专题08等式与方程.一元一次方程及其解法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题08等式与方程.一元一次方程及其解法知题通关讲义 知识点01:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 知识点02:方程、方程的解、解方程基础概念 1. 方程定义 含有未知数的等式叫做方程。 判定两大条件：① 是等式（含等号）；② 含有未知数。 辨析：2+3=5不是方程（无未知数）；2x-1不是方程（无等号）；3x=9是方程。 2. 方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验解的标准步骤： 把数值分别代入方程左边、右边； 分别计算左右两边结果； 若左边 = 右边，则该数是方程的解，反之不是。 例：检验x=4是否为2x+1=9的解 左边=2×4+1=9，右边=9，左 = 右，因此x=4是方程的解。 3. 解方程定义 求方程的解的过程叫做解方程。 区分核心：方程的解是数值；解方程是计算过程。 知识点03:一元一次方程的定义与判定 1. 一元一次方程三要素（缺一不可） (1)只含有一个未知数（一元）； (2)未知数的次数都是1 次（一次）； (3)等号两边都是整式。 标准形式：ax+b=0（a、b为常数，a≠0) 2.一元一次方程判定对比 知识点04:解一元一次方程完整五大步骤（必考） 通用顺序：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 步骤拆解、操作要求与易错提醒 1.去分母 等式性质 2，方程两边同乘所有分母的最小公倍数； ⚠不含分母的常数项也要乘，切勿漏乘。 例：+1=x，两边同乘 2，得x+2=2x。 2.去括号 依据乘法分配律，括号外数字乘括号内每一项；括号前为负号，括号内全部变号。 例：-2(x-3)=-2x+6。 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边；移项必须变号；不移的项符号不变。 区分：方程内跨等号移动叫移项（要变号）；同一侧交换位置不叫移项（不变号）。 4.合并同类项 同类项系数相加，字母、次数不变，化为最简ax=b(a≠0)形式。 5.系数化为 1 等式性质 2，两边同时除以未知数系数，或乘系数倒数，得到x=。 完整标准解题例题 解方程：-1=x 解：去分母，两边同乘 3 2x-1-3=3x 去括号（本题无多层括号） 移项：2x-3x=1+3 合并同类项：-x=4 系数化为 1：x=-4 知识点05:列简单一元一次方程（建模基础） 1.步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程 2.常见等量关键词：和、差、倍、比、多、少、相等、总和； 3.示例：某数的 2 倍减 5 等于 7，设这个数为x，列方程：2x-5=7。 1.一元一次方程判定遗漏未知数系数非零条件 提醒：一元一次方程需同时满足三个核心条件：仅含一个未知数、未知数最高次数为1、未知数系数不为0；含参数方程判定时，必须排除未知数系数为0的情况。 2、等式、方程、代数式概念混淆 提醒：代数式无等号；等式含等号；方程是含未知数的等式；等式不一定是方程，代数式一定不属于方程。 3、运用等式性质1变形未双侧同步运算 提醒：依据等式性质1，等式两边必须同时加、减同一个数或整式；禁止仅对等式单侧进行加减变形。 4、运用等式性质2除以含字母式子未规避零值 提醒：依据等式性质2，等式两边可同乘任意数，仅能同除不为0的数或整式；禁止直接对含字母且可能为0的整式做除法运算。 5、方程移项未变号、混淆移项规则 提醒：项跨越等号移动必须改变符号；等式同侧交换项的位置不属于移项，无需变号。 6、解方程去括号出现漏乘、符号错误 提醒：括号外系数需遍乘括号内所有项；括号前为负号时，去括号后括号内各项符号全部反转。 7、去分母时常数项漏乘最简公分母 提醒：去分母操作需对等式所有项同乘最简公分母，不含分母的常数项不得遗漏乘法运算。 8、去分母时多项式分子未整体加括号 提醒：若分子为多项式，去分母后需对整体分子添加括号，避免后续符号、运算顺序出错。 9、系数化为1时分子分母位置颠倒 提醒：标准形式ax=b(a≠0)，求解结果为x=，严格区分除数与被除数，禁止分子分母倒置。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 等式的性质 1 ★ 题型三 等式的性质 2 ★ 题型四 列方程 ★★ 题型五 判断是否是方程的解 ★★ 题型六 已知方程的解，求参数 ★★ 题型七 判断是否是一元一次方程 ★ 题型八 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型九 合并同类项与移项 ★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 判断各式是否是方程 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，方程是含有未知数的等式．根据方程的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A：，是代数式，无等号， 不是方程． 对于B：，有等号，但无未知数，不是方程． 对于C：，有等号且有未知数x，是方程． 对于D：，有不等号，不是等式，不是方程． 故选C． 2．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，含有未知数的等式，叫做方程，据此进行判断即可． 【详解】解：，是方程，故①正确； ，不是等式，不是方程，故②错误； ，是方程，故③正确； ，是方程，故④正确； ，不是等式，不是方程，故⑤错误； ，是方程，故⑥正确； ，是方程，故⑦正确； ，是方程，故⑧正确； 故选D． 3．下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据方程的定义可得出正确答案． 【详解】①，是方程； ②，不是等式，不是方程； ③，不是等式，不是方程； ④，是方程； ⑤，是方程． 综上，方程共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 题型二 等式的性质 1 4．等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加c，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 5．如图，将一个大正方形分成两个长方形和一个小正方形．已知两个长方形的面积分别为10，6，则大正方形的面积为_________． 【答案】 25 【分析】先根据等式的性质说明，然后求出正方形的边长，再求长方形的长，进而求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴长方形的面积=长方形的面积， ∴正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴长方形的长， ∴正方形的边长， ∴正方形的面积． 6．设是正整数，且，则值为（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，得出，结合是正整数，得出a、b异号，然后分两种情况讨论：、，把整体代入，根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由题意知：，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴a、b异号， 当时，， ∴ ， ∵是正整数， ∴， ∴，， ∴原式 ； 当时，， ∴ ， ∵是正整数， ∴， ∴，， ∴原式 ； 综上，值为3． 题型三 等式的性质 2 7．根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，关键是熟练应用性质进行判断；需根据等式的性质，逐一判断选项变形的正确性. 【详解】解：∵等式性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立； ∴对于选项A，两边同时乘，得，变形正确； 对于选项B，两边同时乘，得，而非，变形错误； 对于选项C，当时，恒成立，但不一定等于，变形错误； 对于选项D，两边同时除以，得，而非，变形错误； 故选：A． 8．如图，将规格相同但重量不同的三种积木、、置于等臂天平两侧．若天平在图①所示的情况下处于平衡状态，则对图②、图③中天平的状态判断正确的是____（填序号）． 【答案】② 【分析】通过设未知数将天平平衡转化为等式，再利用等式性质验证图②、图③的平衡状态． 【详解】 解：设积木为，为，为， 据图①可知，当，即，则天平保持平衡； 图②左边重量为，右边重量为，由可得，所以天平处于平衡状态， 图③左边重量为，右边重量为，由图①可得，故天平不是平衡状态． 9．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，等式的性质：性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．需根据等式的两条基本性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：A、由两边除以，得，A选项变形正确，不符合题意； B、，即，由两边乘，得，B选项变形正确，不符合题意； C、由两边减6，得，C选项变形正确，不符合题意； D、当时，成立，但此时，故由直接得出是错误的，D选项变形错误，符合题意． 故选：D． 题型四 列方程 10．若a，b两数的平方和为0，则a，b两数的关系表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列方程，解题的关键是理解“平方和”的数学含义． a，b两数的平方和即先平方，再求和，据此列式即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 11．方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是_________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】分别分析四个情境中的数量关系，列出对应的方程，判断是否与一致． 【详解】解：①设心里想的数是，根据题意得：，符合题意； ②设红绳长米，根据题意得：，符合题意； ③由题意得：，符合题意； ④由题意得：，即，不符合题意． 综上所述，正确的选项是①②③． 12．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为_____． 【答案】7 【分析】本题考查列方程，等式的性质，根据题意，得到，根据等式的性质，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：7． 13．王强参加3000米的长跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米秒的速度跑完了其余的路程，一共花了15分钟，他以8米/秒的速度跑了多少米？设以8米/秒的速度跑了x米，列出的方程是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设以8米秒的速度跑了x米，则以5米/秒的速度跑了米，然后再根据题意列一元一次方程即可． 【详解】解：设以8米秒的速度跑了x米，则以5米/秒的速度跑了米， 依题意，得：． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、列出一元一次方程成为解答本题的关键． 题型五 判断是否是方程的解 14．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，通过将代入每个方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：A、当时，左边 右边，则不是A的解； B、当时，左边 右边，则不是B的解； C、当时，左边 右边，则是C的解； D、当时，左边 右边，则不是D的解． 故选：C． 15．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是________． x 0 1 2 7 5 3 1 【答案】2 【分析】本题考查了求方程的解． 将方程转化为，从表格中直接找出当时，，从而得到方程的解． 【详解】解：方程可化为． 由表格数据可知，当时，， 因此方程的解为． 故答案为：2． 16．已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 【详解】解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 题型六 已知方程的解，求参数 17．若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可求出未知参数的值. 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 将 代入方程得 ， 移项计算得 . 因此的值为. 18．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 【答案】 【分析】由方程的解可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， ∴． 19．已知是方程的一个解，则整式的值为______． 【答案】2028 【分析】本题主要考查了方程的解，代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 将方程的解代入原方程，得到关于m和n的等式，通过整理求出的值，再代入整式计算． 【详解】解：把代入，得， 整理得， ∴， 故答案为：2028． 20．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解题关键是掌握方程的解并能运用求解． 根据方程的解的意义求解即可． 【详解】解：原方程可变形为： 令， 则方程化为 关于的一元一次方程的解为， ∴ 对于方程，与方程形式相同， ∴方程的解为， 故选：A． 题型七 判断是否是一元一次方程 21．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．中含有2个未知数，不满足一元一次方程定义，不符合题意； B．中未知数的最高次数是2，不满足一元一次方程定义，不符合题意； C．只含有1个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，属于一元一次方程，符合题意； D．分母含有未知数，不是整式方程，不满足一元一次方程定义，不符合题意． 22．若是关于x的一元一次方程，则m的值是__________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为，且的系数不为，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得． 23．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．5或 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的概念，掌握好一元一次方程的定义是关键． 根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1且系数不为零，以此求出m的值，然后代入代数式求值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，且， 解得， ∴或， 又∵ ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型八 判断是否是一元一次方程解 24．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 25．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到和的关系式，然后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故选：C． 26．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型九 合并同类项与移项 27．若代数式的值是，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得 ， 移项得 ， 计算得 ， 两边同乘得 ． 28．定义新运算： 若 ，则 __________． 【答案】2 【分析】根据新运算的定义，建立方程并求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 29．已知关于的方程的解和的解相同，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．求出方程的解，代入即可求出m的值． 【详解】解：解方程得， ∵方程与的解相同， ∴将代入，得：， 解得：， 故答案为：． 30．下列方程变形正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的变形，包括去分母、去括号、移项和合并同类项等基本操作，需根据等式的性质判断每个选项的正确性． 【详解】解：A: 两边同乘3应得，但变形为，错误； B: 去分母得，即，但变形为，错误； C: 移项应得，但变形为，错误； D: 合并方程左边得，故原方程变形为，正确． 故选：D． 题型十 去括号 31．解一元一次方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“括号前是负号，去括号后括号内各项均要变号”的规则计算即可． 【详解】解：原方程为 ， ∵ 括号前的符号为负号，去括号时需要将括号内的每一项改变符号， ∴ 去括号后得 ， 因此去括号正确的是选项． 32．下列解方程过程中，变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A、∵ ，移项得 ，∴A变形错误； B、∵ ，系数化为1得 ，∴B变形错误； C、∵ ，两边同乘6，得 ，∴C变形错误； D、∵ ，将分子分母同乘10，得 ， 变形得 ，∴D变形正确． 33．将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 _____ ． 【答案】8 【分析】本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得 故答案为：8． 题型十一 去分母 34．方程去分母得__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法中的去分母，关键步骤是找到分母的最小公倍数． 去分母时，一是注意不要忘记乘没有分母的项，二是去掉分母后把分子加括号，据此求解即可． 【详解】解：， 两边同乘6得： ， ． 故答案为：． 35．当 ______ 时，关于的方程的解是． 【答案】 【分析】本题考查了已知方程的解求参数，解一元一次方程，将代入方程，再求解k的值，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入方程， 得， 即 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 故答案为：4． 36．已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是（    ） A．12 B． C．36 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 解方程得到，由于解为正整数，因此必须是6的正因数，从而求出所有整数并求和． 【详解】解：∵， 两边乘6得：， 化简得：， 即：， 移项得：， 即：， ∴， ∵解为正整数， ∴值可能为： 1，2， 3， 6， 当，， 当，， 当，， 当 ，， ∴ 所有整数为， ∴和为， 故选：B． 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 37．已知是关于x的方程的解，则a的值是（  ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴将代入方程，得， 整理得， 移项得． 38．已知关于的方程的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是， ∴把代入原方程，得：， 整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 39．已知关于的方程的解为正整数，也为正整数，则所有满足条件的的值的和为__________. 【答案】10 【分析】本题主要考查了根据方程解的情况求参数，将方程变形为，由解为正整数且为正整数，可知是7的正因数，据此求出所有可能的值并计算它们的和． 【详解】解：由方程，得，所以， 因为为正整数，且为正整数， 所以必须是7的正因数， 7的正因数有1和7，因此或， 解得：或. 所有满足条件的的值的和为：． 故答案为：10． 40．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．通过求解方程得到关于的表达式，令为整数，则分母为15的约数，从而求出所有正整数的值． 【详解】解：∵方程， 乘以6得：， 即， ∴， ∴， ∴． ∵为整数，∴是15的约数（包括正负约数）． 15的约数为． 令，则． 代入值求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）； 时，； 时，（舍去）． ∴ 满足条件的正整数为1，2，3，4，9． 其和为． 故选：D． 题型十三 一元一次方程解的关系 41．若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得中，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴中； ∴． 故选：C． 42．若关于x的方程与的解互为相反数，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．先解方程，得到此方程的解为，根据关于x的方程与解互为相反数，得到第一个方程的解为，代入求解即可． 【详解】解： ， ∵方程与的解互为相反数， ∴方程的解为，代入得： ． 故答案为． 43．对于任意有理数，，定义新运算：．现给出下列结论：①；②若，则；③，其中一定正确的结论是________．（填写正确结论的序号） 【答案】① 【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算分类讨论是解题的关键． 根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①：∵， ∴，①正确； ②：若，则， ∴； 若，则， ∴， 故或，②错误． ③：当时，，， 若，则，等式不成立，③错误． 综上所述，正确的结论是①． 故答案为：①． 题型十四 绝对值方程 44．若方程是关于x的一元一次方程，则（  ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念，求绝对值，根据一元一次方程的概念得出，，即可求得n的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 45．解答下列问题： (1)若，则__________； (2)若，则__________． 【答案】(1)2 (2)4或 【分析】（1）理解绝对值在数轴上指的是表示数x的点到表示数a的点的距离，从而将代数方程转化为几何距离问题求解． （2）理解绝对值在数轴上指的是表示数x的点到表示数a的点的距离，从而将代数方程转化为几何距离问题求解． 【详解】（1）解：方程的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数5的点的距离等于到表示数的点的距离，这意味着表示x的点是以表示数5和表示数为端点的线段的中点． 中点坐标公式为：， 所以． （2）解：方程的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数3的点的距离与到表示数的点的距离之和等于7． 计算数轴上表示数3的点和表示数的点之间的距离：，因为距离之和7大于这两点间的距离5，所以点x不可能在和3之间，只能在这两点的外侧． 情况一：当点x在3的右侧时，， 此时，， 方程变为： 解得． 检验：，符合题意． 情况二：当点x在的左侧时，， 此时，， 方程变为：， 解得． 检验：，符合题意． 综上所述，x的值为4或． 46．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求参数．一元一次方程要求未知数x的指数为1且系数不为0． 【详解】解：∵ 方程是一元一次方程， ∴且， 解得且， ∴， 故选：B． 47．已知为实常数，则下列结论正确的是（   ） A．关于的方程的解是 B．关于的方程的解是 C．关于的方程的解是 D．关于的方程的解是 【答案】D 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据各个选项中的说法可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、在方程中，当时，为任意实数，当时，，故选项A错误； B、在方程中，当时，为任意实数，当时，，故选项B错误； C、在方程中，当时，为任意实数，当时，，当时，，，故选项C错误； D、在方程中，，故选项D正确； 故选：D． 解答题 1．解方程： 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义从最外层绝对值开始，逐步根据绝对值的定义去掉绝对值符号，分情况讨论并排除无解的情况，最终求解的值． 【详解】解：， ， 或， 或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤逐步求解方程即可． （2）先去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤逐步求解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得，， 移项并合并同类项得，，解得； （2）解： 去分母得，， 去括号得， 移项并合并同类项得，，解得． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）根据“美好方程”求出的解为，再把变形为，即可得到． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”其中一个解为n， ∴另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为7， ∴或， 解得或． （3）解：解方程得：， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴的解是， ∵， ∴， ∴， 解得． 4．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 【点睛】能根据题意得出是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08等式与方程.一元一次方程及其解法知题通关讲义 知识点01:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 知识点02:方程、方程的解、解方程基础概念 1. 方程定义 含有未知数的等式叫做方程。 判定两大条件：① 是等式（含等号）；② 含有未知数。 辨析：2+3=5不是方程（无未知数）；2x-1不是方程（无等号）；3x=9是方程。 2. 方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验解的标准步骤： 把数值分别代入方程左边、右边； 分别计算左右两边结果； 若左边 = 右边，则该数是方程的解，反之不是。 例：检验x=4是否为2x+1=9的解 左边=2×4+1=9，右边=9，左 = 右，因此x=4是方程的解。 3. 解方程定义 求方程的解的过程叫做解方程。 区分核心：方程的解是数值；解方程是计算过程。 知识点03:一元一次方程的定义与判定 1. 一元一次方程三要素（缺一不可） (1)只含有一个未知数（一元）； (2)未知数的次数都是1 次（一次）； (3)等号两边都是整式。 标准形式：ax+b=0（a、b为常数，a≠0) 2.一元一次方程判定对比 知识点04:解一元一次方程完整五大步骤（必考） 通用顺序：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 步骤拆解、操作要求与易错提醒 1.去分母 等式性质 2，方程两边同乘所有分母的最小公倍数； ⚠不含分母的常数项也要乘，切勿漏乘。 例：+1=x，两边同乘 2，得x+2=2x。 2.去括号 依据乘法分配律，括号外数字乘括号内每一项；括号前为负号，括号内全部变号。 例：-2(x-3)=-2x+6。 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边；移项必须变号；不移的项符号不变。 区分：方程内跨等号移动叫移项（要变号）；同一侧交换位置不叫移项（不变号）。 4.合并同类项 同类项系数相加，字母、次数不变，化为最简ax=b(a≠0)形式。 5.系数化为 1 等式性质 2，两边同时除以未知数系数，或乘系数倒数，得到x=。 完整标准解题例题 解方程：-1=x 解：去分母，两边同乘 3 2x-1-3=3x 去括号（本题无多层括号） 移项：2x-3x=1+3 合并同类项：-x=4 系数化为 1：x=-4 知识点05:列简单一元一次方程（建模基础） 1.步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程 2.常见等量关键词：和、差、倍、比、多、少、相等、总和； 3.示例：某数的 2 倍减 5 等于 7，设这个数为x，列方程：2x-5=7。 1.一元一次方程判定遗漏未知数系数非零条件 提醒：一元一次方程需同时满足三个核心条件：仅含一个未知数、未知数最高次数为1、未知数系数不为0；含参数方程判定时，必须排除未知数系数为0的情况。 2、等式、方程、代数式概念混淆 提醒：代数式无等号；等式含等号；方程是含未知数的等式；等式不一定是方程，代数式一定不属于方程。 3、运用等式性质1变形未双侧同步运算 提醒：依据等式性质1，等式两边必须同时加、减同一个数或整式；禁止仅对等式单侧进行加减变形。 4、运用等式性质2除以含字母式子未规避零值 提醒：依据等式性质2，等式两边可同乘任意数，仅能同除不为0的数或整式；禁止直接对含字母且可能为0的整式做除法运算。 5、方程移项未变号、混淆移项规则 提醒：项跨越等号移动必须改变符号；等式同侧交换项的位置不属于移项，无需变号。 6、解方程去括号出现漏乘、符号错误 提醒：括号外系数需遍乘括号内所有项；括号前为负号时，去括号后括号内各项符号全部反转。 7、去分母时常数项漏乘最简公分母 提醒：去分母操作需对等式所有项同乘最简公分母，不含分母的常数项不得遗漏乘法运算。 8、去分母时多项式分子未整体加括号 提醒：若分子为多项式，去分母后需对整体分子添加括号，避免后续符号、运算顺序出错。 9、系数化为1时分子分母位置颠倒 提醒：标准形式ax=b(a≠0)，求解结果为x=，严格区分除数与被除数，禁止分子分母倒置。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 等式的性质 1 ★ 题型三 等式的性质 2 ★ 题型四 列方程 ★★ 题型五 判断是否是方程的解 ★★ 题型六 已知方程的解，求参数 ★★ 题型七 判断是否是一元一次方程 ★ 题型八 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型九 合并同类项与移项 ★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 判断各式是否是方程 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 等式的性质 1 4．等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．如图，将一个大正方形分成两个长方形和一个小正方形．已知两个长方形的面积分别为10，6，则大正方形的面积为_________． 6．设是正整数，且，则值为（     ） A．3 B．2 C． D． 题型三 等式的性质 2 7．根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如图，将规格相同但重量不同的三种积木、、置于等臂天平两侧．若天平在图①所示的情况下处于平衡状态，则对图②、图③中天平的状态判断正确的是____（填序号）． 9．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型四 列方程 10．若a，b两数的平方和为0，则a，b两数的关系表示为（    ） A． B． C． D． 11．方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是_________．（填序号） 12．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为_____． 13．王强参加3000米的长跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米秒的速度跑完了其余的路程，一共花了15分钟，他以8米/秒的速度跑了多少米？设以8米/秒的速度跑了x米，列出的方程是（　　　） A． B． C． D． 题型五 判断是否是方程的解 14．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 15．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是________． x 0 1 2 7 5 3 1 16．已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 题型六 已知方程的解，求参数 17．若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 18．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 19．已知是方程的一个解，则整式的值为______． 20．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 题型七 判断是否是一元一次方程 21．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 22．若是关于x的一元一次方程，则m的值是__________． 23．若方程是关于的一元一次方程，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．5或 题型八 判断是否是一元一次方程解 24．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 25．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 26．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型九 合并同类项与移项 27．若代数式的值是，则的值是（     ） A． B． C． D． 28．定义新运算： 若 ，则 __________． 29．已知关于的方程的解和的解相同，则的值为__________． 30．下列方程变形正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 题型十 去括号 31．解一元一次方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 32．下列解方程过程中，变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 33．将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 _____ ． 题型十一 去分母 34．方程去分母得__________． 35．当 ______ 时，关于的方程的解是． 36．已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是（    ） A．12 B． C．36 D． 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 37．已知是关于x的方程的解，则a的值是（  ） A．3 B．6 C． D． 38．已知关于的方程的解是，则的值为________． 39．已知关于的方程的解为正整数，也为正整数，则所有满足条件的的值的和为__________. 40．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（　　） A．12 B．13 C．18 D．19 题型十三 一元一次方程解的关系 41．若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 42．若关于x的方程与的解互为相反数，则k的值为________． 43．对于任意有理数，，定义新运算：．现给出下列结论：①；②若，则；③，其中一定正确的结论是________．（填写正确结论的序号） 题型十四 绝对值方程 44．若方程是关于x的一元一次方程，则（  ） A．5 B．1 C． D． 45．解答下列问题： (1)若，则__________； (2)若，则__________． 46．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．1 47．已知为实常数，则下列结论正确的是（   ） A．关于的方程的解是 B．关于的方程的解是 C．关于的方程的解是 D．关于的方程的解是 解答题 1．解方程： 2．解方程： (1)； (2)． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 4．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $