专题03 用一元一次方程解决问题（题型专练）数学新教材苏科版七年级上册

专题03 用一元一次方程解决问题 （题型突破·举一反三） 题型·01·和差倍分问题 题型·02·行程问题 题型·03·工程问题 题型·04·销售和折扣问题 题型·05·配套问题 题型·06·数字问题 题型·07·方案选择问题 题型·08·分段计费问题 题型·09·动点问题 ▌题型01 和差倍分问题 方法： 1. 找准表示倍数、多少、剩余的关键词，梳理数量之间的加减倍关系 2.设未知数，把文字里的等量关系直接转化为一元一次方程求解。 【典例1】（26-27七年级上·重庆·阶段检测）妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答） 【答案】 妈妈买香蕉花了12.5元 【分析】设买香蕉的钱数为未知数，根据总花费的等量关系列方程求解． 【详解】解:设妈妈买香蕉花了元，则买苹果花了元， 由题意得 解得: 答：妈妈买香蕉花了12.5元． 【变式1-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【分析】设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁，根据马丁一家四口的年龄之和等于祖母的年龄建立方程求解即可． 【详解】解：设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以（岁）， 答：马丁30岁． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）校园国学堂购进《论语》《孟子》共50本，《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元．求两种书各购进多少本？（列一元一次方程解答） 【答案】《论语》20本，《孟子》30本 【分析】设《论语》x本，则《孟子》本，根据“《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元”列方程求解即可． 【详解】解：设《论语》x本，则《孟子》本， ， 解得， ∴． 答：《论语》20本，《孟子》30本． 【变式1-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）2026年4月23日是第31个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取，在“世界读书日”前夕，某学校购进A、B两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本A种书籍的进价为25元，每本B种书籍的进价为40元，其中购进的A种书籍的数量比B种书籍数量的2倍多4本．则A种书籍购进多少本？ 【答案】84本 【分析】设B种书籍购进x本，则A种书籍购进本，利用学校购进A、B两种畅销书籍，共花费3700元作为等量关系建立方程即可． 【详解】解：设B种书籍购进x本，则A种书籍购进本，由题意可得： ， 解得：， （本）， 答：A种书籍购进84本． ▌题型02 行程问题 方法： 1.基本公式:路程 =速度 x时间。 2.相遇问题:路程和 =总路程;追及问题:路程差=初始距离;注意单位统一。 【典例2】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）某人骑自行车从甲地到乙地，他从甲地出发，用分钟走完全程的，然后加快速度，每分钟比原来多行了米，又走了分钟后，离乙地还有千米．甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】千米 【分析】根据路程速度时间，结合总路程等于三段路程之和，列出一元一次方程，进而求出甲乙两地的距离． 【详解】解：设甲、乙两地相距米， 千米米， 原来的骑行速度为：（米/分钟）， 列方程：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 米千米， 答：甲、乙两地相距千米． 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）某班到离学校的国家森林公园春游，先坐车，速度为．下车后以的速度步行到达目的地，共花了，求他们步行的时间． 【答案】他们步行了 【分析】设他们步行了，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设他们步行了， 由题意，得， 解得， 答：他们步行了． 【变式2-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 【答案】慢充的时间为小时 【分析】设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时，根据总续航增加列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时， 根据题意得：，                 解得：， 答：慢充的时间为小时． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 【答案】(1)若相向而行，出发后3小时相遇． (2)若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【分析】（1）设出发后x小时相遇，根据题意易得，然后进行求解即可； （2）设y小时后两车相距800千米，根据题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设出发后x小时相遇，根据题意得： ． 解得：； 答：若相向而行，出发后3小时相遇． （2）解：设y小时后两车相距800千米，根据题意得： ． 解得： 答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 题型03 工程问题 方法： 1.一般把总工作量看作 1，工作效率 =1:单独完成时间。 2.合作工作量 =各个人工作量之和，注意休息时间、分段工作的情况。 【典例3】（26-27八年级上·全国·阶段检测）工程应用题： 某工程队承接一项修路工程，实际每天修路的长度是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．已知原计划每天修路100米，求这项工程的总修路长度． 【答案】这项工程总修路长度为3000米 【分析】设原计划完成任务需要天，则实际用时天，实际每天修路：（米），再根据工作总量不变建立方程求解． 【详解】解：设原计划完成任务需要天，则实际用时天． 实际每天修路：（米） 由题意得： 解得 总长度：（米） 答：这项工程总修路长度为3000米． 【变式3-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 【答案】 预算施工费用够用，实际总施工费用为万元 【分析】以总工作量为等量关系列一元一次方程，求出甲、乙两队的施工天数，再计算总费用与预算对比． 【详解】解：将此次改造的总工作量看作单位，设甲队施工天，则乙队施工天， ∵甲队单独施工完成此次改造需要天，乙队单独施工完成此次改造需要天， ∴甲队单日完成总工作量的，乙队单日完成总工作量的， ∵两队总工作量为， ∴， 解得， 乙队施工天数：（天）， 总施工费用：（万元）， ∵， ∴ 预算施工费用够用． 【变式3-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 【变式3-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． (2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程， （2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． ▌题型04 销售和折扣问题 方法: 1.利润 = 售价 - 进价;利润率 =利润 :进价;售价 = 标价 x折扣。 2.折扣是标价的十分之几，利润率的计算基准是进价，不是标价。 【典例4】（25-26七年级下·山东烟台·期末）烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【答案】(1)购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； (2)乙品种大樱桃按预售价售出了50千克 【分析】（1）设购进甲品种大樱桃千克，根据总重量得到乙品种的购进重量，结合总进价列出一元一次方程，求解得到两种樱桃的购进重量； （2）设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，分别计算甲和乙两部分的利润，根据总获利列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲品种大樱桃千克，则购进乙品种大樱桃千克． 解得， ∴购进乙品种大樱桃（千克）， 答：购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； （2）解：设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，则按八折售出了千克， 由题意得，甲品种总利润为（元），乙品种打折后的售价为（元/千克） ∵总获利为1360元， ∴ 解得， 答：乙品种大樱桃按预售价售出了50千克． 【变式4-1】（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2300元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)； (2)购进甲种商品件； (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件 【分析】（1）设甲种商品每件进价为元，根据甲的利润率为，列方程求出x的值，再结合利润率定义列式求解，即可解题； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，再由总进价是2300元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①当打折前一次性购物总金额超过450元，但不超过600元时，②当打折前一次性购物总金额超过600元时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价为元， 由题意得， 解得， 甲种商品每件进价为元， 乙种商品每件进价50元，售价80元， ， 即每件乙种商品利润率为。 （2）解：设购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得， 答：购进甲种商品件； （3）解：设小华在该商场购买乙种商品件， ， ①当打折前一次性购物总金额超过450元，但不超过600元时， 根据题意得：， 解得； ②当打折前一次性购物总金额超过600元时， 根据题意得：， 解得； 综上所述，小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 【变式4-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)180，120 (2)甲商场费用为元，乙商场费用为元 (3)到甲商场购买比较合算 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； （2）解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为： 元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为： 元； （3）解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)， ， 到甲商场购买比较合算． 【变式4-3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【答案】(1)该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只 (2)乙型节能灯按预售价售出的数量是15只 【分析】（1）设该商店购进甲型号的节能灯只，则可以购进乙型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货价恰好为2600元”建立方程求解，即可解题； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，根据“两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设该商店购进甲型号的节能灯只，则购进乙型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只， 由题意得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是15只． ▌题型05 配套问题 方法: 1.根据配套比例，找到两种零件的数量等量关系, 2.配套比例不要写颠倒，按照一套里面零件数量之比列方程。 【典例5】（25-26七年级上·广西防城港·期末）某服装厂专门安排160名工人手工缝制衬衣，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个，那么应安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 【答案】120名 【分析】设应安排x名工人缝制衣袖，则有名工人缝制衣身，根据缝制的衣袖和衣身的数量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设应安排x名工人缝制衣袖，则有名工人缝制衣身， 由题意得， 解得， 答：应安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 【变式5-1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做50个茶壶或200个茶杯．该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 【分析】设安排名工人生产茶壶，根据每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排名工人生产茶壶，则安排名工人生产茶杯，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 【变式5-2】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． (1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)， (2)30 【分析】（1）由张用方法，有张用方法，分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解． 【详解】（1）解：裁剪时张用方法，则裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； （2）解：由题意得：， 解得：， 盒子的个数为：， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 【变式5-3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）某校开展了多项“综合实践”课程，在手工制作课上，老师组织七年级（1）班的45名学生制作新年心愿卡，已知该班男生比女生多3人． (1)七年级（1）班男生，女生各多少人？ (2)若一套新年心愿卡需要1张卡片和2条吊穗，一个人一节课可制作4张卡片或2个吊穗，女生都去做吊穗，男生都去做卡片，为了使制作的卡片和编织的吊穗刚好配套，应分配多少名男生去支援女生编织吊穗？ 【答案】(1)男生24人，女生21人 (2)15名 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设七年级（1）班有男生x人，则女生人，根据总人数为45人，列出方程，解方程即可； （2）设应分配y名男生去支援女生编织吊穗，根据一套新年心愿卡需要1张卡片和2条吊穗，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有男生x人，则女生人，根据题意得： ， 解得：， （人）， 答：七年级（1）班有男生24人，女生21人； （2）解：设应分配y名男生去支援女生编织吊穗，根据题意得： ， 解得：， 答：应分配15名男生去支援女生编织吊穗． ▌题型06 数字问题 方法: 1.两位数 ab = 10a +b，三位数同理，不能直接写成 ab. 2.数位上数字范围:0~9，最高位不能为 0，求出解后要检验。 【典例6】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）如图是由正奇数排成的数阵： (1)图中“工”字形框中七个数的和是中间数45的______倍 (2)在数阵中任意做一个这样的“工”字形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由． (3)直接判断用这样的“工”字形框能框出和为2023的七个数吗？请说明理由 【答案】(1)7 (2) 仍成立． 设中间数为x，则另六个数为，，，，，， 则七个数的和为：， 故七个数的和是中间数的7倍； (3) 不能，理由如下： 假设这样的“工”字形框能框出和为2023的七个数， 令中间的数字为m， 则， 解得． 由得，， 则余1， 所以中间数289排在第1列， 则它的左上方和左下方没有数字， 所以用这样的“工”字形框不能框出和为2023的七个数． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，求出七个数的和，然后进行判断即可； （3）设中间数为m，根据七个数的和为2023，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（倍）； （2）略 （3）略 【变式6-1】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），并自左至右用正整数序列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负． (1)计算4～9号位置对应标数之和； (2)当取标数为，，的三个珠子（k为正整数）时，求其标数之和（用含k的式子表示） (3)三个相邻珠子标数之和等于27，若中间的珠子为黑色，求黑色珠子的标数． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）4～9号位置对应标数相加即可； （2）将三个标数相加，运用整式的加减法则计算即可； （3）设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据“标数之和等于27”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 答：4～9号位置对应标数之和为9． （2）解：， 答：其标数之和为． （3）解：设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：黑色珠子的标数为． 【变式6-2】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下面有一定规律的三组数： ①，，，，， ②，，，，， ③，，，，， (1)每组的第个数分别是________，________，________； (2)第二组和第三组的第个数分别是________和________；（用含的式子来表示） (3)取每组的第个数，若这三个数的和为，求的值． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了数字的规律，一元一次方程的应用，解题的关键是仔细观察题目，归纳出每组数据的一般规律，并用代数式表示． （1）分别找出每组数的规律，写出每组数的第个即可； （2）根据（1）中找出的规律，即可进行解答； （3）将表示三组数据规律的代数式相加等于，求解即可． 【详解】（1）解：可得第一组数据第个为， 可得第二组数据第个为， 可得第三组数据第个为， ∴第一组数据第个为， 第二组数据第个为， 第三组数据第个为， 故答案为：；；； （2）由（1）可知：第二组和第三组的第个数分别是，； （3）设第一组的第个数为，则第二组的第个数为，第三组第个数为， 列方程得：， 解得：， ， ． 【变式6-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）（课本再现）人教版七年级上册数学教材第106页的部分内容： 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】 （1）下列各数中，能被3整除的有 （填序号） ①25；②225；③525；④1025；⑤2025 （2）我们用表示一个三位数．其中a，b，c分别表示百位，十位，个位上的数，若能被3整除，则能被3整除． 请仿照上面的方法补全下面的证明过程： 证明：∵ + ， 又∵和能被3整除，能被3整除， ∴能被3整除． 【学以致用】（3）若三位数能被3整除，求出x的值． 【答案】（1）②③⑤；（2），，；（3）2或5或8 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意进行判断即可； （2）类比题干可知得到，进而求解即可； （3）首先得到能被3整除，然后根据分情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵，7不能被3整除， ∴25不能被3整除； ②∵，9能被3整除， ∴225能被3整除； ③∵，12能被3整除， ∴525能被3整除； ④∵，8不能被3整除， ∴1025不能被3整除； ⑤∵，9能被3整除， ∴2025能被3整除； 故答案为：②③⑤； （2）证明：∵ ， ∵和能被3整除，能被3整除， ∴能被3整除． 故答案为：，，； （3）解：， 又能被3整除， 能被3整除， ， 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为2，5，8． ▌题型07 方案选择问题 方法: 1.分别写出不同方案的费用表达式，找到费用相等的临界点。 2.分区间讨论，对比临界点，判断不同条件下哪种方案更划算。 【典例7】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）邯郸成语之乡某两个文创店同时售卖“成语典故纪念章”和“成语典故纪念册”，纪念章每枚均售价20元，纪念册售价均每本5元，为推广邯郸成语文化两店元旦期间推出优惠如下． 甲店：买一枚纪念章送一本纪念册； 乙店：所有商品按购买金额的九折付款； (1)某地旅游团欲购买纪念章10枚，纪念册x本． 若在甲店购买需付款__________元；若在乙店购买需付款__________元；（用含有x的式子表示） (2)在（1）条件下，当购买多少本纪念册时，两家店的实际付款金额一样多？ (3)若此旅游团打算购买10枚纪念章和30本纪念册，请你帮他们设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)， (2)60本 (3)最省钱的购买方案是：在甲店购买10枚纪念章（获赠10本纪念册），在乙店购买剩余的20本纪念册，总付款290元 【分析】本题考查了整式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是关键． （1）根据甲、乙两店各自的优惠方案分别列式计算即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）先在甲店购买10枚纪念章，获赠最多的纪念册，再在乙店买纪念册获九折优惠，可得到最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：若在甲店购买，购买纪念章10枚，送10本纪念册，再购买本纪念册，需付款（元）； 若在乙店购买，购买金额打九折，需付款（元）． 故答案为：；． （2）解：令， 解得， 答：当购买60本纪念册时，两家店的实际付款金额一样多． （3）解：在甲店购买10枚纪念章（获赠10本纪念册），在乙店购买剩余的20本纪念册，总付款（元）． 【变式7-1】（25-26七年级上·广西贺州·期末）列方程解应用题： 在国庆放假期间，小明、小刚等同学跟随家长一起到公园游玩，下面是购买门票时小明和爸爸的对话：请根据图中的信息解答问题： 公园门票票价公示 成人票：每张40元 学生票：按成人票5折优惠 团体票：按成人票6折优惠（20人以上含20人） 爸爸 成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元 小明 爸爸，等一下，让我再算一算，换种方式购票是否可以更省钱？ (1)他们中一共有成年人多少人？学生多少人？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱并说明理由． 【答案】(1)他们中一共有成年人12人，学生6人 (2)按照团体票的优惠方案购买20张门票更省钱，能节省120元钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设他们中一共有成年人x人，那么学生有人，根据成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，结合按成人票6折优惠（20人以上含20人），成人票是每张40元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设他们中一共有成年人x人，那么学生有人， 根据题意得： 解得： 答：他们中一共有成年人12人，学生6人． （2）解：∵按成人票6折优惠（20人以上含20人），成人票是每张40元， ∴（元）． ． 按照团体票的优惠方案购买20张门票更省钱，能节省120元钱． 【变式7-2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）“元旦”期间，甲、乙两家商场决定开展促销活动，甲商场的优惠方案是：累计购物超出了200元以后，超出部分按原价8折优惠；乙商场的优惠方案是：累计购物超出100元之后，超出部分按原价9折优惠．设丁丁在元旦这天预计累计购物元（其中）． (1)丁丁到甲商场购物需要支付___________元；丁丁到乙商场购物需要支付___________元（用含的代数式表示）． (2)当为何值时，丁丁到这两家商场购物实际支付的钱数一样？ (3)当时，丁丁到哪家商场购物更为优惠？ 【答案】(1)， (2) (3)甲商场购物更为优惠 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值． （1）根据两个商场的优惠方案分别求得需要支付的金额； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）将分别代入（1）中代数式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，丁丁到甲商场购物需要支付 元； 丁丁到乙商场购物需要支付 元； 故答案为：，． （2）解：依题意，， 解这个方程，得． 答：当时，丁丁到这两家商场购物实际支付的钱数一样． （3）解：当时，到甲商场需支付：（元）； 到乙商场需支付：（元）． 因为， 所以丁丁到甲商场购物更为优惠． 【变式7-3】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）春节期间，某手工店推出一种买大号中国结赠送小号中国结的营销策略：赠送小号中国结的个数比买大号中国结个数的2倍少1个．为节约成本，该店准备根据出售大号中国结和赠送小号中国结的总数量，估算编织时所需绳子长度，再购进绳子并全部用于编织这部分大、小号中国结． 信息一：编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳； 信息二：某工厂出售编织大、小号中国结的绳子，每米标价4元，该工厂给出两种购买绳子的方案： 线上 线下 优惠方案 不超过时，每米按标价九折销售；超过时，每米按七折销售． 不超过时，每米减0.18元；超过时，不超过部分仍享受每米减0.18元的优惠，超过部分每米按标价六五折销售． (1)若该手工店出售x个大号中国结，那么赠送小号中国结的个数为 个，求此时大、小号中国结共需用绳多少米（用含x的代数式表示）； (2)若该手工店购进绳子，求编织多少个大号中国结； (3)当上述两种购买绳子的方案花费一样多时，可以编织多少个大号中国结？请你根据编织大号中国结个数的情况，直接写出该手工店最优惠的购买方案． 【答案】(1)；此时大、小号中国结共需用绳米 (2)编织12个大号中国结 (3)当上述两种购买绳子的方案花费一样多时，可以编织72个大号中国结；当编织大号中国结个数小于72个时，选择线上购买方案；当编织大号中国结个数等于72个时，选择线上、线下购买方案均可；当编织大号中国结个数大于72个时，选择线下购买方案 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，整式加减的实际应用； （1）根据“赠送小号中国结的个数比买大号中国结个数的2倍少1个”列代数式即可求出小号中国结的个数；根据信息一求大、小号中国结共需用绳数量； （2）结合（1）中代数式列方程即可； （3）设该手工店共购买绳子，分别求出线上和线下的售价，再判断即可． 【详解】（1）解：若该手工店出售x个大号中国结，那么赠送小号中国结的个数为； 此时大、小号中国结共需用绳 ． 答：此时大、小号中国结共需用绳米． （2）解：由题意得． ． 答：编织12个大号中国结； （3）解：设该手工店共购买绳子， 当时， 线上售价为：． 线下售价为：． ． ∴选择线上购买方案； 当，两种购买绳子的方案花费一样多时， ． 即． ． 此时． ． 综上所述： 当编织大号中国结个数小于72个时，选择线上购买方案； 当编织大号中国结个数等于72个时，选择线上、线下购买方案均可； 当编织大号中国结个数大于72个时，选择线下购买方案． ▌题型08 分段计费问题 方法: 1.分清分段标准，每一段使用对应的单价。 2.先判断总量落在哪个区间，超过基础量的部分单独计算。 【典例8】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 【变式8-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 【变式8-2】（25-26七年级上·云南普洱·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 材料1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，普洱市发展和改革委员会于2023年1月18日发布了关于调整普洱主城区居民阶梯水费标准有关事项的通知．供水管网范围内，对于完成“一表一户”改造的居民用水收费标准如下表： 材料2 用户类别阶梯水价 居民生活用水 污水处理费 （元/） 总水价 （含污水处理费） （元/） 水量基数 （/月/户） 自来水价 （元/） 第一阶水价 0~12（含12） 2.65 1.5 4.15 第二阶水价 12~16（不含12，含16） 3.98 1.5 5.48 第三阶水价 16以上（不含16） 7.95 1.5 9.45 （注：污水处理费按实际用水量计算） 材料3 例如：某用户2025年3月份用水，则各种费用如下： 自来水费（元） 污水处理费（元） 缴纳水费（元） 问题解决： 任务1确定水费 （1）若小超家2025年10月份用水，则他家应缴纳水费多少元？ 任务2确定污水处理费 （2）若小明家2025年11月份所缴纳水费中，自来水费为55.67元，求小明家11月份需缴污水处理费多少元？ 【答案】（1）元； （2）元 【分析】（1）小超家用水量在第一阶梯范围内，可直接用总水价乘以用水量快速计算应缴水费； （2）先计算前两阶梯自来水费的总额，与小明家的自来水费比较，确定用水量进入第三阶梯，再通过方程求出总用水量，最后根据污水处理费的计费规则计算费用． 【详解】（1）解：∵小超家年月份用水，，属于第一阶梯水价范围， ∴应缴纳水费为(元)． 答：小超家应缴纳水费元． （2）解：∵，， ∴前的自来水费总额为(元)． ∵， ∴小明家月份用水量超过． 设超过的水量为， 根据题意列方程：， 解得， ∴小明家月份总用水量为()． ∴污水处理费为(元)． 答：小明家月份需缴污水处理费元． 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 【答案】(1)28，， (2)该用户11月份水资源费为元 (3)5月份用水20吨，6月份用水30吨 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据“阶梯收费”的计价标准分别列式计算即可； （2）先求出该用户11月份的用水量，再计算水资源费即可； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨，分情况讨论，分别根据共缴水费167元列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，则应缴水费元， 若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是元； 若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是元， 故答案为：28，，； （2）若用水量在第一阶梯，则收费最多为元， 若用水量在第二阶梯，则收费最多为元， 因为该用户11月份的水费是元， 所以用水量在第二阶梯， 则， 解得：， 所以该用户11月份水资源费为元； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨， 若5月份用水量在第一阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 与5月份用水量在第一阶梯矛盾，此情况不存在； 若5月份用水量在第二阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 则， 答：5月份用水20吨，6月份用水30吨 ▌题型09 动点问题 方法: 1.抓住关键词：起点、方向、速度、相遇、相距、追上、停止。 2.梳理动点运动过程，用时间t表示动点对应的位置、走过路程。 3.画出数轴或线段图，距离用右边的数减左边的数表示，注意分类讨论。 4.优先直接设运动时间t为未知数，列出等量关系求解，最后检验取值范围。 【典例9】（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）【数学实验室】 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是_____； (2)数轴上表示和7的两点之间的距离表示为_____； (3)若表示一个有理数，则的最小值_____； (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90． 若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】(1)3 (2) (3)8 (4)经过12或28秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据代入求解即可； （3）分，，三种情况化简绝对值求解即可． （4）当运动时间为t秒时，电子蚂蚁P对应的数为，电子蚂蚁Q对应的数为，根据两点之间的距离公式代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：数轴上表示和1两点之间的距离是． （2）解：根据题意得∶数轴上表示和7的两点之间的距离表示为． （3）解：当时，； 当时，； 当时，， ∴的最小值为8． （4）解：当运动时间为t秒时，电子蚂蚁P对应的数为，电子蚂蚁Q对应的数为， 根据题意得∶， 即或， 解得∶或． 答∶经过12或28秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度． 【变式9-1】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，与互为相反数，、、三个数的和为，点与点之间的距离为10个单位长度． (1)_____，_____，_____； (2)若点以每秒2个单位长度、点以每秒0.5个单位长度向左移动，设运动时间为秒，当点与点重合时，求的值． (3)在（2）条件下，当点与点之间的距离为5个单位长度时，点所对应的数是多少？ 【答案】(1)，，4 (2) (3)或 【分析】（1）根据相反数的定义、数轴上两点间距离公式求解； （2）用含t的式子表示出秒时点、点表示的数，列一元一次方程求解； （3）分“点C在点B左侧，点C在点B右侧”两种情况，分别列方程求解． 【详解】（1）解： 与互为相反数， ， 又 ， ， 点与点之间的距离为10个单位长度，点在点的右侧， ， ， 综上可得，，，； （2）解：由（1）知，， 运动秒时，点B所处位置表示的数为，点C所处位置表示的数为， 点与点重合时，， 解得； （3）解：当点与点之间的距离为5个单位长度时，分两种情况： 当点C在点B左侧时， ， 解得， 点所对应的数是； 当点C在点B右侧时， ， 解得， 点所对应的数是； 综上可得，点所对应的数是或． 【变式9-2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 【答案】(1)点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16 (2)C在数轴上表示的数为或 (3)当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度 【分析】（1） 根据点在原点左右直接读出数值，用距离公式算AB长度； （2）设C表示数，由距离倍数关系列绝对值方程分三种情况求解； （3） 先求出到的时间，分（未出发）、（已出发）两段，写出P，Q对应数，根据距离为 4 列方程计算． 【详解】（1）解：∵ A在原点右侧，， 表示10； 在原点左侧，， 表示； ． ∴点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16． （2）解：设点表示的数为，由题意得 ． ① 当时：， ， ∴； ② 当时：， ， ， ∴； ③ 当时：， ， （舍去，不在此区间）． 故C在数轴上表示的数为或． （3）解：从到用时：秒，分两段讨论． 秒时，对应的数：． ① ，未出发，在： ， ， （）， ∴； ② ，出发时长为秒，对应数：， ， ， 或 ， 解得：或 综上，当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度． 【变式9-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，如图，数轴上依次有A、B、C三点，它们在数轴上对应的数分别是a、b、c，其中a、c满足，点B到点A的距离为20． (1)求a、b、c的值． (2)如图1，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，P、Q两点同时出发，在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中A、C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P、O两点在“折线数轴”上的距离与Q、B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)，， (2) (3)当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等 【分析】（1）利用平方与绝对值的非负性，结合非负数的和为0的条件求得a、c，再根据点B到点A的距离及它们在数轴上的位置即可求得b； （2）设相遇时间为t秒，由相遇问题列方程求解t，进而求出相遇时点P运动的路程，结合点P运动的方向即可求点M所对应的数； （3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当、不在线段上时；当在线段上时；当、在线段上时；当在线段上、在线段上时；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a、c满足， ∴，， 解得，， ∵点B到点A的距离为20，由图可知，点B位于点A的右侧， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， 设相遇时间为t秒，由题意得， 解得， ∴相遇时点P运动路程为， ∵动点P从点A出发沿着数轴的正方向运动， ∴相遇点M所对应的数是； （3）解：由（1）知，，， ∴，， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， ∴走完用时为秒，走完用时秒； ∵动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的倍， ∴走完用时为秒，走完用时秒； 根据、的位置可分种情况讨论： ①当、不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ②当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ③当、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ④当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 综上，当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用一元一次方程解决问题 （题型突破·举一反三） 题型·01·和差倍分问题 题型·02·行程问题 题型·03·工程问题 题型·04·销售和折扣问题 题型·05·配套问题 题型·06·数字问题 题型·07·方案选择问题 题型·08·分段计费问题 题型·09·动点问题 ▌题型01 和差倍分问题 方法： 1. 找准表示倍数、多少、剩余的关键词，梳理数量之间的加减倍关系 2.设未知数，把文字里的等量关系直接转化为一元一次方程求解。 【典例1】（26-27七年级上·重庆·阶段检测）妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答） 【变式1-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【变式1-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）校园国学堂购进《论语》《孟子》共50本，《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元．求两种书各购进多少本？（列一元一次方程解答） 【变式1-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）2026年4月23日是第31个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取，在“世界读书日”前夕，某学校购进A、B两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本A种书籍的进价为25元，每本B种书籍的进价为40元，其中购进的A种书籍的数量比B种书籍数量的2倍多4本．则A种书籍购进多少本？ ▌题型02 行程问题 方法： 1.基本公式:路程 =速度 x时间。 2.相遇问题:路程和 =总路程;追及问题:路程差=初始距离;注意单位统一。 【典例2】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）某人骑自行车从甲地到乙地，他从甲地出发，用分钟走完全程的，然后加快速度，每分钟比原来多行了米，又走了分钟后，离乙地还有千米．甲、乙两地相距多少千米？ 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）某班到离学校的国家森林公园春游，先坐车，速度为．下车后以的速度步行到达目的地，共花了，求他们步行的时间． 【变式2-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 题型03 工程问题 方法： 1.一般把总工作量看作 1，工作效率 =1:单独完成时间。 2.合作工作量 =各个人工作量之和，注意休息时间、分段工作的情况。 【典例3】（26-27八年级上·全国·阶段检测）工程应用题： 某工程队承接一项修路工程，实际每天修路的长度是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．已知原计划每天修路100米，求这项工程的总修路长度． 【变式3-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 【变式3-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【变式3-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ ▌题型04 销售和折扣问题 方法: 1.利润 = 售价 - 进价;利润率 =利润 :进价;售价 = 标价 x折扣。 2.折扣是标价的十分之几，利润率的计算基准是进价，不是标价。 【典例4】（25-26七年级下·山东烟台·期末）烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【变式4-1】（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2300元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【变式4-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【变式4-3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． ▌题型05 配套问题 方法: 1.根据配套比例，找到两种零件的数量等量关系, 2.配套比例不要写颠倒，按照一套里面零件数量之比列方程。 【典例5】（25-26七年级上·广西防城港·期末）某服装厂专门安排160名工人手工缝制衬衣，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个，那么应安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 【变式5-1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做50个茶壶或200个茶杯．该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ 【变式5-2】（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． (1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【变式5-3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）某校开展了多项“综合实践”课程，在手工制作课上，老师组织七年级（1）班的45名学生制作新年心愿卡，已知该班男生比女生多3人． (1)七年级（1）班男生，女生各多少人？ (2)若一套新年心愿卡需要1张卡片和2条吊穗，一个人一节课可制作4张卡片或2个吊穗，女生都去做吊穗，男生都去做卡片，为了使制作的卡片和编织的吊穗刚好配套，应分配多少名男生去支援女生编织吊穗？ ▌题型06 数字问题 方法: 1.两位数 ab = 10a +b，三位数同理，不能直接写成 ab. 2.数位上数字范围:0~9，最高位不能为 0，求出解后要检验。 【典例6】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）如图是由正奇数排成的数阵： (1)图中“工”字形框中七个数的和是中间数45的______倍 (2)在数阵中任意做一个这样的“工”字形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由． (3)直接判断用这样的“工”字形框能框出和为2023的七个数吗？请说明理由 【变式6-1】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），并自左至右用正整数序列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负． (1)计算4～9号位置对应标数之和； (2)当取标数为，，的三个珠子（k为正整数）时，求其标数之和（用含k的式子表示） (3)三个相邻珠子标数之和等于27，若中间的珠子为黑色，求黑色珠子的标数． 【变式6-2】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下面有一定规律的三组数： ①，，，，， ②，，，，， ③，，，，， (1)每组的第个数分别是________，________，________； (2)第二组和第三组的第个数分别是________和________；（用含的式子来表示） (3)取每组的第个数，若这三个数的和为，求的值． 【变式6-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）（课本再现）人教版七年级上册数学教材第106页的部分内容： 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】 （1）下列各数中，能被3整除的有 （填序号） ①25；②225；③525；④1025；⑤2025 （2）我们用表示一个三位数．其中a，b，c分别表示百位，十位，个位上的数，若能被3整除，则能被3整除． 请仿照上面的方法补全下面的证明过程： 证明：∵ + ， 又∵和能被3整除，能被3整除， ∴能被3整除． 【学以致用】（3）若三位数能被3整除，求出x的值． ▌题型07 方案选择问题 方法: 1.分别写出不同方案的费用表达式，找到费用相等的临界点。 2.分区间讨论，对比临界点，判断不同条件下哪种方案更划算。 【典例7】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）邯郸成语之乡某两个文创店同时售卖“成语典故纪念章”和“成语典故纪念册”，纪念章每枚均售价20元，纪念册售价均每本5元，为推广邯郸成语文化两店元旦期间推出优惠如下． 甲店：买一枚纪念章送一本纪念册； 乙店：所有商品按购买金额的九折付款； (1)某地旅游团欲购买纪念章10枚，纪念册x本． 若在甲店购买需付款__________元；若在乙店购买需付款__________元；（用含有x的式子表示） (2)在（1）条件下，当购买多少本纪念册时，两家店的实际付款金额一样多？ (3)若此旅游团打算购买10枚纪念章和30本纪念册，请你帮他们设计一种最省钱的购买方案． 【变式7-1】（25-26七年级上·广西贺州·期末）列方程解应用题： 在国庆放假期间，小明、小刚等同学跟随家长一起到公园游玩，下面是购买门票时小明和爸爸的对话：请根据图中的信息解答问题： 公园门票票价公示 成人票：每张40元 学生票：按成人票5折优惠 团体票：按成人票6折优惠（20人以上含20人） 爸爸 成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元 小明 爸爸，等一下，让我再算一算，换种方式购票是否可以更省钱？ (1)他们中一共有成年人多少人？学生多少人？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱并说明理由． 【变式7-2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）“元旦”期间，甲、乙两家商场决定开展促销活动，甲商场的优惠方案是：累计购物超出了200元以后，超出部分按原价8折优惠；乙商场的优惠方案是：累计购物超出100元之后，超出部分按原价9折优惠．设丁丁在元旦这天预计累计购物元（其中）． (1)丁丁到甲商场购物需要支付___________元；丁丁到乙商场购物需要支付___________元（用含的代数式表示）． (2)当为何值时，丁丁到这两家商场购物实际支付的钱数一样？ (3)当时，丁丁到哪家商场购物更为优惠？ 【变式7-3】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）春节期间，某手工店推出一种买大号中国结赠送小号中国结的营销策略：赠送小号中国结的个数比买大号中国结个数的2倍少1个．为节约成本，该店准备根据出售大号中国结和赠送小号中国结的总数量，估算编织时所需绳子长度，再购进绳子并全部用于编织这部分大、小号中国结． 信息一：编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳； 信息二：某工厂出售编织大、小号中国结的绳子，每米标价4元，该工厂给出两种购买绳子的方案： 线上 线下 优惠方案 不超过时，每米按标价九折销售；超过时，每米按七折销售． 不超过时，每米减0.18元；超过时，不超过部分仍享受每米减0.18元的优惠，超过部分每米按标价六五折销售． (1)若该手工店出售x个大号中国结，那么赠送小号中国结的个数为 个，求此时大、小号中国结共需用绳多少米（用含x的代数式表示）； (2)若该手工店购进绳子，求编织多少个大号中国结； (3)当上述两种购买绳子的方案花费一样多时，可以编织多少个大号中国结？请你根据编织大号中国结个数的情况，直接写出该手工店最优惠的购买方案． ▌题型08 分段计费问题 方法: 1.分清分段标准，每一段使用对应的单价。 2.先判断总量落在哪个区间，超过基础量的部分单独计算。 【典例8】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【变式8-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【变式8-2】（25-26七年级上·云南普洱·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 材料1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，普洱市发展和改革委员会于2023年1月18日发布了关于调整普洱主城区居民阶梯水费标准有关事项的通知．供水管网范围内，对于完成“一表一户”改造的居民用水收费标准如下表： 材料2 用户类别阶梯水价 居民生活用水 污水处理费 （元/） 总水价 （含污水处理费） （元/） 水量基数 （/月/户） 自来水价 （元/） 第一阶水价 0~12（含12） 2.65 1.5 4.15 第二阶水价 12~16（不含12，含16） 3.98 1.5 5.48 第三阶水价 16以上（不含16） 7.95 1.5 9.45 （注：污水处理费按实际用水量计算） 材料3 例如：某用户2025年3月份用水，则各种费用如下： 自来水费（元） 污水处理费（元） 缴纳水费（元） 问题解决： 任务1确定水费 （1）若小超家2025年10月份用水，则他家应缴纳水费多少元？ 任务2确定污水处理费 （2）若小明家2025年11月份所缴纳水费中，自来水费为55.67元，求小明家11月份需缴污水处理费多少元？ 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ ▌题型09 动点问题 方法: 1.抓住关键词：起点、方向、速度、相遇、相距、追上、停止。 2.梳理动点运动过程，用时间t表示动点对应的位置、走过路程。 3.画出数轴或线段图，距离用右边的数减左边的数表示，注意分类讨论。 4.优先直接设运动时间t为未知数，列出等量关系求解，最后检验取值范围。 【典例9】（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）【数学实验室】 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是_____； (2)数轴上表示和7的两点之间的距离表示为_____； (3)若表示一个有理数，则的最小值_____； (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90． 若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【变式9-1】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，与互为相反数，、、三个数的和为，点与点之间的距离为10个单位长度． (1)_____，_____，_____； (2)若点以每秒2个单位长度、点以每秒0.5个单位长度向左移动，设运动时间为秒，当点与点重合时，求的值． (3)在（2）条件下，当点与点之间的距离为5个单位长度时，点所对应的数是多少？ 【变式9-2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 【变式9-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，如图，数轴上依次有A、B、C三点，它们在数轴上对应的数分别是a、b、c，其中a、c满足，点B到点A的距离为20． (1)求a、b、c的值． (2)如图1，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，P、Q两点同时出发，在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中A、C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P、O两点在“折线数轴”上的距离与Q、B两点在“折线数轴”的距离相等． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用一元一次方程解决问题 ▌题型01 和差倍分问题 【典例1】 【答案】 妈妈买香蕉花了12.5元 【分析】设买香蕉的钱数为未知数，根据总花费的等量关系列方程求解． 【详解】解:设妈妈买香蕉花了元，则买苹果花了元， 由题意得 解得: 答：妈妈买香蕉花了12.5元． 【变式1-1】 【答案】30岁 【分析】设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁，根据马丁一家四口的年龄之和等于祖母的年龄建立方程求解即可． 【详解】解：设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以（岁）， 答：马丁30岁． 【变式1-2】 【答案】《论语》20本，《孟子》30本 【分析】设《论语》x本，则《孟子》本，根据“《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元”列方程求解即可． 【详解】解：设《论语》x本，则《孟子》本， ， 解得， ∴． 答：《论语》20本，《孟子》30本． 【变式1-3】 【答案】84本 【分析】设B种书籍购进x本，则A种书籍购进本，利用学校购进A、B两种畅销书籍，共花费3700元作为等量关系建立方程即可． 【详解】解：设B种书籍购进x本，则A种书籍购进本，由题意可得： ， 解得：， （本）， 答：A种书籍购进84本． ▌题型02 行程问题 【典例2】 【答案】千米 【分析】根据路程速度时间，结合总路程等于三段路程之和，列出一元一次方程，进而求出甲乙两地的距离． 【详解】解：设甲、乙两地相距米， 千米米， 原来的骑行速度为：（米/分钟）， 列方程：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 米千米， 答：甲、乙两地相距千米． 【变式2-1】 【答案】他们步行了 【分析】设他们步行了，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设他们步行了， 由题意，得， 解得， 答：他们步行了． 【变式2-2】 【答案】慢充的时间为小时 【分析】设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时，根据总续航增加列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时， 根据题意得：，                 解得：， 答：慢充的时间为小时． 【变式2-3】 【答案】(1)若相向而行，出发后3小时相遇． (2)若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【分析】（1）设出发后x小时相遇，根据题意易得，然后进行求解即可； （2）设y小时后两车相距800千米，根据题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设出发后x小时相遇，根据题意得： ． 解得：； 答：若相向而行，出发后3小时相遇． （2）解：设y小时后两车相距800千米，根据题意得： ． 解得： 答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 题型03 工程问题 【典例3】 【答案】这项工程总修路长度为3000米 【分析】设原计划完成任务需要天，则实际用时天，实际每天修路：（米），再根据工作总量不变建立方程求解． 【详解】解：设原计划完成任务需要天，则实际用时天． 实际每天修路：（米） 由题意得： 解得 总长度：（米） 答：这项工程总修路长度为3000米． 【变式3-1】 【答案】 预算施工费用够用，实际总施工费用为万元 【分析】以总工作量为等量关系列一元一次方程，求出甲、乙两队的施工天数，再计算总费用与预算对比． 【详解】解：将此次改造的总工作量看作单位，设甲队施工天，则乙队施工天， ∵甲队单独施工完成此次改造需要天，乙队单独施工完成此次改造需要天， ∴甲队单日完成总工作量的，乙队单日完成总工作量的， ∵两队总工作量为， ∴， 解得， 乙队施工天数：（天）， 总施工费用：（万元）， ∵， ∴ 预算施工费用够用． 【变式3-2】 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 【变式3-2】 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． (2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程， （2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． ▌题型04 销售和折扣问题 【典例4】 【答案】(1)购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； (2)乙品种大樱桃按预售价售出了50千克 【分析】（1）设购进甲品种大樱桃千克，根据总重量得到乙品种的购进重量，结合总进价列出一元一次方程，求解得到两种樱桃的购进重量； （2）设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，分别计算甲和乙两部分的利润，根据总获利列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲品种大樱桃千克，则购进乙品种大樱桃千克． 解得， ∴购进乙品种大樱桃（千克）， 答：购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； （2）解：设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，则按八折售出了千克， 由题意得，甲品种总利润为（元），乙品种打折后的售价为（元/千克） ∵总获利为1360元， ∴ 解得， 答：乙品种大樱桃按预售价售出了50千克． 【变式4-1】 【答案】(1)； (2)购进甲种商品件； (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件 【分析】（1）设甲种商品每件进价为元，根据甲的利润率为，列方程求出x的值，再结合利润率定义列式求解，即可解题； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，再由总进价是2300元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①当打折前一次性购物总金额超过450元，但不超过600元时，②当打折前一次性购物总金额超过600元时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价为元， 由题意得， 解得， 甲种商品每件进价为元， 乙种商品每件进价50元，售价80元， ， 即每件乙种商品利润率为。 （2）解：设购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得， 答：购进甲种商品件； （3）解：设小华在该商场购买乙种商品件， ， ①当打折前一次性购物总金额超过450元，但不超过600元时， 根据题意得：， 解得； ②当打折前一次性购物总金额超过600元时， 根据题意得：， 解得； 综上所述，小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 【变式4-2】 【答案】(1)180，120 (2)甲商场费用为元，乙商场费用为元 (3)到甲商场购买比较合算 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； （2）解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为： 元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为： 元； （3）解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)， ， 到甲商场购买比较合算． 【变式4-3】 【答案】(1)该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只 (2)乙型节能灯按预售价售出的数量是15只 【分析】（1）设该商店购进甲型号的节能灯只，则可以购进乙型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货价恰好为2600元”建立方程求解，即可解题； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，根据“两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设该商店购进甲型号的节能灯只，则购进乙型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只， 由题意得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是15只． ▌题型05 配套问题 【典例5】 【答案】120名 【分析】设应安排x名工人缝制衣袖，则有名工人缝制衣身，根据缝制的衣袖和衣身的数量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设应安排x名工人缝制衣袖，则有名工人缝制衣身， 由题意得， 解得， 答：应安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 【变式5-1】 【答案】安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 【分析】设安排名工人生产茶壶，根据每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排名工人生产茶壶，则安排名工人生产茶杯，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 【变式5-2】 【答案】(1)， (2)30 【分析】（1）由张用方法，有张用方法，分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解． 【详解】（1）解：裁剪时张用方法，则裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； （2）解：由题意得：， 解得：， 盒子的个数为：， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 【变式5-3】 【答案】(1)男生24人，女生21人 (2)15名 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设七年级（1）班有男生x人，则女生人，根据总人数为45人，列出方程，解方程即可； （2）设应分配y名男生去支援女生编织吊穗，根据一套新年心愿卡需要1张卡片和2条吊穗，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有男生x人，则女生人，根据题意得： ， 解得：， （人）， 答：七年级（1）班有男生24人，女生21人； （2）解：设应分配y名男生去支援女生编织吊穗，根据题意得： ， 解得：， 答：应分配15名男生去支援女生编织吊穗． ▌题型06 数字问题 【典例6】 【答案】(1)7 (2) 仍成立． 设中间数为x，则另六个数为，，，，，， 则七个数的和为：， 故七个数的和是中间数的7倍； (3) 不能，理由如下： 假设这样的“工”字形框能框出和为2023的七个数， 令中间的数字为m， 则， 解得． 由得，， 则余1， 所以中间数289排在第1列， 则它的左上方和左下方没有数字， 所以用这样的“工”字形框不能框出和为2023的七个数． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，求出七个数的和，然后进行判断即可； （3）设中间数为m，根据七个数的和为2023，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（倍）； （2）略 （3）略 【变式6-1】 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）4～9号位置对应标数相加即可； （2）将三个标数相加，运用整式的加减法则计算即可； （3）设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据“标数之和等于27”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 答：4～9号位置对应标数之和为9． （2）解：， 答：其标数之和为． （3）解：设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：黑色珠子的标数为． 【变式6-2】 【答案】(1)，，； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了数字的规律，一元一次方程的应用，解题的关键是仔细观察题目，归纳出每组数据的一般规律，并用代数式表示． （1）分别找出每组数的规律，写出每组数的第个即可； （2）根据（1）中找出的规律，即可进行解答； （3）将表示三组数据规律的代数式相加等于，求解即可． 【详解】（1）解：可得第一组数据第个为， 可得第二组数据第个为， 可得第三组数据第个为， ∴第一组数据第个为， 第二组数据第个为， 第三组数据第个为， 故答案为：；；； （2）由（1）可知：第二组和第三组的第个数分别是，； （3）设第一组的第个数为，则第二组的第个数为，第三组第个数为， 列方程得：， 解得：， ， ． 【变式6-3】 【答案】（1）②③⑤；（2），，；（3）2或5或8 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意进行判断即可； （2）类比题干可知得到，进而求解即可； （3）首先得到能被3整除，然后根据分情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵，7不能被3整除， ∴25不能被3整除； ②∵，9能被3整除， ∴225能被3整除； ③∵，12能被3整除， ∴525能被3整除； ④∵，8不能被3整除， ∴1025不能被3整除； ⑤∵，9能被3整除， ∴2025能被3整除； 故答案为：②③⑤； （2）证明：∵ ， ∵和能被3整除，能被3整除， ∴能被3整除． 故答案为：，，； （3）解：， 又能被3整除， 能被3整除， ， 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为2，5，8． ▌题型07 方案选择问题 【典例7】 【答案】(1)， (2)60本 (3)最省钱的购买方案是：在甲店购买10枚纪念章（获赠10本纪念册），在乙店购买剩余的20本纪念册，总付款290元 【分析】本题考查了整式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是关键． （1）根据甲、乙两店各自的优惠方案分别列式计算即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）先在甲店购买10枚纪念章，获赠最多的纪念册，再在乙店买纪念册获九折优惠，可得到最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：若在甲店购买，购买纪念章10枚，送10本纪念册，再购买本纪念册，需付款（元）； 若在乙店购买，购买金额打九折，需付款（元）． 故答案为：；． （2）解：令， 解得， 答：当购买60本纪念册时，两家店的实际付款金额一样多． （3）解：在甲店购买10枚纪念章（获赠10本纪念册），在乙店购买剩余的20本纪念册，总付款（元）． 【变式7-1】 【答案】(1)他们中一共有成年人12人，学生6人 (2)按照团体票的优惠方案购买20张门票更省钱，能节省120元钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设他们中一共有成年人x人，那么学生有人，根据成人票是每张40元，学生票五折优惠，咱们共18人，共出600元，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，结合按成人票6折优惠（20人以上含20人），成人票是每张40元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设他们中一共有成年人x人，那么学生有人， 根据题意得： 解得： 答：他们中一共有成年人12人，学生6人． （2）解：∵按成人票6折优惠（20人以上含20人），成人票是每张40元， ∴（元）． ． 按照团体票的优惠方案购买20张门票更省钱，能节省120元钱． 【变式7-2】 【答案】(1)， (2) (3)甲商场购物更为优惠 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值． （1）根据两个商场的优惠方案分别求得需要支付的金额； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）将分别代入（1）中代数式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，丁丁到甲商场购物需要支付 元； 丁丁到乙商场购物需要支付 元； 故答案为：，． （2）解：依题意，， 解这个方程，得． 答：当时，丁丁到这两家商场购物实际支付的钱数一样． （3）解：当时，到甲商场需支付：（元）； 到乙商场需支付：（元）． 因为， 所以丁丁到甲商场购物更为优惠． 【变式7-3】 【答案】(1)；此时大、小号中国结共需用绳米 (2)编织12个大号中国结 (3)当上述两种购买绳子的方案花费一样多时，可以编织72个大号中国结；当编织大号中国结个数小于72个时，选择线上购买方案；当编织大号中国结个数等于72个时，选择线上、线下购买方案均可；当编织大号中国结个数大于72个时，选择线下购买方案 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，整式加减的实际应用； （1）根据“赠送小号中国结的个数比买大号中国结个数的2倍少1个”列代数式即可求出小号中国结的个数；根据信息一求大、小号中国结共需用绳数量； （2）结合（1）中代数式列方程即可； （3）设该手工店共购买绳子，分别求出线上和线下的售价，再判断即可． 【详解】（1）解：若该手工店出售x个大号中国结，那么赠送小号中国结的个数为； 此时大、小号中国结共需用绳 ． 答：此时大、小号中国结共需用绳米． （2）解：由题意得． ． 答：编织12个大号中国结； （3）解：设该手工店共购买绳子， 当时， 线上售价为：． 线下售价为：． ． ∴选择线上购买方案； 当，两种购买绳子的方案花费一样多时， ． 即． ． 此时． ． 综上所述： 当编织大号中国结个数小于72个时，选择线上购买方案； 当编织大号中国结个数等于72个时，选择线上、线下购买方案均可； 当编织大号中国结个数大于72个时，选择线下购买方案． ▌题型08 分段计费问题 【典例8】 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 【变式8-1】 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 【变式8-2】 【答案】（1）元； （2）元 【分析】（1）小超家用水量在第一阶梯范围内，可直接用总水价乘以用水量快速计算应缴水费； （2）先计算前两阶梯自来水费的总额，与小明家的自来水费比较，确定用水量进入第三阶梯，再通过方程求出总用水量，最后根据污水处理费的计费规则计算费用． 【详解】（1）解：∵小超家年月份用水，，属于第一阶梯水价范围， ∴应缴纳水费为(元)． 答：小超家应缴纳水费元． （2）解：∵，， ∴前的自来水费总额为(元)． ∵， ∴小明家月份用水量超过． 设超过的水量为， 根据题意列方程：， 解得， ∴小明家月份总用水量为()． ∴污水处理费为(元)． 答：小明家月份需缴污水处理费元． 【变式8-3】 【答案】(1)28，， (2)该用户11月份水资源费为元 (3)5月份用水20吨，6月份用水30吨 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据“阶梯收费”的计价标准分别列式计算即可； （2）先求出该用户11月份的用水量，再计算水资源费即可； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨，分情况讨论，分别根据共缴水费167元列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，则应缴水费元， 若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是元； 若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是元， 故答案为：28，，； （2）若用水量在第一阶梯，则收费最多为元， 若用水量在第二阶梯，则收费最多为元， 因为该用户11月份的水费是元， 所以用水量在第二阶梯， 则， 解得：， 所以该用户11月份水资源费为元； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨， 若5月份用水量在第一阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 与5月份用水量在第一阶梯矛盾，此情况不存在； 若5月份用水量在第二阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 则， 答：5月份用水20吨，6月份用水30吨 ▌题型09 动点问题 【典例9】 【答案】(1)3 (2) (3)8 (4)经过12或28秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据代入求解即可； （3）分，，三种情况化简绝对值求解即可． （4）当运动时间为t秒时，电子蚂蚁P对应的数为，电子蚂蚁Q对应的数为，根据两点之间的距离公式代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：数轴上表示和1两点之间的距离是． （2）解：根据题意得∶数轴上表示和7的两点之间的距离表示为． （3）解：当时，； 当时，； 当时，， ∴的最小值为8． （4）解：当运动时间为t秒时，电子蚂蚁P对应的数为，电子蚂蚁Q对应的数为， 根据题意得∶， 即或， 解得∶或． 答∶经过12或28秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度． 【变式9-1】 【答案】(1)，，4 (2) (3)或 【分析】（1）根据相反数的定义、数轴上两点间距离公式求解； （2）用含t的式子表示出秒时点、点表示的数，列一元一次方程求解； （3）分“点C在点B左侧，点C在点B右侧”两种情况，分别列方程求解． 【详解】（1）解： 与互为相反数， ， 又 ， ， 点与点之间的距离为10个单位长度，点在点的右侧， ， ， 综上可得，，，； （2）解：由（1）知，， 运动秒时，点B所处位置表示的数为，点C所处位置表示的数为， 点与点重合时，， 解得； （3）解：当点与点之间的距离为5个单位长度时，分两种情况： 当点C在点B左侧时， ， 解得， 点所对应的数是； 当点C在点B右侧时， ， 解得， 点所对应的数是； 综上可得，点所对应的数是或． 【变式9-2】 【答案】(1)点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16 (2)C在数轴上表示的数为或 (3)当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度 【分析】（1） 根据点在原点左右直接读出数值，用距离公式算AB长度； （2）设C表示数，由距离倍数关系列绝对值方程分三种情况求解； （3） 先求出到的时间，分（未出发）、（已出发）两段，写出P，Q对应数，根据距离为 4 列方程计算． 【详解】（1）解：∵ A在原点右侧，， 表示10； 在原点左侧，， 表示； ． ∴点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16． （2）解：设点表示的数为，由题意得 ． ① 当时：， ， ∴； ② 当时：， ， ， ∴； ③ 当时：， ， （舍去，不在此区间）． 故C在数轴上表示的数为或． （3）解：从到用时：秒，分两段讨论． 秒时，对应的数：． ① ，未出发，在： ， ， （）， ∴； ② ，出发时长为秒，对应数：， ， ， 或 ， 解得：或 综上，当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度． 【变式9-3】 【答案】(1)，， (2) (3)当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等 【分析】（1）利用平方与绝对值的非负性，结合非负数的和为0的条件求得a、c，再根据点B到点A的距离及它们在数轴上的位置即可求得b； （2）设相遇时间为t秒，由相遇问题列方程求解t，进而求出相遇时点P运动的路程，结合点P运动的方向即可求点M所对应的数； （3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当、不在线段上时；当在线段上时；当、在线段上时；当在线段上、在线段上时；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a、c满足， ∴，， 解得，， ∵点B到点A的距离为20，由图可知，点B位于点A的右侧， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， 设相遇时间为t秒，由题意得， 解得， ∴相遇时点P运动路程为， ∵动点P从点A出发沿着数轴的正方向运动， ∴相遇点M所对应的数是； （3）解：由（1）知，，， ∴，， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， ∴走完用时为秒，走完用时秒； ∵动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的倍， ∴走完用时为秒，走完用时秒； 根据、的位置可分种情况讨论： ①当、不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ②当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ③当、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ④当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 综上，当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $