专题02 实际问题与一元一次方程（11题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

专题02 实际问题与一元一次方程（11题型突破·举一反三） 题型01 和差倍分问题 题型02 行程问题 题型03 工程问题 题型04 销售与利润问题 题型05 配套问题 题型06 数字与日历问题 题型07 分段计费问题 题型08 方案设计与选择问题 题型09 比赛积分问题 题型10 几何问题 题型11 动点问题 ▌题型01 和差倍分问题 【题型解读】 和差倍分问题是最基础的建模模型，常见表述有“某数的几倍”“比……多（少）”“是……的几分之几”。解题关键是选准等量关系，把“倍、分、多、少”正确转译为代数式。 【方法提炼】 若甲比乙的 倍多 ，则 ；若甲比乙多 ，则 【典例1】（25-26七年级上·北京东城·开学考试）今年兄弟俩年龄之和是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时兄的岁数恰好是弟的岁数的2倍，兄今年多少岁? 【答案】兄今年33岁 【详解】解：设今年弟弟的年龄为岁，则曾经有一年哥哥的年龄为岁，当年弟弟的年龄为岁 ∵两人年龄差始终不变 ∴兄弟年龄差为岁 ∴哥哥今年的年龄为岁 根据题意列方程： 解得 哥哥今年年龄为（岁） 答：兄今年33岁． 【变式1-1】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）小龙在商店买了一支圆珠笔和一支钢笔，圆珠笔的单价是钢笔单价的，钢笔比圆珠笔贵6 元，圆珠笔和钢笔各多少钱？ 【答案】钢笔单价为元，圆珠笔为元． 【详解】解：设钢笔单价为元，则圆珠笔为元， 根据题意得， 解得， ， 答：钢笔单价为元，圆珠笔为元． 【变式1-2】（25-26七年级上·广西·开学考试）（找等量关系）在读书节期间某校六年级（1）班购买了一箱《童年》，第一组拿走了一半多1本，第二组拿走了剩下的一半多2本，箱子里还剩10本．这箱《童年》共有多少本？ 【答案】本 【详解】解：设这箱《童年》共有本． 第一组拿走本，剩余书本数量为：， 第二组拿走剩下的一半多2本，拿走的数量为， 根据最终剩余10本，列方程得：， 整理得， 解得， 答：这箱《童年》共有本． 【变式1-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）甲、乙两个仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出60吨粮食到乙仓库，这时甲仓库的粮食数量是乙仓库粮食数量的2倍．求甲、乙两个仓库原来各存粮多少吨？ 【答案】甲仓库原来存粮360吨，乙仓库原来存粮90吨 【详解】解：设甲仓库原来存粮x吨，则乙仓库原来存粮吨， 从甲仓库运出60吨到乙仓库后，甲仓库剩余粮食为吨，乙仓库现有粮食为吨， ∴， 解得：， ∴乙仓库原来存粮为（吨）， ∴甲仓库原来存粮360吨，乙仓库原来存粮90吨． ▌题型02 行程问题 【题型解读】 行程问题围绕基本关系式“路程 = 速度 × 时间”展开，是期末压轴常客。按情境可细分为相遇、追及、环形跑道、顺逆水（风）四类，核心都是“抓住时间或路程的等量关系”。 相遇问题：相向而行，同时出发，则相遇时： 追及问题：同向而行，快者追慢者。若慢者先行（或两地相距一段），追及路程就是两者初始距离差： 环形跑道问题：同时同地同向出发，第一次相遇时快者比慢者多跑一圈；反向出发，第一次相遇时两人合跑一圈： 【典例2-1】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 【答案】(1)若相向而行，出发后3小时相遇． (2)若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【详解】（1）解：设出发后x小时相遇，根据题意得： ． 解得：； 答：若相向而行，出发后3小时相遇． （2）解：设y小时后两车相距800千米，根据题意得： ． 解得： 答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【典例2-2】小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． (1)一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． (2)第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【答案】(1)小亮速度为，叔叔速度为； (2)． 【详解】（1）解：设小亮的速度为，则叔叔的速度为， 根据题意可知， 解得， 因此小亮速度为，叔叔速度为； （2）解：设同向出发后，经过两人第一次相遇， 根据题意列方程得：， 解得． 【典例2-3】用方程的方法求解下面的问题： 已知两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． (1)若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ (2)若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ (3)若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 【答案】(1)经过2.8小时两车相遇 (2)经过小时两车相距560千米 (3)快车追上慢车用了16小时 【详解】（1）解：设经过小时两车相遇，由题意得， 解得， 因此，经过2.8小时两车相遇； （2）解：设经过小时两车相距560千米， 由题意得， 解得， 因此，经过小时两车相距560千米； （3）解：设快车追上慢车用了小时， 由题意得， 解得， 因此，快车追上慢车用了16小时． 【典例2-4】【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 【变式2-1】在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 【答案】(1)乙的速度为4米/秒． (2)出发时两人相距80米 【详解】（1）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 答：乙的速度为4米/秒； （2）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 所以 所以甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒， （米） 答：出发时两人相距80米． 【变式2-2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）甲、乙周末骑自行车去郊外游玩，甲从A地出发沿直线匀速前往B地，乙在甲前面1千米处沿相同路线同时出发前往B地，甲的速度比乙的速度的2倍少8千米/小时，他们出发30分钟后，甲追上乙． (1)求甲和乙的速度； (2)若甲追上乙后，甲的速度立即提高3千米/小时快速到达B地，到达B地后休息12分钟，再沿原路以提速后的速度返回，乙仍按原速前往B地，结果两人在距离B地2千米处再次相遇，求A，B两地的距离． 【答案】(1)甲的速度是12千米/小时，乙的速度是10千米/小时 (2)A，B两地的距离为22千米 【详解】（1）解：设乙的速度是x千米/小时，则甲的速度是（2x﹣8）千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝10， ∴2x﹣8＝2×10﹣8＝12（千米/小时）． 答：甲的速度是12千米/小时，乙的速度是10千米/小时； （2）设A，B两地的距离为y， 根据题意得：， 解得：y＝22． 答：A，B两地的距离为22千米． 【变式2-3】（25-26七年级下·重庆忠县·期末）马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． 【答案】(1) (2)马术三项训练场的总长度为米 【详解】（1）解：由题意得，场地障碍赛段长度为米，甲在越野赛段的速度为米/分钟，乙在越野赛段的速度为米/分， 相遇时，甲走完全部盛装舞步段，且走了越野赛段的，因此甲的运动时间为 ， 相遇时，乙走完全部场地障碍赛段，且走了越野赛段的，因此乙的运动时间为， 甲乙同时出发，相遇时运动时间相等， ，代入，得 ， ∴两边同除以，得， 解得； （2）解：3分钟40秒换算为分钟是分钟，即， 由第一问得，代入的表达式得 ， 解得， 则， 训练场总长度为（米）． 答：马术三项训练场的总长度为米． ▌题型03 工程问题 【题型解读】 工程问题把总工作量看作单位“1”，核心关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。注意工作效率是“单位时间完成的工作量”，常用分式表示。 【方法提炼】 【典例3】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 【答案】(1)两队合作需要12天完成此工程 (2)甲队还需要10天才能完成工程 【详解】（1）解：记总工作量为单位1． 设两队合作需要天完成此工程. 甲队工作效率为，乙队工作效率为 ； 由题意得， 解得； 答：两队合作需要12天完成此工程． （2）解：记总工作量为单位1． 设乙队离开后，甲队还需要天才能完成工程． 由题意得， 解得； 答：甲队还需要10天才能完成工程． 【变式3-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 【变式3-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． (2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【变式3-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． (1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ (2)完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 【答案】(1)师徒两人合作检修的时间为3小时 (2)师傅应分得的报酬为元；徒弟应分得报酬为元 【详解】（1）解：设师徒两人合作检修的时间为小时，则徒弟单独检修的时间为小时， 依题意，得 ， 解这个方程，得， 当时，， 答：师徒两人合作检修的时间为3小时． （2）解：师傅应分得的报酬为：（元） 徒弟应分得报酬为：（元） ▌题型04 销售与利润问题 【题型解读】 销售问题围绕进价、标价、售价、折扣、利润、利润率六要素展开，等量关系直接、易于建模，是性价比最高的得分题型。 【方法提炼】 【典例4】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)， (2)小明购买了件或件乙商品 【详解】（1）解：根据题意可知，甲商品每件进价为元， 乙商品每件进价为元， 故甲商品的进价为元，乙商品的进价为元． （2）解：设小明此次购买了件乙商品， ，方案①不符合； 当购买商品总价超过元，但不超过元时， 可得， 解得； 购买商品总价超过元时， 可得， 解得， 综上，小明购买了件或件乙商品． 【变式4-1】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 【变式4-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【答案】(1)购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； (2)乙品种大樱桃按预售价售出了50千克 【详解】（1）解：设购进甲品种大樱桃千克，则购进乙品种大樱桃千克． 解得， ∴购进乙品种大樱桃（千克）， 答：购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； （2）解：设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，则按八折售出了千克， 由题意得，甲品种总利润为（元），乙品种打折后的售价为（元/千克） ∵总获利为1360元， ∴ 解得， 答：乙品种大樱桃按预售价售出了50千克． 【变式4-3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 【答案】(1)首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克. (2)共获利3300元. (3)糯米糍荔枝是按原价打八五折销售 【详解】（1）解：设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克， 根据题意列方程得：， 整理得：，解得（千克）， ∴（千克）， 答：首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克； （2）妃子笑每千克利润为（元），糯米糍每千克利润为（元）， 则总利润为：（元）， 答：共获利3300元； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售， 第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为（千克）， 第二次总利润为（元）， 根据题意列方程得：， 解得， 答：糯米糍荔枝是打八五折销售． ▌题型05 配套问题 【题型解读】 配套问题（如螺钉配螺母、桌面配桌腿）的关键是：成套产品的“数量比”必须与“每个产品所需零件数”一致。 【方法提炼】 若 1 个螺钉配 2 个螺母，则生产螺母数应是螺钉数的 2 倍： 【典例5-1】（25-26七年级上·山西太原·期末）近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 【答案】安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 【详解】解：设手工坊安排名匠人制作簪杆，则安排名匠人制作绒花． 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 则制作绒花的匠人人数为(名)． 答：手工坊应该安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 【典例5-2】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）朝阳机械厂，零件加工车间A要赶制一批螺栓和螺母．车间A原有若干名工人，需从车间B调入6名工人，使得调整后车间A的总人数比原有工人人数的1.5倍少1人． (1)求车间A原有多少名工人? (2)若车间A现有工人每人每天可以生产720个螺栓或960个螺母，若1个螺栓与2个螺母配成一套．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，其余工人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套? 【答案】(1)14名 (2)8名 【详解】（1）解：设车间A原有x名工人， 由题意得：， 解得：， 即车间A原有14名工人． （2）解：设安排y名工人生产螺栓，则生产螺母的工人有名， 由题意得：， 解得：， 即应该安排8名工人生产螺栓，其余工人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）列方程解应用题： 某工厂需要生产一批健身器材，每套健身器材由一个支架和两套脚踏板组装而成，工厂现有台机器人，每台机器人每天可生产个支架或套脚踏板，如果每台机器人每天只能生产一种组件，如何分配机器人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】分配台机器人生产支架，台机器人生产脚踏板 【详解】解：设台机器人生产支架， ， 解得：， ， 答：分配台机器人生产支架，台机器人生产脚踏板． 【变式5-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和6个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做150个茶杯或50个茶壶． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ (2)已知每套茶具的利润为80元，在（1）的条件下求该工厂每天获得的利润． 【答案】(1)安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套 (2)该工厂每天获得的利润为160000元 【详解】（1）解：设安排名工人生产茶杯，则生产茶壶的工人有名， 由题意可得， 解得， 所以生产茶壶的工人有（名）， 答：安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套； （2）解：由（1）得：茶壶和茶杯刚好配套时，每天共生产（套） 此时该工厂每天获得的利润为：（元） 答：该工厂每天获得的利润为160000元． 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 【答案】(1)男生21人，女生24人 (2)分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底 【详解】（1）解：设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：七年级（3）班的男生人数为21人，女生人数为24人； （2）解：设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底， 由题意得，， 解得， ∴， 答：分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底． ▌题型06 数字与日历问题 【题型解读】 数字问题用“数位 × 位权”表示数；日历问题利用相邻日期相差 1（横向）或 7（纵向）构造方程。 【方法提炼】 ；日历横向相邻相差 1，纵向相邻相差 7。 【典例6-1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数字，得到一个新的两位数．则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值． 【答案】33 【详解】解：设原两位数的个位数字为x， 则十位数字为，x为正整数，且，即， 故x可取， 原两位数为 ， 新两位数为 ， 两数之和为， 即两数之和为，故该和一定能被33整除，所有可能的和（当分别取时）的最大公因数为33， ∴这个整数的最大值是33． 【典例6-2】（24-25七年级上·重庆·开学考试）小芳将自然数按右面的格式排列后，每次用（即4行3列）的长方形都可以框出12个数（如图）．有一次她发现框出的12个数的和是2010．那么这12个数中最大的数是多少？ 【答案】179 【详解】解：设最小数为x，则12个数依次为，，，，，，，，，，，， 根据题意得： 解得， 所以12个数中最大的数为． 【典例6-3】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，十进制数（规定当时，）． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)我们知道在十进制下有乘法口诀“三五十五、三七二十一”，但是在某进位制下算式才是正确的，求该进位制是几进制； (2)在（）的条件下，是否存在某个两位十进制数转化为该进制的数恰好是，若存在，求出所有满足条件的十进制数，若不存在，说明理由． 【答案】(1)该进位制是七进制； (2)存在，满足条件的十进制数为和． 【详解】（1）解：设该进位制是进制， 由题意，得， 解得， 答：该进位制是七进制； （2）解：由题意得，应满足， 整理得， 由于，只能取大于等于且小于等于的整数， 所以，或，， 所以满足条件的十进制数为和． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，将所有的奇数按照从小到大的顺序七个一行排列成一个数列表，在该数列表上面放置一个“中”字框． (1)求图中“中”字框框住的七个数字的平均值 (2)“中”字框可以在该数列表中上下左右移动，但总保持可以框住七个数字，随着“中”字框的移动，是否可以使其框住的七个数字之和为？并说明你的理由． 【详解】（1）解：图中“中”字框框住的七个数字的平均值为． (2)没有可能和为，理由如下： 设中心为数字，则“中”字的数字为，，，，，，， 解得， ，位于倒数第二列（行）， 由于至少为倒数第列，故没有可能和为． 【变式6-2】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；1940：，则称1940为“倍数”；2548：．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． (1)直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； (2)若一个三位数x为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； (3)若一个四位数x既为“2倍数”又是“倍数”，直接写出这样的四位数x的最大值和最小值； 【详解】（1）解：∵，解得，不是整数， ∴不是“倍数”； ∵，解得， ∴是“倍数“，为 (2)能，理由： 为三位数，个位为， ∵一个三位数x为“倍数”， ∴ 整理得： 这个三位数为：． 是整数． 这三位数能被整除． （3）解：设， ∵四位数x既为“2倍数”又是“倍数” ∴，， ∴， ∴，， ∴四位数x最大值：9999；最小值：1010． 【变式6-3】（25-26七年级上·山东临沂·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）． (1)如图2，在这个幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为__________． (2)①如图3，当________时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将这9个数填入图4的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则____________； (3)将幻方迁移到月历：如图5是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是126．”该同学的说法是否正确，请说明理由． 【详解】（1）解：；，， 故答案为：； （2）解：①由题意，得：， 解得：； 故答案为：； ②观察幻方可知：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍， ∴， 解得：； 故答案为：2； (3)解：不正确，理由如下： 设阴影方框的中央位置的数为，由题意，得：， 解得：； 观察图形可知，不存在阴影方框，其中央数字为14； 故该同学的说法不正确． ▌题型07 分段计费问题 【题型解读】 分段计费（阶梯水费、电费、出租车费等）的等量关系为“各段费用之和 = 总费用”，难点在于必须先判断总量落在哪一档。 【方法提炼】 【典例7-1】为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过度的电量 0.50 二档 至度之间的电量 0.55 三档 超过度的电量 0.80 (1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应交电费__________元； (2)小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度? 【答案】(1)260 (2)320度 【详解】（1）解：（元）， ∴小明家七月份应缴260元电费； （2）当用电220度时，应缴电费（元）； 当用电420度时，应缴电费（元）． ∵， ∴该月用电量在二档， 设小明家九月份用电x度， 则有，解得． 答：该月用电320度． 【典例7-2】（25-26七年级上·云南普洱·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 材料1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，普洱市发展和改革委员会于2023年1月18日发布了关于调整普洱主城区居民阶梯水费标准有关事项的通知．供水管网范围内，对于完成“一表一户”改造的居民用水收费标准如下表： 材料2 用户类别阶梯水价 居民生活用水 污水处理费 （元/） 总水价 （含污水处理费） （元/） 水量基数 （/月/户） 自来水价 （元/） 第一阶水价 0~12（含12） 2.65 1.5 4.15 第二阶水价 12~16（不含12，含16） 3.98 1.5 5.48 第三阶水价 16以上（不含16） 7.95 1.5 9.45 （注：污水处理费按实际用水量计算） 材料3 例如：某用户2025年3月份用水，则各种费用如下： 自来水费（元） 污水处理费（元） 缴纳水费（元） 问题解决： 任务1确定水费 （1）若小超家2025年10月份用水，则他家应缴纳水费多少元？ 任务2确定污水处理费 （2）若小明家2025年11月份所缴纳水费中，自来水费为55.67元，求小明家11月份需缴污水处理费多少元？ 【答案】（1）元； （2）元 【详解】（1）解：∵小超家年月份用水，，属于第一阶梯水价范围， ∴应缴纳水费为(元)． 答：小超家应缴纳水费元． （2）解：∵，， ∴前的自来水费总额为(元)． ∵， ∴小明家月份用水量超过． 设超过的水量为， 根据题意列方程：， 解得， ∴小明家月份总用水量为()． ∴污水处理费为(元)． 答：小明家月份需缴污水处理费元． 【典例7-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）在某市乘坐快车的收费标准是：路程不超过3千米时，按起步价10元计费；路程超过3千米但不超过10千米时，3千米到10千米的部分按每千米1.5元计费；路程超过10千米时，超出10千米的部分按每千米1元计费，乘坐快车的收费标准是：基本费用4元加每千米1.2元． (1)李老师从家到学校的距离是25千米，如果乘坐快车，费用是__________元；如果乘坐快车，费用是__________元； (2)周末外出李老师乘坐快车和快车各一次，且每次乘车路程大于3千米．如果李老师两次乘车路程共计50千米，付费71.3元，那么他乘坐快车的路程可能是多少千米？ 【答案】(1)35.5，34 (2)他乘坐快车的路程可能是6或16千米 【详解】（1）解：乘坐快车的费用：（元）， 乘坐快车的费用：（元）， 故答案为：35.5，34； （2）解：设他乘坐A快车的路程是千米，则乘坐快车的路程是千米， 当时，有， 解得：， 当时，有， 解得：， 答：他乘坐快车的路程可能是6或16千米． 【变式7-1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 (1)若用水吨，应交水费______元；若用水吨，应交水费______元； (2)如果小李家月份交水费元，则小李家这个月用水多少吨？ 【答案】(1)，； (2)小李家月份用水吨． 【详解】（1）解：当用水吨时，应交水费（元）， 当用水吨时，应交水费（元）， 故答案为：，； （2）设小李家月份用水吨， 由题意得， 解得， 答：小李家月份用水吨． 【变式7-2】（25-26七年级上·云南文山·期末）随着新能源汽车的普及，充电费用成为车主日常用车成本的重要组成部分，请认真阅读以下素材完成任务一和任务二． (1)任务一：已知李师傅10月之前未在七花充电站充过电，10月总共在七花充电站充电花费166元，其中平时时段充电电量占10月总充电量的，低谷时段充电电量占10月总充电量的，请问李师傅10月总共充了多少度电？ (2)任务二：已知张师傅一直在七花充电站充电，充电时间都在9：00-11：00之间，2025年充电总共花费1197元，请问张师傅2025年总共充了多少度电？ 【答案】(1)李师傅10月总共充了200度电 (2)张师傅2025年总共充了1500度电 【详解】（1）解：由题意得李师傅10月份充电量不超过300度， 设李师傅10月总共充了度电， ， 解得． 答：李师傅10月总共充了200度电． （2）解：由题意得张师傅2025年充电总量超过1000度， 设张师傅2025年总共充了度电， ， 解得． 答：张师傅2025年总共充了1500度电． 【变式7-3】（25-26七年级上·广东汕尾·期末）为引导居民合理用气，促进节能减排，某市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 天然气收费标准 级别 每年每户用气量（单位：立方米） 气价（单位：元/立方米） 第一档 360及以下 第二档 超过360但不超过600部分 第三档 超过600部分 (1)若小王家全年用气量为460立方米，则需要缴纳的费用为多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为1470元，则全年用气量为多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人则可以申请“多人口家庭”，若审核通过，每增加1人，相应增加第一、第二档年用气量60立方米．小李家有6口人，若全年用气量为650立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比最新政策出之前能节省多少元？ 【答案】(1)元 (2)立方米 (3)元 【详解】（1）解：小王家全年用气量为460立方米，应缴费为： 元， 所以小王家全年缴费为元； （2）解： 当用气600立方米时，缴费为： 元， 而， 所以小王家全年用气量大于360立方米，小于600立方米， 设小王家全年用气量为x立方米，则 ， 解得：， 答：小王家全年用气量500立方米； （3）解：按老政策小李家应缴费为： 元， 新政策后，小李家有6口人，第一档，第二档各增加120立方米， 小李一家应缴费为：元， 所以小李家全年缴纳的费用比最新政策出之前能节省元． ▌题型08 方案设计与选择问题 【题型解读】 方案设计问题通常给出两种或多种方案，要求比较优劣或选择最优。通用策略：先写出各方案费用关于未知量的表达式，再令两式相等求出“临界点”，最后结合实际情况分类判断。 【方法提炼】 【典例8-1】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 【典例8-2】（25-26七年级上·山东临沂·期末）小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】(1)100 (2)6 (3)方式二 【详解】（1）解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 （2）解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． （3）解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 【变式8-1】（24-25七年级上·江西南昌·期末）用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费均为元． (1)复印页数为多少时，两处的收费相同？ (2)现要复印70页的文件，请计算是去复印社还是图书馆合算？ 【答案】(1)40 (2)复印社合算 【详解】（1）解：设复印页数为x时，两处的收费相同，则， 由题意：， 解得：，即复印页数为40时，两处的收费相同； （2）解：当复印70页时，复印社的收费为：（元）, 图书馆的收费为：（元）, ， 复印社合算． 【变式8-2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）2026年寒假即将来临，某商场特别关注“寒假经济”带来的效益，在青少年商品专场适时开展商品促销活动．（每名顾客只能参加一种促销活动） 活动一：全场消费金额满100元，立减50元； 活动二：全场打六折． (1)洋洋发现了一套心仪的图书，标价94元，在收银台结账时，洋洋看见一些精美笔记本，标价为每本8元，洋洋如果多买一本笔记本，是否比只购买图书便宜？ (2)若商品标价为元，试分别写出两种促销活动需要支付的金额，猜想如何依据图书的原价选择省钱的购买方式，并通过计算验证你的想法． 【答案】(1)多买一本笔记本比只购买图书便宜 (2)当时，活动一省钱；当时，两种费用一样多；当时，活动二省钱 【详解】（1）解：只购买图书采用活动二的费用为（元）． 多买一本笔记本采用活动一的费用为（元）． 因为， 所以多买一本笔记本比只购买图书便宜； （2）若商品标价为元，采用活动一的费用为元， 采用活动二的费用为元， 则， 解得：， 所以当时，活动一省钱； 当时，两种费用一样多； 当时，活动二省钱． 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． (1)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (2)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (3)若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ 【答案】(1)无论通话时间多长，套餐1更划算 (2) 当分钟时，选套餐1； 当分钟时，两套餐费用相同； 当分钟时，选套餐2； (3) ①当时，，选套餐1； ②当时，临界时间， 若，选套餐1； 若，两套餐费用相同； 若，选套餐2． 【详解】（1）解：当时，且通话时间， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， ∴在实际情况中，恒成立， 答：当时，无论通话时间多长，套餐1更划算； （2）解：当时， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， 解得， 当分钟时，，选套餐1； 当分钟时，，两套餐费用相同； 当分钟时，，选套餐2； （3）解：一般情况（k为任意正数）， 套餐1：，套餐2：， 令，即， 解得， 分三种情况讨论： ①当时，，选套餐1； ②当时，临界时间， 若，选套餐1； 若，两套餐费用相同； 若，选套餐2． ▌题型09 比赛积分问题 【典例9】（25-26七年级上·河南商丘·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【详解】（1）解：对比C队和D队数据，C队比D队多胜1场，负场数相同，积分多分，故胜一场积2分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1； （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了的11场比赛中胜2场，负9场； 故答案为：2；9； （3）解：可能实现 理由如下：设接下来的5场比赛D队胜场，则负场． 依题意，得， 解得， ，符合题意， 可能实现． 【变式9-1】（25-26七年级上·福建福州·期末）我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 【答案】(1)5， (2)参赛者答对13题 【详解】（1）解：由参赛者A可得，答对一题得分， 由参赛者B可得，答错一题得分， 故答案为：5，； （2）解：设参赛者答对题， 依题意得：． 解得：． 答：参赛者答对13题． 【变式9-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 【答案】(1)，； (2)道 【详解】（1）解：∵参赛者答对题得分， ∴每答对一题得分； 设每答错一题得分，由参赛者的得分情况可得：， 解得； 故答案为：；； （2）解：设参赛者答对了道题，则答错了道题， 根据题意列方程：， 解得：； 答：参赛者答对了道题． 【变式9-3】（25-26七年级上·山东日照·期末）在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ 【答案】(1)，， (2)场 【详解】（1）解：由未来巨人队场平积分，可得平一场积分． 由火焰队胜平积分，可得胜一场积分． 由超音速队平负积分，可得负一场积分． 故答案为：，，． （2）解：设火焰队在剩余的场比赛中赢了场剩余场输了场，所以平的场次为场 已知火焰队前场积分，总积分分． 根据积分规则列方程： 解得 答：火焰队在剩余的场比赛中一共赢了场． ▌题型10 几何问题 【典例10-1】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 【答案】这个大长方形的面积是． 【详解】解：设这个大长方形的面积是， ， 解得：． 答：这个大长方形的面积是． 【典例10-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 【变式10-1】（25-26七年级上·河南漯河·期末）【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的三种型号的钢球，他先往容器里注入一定量的水（如图），使水在容器内的高度为（水足以淹没所有的钢球，探究过程中钢球表面的水忽略不计），然后在容器中放入钢球．实验发现，每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升．在实验过程中，容器内只能同时放入两种型号的钢球． (1)【实验一】小明先放入型号钢球8个，又放入型号钢球若干个，此时容器内的水的高度正好为，求容器内型号钢球的个数； (2)【实验二】小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入B型号和其他型号的钢球共10个后，水面升高到，求此时容器内不同型号的钢球各有多少个？ 【答案】(1)容器内型号钢球的个数为11个． (2)此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． 【详解】（1）解：设容器内型号钢球的个数为x个，根据题意，得 ， 解得， 答：容器内型号钢球的个数为11个； （2）解：分两种情况：①当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）； ②当容器内的钢球为型号钢球和型号钢球时，设此时容器内有型号钢球个，则有型号钢球个，根据题意，得 ， 解得，则， 综上，此时容器内有型号钢球4个和型号钢球6个． 【变式10-2】（25-26七年级上·广东广州·期末）关于的方程（其中是未知数，是已知数）可以用几何法来求它的正数解．下面以求解方程的正数解为示例，具体说明该方法： 第一步：如图1，把和看成一个长方形的宽和长； 第二步：如图2，把4个这样的长方形拼成一个“空心”大正方形（4个长方形彼此衔接不重叠），观察可知图中小正方形的边长为，则这个大正方形的面积为，所以大正方形的边长为4； 第三步：观察图2中大正方形的边长，可得方程，解得，即方程的正数解为． (1)示例中的长方形（即图1）的面积为___________； (2)请仿照示例的方法，画图求方程的正数解（要求写出推理过程）； (3)羊羊同学仿照此方法求关于的方程的正数解时，构造出如图3所示图形，得到该方程的正数解为，求图3中的小正方形的面积． 【详解】（1）解：示例中的长方形的宽为x，长为，方程是， 所以这个长方形的面积就是3． 故答案为：3； （2）将方程化为：， 即面积为10的长方形，宽为x，长为， 如图， 中间小正方形的边长是：， 大正方形总面积：， 大正方形的边长：， 从拼图可以看出大正方形的边长还等于长方形的长加宽：， 解得， 即方程的正数解为； （3）解：对于方程：， 用如图的方法： 每个长方形的宽是，长是，面积是， 大正方形的边长为， 中心小正方形的边长为， 将正数解代入方程， 得， 解得， ∴小正方形的边长为． ∴小正方形的面积为． 【变式10-3】（25-26七年级上·广东东莞·期末）根据以下素材，探索完成任务： 项目式学习：如何设计宣传牌？ 素材1 如图1是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写24个字；中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的倍；四周空白部分的宽度相等． 素材2 如图2，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等． 素材3 如图3，每个长方形栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为． 【任务1】设四周宽度为，结合图1， （1）填空：设计部分的长为_____，宽为_____． 再列出方程求出四周宽度的值； 【任务2】（2）结合图3，求每个长方形栏目的竖直高度； 【任务3】（3）结合图2，直接写出长方形栏目与栏目之间中缝的间距是_____． 【答案】（1）310；200；四周宽度；（2）；（3）5 【详解】解：任务1：根据题意，设计部分的长为，宽为； ∵设计的部分也是长方形，且长是宽的倍， ， 解得：， ∴四周宽度是； ∴设计部分的长为，宽为， 故答案为：310；200； 任务2：∵设计部分的长为，宽为， 设每个栏目的竖直高度为，每栏横向两行中间间隔是，则竖向中间间隔宽度为， 根据正方形边长相等可得：， 解得：， ∴每个栏目的竖直高度为； 任务3：， ∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为． 故答案为：5． ▌题型11 动点问题 【典例11】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 【答案】(1) (2)①或②或 (3)或 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：①由题意得， ， ， 或， 或； ②点P到、两点的距离比为， ， ， ， 或， 或； （3）解：设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度， 由题意得， ， 化简得或， 解得或， ，， 点P表示的数为或． 【变式11-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)； (2) (3)、、 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，， ∴，； （2）解：P表示的数：， 当时，点Q的运动时间为秒，Q未到达点C， Q表示的数：， 两点距离：， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，Q还未出发，Q在点A处， ， 令，得，满足， ②当时，Q向右运动，未折返， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， ③当时，Q到达C后向左折返， Q表示的数：， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， 综上所述，t的值为、、． 【变式11-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)2 (2)①4秒；②1秒或7秒或9秒 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为8， ∴点B表示的数为， ∴P点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 即当点P运动4秒时，点P追上点Q； ②点P到点C所用的时间为（秒）， 点Q到点C所用的时间为（秒）， 点P从点C返回到点A所用的时间为（秒）， 点Q从点C返回到点A所用时间为（秒） 当时， 若点P在点Q的右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 若点P在点Q的左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点B向点C运动，点P表示的数为， 若点P在点Q左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得，不合题意，舍去 若点P在点Q右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点C向点B运动，且点P在点Q的右侧， 点Q表示的数为， 点P与点Q之间的距离为6个单位长度，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，点P运动1秒或7秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 【变式11-3】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，在数轴上A，B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (2)①点P运动t秒后表示的数为___________，点Q运动t秒后表示的数为___________；（用含t的代数式表示） ②当时，求P、Q两点之间的距离； (3)两点同时出发，则当P，Q之间的距离为6时，求t的值． 【答案】(1)，7 (2)①，；②3 (3)或 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， （2）解：①点A表示的数为，点B表示的数为7，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴秒后，点表示的数为；点表示的数为． ②当时， 点P表示的数： 点Q表示的数： ． （3）由题意得： 化简得 分两种情况： ①， ， ， ②， ， ； ， 或均符合题意． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实际问题与一元一次方程（11题型突破·举一反三） 题型01 和差倍分问题 题型02 行程问题 题型03 工程问题 题型04 销售与利润问题 题型05 配套问题 题型06 数字与日历问题 题型07 分段计费问题 题型08 方案设计与选择问题 题型09 比赛积分问题 题型10 几何问题 题型11 动点问题 ▌题型01 和差倍分问题 【题型解读】 和差倍分问题是最基础的建模模型，常见表述有“某数的几倍”“比……多（少）”“是……的几分之几”。解题关键是选准等量关系，把“倍、分、多、少”正确转译为代数式。 【方法提炼】 若甲比乙的 倍多 ，则 ；若甲比乙多 ，则 【典例1】（25-26七年级上·北京东城·开学考试）今年兄弟俩年龄之和是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时兄的岁数恰好是弟的岁数的2倍，兄今年多少岁? 【变式1-1】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）小龙在商店买了一支圆珠笔和一支钢笔，圆珠笔的单价是钢笔单价的，钢笔比圆珠笔贵6 元，圆珠笔和钢笔各多少钱？ 【变式1-2】（25-26七年级上·广西·开学考试）（找等量关系）在读书节期间某校六年级（1）班购买了一箱《童年》，第一组拿走了一半多1本，第二组拿走了剩下的一半多2本，箱子里还剩10本．这箱《童年》共有多少本？ 【变式1-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）甲、乙两个仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出60吨粮食到乙仓库，这时甲仓库的粮食数量是乙仓库粮食数量的2倍．求甲、乙两个仓库原来各存粮多少吨？ ▌题型02 行程问题 【题型解读】 行程问题围绕基本关系式“路程 = 速度 × 时间”展开，是期末压轴常客。按情境可细分为相遇、追及、环形跑道、顺逆水（风）四类，核心都是“抓住时间或路程的等量关系”。 相遇问题：相向而行，同时出发，则相遇时： 追及问题：同向而行，快者追慢者。若慢者先行（或两地相距一段），追及路程就是两者初始距离差： 环形跑道问题：同时同地同向出发，第一次相遇时快者比慢者多跑一圈；反向出发，第一次相遇时两人合跑一圈： 【典例2-1】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 【典例2-2】小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． (1)一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． (2)第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【典例2-3】用方程的方法求解下面的问题： 已知两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． (1)若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ (2)若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ (3)若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 【典例2-4】【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【变式2-1】在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 【变式2-2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）甲、乙周末骑自行车去郊外游玩，甲从A地出发沿直线匀速前往B地，乙在甲前面1千米处沿相同路线同时出发前往B地，甲的速度比乙的速度的2倍少8千米/小时，他们出发30分钟后，甲追上乙． (1)求甲和乙的速度； (2)若甲追上乙后，甲的速度立即提高3千米/小时快速到达B地，到达B地后休息12分钟，再沿原路以提速后的速度返回，乙仍按原速前往B地，结果两人在距离B地2千米处再次相遇，求A，B两地的距离． 【变式2-3】（25-26七年级下·重庆忠县·期末）马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． ▌题型03 工程问题 【题型解读】 工程问题把总工作量看作单位“1”，核心关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。注意工作效率是“单位时间完成的工作量”，常用分式表示。 【方法提炼】 【典例3】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 【变式3-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【变式3-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【变式3-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． (1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ (2)完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ ▌题型04 销售与利润问题 【题型解读】 销售问题围绕进价、标价、售价、折扣、利润、利润率六要素展开，等量关系直接、易于建模，是性价比最高的得分题型。 【方法提炼】 【典例4】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【变式4-1】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【变式4-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【变式4-3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ ▌题型05 配套问题 【题型解读】 配套问题（如螺钉配螺母、桌面配桌腿）的关键是：成套产品的“数量比”必须与“每个产品所需零件数”一致。 【方法提炼】 若 1 个螺钉配 2 个螺母，则生产螺母数应是螺钉数的 2 倍： 【典例5-1】（25-26七年级上·山西太原·期末）近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 【典例5-2】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）朝阳机械厂，零件加工车间A要赶制一批螺栓和螺母．车间A原有若干名工人，需从车间B调入6名工人，使得调整后车间A的总人数比原有工人人数的1.5倍少1人． (1)求车间A原有多少名工人? (2)若车间A现有工人每人每天可以生产720个螺栓或960个螺母，若1个螺栓与2个螺母配成一套．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，其余工人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套? 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）列方程解应用题： 某工厂需要生产一批健身器材，每套健身器材由一个支架和两套脚踏板组装而成，工厂现有台机器人，每台机器人每天可生产个支架或套脚踏板，如果每台机器人每天只能生产一种组件，如何分配机器人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【变式5-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和6个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做150个茶杯或50个茶壶． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ (2)已知每套茶具的利润为80元，在（1）的条件下求该工厂每天获得的利润． 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ ▌题型06 数字与日历问题 【题型解读】 数字问题用“数位 × 位权”表示数；日历问题利用相邻日期相差 1（横向）或 7（纵向）构造方程。 【方法提炼】 ；日历横向相邻相差 1，纵向相邻相差 7。 【典例6-1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数字，得到一个新的两位数．则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值． 【典例6-2】（24-25七年级上·重庆·开学考试）小芳将自然数按右面的格式排列后，每次用（即4行3列）的长方形都可以框出12个数（如图）．有一次她发现框出的12个数的和是2010．那么这12个数中最大的数是多少？ 【典例6-3】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，十进制数（规定当时，）． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)我们知道在十进制下有乘法口诀“三五十五、三七二十一”，但是在某进位制下算式才是正确的，求该进位制是几进制； (2)在（）的条件下，是否存在某个两位十进制数转化为该进制的数恰好是，若存在，求出所有满足条件的十进制数，若不存在，说明理由． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，将所有的奇数按照从小到大的顺序七个一行排列成一个数列表，在该数列表上面放置一个“中”字框． (1)求图中“中”字框框住的七个数字的平均值 (2)“中”字框可以在该数列表中上下左右移动，但总保持可以框住七个数字，随着“中”字框的移动，是否可以使其框住的七个数字之和为？并说明你的理由． 【变式6-2】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；1940：，则称1940为“倍数”；2548：．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． (1)直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； (2)若一个三位数x为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； (3)若一个四位数x既为“2倍数”又是“倍数”，直接写出这样的四位数x的最大值和最小值； 【变式6-3】（25-26七年级上·山东临沂·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）． (1)如图2，在这个幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为__________． (2)①如图3，当________时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将这9个数填入图4的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则____________； (3) 将幻方迁移到月历：如图5是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是126．”该同学的说法是否正确，请说明理由． ▌题型07 分段计费问题 【题型解读】 分段计费（阶梯水费、电费、出租车费等）的等量关系为“各段费用之和 = 总费用”，难点在于必须先判断总量落在哪一档。 【方法提炼】 【典例7-1】为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过度的电量 0.50 二档 至度之间的电量 0.55 三档 超过度的电量 0.80 (1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应交电费__________元； (2)小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度? 【典例7-2】（25-26七年级上·云南普洱·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 材料1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，普洱市发展和改革委员会于2023年1月18日发布了关于调整普洱主城区居民阶梯水费标准有关事项的通知．供水管网范围内，对于完成“一表一户”改造的居民用水收费标准如下表： 材料2 用户类别阶梯水价 居民生活用水 污水处理费 （元/） 总水价 （含污水处理费） （元/） 水量基数 （/月/户） 自来水价 （元/） 第一阶水价 0~12（含12） 2.65 1.5 4.15 第二阶水价 12~16（不含12，含16） 3.98 1.5 5.48 第三阶水价 16以上（不含16） 7.95 1.5 9.45 （注：污水处理费按实际用水量计算） 材料3 例如：某用户2025年3月份用水，则各种费用如下： 自来水费（元） 污水处理费（元） 缴纳水费（元） 问题解决： 任务1确定水费 （1）若小超家2025年10月份用水，则他家应缴纳水费多少元？ 任务2确定污水处理费 （2）若小明家2025年11月份所缴纳水费中，自来水费为55.67元，求小明家11月份需缴污水处理费多少元？ 【典例7-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）在某市乘坐快车的收费标准是：路程不超过3千米时，按起步价10元计费；路程超过3千米但不超过10千米时，3千米到10千米的部分按每千米1.5元计费；路程超过10千米时，超出10千米的部分按每千米1元计费，乘坐快车的收费标准是：基本费用4元加每千米1.2元． (1)李老师从家到学校的距离是25千米，如果乘坐快车，费用是__________元；如果乘坐快车，费用是__________元； (2)周末外出李老师乘坐快车和快车各一次，且每次乘车路程大于3千米．如果李老师两次乘车路程共计50千米，付费71.3元，那么他乘坐快车的路程可能是多少千米？ 【变式7-1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 (1)若用水吨，应交水费______元；若用水吨，应交水费______元； (2)如果小李家月份交水费元，则小李家这个月用水多少吨？ 【变式7-2】（25-26七年级上·云南文山·期末）随着新能源汽车的普及，充电费用成为车主日常用车成本的重要组成部分，请认真阅读以下素材完成任务一和任务二． (1)任务一：已知李师傅10月之前未在七花充电站充过电，10月总共在七花充电站充电花费166元，其中平时时段充电电量占10月总充电量的，低谷时段充电电量占10月总充电量的，请问李师傅10月总共充了多少度电？ (2)任务二：已知张师傅一直在七花充电站充电，充电时间都在9：00-11：00之间，2025年充电总共花费1197元，请问张师傅2025年总共充了多少度电？ 【变式7-3】（25-26七年级上·广东汕尾·期末）为引导居民合理用气，促进节能减排，某市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 天然气收费标准 级别 每年每户用气量（单位：立方米） 气价（单位：元/立方米） 第一档 360及以下 第二档 超过360但不超过600部分 第三档 超过600部分 (1)若小王家全年用气量为460立方米，则需要缴纳的费用为多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为1470元，则全年用气量为多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人则可以申请“多人口家庭”，若审核通过，每增加1人，相应增加第一、第二档年用气量60立方米．小李家有6口人，若全年用气量为650立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比最新政策出之前能节省多少元？ ▌题型08 方案设计与选择问题 【题型解读】 方案设计问题通常给出两种或多种方案，要求比较优劣或选择最优。通用策略：先写出各方案费用关于未知量的表达式，再令两式相等求出“临界点”，最后结合实际情况分类判断。 【方法提炼】 【典例8-1】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【典例8-2】（25-26七年级上·山东临沂·期末）小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【变式8-1】（24-25七年级上·江西南昌·期末）用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费均为元． (1)复印页数为多少时，两处的收费相同？ (2)现要复印70页的文件，请计算是去复印社还是图书馆合算？ 【变式8-2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）2026年寒假即将来临，某商场特别关注“寒假经济”带来的效益，在青少年商品专场适时开展商品促销活动．（每名顾客只能参加一种促销活动） 活动一：全场消费金额满100元，立减50元； 活动二：全场打六折． (1)洋洋发现了一套心仪的图书，标价94元，在收银台结账时，洋洋看见一些精美笔记本，标价为每本8元，洋洋如果多买一本笔记本，是否比只购买图书便宜？ (2)若商品标价为元，试分别写出两种促销活动需要支付的金额，猜想如何依据图书的原价选择省钱的购买方式，并通过计算验证你的想法． 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． (1)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (2)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (3)若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ ▌题型09 比赛积分问题 【典例9】（25-26七年级上·河南商丘·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【变式9-1】（25-26七年级上·福建福州·期末）我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 【变式9-2】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 【变式9-3】（25-26七年级上·山东日照·期末）在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ ▌题型10 几何问题 【典例10-1】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 【典例10-2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【变式10-1】（25-26七年级上·河南漯河·期末）【综合与实践】小明准备了一个长方体无盖容器和足够多的三种型号的钢球，他先往容器里注入一定量的水（如图），使水在容器内的高度为（水足以淹没所有的钢球，探究过程中钢球表面的水忽略不计），然后在容器中放入钢球．实验发现，每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升；每放入1个型号钢球，水面上升．在实验过程中，容器内只能同时放入两种型号的钢球． (1)【实验一】小明先放入型号钢球8个，又放入型号钢球若干个，此时容器内的水的高度正好为，求容器内型号钢球的个数； (2)【实验二】小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入B型号和其他型号的钢球共10个后，水面升高到，求此时容器内不同型号的钢球各有多少个？ 【变式10-2】（25-26七年级上·广东广州·期末）关于的方程（其中是未知数，是已知数）可以用几何法来求它的正数解．下面以求解方程的正数解为示例，具体说明该方法： 第一步：如图1，把和看成一个长方形的宽和长； 第二步：如图2，把4个这样的长方形拼成一个“空心”大正方形（4个长方形彼此衔接不重叠），观察可知图中小正方形的边长为，则这个大正方形的面积为，所以大正方形的边长为4； 第三步：观察图2中大正方形的边长，可得方程，解得，即方程的正数解为． (1)示例中的长方形（即图1）的面积为___________； (2)请仿照示例的方法，画图求方程的正数解（要求写出推理过程）； (3)羊羊同学仿照此方法求关于的方程的正数解时，构造出如图3所示图形，得到该方程的正数解为，求图3中的小正方形的面积． 【变式10-3】（25-26七年级上·广东东莞·期末）根据以下素材，探索完成任务： 项目式学习：如何设计宣传牌？ 素材1 如图1是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写24个字；中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的倍；四周空白部分的宽度相等． 素材2 如图2，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等． 素材3 如图3，每个长方形栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为． 【任务1】设四周宽度为，结合图1， （1）填空：设计部分的长为_____，宽为_____． 再列出方程求出四周宽度的值； 【任务2】（2）结合图3，求每个长方形栏目的竖直高度； 【任务3】（3）结合图2，直接写出长方形栏目与栏目之间中缝的间距是_____． ▌题型11 动点问题 【典例11】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 【变式11-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 【变式11-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【变式11-3】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，在数轴上A，B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (2)①点P运动t秒后表示的数为___________，点Q运动t秒后表示的数为___________；（用含t的代数式表示） ②当时，求P、Q两点之间的距离； (3)两点同时出发，则当P，Q之间的距离为6时，求t的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $