长（长+宽），将长、宽和周长的数值代入公式即可得到对应的方程． 【详解】解：∵这枚纪念币的长宽分别为，， ∴根据题意，可得． 故选：B． 26．用一根长为的铁丝围成一个长方形，若这个长方形的长比宽的2倍少，则这个长方形的面积是__________． 【答案】20 【分析】根据长方形的长比宽的2倍少和长方形的周长为，可以列出相应的方程，然后求出长和宽，再求面积即可． 【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为， 由题意可得：， 解得：， ， 这个长方形的面积是：． 27．如图所示，在直角中，已知 ，点P从点A出发以的速度经过点B向点C运动，同时，点Q从点B出发以的速度向点C运动．设运动时间为． (1)请用含t的代数式表示下列线段的长度： 当点P在上运动时， ， ；当点P在上运动时， (2)若点P在上运动，t为何值时，能使？ (3)经过几秒，的面积为？ 【答案】(1)3t；； (2) (3) 【分析】本题考查简单的几何动点问题，列代数式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间，用时间t表示出、即可； （2）根据路程速度时间，用时间t表示出、，根据列方程。求解即可； （3）时间t表示出的面积，列方程计算即可． 【详解】（1）解：当点P在上运动时，，；当点P在上运动时，； （2）解：由题意，得， 解得：， 即t为2时，能使． （3）解：因为， 所以， 解得：， 即经过，的面积为． 28．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离记为或．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，请回答问题： (1)直接写出，，的值，__________，__________，__________． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则__________． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则__________； ②若，则__________； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是？ 【答案】(1)，， (2)或 (3)①  ②或  ③或 【分析】（1）根据几个绝对值（非负数）之和等于 0，则每个绝对值都必须等于 0，即可表示出，，再进行计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，表示的是到的距离等于的点，这样的点有两个，即的左边和右边各一个； （3）①当点在点，之间，表示的是点到点的距离加上点到点的距离之和，不管点在点，中间哪个位置，和都是定值，即为； ②因为，说明点不在点，之间，分情况讨论当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，再去绝对值符号列方程求解即可； ③动点问题，先用表示出蚂蚁秒后的位置，再用“距离和”解出蚂蚁的具体位置，最后由“位置=速度×时间”求出时间即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 即，， 解得，， ∴； （2）∵点在数轴上对应的数为，且， ∴， 即或， 解得，； （3）①当点在点，之间， 由数轴可得： ； ②∵， ∴点不在点，之间， 当点在点的右侧时， 由数轴可得：， ∴，， ∴， 即， 解得； 当点在点的左侧时， 由数轴可得：， ∴，， ∴， 即， 解得， ③ ∵点表示的数是，蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动， ∴蚂蚁秒后位置可表示为， ∵蚂蚁在点，之间，即 时距离和恒为，不满足蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是， ∴蚂蚁应在点，两侧， 令， ∴（情况一）蚂蚁在点右侧： ，解得， （情况二）蚂蚁在点左侧： ，解得， ∴蚂蚁到点时所需时间为（秒）， 蚂蚁到点时所需时间为（秒）． 题型八 动点问题 29．点A和点B在数轴上对应的有理数分别是和3，若点A沿着数轴向右运动，速度是每秒3个单位，点B也沿着数轴向右运动，速度是每秒2个单位，t秒后点A和B之间的距离是5个单位长度，则t的值是（    ） A．2 B．2或12 C．12 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 先表示出t秒后点A、点B在数轴上对应的有理数，再根据两点间距离为5列绝对值方程，分情况求解即可． 【详解】解：∵点A和点B在数轴上对应的有理数分别是和3，若点A沿着数轴向右运动，速度是每秒3个单位，点B也沿着数轴向右运动，速度是每秒2个单位， ∴t秒后，点A对应的有理数为，点B对应的有理数为， 又∵t秒后A、B之间的距离是5， ∴， 化简得， 即， ①当时，解得， ②当时，解得， ∴t的值为2或12． 故选：B． 30．已知数轴上两点、对应的数分别为3、9，在数轴上有另外一点，当点到、两点的距离之差的绝对值为3时，则点表示的数是_________． 【答案】或 【分析】设点表示的数为，根据距离之差为，分两种情况列绝对值方程，分类讨论去掉绝对值符号即可求解． 【详解】解：设点表示的数为，分两种情况讨论： 情况1：点到、两点的距离之差为， ． 当时： ，， ，此情况无解； 当时： ，， ， 解得； 当时： ，， ，此情况无解； 情况2： 点到、两点的距离之差为， ． 当时： ，， ，此情况无解； 当时： ，， ， 解得； 当时： ，， ，此情况无解； 综上，点表示的数是或． 31．数轴上的点表示的数如图所示，将点向右平移个单位长度，得到点的相反数，回答下列问题： (1)点表示的数是；，两点间的距离是________； (2)将点在数轴上向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，得到点，，两点间的距离是多少个单位长度？ (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设，两点的运动时间为秒，当为多少时，，两点间的距离是，两点间距离的？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数加减的应用，数轴上两点的距离，一元一次方程的应用． （1）用数轴上右边的数减去左边的数即可求解； （2）根据题意先求得点表示的数，进而即可求解； （3）表示出秒后，点，点表示的数，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示是数是，向右平移个单位表示的数是，也是点的相反数， ∴点表示的数是， ，两点间的距离是， 故答案为：，． （2）解：依题意，点表示的数为： 、两点间的距离为： （3）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或， 综上，的值为或． 32．如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】解题的关键在于根据题意找出等量关系，建立一元一次方程． （1）根据路程速度时间列出代数式即可； （2）根据题意求出厘米，再根据线段与线段相等建立方程求解，即可解题； （3）根据、到达、后继续运动，分别表示出、，再根据线段的长等于线段的长的一半建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，厘米，厘米； （2）解：在长方形中， 厘米， 厘米， 厘米， 线段与线段相等， ， 解得； （3）解：当、到达、后继续运动， 此时厘米， 厘米， 厘米， 线段的长等于线段的长的一半， ， 解得． 题型九 和差倍分问题 33．2025年福建省消协系统纠纷调解成功率位居全国的首位，当中福建省消协组织受理投诉万件，比2024年同比增长，若将2024年福建省消协组织受理投诉的数量设为x万件，求2024年福建省消协组织受理投诉的数量，以下符合题意的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】基数为2024年投诉数量，现量为2025年投诉数量，利用“现量基数(增长率)”的关系列方程． 【详解】解：∵设2024年福建省消协组织受理投诉的数量为万件， ∴2025年受理投诉的数量为万件． 又∵已知2025年受理投诉的数量为万件， ∴可列方程． 34．某高校若干个大学生共同买一台电脑．如果每人出600元，还差700元；如果每人出700元，还差200元，则共同购买电脑的大学生有_______人． 【答案】5 【分析】电脑总价固定不变，根据两次不同的出钱情况建立等量关系即可求解． 【详解】解：设共同购买电脑的大学生有人， ∵ 电脑总价不变， ∴ ， 移项整理得 ， 解得 ； 因此共同购买电脑的大学生是5人． 35．解决问题： (1)一种小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，需多少千克的小麦？ (2)某学校七年级一班有44人报名参加了文学社或书画社．已知参加书画社的人数比参加文学社的人数多4人，两个社都参加的有16人．问：参加书画社的有多少人？ 【答案】(1)需4000千克小麦 (2)参加书画社的有32人 【分析】（1）设需千克的小麦，根据小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，可列方程，解答即可； （2）设参加书画社的有人，则参加文学社的有人，根据七年级一班有44人，两个社都参加的有16人，可列方程，解答即可． 【详解】（1）解：设需千克的小麦， 根据题意得：， 解得：， ∴需4000千克小麦． （2）解：设参加书画社的有人，则参加文学社的有人， 根据题意得：， 解得：， ∴参加书画社的有32人． 36．为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗．如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的多8面． (1)A组和B组各制作了多少面红旗？（用方程求解） (2)将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 【答案】(1)A组制作47面红旗，B组制作52面红旗 (2)125米 【分析】（1）设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗，根据题意中的等量关系列出一元一次方程进行解题即可； （2）根据植树问题列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗， 根据题意可得， 解得， B组， 答：A组制作47面红旗，B组制作52面红旗； （2）解：米， 答：这条赛道长125米． 题型十 电费和水费问题 37．为了节约用水，某市规定，每户居民每月用水不超过，按每立方米2元收费，超过，则超过部分按每立方米4元收费，某户居民5月份交水费72元．该居民5月份实际用水（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可判断该户村民实际用水超过20立方米，设实际用水为x，根据共交水费72元，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设实际用水为x立方米， 由题意得，实际用水量超过20立方米， ， 解得：． 即该户居民九月份实际用水28立方米． 故选：C 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，涉及了阶级收费分问题，注意分段表示每部分所花费的钱数，利用方程思想解出答案． 38．为响应国家号召，引导节能低碳行为，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯用电”制度，下表是我市每月的电费标准： 阶梯 电量x/千瓦时 电费/（元/千瓦时） 第一档 0.5元/千瓦时 第二档 0.6元/千瓦时 第三档 0.8元/千瓦时 已知小丽家2024年2月份缴纳电费216元，则小丽家该月用电量为_________千瓦时． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．根据题意先判断出小丽家所用的电所在的档，再设小丽家2月份用电量为x千瓦时，根据价格表列出方程，求出x的值即可． 【详解】解：若一个月用电量为180千瓦时，电费为（元）， 若一个月用电量为350千瓦时，电费为（元）， ∵， ∴小丽家2月份用电量超过350千瓦时． 设小丽家2月份用电量为x千瓦时， 依题意得：， 解得：． 答：小丽家2月份的用电量为380千瓦时． 故答案为：380 39．为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 【答案】(1)1月份应缴费用元 (2)2月份应缴费用元 (3)3月份用水量为35吨 【分析】（1）根据，利用前面的两个价目表计算即可； （2）使用三个价目表求解即可． （3）先计算用水为30吨时的费用，比较两个费用的大小，判断用水量，再根据价目表适时计算即可． 【详解】（1）解：1月份用水22吨，因为， 所以应缴费用：（元）． 答：1月份应缴费用元． （2）解：因为， 所以2月份应缴费用：元． 答：2月份应缴费用元． （3）解：因为当用水为30吨时，应缴费用元． 因为，所以3月份用水量超过30吨． 由（2）得 解得 答：3月份用水量为35吨． 40．小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 【答案】(1)170元 (2)“分档”计算电费：，“分档+分时”计算电费： (3)倍 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意，分和两种情况“分档”计算电费分别列出代数式即可，由峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，根据“分档+分时”计算电费列出代数式即可； （3）根据电费为元，利用计费方式一确定用电量，设峰时段用电量为y，由采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，即峰时段增加的电费谷时段减少的电费，列出方程求解y的值，进而求出该月峰时段的用电量和谷时段的用电量，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： （元）， 答：1月份应缴电费170元； （2）解：， 当时，则“分档”计算电费：； 当时，则“分档”计算电费：， “分档”计算电费：， 峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是， 当时，则“分档+分时”计算电费：； 当时，则“分档+分时”计算电费：， “分档+分时”计算电费：； （3）解：（元），（元），（元），， （度）， 小阳同学家在这个月的用电量为：（度）， 设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度， 由题意得：， 解得：， 则（度）， ， 答：该月峰时段的用电量是谷时段的倍． 题型十一 行程问题 41．，两地相距，一列普通列车从地出发，每小时行驶，一列高速列车从地出发，每小时行驶，高速列车提前出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇？若设慢车行驶了小时后，两车相遇，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，相遇问题中总路程等于两车行驶路程之和，解题时需要统一单位，将换算为，再分别表示两车行驶路程即可列出方程． 【详解】∵设慢车行驶了小时后两车相遇，高速列车提前出发，． ∴高速列车一共行驶的时间为． 普通列车的行驶路程为，高速列车的行驶路程为． ∵两车相向而行，相遇时行驶路程之和等于A，B两地总距离． ∴可得方程 . 42．小明和小东站在百米跑道的两端同时相向起跑，小明每秒跑米，小东每秒跑米，设他们跑步的时间为t秒，已知时，两人相遇．相遇后继续．整个过程中，当两人相距米时值为______． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，需先根据相遇条件求出两人的速度和，再分相遇前相距10米、相遇后相距10米两种情况，利用路程=速度和×时间的关系列方程求解，注意分类讨论思想的运用． 【详解】解：由题意得， ∴ 分两种情况：当两人相遇前相距10米时，根据题意得 解得 当两人相遇后相距10米时，根据题意得 解得 综上，当两人相距10米时的值为或． 故答案为：或． 43．为响应“垃圾分类·绿色社区”环保倡议，幸福社区在笔直的主干道旁设置了垃圾分类宣传站和多个志愿督导点位．组织者以垃圾分类宣传总站为原点，沿道路向东为正方向建立数轴，方便志愿者调度．活动开始时，三名环保志愿者分别在不同督导点待命：小阳在原点东侧、对应数为的督导点位，小悦在原点西侧、对应数为的督导点位，小晨留在宣传总站准备发放宣传手册． (1)活动刚开始时，小阳和小悦所在督导点相距多少个单位长度？ (2)接到调度通知后，小阳以每秒个单位长度的速度向西巡查，小悦以每秒个单位长度的速度向东巡查，两人同时出发．设巡查时间为秒，请用含的式子表示秒后小阳和小悦之间的距离． (3)在（2）的条件下，小晨和两人同时出发，以每秒个单位长度的速度向东骑行送宣传物资．请问当出发时间为多少秒时，小晨所在位置到小阳、小悦两人位置的距离相等？ 【答案】(1) 个单位长度 (2) 当时为，当时为 (3) 秒或秒 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法，代入数值直接求解； （2）先根据运动方向和速度表示出秒后两人的位置，再结合距离公式列式； （3）先表示小晨的位置，将距离相等的条件转化为绝对值方程，分情况去绝对值求解． 【详解】（1）解：小阳所在位置对应数为，小悦所在位置对应数为， ． ∴小阳和小悦所在督导点相距个单位长度． （2）解：秒后，小阳向西移动，对应位置为； 小悦向东移动，对应位置为； 两人间的距离为， 令，解得 当时，距离为； 当时，距离为． （3）解：秒后，小晨向东移动，对应位置为， 由题意得，小晨到小阳的距离等于小晨到小悦的距离，即 ， 化简得， ∵， ∴， ∴方程可化为， 分两种情况讨论： ① 当，即时， ， 解得，符合取值范围； ② 当，即时， ， 解得，符合取值范围； 综上所述，当出发时间为秒或秒时，小晨所在位置到小阳、小悦两人位置的距离相等． 44．如图，、两点分别为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为28． (1)在数轴上有一点，若，求点对应的数； (2)现有一动点从出发沿数轴向左运动，速度为每秒4个单位长度；同时另一个动点恰好从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，当、两点重合时，同时停止运动．设两点运动时间为秒，求此时的值，并求出此时点在数轴上对应的数； (3)在（2）的条件下，为何值时，点到点的距离是点到点距离的？并求出此时点表示的数． 【答案】(1)对应的数为或30 (2)当t为20秒时，P、Q两点重合，此时点P在数轴上对应的数为 (3)当秒时，点P到点A的距离是点Q到点B距离的，此时点P在数轴上对应的数为或当秒时，点P到点A的距离是点Q到点B距离的，此时点P在数轴上对应的数为． 【分析】（1）求出， 不在之间，分两种情况求解即可； （2）当运动时间为t秒时，点P在数轴上对应的数为，点Q在数轴上对应的数为，由两点重合，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值，再将其代入中，即可得出此时点P在数轴上对应的数； （3）由点B，Q在数轴上对应的数可找出的长，分当P在A右侧及当P在A左侧两种情况考虑，由点P到点A的距离是点Q到点B距离的，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为28． ∴， ∵， ∴不在之间， 分两种情况： ①若在左侧，设为，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②若在右侧，设为，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上，对应的数为或30； （2）解：根据题意得：当运动时间为t秒时，点P在数轴上对应的数为，点Q在数轴上对应的数为， 依题意得：， 解得：， ∴． ∴当t为20秒时，P、Q两点重合，此时点P在数轴上对应的数为； （3）解：． ①当P在A右侧时，，此时， 依题意得：， 解得：； ②当P在A左侧时，，此时， 依题意得：， 解得：． ∴当秒时，点P到点A的距离是点Q到点B距离的，此时点P在数轴上对应的数为或当秒时，点P到点A的距离是点Q到点B距离的，此时点P在数轴上对应的数为． 题型十二 比例分配 45．“和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？设有小和尚人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设有小和尚人，则大和尚的人数为（ ）人，然后根据三个小和尚一个馒头，一个大和尚三个馒头即可列出方程． 【详解】解：设有小和尚人，则大和尚的人数为（ ）人， 由题意得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列方程． 46．某学校组织秋游，原计划用45座的客车若干辆，则5人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出一辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 _____名． 【答案】500 【分析】设原计划用车x辆，根据参加秋游的学生人数可列出方程，解方程即可求解． 【详解】设原计划用车x辆，依题意有 45x+5＝50（x﹣1）， 解得x＝11， 50（x﹣1）＝50×（11﹣1）＝500． 故参加秋游的学生一共有500名． 故答案为：500． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 47．如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．    (1)甲盒中有50个棋子，乙盒中有40个棋子，阿莲从甲盒拿出a枚黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，求a的值． (2)把所有的棋子分给一群小朋友，如果每人分3个，则剩余4个；如果每人分4个则还缺9个，求这群小朋友的人数． 【答案】(1)20 (2)13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握列方程，解方程是解题的关键． （1）根据“从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子的总数是甲盒所剩棋子数的2倍”建立方程，解方程即可求解． （2）设有x个小朋友，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意，得， 解方程，得， 故a的值为20． （2）设有x个小朋友， 根据题意列出方程， 解得， 答：这群小朋友的人数是13个． 48．甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是，如果他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士各捐了多少册图书？ 【答案】甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书 【分析】设甲爱心人士捐了册图书，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：设甲爱心人士捐了册图书， ∵甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是， ∴乙、丙两位爱心人士捐赠图书的册数为：， 由题意，得：， 解得：， ∴， 即：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书； 答：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了册，册，册图书． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 题型十三 日历问题 49．如果某年某月中恰好有5个“星期日”，且这5个“星期日”对应日期的号数之和为75，那么这个月中日期为10号的那一天应该是星期（    ） A．一 B．二 C．四 D．五 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，利用相邻星期日日期相差7天的特点，设未知数表示5个星期日的日期，根据日期和列方程求解出星期日的具体日期，再推算10号对应的星期数即可． 【详解】解：∵相邻两个星期日的日期相差7天， ∴设第一个星期日的日期为x，则其余4个星期日的日期分别为、、、， 根据题意列方程：， 化简得：， 解得：， 即1号是星期日， ∵，， ∴从星期日往后推2天是星期二， ∴10号是星期二， 故选：B． 50．下面是某月的月历，小玉在该月每周固定周几去听数学文化讲座，若本月几次听讲座的日期之和是，则小玉是周_________去听的讲座． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 【答案】 五 【分析】设小玉第一次去听讲座的日期为 ，分去了次和次两种情况列方程求解，结合日历验证即可． 【详解】解：设小玉第一次去听讲座的日期为，若本月去了次讲座，则日期分别为，，，， 根据题意得：， 解得， 观察日历可知，号是周五，且 ，，， 均在该月内，符合题意； 若本月去了 次讲座，则日期分别为，，，，， 根据题意得：， 解得， ∵日期必须为正整数， ∴此种情况不成立， 综上所述，小玉是周五去听的讲座． 51．在下图的2026年1月的月历表中，用“十”字形框框住了五个日期，“十”字形框可上下左右移动，设移动后“十”字形框中正中央的日期为． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)求移动后“十”字形框框住的五个日期之和（用含的代数式表示）； (2)移动“十”字形框，被框住的五个日期之和可能等于85吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：移动“十”字形框，被框住的五个日期之和不可能等于85，理由如下： 当时，解得， 观察2026年1月的月历表，17位于最右侧列，其右侧没有对应的日期， ∴移动“十”字形框，被框住的五个日期之和不可能等于85． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，正确理解题意和熟知月历的特点是解题的关键． （1）根据月历的特点表示出其他四个日期，再求和即可得到答案； （2）令（1）中所求的代数式的值为85，解方程求出x的值，看是否符合月历的特点即可得到结论． 【详解】（1）解：设移动后“十”字形框中正中央的日期为，则其他四个日期分别为， ∴移动后“十”字形框框住的五个日期之和为； （2）略 52．把正整数1，2，3，4……，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、……．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设． (1)在图1中，2025排在第________行第________列； (2)若，求出C所表示的数； (3)在图（2）中，被阴影覆盖的这些数的和________（填“能”或“不能”）为4212． 【答案】(1)254，1； (2)C所表示的数为77； (3)不能 【分析】（1）每行8个数，，进而可得2025排在第254行第1列； （2）设，则，，，再根据题意列方程求解即可； （3）表示出被阴影覆盖的数，然后列方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵每行8个数，， ∴2025排在第254行第1列； （2）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，则被阴影覆盖的这些数依次为，，，，，，，，，，， ∴ 解得，不是正整数， ∴被阴影覆盖的这些数的和不能为4212． 【点睛】本题考查规律型问题，列代数式，一元一次方程，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会构建方程解决问题． 题型十四 古代问题 53．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用鹿的总数量不变，根据两种分鹿情况分别表示出鹿的总数，列出等式即可求解． 【详解】解：∵设有客人，鹿的总数量不变 每人分只多只，可得鹿的总数量为 每人分只少只，可得鹿的总数量为 ∴根据鹿的总数相等，可列方程 54．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程_______． 【答案】 【分析】根据“每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘”，结合人数不变，即可得出关于的一元一次方程，即可得解． 【详解】解：根据两种乘车方式，乘车人数不变，可得：． 55．相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 【答案】(1) 如图所示； (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类． （1）由第3列上的3个数之和及每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，即可求出其他方格中的数，将其填入图3中即可； （2）由对角线及第1列上的3个数之和相等，可求出第2行第1个方格中的数，利用两对角线上的3个数之和相等，可求出第1行第3个方格中的数，再结合对角线及第1列上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵第3列上的3个数之和为， ∴第1行第2个方格中的数为， 第2行第1个方格中的数为， 第2行第2个方格中的数为， 第3行第2个方格中的数为， （2）解：第2行第1个方格中的数为， 第1行第3个方格中的数为， 根据题意得：， 解答：． 答：图4幻方中x的值为． 56．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程．熟练掌握列代数式，解一元一次方程是解题的关键． （1）根据人数，车数的关系列代数式和方程即可； （2）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得车数为辆；由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得车数为辆；然后根据车辆数量相等列方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为人； 由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为人； 根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为； 故答案为：； （2）解：设乙小组共有人， 依题意得，． 题型十五 其他问题 57．1号仓库与2号仓库共存粮，现从1号仓库取出存粮的，从2号仓库运出存粮的，结果2号仓库剩余粮食比1号仓库剩余粮食多．则1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨？（    ） A．1号仓库，2号仓库 B．1号仓库，2号仓库 C．1号仓库，2号仓库 D．1号仓库，2号仓库 【答案】D 【分析】设1号仓库原来存粮吨，根据总存粮表示出2号仓库的存粮，再根据剩余粮食的数量关系列一元一次方程，求解后得到两个仓库的存粮，即可选出正确选项． 【详解】解：设1号仓库原来存粮，则2号仓库原来存粮， ∵从1号运出后剩余粮食为，从2号运出后剩余粮食为，且2号剩余粮食比1号多， ∴ 解得， 则2号仓库存粮为， 即1号仓库，2号仓库． 58．哥哥和弟弟各买若干本练习本，如果哥哥给弟弟本，两人的练习本数量就同样多；如果弟弟给哥哥本，哥哥的练习本数量就是弟弟的倍．弟弟原来买练习本_______本． 【答案】 【分析】根据哥哥给弟弟本两人数量相等，得出哥哥原本比弟弟多本，再设弟弟原有练习本数量为未知数，根据第二个倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：因为哥哥给弟弟本，两人练习本数量同样多， 所以哥哥原来比弟弟多（本）， 设弟弟原来买练习本本，则哥哥原来有本， 因为弟弟给哥哥本后，哥哥的练习本数量是弟弟的倍， 所以， ， 解得，即弟弟原来买练习本本． 59．如图是一个运算程序，一个有理数可以任意从，，三个位置出发，按照标注的要求运算．例如：将2按照的顺序进行运算，即． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)将一个数按照的顺序进行运算，得到运算结果为0，请求出这个数． 【答案】(1)解：根据题意，得． (2)3 【分析】（1）根据运算程序列式计算即可； （2）设这个数为x，根据运算程序列出方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设这个数为x，根据题意，得 ， 解得， 答：这个数是3． 60．综合与实践 【主题】称量一个1元硬币的重量 【素材】 （1）如图所示，一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．，支点O在的中点处； （2）一个的砝码，若干相同的1元硬币． 【实践操作】 步骤1：左侧托盘放置一个砝码； 步骤2：右侧托盘放入10个相同的1元硬币； 步骤3：调整点P的位置，发现当时，天平平衡； 步骤4：查阅资料，根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 【实践探索】 (1)能称出一个1元硬币的重量吗？用你所学的数学知识说明． (2)横梁的长度、左侧托盘砝码保持不变的情况下，右侧托盘只放置一个1元硬币，为使天平保持平衡，的长度至多是多少？ 【答案】(1)解：能称出一个1元硬币的重量，一个1元硬币的重量为，说明如下： 设一个1元硬币的重量为， ∵支点O在的中点处，且， ∴， ∵当时，天平平衡， ∴当时，天平平衡， ∴， 解得， ∴一个1元硬币的重量为； (2)的长度至多是． 【分析】（1）设一个1元硬币的重量为，根据题意可得，由天平平衡的条件可得方程，解方程即可得到答案； （2）由天平平衡的条件可得，故当点P与点B重合时，有最大值，即此时有最大值，设，则，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∴当有最大值时，有最大值， ∴当点P与点B重合时，有最大值，即此时有最大值， 设，则， ∴， 解得， 答：的长度至多是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09一元一次方程的应用知题通关讲义 知识点01：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数。 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6答：写出答案，包括单位。 知识点 02 两种设元方法对比 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量 b=B种配件总数量a 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。 解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 5. 球赛积分问题 相等关系： 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数； 比赛总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分。 6. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 7.利息问题 （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）。 （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数)。 8.年龄问题 “年龄问题” 的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住 “年龄差” 是解答年龄问题的关键。 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 1、审题提取等量关系错误，自行增设题干不存在的条件 易错提醒：列方程前梳理题干给出的和、差、倍、分数量关系；方程所有数量必须来源于题干已知信息，不得引入题目未给出的等量关系。 2、设未知数格式不规范，单位处理不一致 易错提醒：若所求量带有单位，设未知数时需要标注对应单位；方程内部所有参与运算的数量单位必须统一，单位不统一直接列式会造成方程错误。 3、配套问题配套比例列式颠倒 易错提醒：依据题目给出的配套比值建立等式；零件数量之比等于配套规定比值；严格区分两类零件的前后顺序，防止比例左右倒置。 4、行程问题行驶方向识别错误，公式选用不当 易错提醒：基础关系式路程=速度×时间；相遇问题总路程等于两者路程之和；追及问题路程差等于初始相距距离；准确区分相向、同向、背向三种行驶方向。 5、工程问题总工作量与效率运算错误 易错提醒：题干未给出具体总工作量时，将总工作量记为1；工作总量＝工作效率×工作时间；多人合作时，总工作效率等于单人工作效率相加，不可直接相加工作时间。 6、利润问题利润率计算公式分母混淆 易错提醒：单件利润＝售价－进价；利润率=利润÷进价×100%；利润率计算的分母为进价，不能使用售价作为分母进行运算。 7、求解完成后未检验解的实际意义 易错提醒：得到方程的解之后，检验结果是否符合实际背景；人数、物件个数必须为正整数；不符合实际背景的解直接舍去。 8、日历问题相邻日期差值判断错误 易错提醒：日历横向相邻日期差值为1，纵向相邻日期差值为7；不能将纵向日期差值记作1；根据该规律正确表示其余未知日期。 9、分配问题移多补少等量关系建立错误 易错提醒：物资调配类题目，注意同时观察调出一方与接收一方的数量变化；调出方数量减少，接收方数量增加；只计算其中一侧数量变化会造成等量关系错误。 10、答题时直接写方程结果，缺少完整答题步骤 易错提醒：解应用题需要完成设元、列方程、解方程、检验、作答完整流程；不可省略设未知数以及最后的答句。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏 ★★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★★ 题型十 电费和水费问题 ★★ 题型十一 行程问题 ★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 配套问题 1．在红色文化纪念馆，同学们可以制作红旗来表达对革命先烈的敬意和缅怀之情．已知1张黄色卡纸可制作3个大星星或8个小星星，1个大星星配4个小星星为一套．现有30张卡纸，设用x张卡纸制作大星星，其余卡纸制作小星星，恰好配套组成国旗上的五个星星．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某工厂安排120名工人加工一批桌子，每张桌子由一张桌面和四条腿组成，每个工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿（每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿恰好配套，每天应该安排______人生产桌面． 3．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 4．已知某工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)一数学课外兴趣小组到该工厂去参观，得知工厂要制作一批糖果盒，厂长不知如何分配工人，同学们决定运用学过的知识帮助工厂解决实际问题．通过调查得知：每个工人平均每小时可以制作盒身5个或盒底12个，该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么你认为调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 题型二 工程问题 5．整理一批数据，由人整理需要完成．现在计划先由一些人整理，再增加人整理，完成这项工作的，若设先由人整理，则可列方程为________． 6．一项工程甲队单独做需40天完成，乙队单独做需60天完成，甲队先单独做5天，然后甲、乙两队合作完成这项工程．若两队合作天完成这项工程，根据题意可列方程，列该方程所依据的相等关系是（     ） A．甲队5天的工作量+乙队的工作量=总工作量 B．甲队5天的工作量+两队合作的工作量=总工作量 C．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×合作天数=总工作量 D．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×总工作天数=总工作量 7．解决问题： (1)甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨．为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？ (2)一收割机队每天收割小麦15公顷，收割完一片麦地的后，该收割机队改进操作，效率提高到原来的倍，因此比预定时间提早2天完成收割任务．问：这片麦地有多少公顷？ 8．在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产业话语权．为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手开展一款高端芯片的研发工作．已知甲科研团队单独完成这款芯片的研发需要20个月，乙科研团队单独完成这项研发需要30个月． (1)若甲科研团队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？ (2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的，求甲、乙科研团队各工作了多少个月． 题型三 销售盈亏 9．某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 10．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（     ） A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元 11．秋季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用480000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天超出或不足计划数的部分（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按七折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 12．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． (1)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (2)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 题型四 比赛积分 13．一次数学测试有25题，答对一题得4分，答错一题倒扣1分，明明答了全部试卷，得60分，他答对（　　）题． A．20 B．19 C．18 D．17 14．为提高青少年体质，某地组织当地各校篮球队进行了联赛，比赛的部分积分情况如表： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 10 6 4 16 10 3 7 13 10 0 10 10 … … … … … 某球队参加了10场比赛，积分为15分，则该球队的胜场数为________． 15．我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 10 10 40 (1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分； (2)参赛者E得64分，他答对了__________道题； (3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 16．为响应“足球从娃娃抓起，从基层抓起，从基础抓起”的号召，某校开展了“校长杯足球联赛”，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技．学校运动场的宣传栏中的部分比赛成绩信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 七年一班 6 5 1 0 16 七年二班 6 6 0 0 18 七年三班 6 3 2 1 11 ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的七年四班，完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求七年四班的获胜场数． 题型五 方案选择 17．商店将标价为6元的笔记本，采用如下方式进行促销；若购买不超过3本，则按原价付款；若一次性购买3本以上，则超过的部分打七折．小明有54元钱，他购买笔记本的数量是（　　） A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本 18．一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若单独租用甲车，15天可以完成任务；若单独租用乙车，30天可以完成任务．已知两车合运，共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．在租甲、乙两车，单独租甲车，单独租乙车这三种方案中，租金最少是______元． 19．刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 20．某市的城乡居民医疗保险实行门诊费用分段累计报销制度，各级医院的报销比例如表所示．为有效引导居民合理选择医院进行诊疗，该市推行分级诊疗政策：由一级医院转诊至更高级别的三级医院后，在三级医院产生的诊疗费用执行基准报销比例． 全年门诊累计费用（单位：元） 三级医院报销比例 一级医院报销比例 基准报销比例 0~500 不报销 不报销 不报销 500~3000的部分 3000~100000的部分 超过100000的部分 不报销 不报销 不报销 说明：①全年门诊累计费用指自然年度内在本市所有参保的医院门诊诊疗的总费用； ②相同疾病在不同级别医院产生的诊疗费用相同． (1)王先生本年度第一次在参保医院门诊进行诊疗， ①若在三级医院诊疗产生1300元的费用，求王先生实际支付的诊疗费用； ②若在三级医院诊疗的实际支付费用比在一级医院诊疗的实际支付费用多400元，求王先生本次诊疗产生的费用； (2)本市某位患者本年度门诊累计费用为元（的范围是），目前因患病需到三级医院门诊就诊，预计本次诊疗费用为元，全年门诊累计费用不超过100000元，现有两种方案： 方案一：直接到三级医院就诊； 方案二：先到一级医院办理转诊（需支付挂号、检查等费用200元，该费用计入全年门诊累计费用，并执行一级医院报销比例），然后转诊至三级医院就诊． 根据以上信息，用含和的式子分别表示两种方案的实际支付费用，并直接判断哪种方案实际支付的费用更少． 题型六 数字问题 21．相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（    ） A． B．9 C．5 D．8 22．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则图中“”代表的数字是________． 5 7 5 7 23．我们知道，，反过来，，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下： 设① 则② 把等式②的两边分别减去①的两边得，即 解这个方程，得 所以． (1)在以上解答过程中，由①得到②，根据的理由是：____________； (2)类比小明的解答方法，将无限循环小数写成分数的形式． 24．对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上的数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位上的数字减去个位上的数字的差加上十位上的数字之和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． (1)计算______； (2)若是一个“互差数”，且，那么的值是______． 题型七 几何问题 25．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽？设这枚纪念币的长宽分别为，，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 26．用一根长为的铁丝围成一个长方形，若这个长方形的长比宽的2倍少，则这个长方形的面积是__________． 27．如图所示，在直角中，已知 ，点P从点A出发以的速度经过点B向点C运动，同时，点Q从点B出发以的速度向点C运动．设运动时间为． (1)请用含t的代数式表示下列线段的长度： 当点P在上运动时， ， ；当点P在上运动时， (2)若点P在上运动，t为何值时，能使？ (3)经过几秒，的面积为？ 28．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离记为或．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，请回答问题： (1)直接写出，，的值，__________，__________，__________． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则__________． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则__________； ②若，则__________； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是？ 题型八 动点问题 29．点A和点B在数轴上对应的有理数分别是和3，若点A沿着数轴向右运动，速度是每秒3个单位，点B也沿着数轴向右运动，速度是每秒2个单位，t秒后点A和B之间的距离是5个单位长度，则t的值是（    ） A．2 B．2或12 C．12 D．3 30．已知数轴上两点、对应的数分别为3、9，在数轴上有另外一点，当点到、两点的距离之差的绝对值为3时，则点表示的数是_________． 31．数轴上的点表示的数如图所示，将点向右平移个单位长度，得到点的相反数，回答下列问题： (1)点表示的数是；，两点间的距离是________； (2)将点在数轴上向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，得到点，，两点间的距离是多少个单位长度？ (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设，两点的运动时间为秒，当为多少时，，两点间的距离是，两点间距离的？ 32．如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 题型九 和差倍分问题 33．2025年福建省消协系统纠纷调解成功率位居全国的首位，当中福建省消协组织受理投诉万件，比2024年同比增长，若将2024年福建省消协组织受理投诉的数量设为x万件，求2024年福建省消协组织受理投诉的数量，以下符合题意的方程为（     ） A． B． C． D． 34．某高校若干个大学生共同买一台电脑．如果每人出600元，还差700元；如果每人出700元，还差200元，则共同购买电脑的大学生有_______人． 35．解决问题： (1)一种小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，需多少千克的小麦？ (2)某学校七年级一班有44人报名参加了文学社或书画社．已知参加书画社的人数比参加文学社的人数多4人，两个社都参加的有16人．问：参加书画社的有多少人？ 36．为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗．如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的多8面． (1)A组和B组各制作了多少面红旗？（用方程求解） (2)将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 题型十 电费和水费问题 37．为了节约用水，某市规定，每户居民每月用水不超过，按每立方米2元收费，超过，则超过部分按每立方米4元收费，某户居民5月份交水费72元．该居民5月份实际用水（     ） A． B． C． D． 38．为响应国家号召，引导节能低碳行为，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯用电”制度，下表是我市每月的电费标准： 阶梯 电量x/千瓦时 电费/（元/千瓦时） 第一档 0.5元/千瓦时 第二档 0.6元/千瓦时 第三档 0.8元/千瓦时 已知小丽家2024年2月份缴纳电费216元，则小丽家该月用电量为_________千瓦时． 39．为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 40．小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 题型十一 行程问题 41．，两地相距，一列普通列车从地出发，每小时行驶，一列高速列车从地出发，每小时行驶，高速列车提前出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇？若设慢车行驶了小时后，两车相遇，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 42．小明和小东站在百米跑道的两端同时相向起跑，小明每秒跑米，小东每秒跑米，设他们跑步的时间为t秒，已知时，两人相遇．相遇后继续．整个过程中，当两人相距米时值为______． 43．为响应“垃圾分类·绿色社区”环保倡议，幸福社区在笔直的主干道旁设置了垃圾分类宣传站和多个志愿督导点位．组织者以垃圾分类宣传总站为原点，沿道路向东为正方向建立数轴，方便志愿者调度．活动开始时，三名环保志愿者分别在不同督导点待命：小阳在原点东侧、对应数为的督导点位，小悦在原点西侧、对应数为的督导点位，小晨留在宣传总站准备发放宣传手册． (1)活动刚开始时，小阳和小悦所在督导点相距多少个单位长度？ (2)接到调度通知后，小阳以每秒个单位长度的速度向西巡查，小悦以每秒个单位长度的速度向东巡查，两人同时出发．设巡查时间为秒，请用含的式子表示秒后小阳和小悦之间的距离． (3)在（2）的条件下，小晨和两人同时出发，以每秒个单位长度的速度向东骑行送宣传物资．请问当出发时间为多少秒时，小晨所在位置到小阳、小悦两人位置的距离相等？ 44．如图，、两点分别为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为28． (1)在数轴上有一点，若，求点对应的数； (2)现有一动点从出发沿数轴向左运动，速度为每秒4个单位长度；同时另一个动点恰好从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，当、两点重合时，同时停止运动．设两点运动时间为秒，求此时的值，并求出此时点在数轴上对应的数； (3)在（2）的条件下，为何值时，点到点的距离是点到点距离的？并求出此时点表示的数． 题型十二 比例分配 45．“和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？设有小和尚人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 46．某学校组织秋游，原计划用45座的客车若干辆，则5人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出一辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 _____名． 47．如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．    (1)甲盒中有50个棋子，乙盒中有40个棋子，阿莲从甲盒拿出a枚黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，求a的值． (2)把所有的棋子分给一群小朋友，如果每人分3个，则剩余4个；如果每人分4个则还缺9个，求这群小朋友的人数． 48．甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是，如果他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士各捐了多少册图书？ 题型十三 日历问题 49．如果某年某月中恰好有5个“星期日”，且这5个“星期日”对应日期的号数之和为75，那么这个月中日期为10号的那一天应该是星期（    ） A．一 B．二 C．四 D．五 50．下面是某月的月历，小玉在该月每周固定周几去听数学文化讲座，若本月几次听讲座的日期之和是，则小玉是周_________去听的讲座． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 51．在下图的2026年1月的月历表中，用“十”字形框框住了五个日期，“十”字形框可上下左右移动，设移动后“十”字形框中正中央的日期为． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)求移动后“十”字形框框住的五个日期之和（用含的代数式表示）； (2)移动“十”字形框，被框住的五个日期之和可能等于85吗？请说明理由． 52．把正整数1，2，3，4……，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、……．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设． (1)在图1中，2025排在第________行第________列； (2)若，求出C所表示的数； (3)在图（2）中，被阴影覆盖的这些数的和________（填“能”或“不能”）为4212． 题型十四 古代问题 53．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 54．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程_______． 55．相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 56．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 题型十五 其他问题 57．1号仓库与2号仓库共存粮，现从1号仓库取出存粮的，从2号仓库运出存粮的，结果2号仓库剩余粮食比1号仓库剩余粮食多．则1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨？（    ） A．1号仓库，2号仓库 B．1号仓库，2号仓库 C．1号仓库，2号仓库 D．1号仓库，2号仓库 58．哥哥和弟弟各买若干本练习本，如果哥哥给弟弟本，两人的练习本数量就同样多；如果弟弟给哥哥本，哥哥的练习本数量就是弟弟的倍．弟弟原来买练习本_______本． 59．如图是一个运算程序，一个有理数可以任意从，，三个位置出发，按照标注的要求运算．例如：将2按照的顺序进行运算，即． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)将一个数按照的顺序进行运算，得到运算结果为0，请求出这个数． 60．综合与实践 【主题】称量一个1元硬币的重量 【素材】 （1）如图所示，一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．，支点O在的中点处； （2）一个的砝码，若干相同的1元硬币． 【实践操作】 步骤1：左侧托盘放置一个砝码； 步骤2：右侧托盘放入10个相同的1元硬币； 步骤3：调整点P的位置，发现当时，天平平衡； 步骤4：查阅资料，根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 【实践探索】 (1)能称出一个1元硬币的重量吗？用你所学的数学知识说明． (2)横梁的长度、左侧托盘砝码保持不变的情况下，右侧托盘只放置一个1元硬币，为使天平保持平衡，的长度至多是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $