4.1 等式与方程（讲义）数学新教材苏科版七年级上册

第三章 一元一次方程 4.1 等式与方程 1. 理解方程的定义，能依据定义准确判断一个式子是不是方程，分清代数式、等式、方程。 2. 掌握等式的两条基本性质，能用文字和符号语言表述等式性质，能利用等式性质对等式进行合理变形。 3. 能分析实际问题中的数量关系，找准等量关系，设未知数列出方程，感受方程模型。 4. 理解方程的解的概念，会代入检验数值是否为方程的解；掌握 “已知方程的解，求参数” 的方法，体会代入思想。 课标要点 1.理解方程的概念，能识别方程，知道方程是含有未知数的等式。 2.掌握等式的基本性质 1、性质 2，会运用性质进行等式变形，知道变形的限制条件。 3.能从简单实际情境中寻找等量关系，设未知数，列出方程。 4.理解方程的解的含义，会检验一个数是不是方程的解；会把方程的解代入原方程求解式子中的参数。 学习重难点 重点： 1.方程概念辨析，判断各式是否为方程。 2.熟记等式性质 1、性质 2，规范进行等式变形。 3.检验方程的解;已知方程的解求参数。 4.根据等量关系列方程. 难点： 1.等式性质 2 中，等式两边同时除以一个数时，除数不能为 0 这个限制条件。 2.找准题目隐藏等量关系，正确列出方程。 3.已知解求参数题型:准确代入、规范解方程求出参数值, 知识点 方程的识别 方程:含有未知数的等式叫做方程。判定需要同时满足两点:①是等式(含有等号);②含有未知数。代数式、不等式都不是方程。特别提醒 方程一定是等式，但等式不一定是方程;不含未知数的等式不是方程。 随学随练 1．（26-27七年级上·全国·单元测试）下列各式是方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．、C．均不含“=”号，不是等式，故不是方程． B．不含未知数，故不是方程． D．是含未知数的等式，故是方程． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，方程需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式，据此判断各选项即可． 【详解】∵方程是含有未知数的等式，必须同时满足上述两个条件， 对选项A，是等式，但不含未知数，因此不是方程； 对选项B，含有未知数x，但不是等式，因此不是方程； 对选项C，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义； 对选项D，含有未知数，但不是等式，因此不是方程． 知识点 等式的性质 等式的性质 1:等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 符号语言:若a = b，则a ± c=b士 C。 等式的性质 2:等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，所得结果仍是等式。符号语言:若a =b，则ac=bc;若a=b,c≠0，则 特别提醒 1.两边做加、减操作时，必须是完全相同的数或者整式，不能一边加、一边减。 2.等式两边不能同时除以 0，0 不能作除数，这是高频易错点。 随学随练 3．（25-26六年级下·山东威海·期末）若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B正确； C、若，则，故C错误； D、若，且，则，故D错误； 4．（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，变形求解即可； 【详解】解：∵原方程为 ，移项得 ，将y的系数化为1，等式两边同乘，得；故A正确，其余都是错误的； 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）（多选）设“”“”“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示： 则下列图示正确的是（     ） A． B． C． 【答案】AB 【分析】根据天平平衡及倾斜情况得出物体质量间的等量关系，根据等式的性质即可得出答案． 【详解】解：设球、圆锥、正方体的质量分别为、、， 由第一个天平可知，， ∴，故A选项天平平衡正确，符合题意， 由第二个天平可知，， ∴，故B选项天平平衡正确，符合题意， ∵， ∴， ∴C选项天平不平衡不正确，不符合题意． 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）在匀速直线运动中，物体的路程、速度、时间之间的关系为，去分母得，那么其变形的依据是（     ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．等式的基本事实 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴等式两边同乘，得； 该变形的依据为等式的性质2. 知识点 列方程 列方程:先审题找到等量关系，设未知数，再用代数式表示等量关系两侧的量，最后用等号连接，得到方程。 特别提醒 核心是找准等量关系;不要把左右两边数量写颠倒;设未知数后，统一单位。 随学随练 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据图中的标注，列出方程为________． 【答案】 【分析】根据长方形的周长等于长加宽和的两倍列方程即可． 【详解】解：由题意得：． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为________．（不用化简） 【答案】 【分析】根据工具总数不变，分别用含的式子表示两种放置方法的总工具数，建立等量关系即可列出方程． 【详解】解：第一种放置方法中，每个箱子放把，剩余把，总工具数可表示为， 第二种放置方法中，空出一个箱子，实际放置工具的箱子数量为，每个箱子放把，总工具数可表示为， ∵工具总数不变， ∴可列方程为． 9．（2026·河北保定·一模）如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设乙木条的长为n，列出与的关系式，并求得n的表达式即可得解． 【详解】设乙木条的长为n， 根据题意，得， 解得． 知识点 方程的解 方程的解:自能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解 检验方法:把数值分别代入方程左边、右边计算，比较两边结果是否相等 随学随练 10．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 11．（25-26六年级下·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 12．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【答案】 【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2后，根据表格中数据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，当时，， 故关于的方程的解为； 故答案为： 知识点 已知方程的解，求参数 方法:把已知的解代入原方程，将原方程转化为只含有参数的新方程，解这个方程求出参数。 特别提醒 代入的时候，负数要记得带上括号;算出参数后，可回代验证。 随学随练 13．（25-26七年级上·山西朔州·期末）已知关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】将方程的解代入原方程转化为关于参数m的方程计算即可． 【详解】解：把代入，得，解得． 14．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】无需分别求出,的值，利用整体代入法计算.． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 拓展 等式性质的变形辨析 核心思路：判断等式变形是否正确，对照等式两条性质逐一核査;两边必须做完全相同的变化，同时留意性质2 中除数不能为 0 这个限制条件。 活学活用 1．（25-26七年级下·北京·阶段检测）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据相关性质逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵若，可得或，∴A变形错误； B选项：∵若，根据等式性质，两边同时加同一个数等式仍成立，可得，∴B变形错误； C选项：∵中分母不为，隐含条件，等式两边同乘可得，∴C变形正确； D选项：∵若，当时，与无意义，该变形不成立，∴D变形错误． 2．（2026·广西玉林·二模）老师在黑板上写出“若，则___________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式性质逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴A、，该选项一定成立； B、，该选项不成立； C、，该选项不成立； D、，该选项不成立． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列由梯形的面积公式变形得到的式子错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知原式，且梯形中，； A.等式两边同时除以得，，故不符合题意； B.对展开得，移项变形得，，两边除以得，，故不符合题意； C. 对展开得，移项变形得，，两边除以得，，故符合题意； D.等式两边同时乘得，，故不符合题意． 拓展 文字情境转化列方程 核心思路：读懂应用题语句，抓住表示相等关系的关键词;先确定等量关系，再合理设未知数，最后用代数式替换等量两边的量，列出方程。 活学活用 4．（25-26七年级上·广东广州·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据题意找到等量关系并列出方程是解题的关键．先根据题目条件，用含未知数的代数式分别表示出金牌数和银牌数，再根据总奖牌数列出方程． 【详解】解：设铜牌数为枚，则金牌数为枚，银牌数为枚，由题意可得 ， 故选：C． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列方程，解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果． 根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程即可． 【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克． 根据题意得，，即 方程可变换成：和，不能变换为． 故选：C． 6．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 拓展 已知方程的解求参数 核心思路：把给定的解代入原方程，未知数替换为对应数值，原式转化为只含参数的新等式，再解这个等式求出参数。 活学活用 7．（25-26七年级下·吉林·期末）若是方程的解，则_________． 【答案】 【分析】将方程的解代入方程即可． 【详解】解：将代入方程中， 得，解得． 8．（22-23七年级上·河南开封·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 【答案】2022 【分析】把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 【详解】解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 【详解】解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 题型 判断是不是方程 解题贴士 1.必须是等式，带有等号“= 2.式子里面含有未知数 3.两个条件要同时满足，缺一不可4. 代数式、不等式都不属于方程 ▌例1 （25-26七年级下·山西临汾·期中）下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即可求解． 【详解】解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误； B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误； C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误； D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，判断式子是否为方程需同时满足两个条件，一是含有未知数，二是等式，两个条件缺一不可，据此判断各选项即可. 【详解】解：含有未知数的等式叫做方程. ∵选项A 是等式，但不含未知数，∴A不符合要求； ∵选项B 含有未知数，但不是等式，∴B不符合要求； ∵选项C 含有未知数，但不是等式，属于不等式，∴C不符合要求； ∵选项D 是含有未知数的等式，符合方程的定义，∴D符合要求. ▌对点练1-2（24-25七年级下·湖南张家界·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：①，含有未知数x和y，且是等式，是方程； ② 含有未知数x，且是等式，是方程； ③ 没有未知数，不是方程； ④ 不是等式，不是方程； ⑤ 含有未知数x，且是等式，是方程； ⑥ 含有未知数x，且是等式，是方程． 综上，是方程的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选：D． ▌对点练1-3 （24-25七年级上·全国·单元复习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，含有未知数的等式，叫做方程，据此进行判断即可． 【详解】解：，是方程，故①正确； ，不是等式，不是方程，故②错误； ，是方程，故③正确； ，是方程，故④正确； ，不是等式，不是方程，故⑤错误； ，是方程，故⑥正确； ，是方程，故⑦正确； ，是方程，故⑧正确； 故选D． 题型 检验数值是否为方程的解 解题贴士 1.把数值分别代入式子的左边、右边 2.分别计算出左边结果、右边结果 3.若左边 = 右边，就是方程的解;不相等则不是4.代入负数、分数时，记得添括号，防止符号出错 ▌例2（26-27七年级·江苏·小升初衔接）是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． ▌对点练2-1（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 【详解】解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． ▌对点练2-2（25-26七年级上·河北邯郸·期中）在整式中，为常数，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 0 1 2 1 4 7 则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，通过观察表格数据，直接找到整式值为4时对应的x值，即为方程的解． 【详解】解：由表格可知，当时，， 故方程的解为． 故选：C． ▌对点练2-3（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，根据表格数据直接求解即可． 【详解】解：由表格数据，当时，，即， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 题型 根据方程的解求参数 解题贴士 1.将已知的解代入原方程 2.替换未知数，得到只含参数的等式 3.利用等式性质，解出参数的值 4.求出参数后，可以回代验证 ▌例3（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ▌对点练3-1（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】1 【详解】解：把代入得：， 解得：． ▌对点练3-2（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ∴， ． ▌对点练3-3（25-26七年级下·河南南阳·期中）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为_________． 【答案】6 【分析】根据方程解的定义，将代入方程得到，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 题型 根据题意列方程 解题贴士 1.审题，找出题目里的等量关系 2.合理设未知数 3.用代数式表示等量关系两边的量 4.用等号连接两个代数式，列出方程 ▌例4（25-26七年级上·江西南昌·期中）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为______． 【答案】 【分析】本题考查方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据正方形的面积公式、等边三角形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，所有正方形的面积为、所有等边三角形的面积为， 因此，列方程为：， 故答案为：． ▌对点练4-1（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. ▌对点练4-2（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【答案】 【分析】根据题目描述的数量关系，列出一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． ▌对点练4-3（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为___． 【答案】 【分析】本题主要考查列一元一次方程，主要根据题意中的关系，列出部分关系是解题的关键． 首先根据题意利用总人数列出女生人数为人，再利用男生人数比女生人数多20人由此列方程即可． 【详解】解：由题意得：女生人数为人， ∵男生人数比女生人数多20人， ∴， 故答案为：． 基础通关 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 2．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】解：由，移项得，计算得． ∵， ∴，即． 3.（26-27七年级上·全国·单元复习）利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、，两边同时减2得，原式变形正确，不符合题意； B、，两边同时除以6得，即，原式变形正确，不符合题意； C、，左边乘3，右边乘2，乘的数不相同，原式变形错误，符合题意； D、，两边同时加7得，原式变形正确，不符合题意． 4．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 【答案】D 【详解】 解：由第一个天平知2■=2， 由第二个天平知2●=4， ∴4■=2●，即2■=●． 5．（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 6．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知是方程的一个解，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】把代入，可得关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 48．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段检测）若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】将题目中的文字描述转化为代数式，根据等量关系列出方程． 【详解】解：∵ 的倍可表示为，的倍可表示为，二者的和等于， ∴ 可列方程为． 7．（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）对任意的数a，定义：，已知，则_________． 【答案】9 【分析】根据定义得到的表达式，列出关于的方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下表表示与的值的对应关系，写出关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过观察表格数据，当时，的值与的值相等，满足方程，因此是方程的解． 【详解】解：由表格可知，当时，， 代入方程，得，等式成立， 故方程的解为． 故答案为：． 素养提升 9．（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，其中图 中天平保持左右平衡，现要使图中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】图(a)与(b)相加得5个图形共150克，故1个三角形+1个圆形克．进而求出一个圆克．1个三角形的重量是：克克克，由此即可解题． 【详解】合并信息 据图（a），可得：3个三角形+2个圆形=80克． 根据图（b），可得：2个三角形+3个圆形=70克． ∴(3个三角形个圆形）个三角形+3个圆形=80克+70克 即：5个三角形个圆形=150克． ∴1个三角形+1个圆形克克． 又∵2个三角形+3个圆形（2个三角形个圆形）个圆形=克． ∴60克个圆形克， ∴1个圆形的重量是：70克克=10克， 1个三角形的重量是：30克克=20克． 图（C）的左盘中有1个三角形和2个圆形．它们的总重量是：克克=40克． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列数中，是方程的解的是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：A、当时，左边右边，故本选项不符合题意； B、当时，左边右边，故本选项不符合题意； C、当时，左边右边，故本选项符合题意； D、当时，左边右边，故本选项不符合题意； 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 12．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 【答案】B 【分析】根据题中所给的等量关系结合等式的性质先算出，再分别计算出每张卡片的大小，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A：， 卡片B：， 卡片C：， 卡片D：， 卡片E：， ， 这五张卡片上数字最大的是B． 13．（24-25七年级下·山西临汾·阶段检测）整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案． 【详解】解：， ， 由表格知，当时，， 是方程的解， 即也是方程的解． 故选：A． 14．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 【答案】// 【分析】本题考查了整式的加减运算，等式的性质，将题干中两式相加化简，即可得到b与c满足的数量关系． 【详解】解： ，， 将两式相加得： ； 故答案为：． 15．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【答案】 6 【分析】本题结合幻方的性质考查等式的性质、整式的加减运算，同时考查方程思想与辅助未知数消元法的运用，关键是紧扣幻方中横行、竖行及对角线的三数之和相等的性质建立等式．解题时先根据幻方的性质列出包含、和公共辅助未知数的等式，消去后移项化简，直接求出；再设其他辅助未知数、，结合幻方的性质分别用、、表示出和，将其代入另一幻和等式中，通过整式的化简消去多余未知数，最终求解得出的值． 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”．若 与互为“天平数”，则代数式_________________ 【答案】 【分析】本题考查了新定义，以及代数式求值，根据“天平数”的定义，建立方程，通过整体代入法求出代数式的值，即可解题． 【详解】解：因为与互为“天平数”， 所以． 整理得． 所以． 故答案为：． 迁移创新 17．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，进而得出，，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个小三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 18．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将三个式子相加可得，从而得出，，表示出，结合是正整数，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴将三个式子相加可得：， 整理可得， ∴， 将代入可得：，即， 将代入可得：，即， ， 为正整数， ∴当时，原式取得最大值． 19．（25-26七年级上·浙江金华·期末）在综合实践课上，小聪用一张长为，宽为的长方形纸片进行操作探究，先剪去一个以长方形纸片较短边为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片中再剪去一个以较短边为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等式的性质，整式的加减运算，求出第一次操作后剩余长方形的两邻边长，进而求出第二次剩余长方形的两邻边长，再讨论第二次剩余长方形的两邻边长的大小，进而求出第三次操作后剩余长方形的两邻边长，根据第三次操作后剩余长方形为正方形可得答案． 【详解】解：第一次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为，（由得，则为较长边）， 第二次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为，： 若，即，则第三次操作后剩余长方形的两邻边长分别为，， ∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形， ∴， ∴， ∴； 若，即，则第三次操作后剩余两邻边长分别为、， ∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或； 故答案为：或． 20．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解，换元法，理解题意，掌握换元法的计算是关键． 通过变量代换将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：对于方程 ， 设 ，则， ∴关于y的一元一次方程化为 ， 即 ， 两边乘以 ，得 ， 即 ， 令 ，则 ， 两边减 ，得 ， 这与已知方程 形式相同，且解为 ， 所以， 由 和 ，得 ， 所以 ， 解得，， 故答案为： ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次方程 4.1 等式与方程 1. 理解方程的定义，能依据定义准确判断一个式子是不是方程，分清代数式、等式、方程。 2. 掌握等式的两条基本性质，能用文字和符号语言表述等式性质，能利用等式性质对等式进行合理变形。 3. 能分析实际问题中的数量关系，找准等量关系，设未知数列出方程，感受方程模型。 4. 理解方程的解的概念，会代入检验数值是否为方程的解；掌握 “已知方程的解，求参数” 的方法，体会代入思想。 课标要点 1.理解方程的概念，能识别方程，知道方程是含有未知数的等式。 2.掌握等式的基本性质 1、性质 2，会运用性质进行等式变形，知道变形的限制条件。 3.能从简单实际情境中寻找等量关系，设未知数，列出方程。 4.理解方程的解的含义，会检验一个数是不是方程的解；会把方程的解代入原方程求解式子中的参数。 学习重难点 重点： 1.方程概念辨析，判断各式是否为方程。 2.熟记等式性质 1、性质 2，规范进行等式变形。 3.检验方程的解;已知方程的解求参数。 4.根据等量关系列方程. 难点： 1.等式性质 2 中，等式两边同时除以一个数时，除数不能为 0 这个限制条件。 2.找准题目隐藏等量关系，正确列出方程。 3.已知解求参数题型:准确代入、规范解方程求出参数值, 知识点 方程的识别 方程:含有未知数的等式叫做方程。判定需要同时满足两点:①是等式(含有等号);②含有未知数。代数式、不等式都不是方程。特别提醒 方程一定是等式，但等式不一定是方程;不含未知数的等式不是方程。 随学随练 1．（26-27七年级上·全国·单元测试）下列各式是方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 知识点 等式的性质 等式的性质 1:等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 符号语言:若a = b，则a ± c=b士 C。 等式的性质 2:等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，所得结果仍是等式。符号语言:若a =b，则ac=bc;若a=b,c≠0，则 特别提醒 1.两边做加、减操作时，必须是完全相同的数或者整式，不能一边加、一边减。 2.等式两边不能同时除以 0，0 不能作除数，这是高频易错点。 随学随练 3．（25-26六年级下·山东威海·期末）若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）（多选）设“”“”“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示： 则下列图示正确的是（     ） A． B． C． 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）在匀速直线运动中，物体的路程、速度、时间之间的关系为，去分母得，那么其变形的依据是（     ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．等式的基本事实 D．无法确定 知识点 列方程 列方程:先审题找到等量关系，设未知数，再用代数式表示等量关系两侧的量，最后用等号连接，得到方程。 特别提醒 核心是找准等量关系;不要把左右两边数量写颠倒;设未知数后，统一单位。 随学随练 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据图中的标注，列出方程为________． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为________．（不用化简） 9．（2026·河北保定·一模）如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（    ） A． B． C． D． 知识点 方程的解 方程的解:自能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解 检验方法:把数值分别代入方程左边、右边计算，比较两边结果是否相等 随学随练 10．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26六年级下·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 12．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 知识点 已知方程的解，求参数 方法:把已知的解代入原方程，将原方程转化为只含有参数的新方程，解这个方程求出参数。 特别提醒 代入的时候，负数要记得带上括号;算出参数后，可回代验证。 随学随练 13．（25-26七年级上·山西朔州·期末）已知关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．13 14．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 15．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 拓展 等式性质的变形辨析 核心思路：判断等式变形是否正确，对照等式两条性质逐一核査;两边必须做完全相同的变化，同时留意性质2 中除数不能为 0 这个限制条件。 活学活用 1．（25-26七年级下·北京·阶段检测）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2026·广西玉林·二模）老师在黑板上写出“若，则___________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列由梯形的面积公式变形得到的式子错误的是（     ） A． B． C． D． 拓展 文字情境转化列方程 核心思路：读懂应用题语句，抓住表示相等关系的关键词;先确定等量关系，再合理设未知数，最后用代数式替换等量两边的量，列出方程。 活学活用 4．（25-26七年级上·广东广州·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 拓展 已知方程的解求参数 核心思路：把给定的解代入原方程，未知数替换为对应数值，原式转化为只含参数的新等式，再解这个等式求出参数。 活学活用 7．（25-26七年级下·吉林·期末）若是方程的解，则_________． 8．（22-23七年级上·河南开封·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 题型 判断是不是方程 解题贴士 1.必须是等式，带有等号“= 2.式子里面含有未知数 3.两个条件要同时满足，缺一不可4. 代数式、不等式都不属于方程 ▌例1 （25-26七年级下·山西临汾·期中）下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（24-25七年级下·湖南张家界·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-3 （24-25七年级上·全国·单元复习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型 检验数值是否为方程的解 解题贴士 1.把数值分别代入式子的左边、右边 2.分别计算出左边结果、右边结果 3.若左边 = 右边，就是方程的解;不相等则不是4.代入负数、分数时，记得添括号，防止符号出错 ▌例2（26-27七年级·江苏·小升初衔接）是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． ▌对点练2-1（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2（25-26七年级上·河北邯郸·期中）在整式中，为常数，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 0 1 2 1 4 7 则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-3（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 题型 根据方程的解求参数 解题贴士 1.将已知的解代入原方程 2.替换未知数，得到只含参数的等式 3.利用等式性质，解出参数的值 4.求出参数后，可以回代验证 ▌例3（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． ▌对点练3-1（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是_____． ▌对点练3-2（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． ▌对点练3-3（25-26七年级下·河南南阳·期中）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为_________． 题型 根据题意列方程 解题贴士 1.审题，找出题目里的等量关系 2.合理设未知数 3.用代数式表示等量关系两边的量 4.用等号连接两个代数式，列出方程 ▌例4（25-26七年级上·江西南昌·期中）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为______． ▌对点练4-1（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． ▌对点练4-2（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． ▌对点练4-3（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为___． 基础通关 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 3.（26-27七年级上·全国·单元复习）利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 5．（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知是方程的一个解，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 48．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段检测）若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 7．（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）对任意的数a，定义：，已知，则_________． 8．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下表表示与的值的对应关系，写出关于的方程的解是______． 素养提升 9．（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，其中图 中天平保持左右平衡，现要使图中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列数中，是方程的解的是（     ） A． B．0 C．1 D．2 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 12．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 13．（24-25七年级下·山西临汾·阶段检测）整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 15．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”．若 与互为“天平数”，则代数式_________________ 迁移创新 17．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 18．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 19．（25-26七年级上·浙江金华·期末）在综合实践课上，小聪用一张长为，宽为的长方形纸片进行操作探究，先剪去一个以长方形纸片较短边为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片中再剪去一个以较短边为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则的值为___________． 20．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $