第2章 特殊三角形(B)（单元评价八）2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦特殊三角形单元核心知识，通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三层设计，实现从单一概念到综合问题的进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念与性质（如轴对称、等腰三角形定义）|选择题1-2考查基本概念，解答题17直接应用等边对等角| |中档|综合应用与推理（如三线合一、全等判定）|选择题3-6结合计算与推理，解答题20融合角平分线性质与勾股定理| |拔高|创新拓展与动态问题（如新定义、动点探究）|选择题7-10涉及动态几何，解答题23-24通过翻折、动点培养创新意识|

第2章 特殊三角形(B) 单元评价(八) 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分) 1. 下图给出的运动图片中,属于轴对称图形的是 2. 下列命题的逆命题为真命题的是 A.等边三角形是锐角三角形 B.相等的角是对顶角 C.若a=b,则a²=b² D.全等三角形的面积相等 3. 若等腰三角形的一腰长为3a,底角为15°,则另一腰上的高为 A.a B.1.5a C.2a D.3a 4. 如图,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=2。点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为 A.-1 B.+1 C.-1 D.+1 5. 如图,已知AD⊥BD,AC⊥BC,E为AB的中点,则△CDE一定是 A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6. 如图,用“几何画板”软件探索等腰三角形的性质时,小明同学经过如下操作:①画直线MN及△ABC,使点A,B在直线MN上,点C在直线MN外;②再画△ABC的高线CD,角平分线CE和中线CF;③测量AC,BC的长度,并拖动点C。下列结论中,正确的是 A.当AC≠BC时,CE<CD<CF B.当AC≠BC时,CD<CF<CE C.当AC=BC时,AF=CF=BF D.当AC=BC时,CD=CE=CF 7. 如图,在△ABC中,已知AB=BC=AC,AF=CD,AD与BF相交于点P,BQ⊥AD于点Q,则下列数量关系正确的是 A.BP²=2PQ² B.3BP²=4BQ² C.4BP²=3PQ² D.2BQ²=3PQ² 8. 如图,在Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=8,AC=6,∠ABC的平分线交AC于点D,E,F分别是BD,AB上的动点,则AE+EF的最小值为 A.4 B.4.8 C.5 D.6 9. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在线段BC上,∠EDB=½∠ACB,BE⊥DE,DE与AB相交于点F,若BE=4,则DF= A.6 B.8 C.10 D.12 10. 如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,直角∠EDF的顶点D是AB的中点,DE,DF分别交AC,BC于点E,F,有以下结论:①CE=BF;②△EDF是等腰直角三角形;③EF=CD;④四边形CFDE的面积是△ABC的面积的一半。上述结论中,一定正确的是 A.①②③ B.①②④ C.③④ D.②③④ 二、填空题(本大题有6小题,每小题3分,共18分) 11. 已知等腰三角形ABC的周长为18 cm,其中两边长的差为3 cm,则腰长为______cm。 12. 如图,在△OCD中,CO=CD=5,OA∥CD,DE⊥OA,垂足为E,若DE=4,则△OCD的面积为______。 13. 如图,在等边三角形ABC的边AB,AC上各取一点D,E,连结CD,BE交于点F,使∠EFC=60°,若BD=1,CE=2,则BC的长为______。 14. 如图1为明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》。如图2,在该诗词翻译后的示意图中,OA,OB表示秋千的绳索,若AC⊥OB,BC=1,AC=2,则该秋千的索长OA=______。 15. 如图是一个儿童滑梯的示意图,若AE,DF,MN是滑梯的三根加固支架,且AE和DF都垂直于地面BC,N是滑道DC的中点,小周测得FM=2 m,MN=4 m,MC=6 m,通过计算,他知道了滑道NC的长为______m。 16. 如图,在锐角三角形ABC中,已知∠A=30°,BC=3,S△ABC=8,P是边BC上的一动点,点P关于直线AB,AC的对称点分别是M,N,连结MN,则MN的最小值为______。 三、解答题(本大题有8小题,共72分) 17. (8分)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=50°,求∠C的度数。 18. (8分)如图,在8×8的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上。 (1)请在图中作出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′。 (2)在线段A′B′上找一点P(点P在格点上),使得△ABP为等腰三角形。 19. (8分)如图,在△ABC中,AB=AC。过点A作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,连结CD。 (1)求证:△ACD为等腰三角形。 (2)若∠BAD=140°,求∠BDC的度数。 20. (8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=8,DE=3。 (1)求BE的长度。 (2)求AC的长度。 21. (8分)如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形”。 (1)如图1,在△ABC中,AB=AC=,BC=4,求证:△ABC是“美丽三角形”。 (2)如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,若△ABC是“美丽三角形”,求BC的长。 22. (10分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,G是EC的中点,CD=AE。 (1)求证:DG⊥CE。 (2)若AD=6,BD=8,求CE的长。 23. (10分)如图,在四边形ABCD中,E为AB的中点。 (1)如图1,若CE平分∠BCD,DE⊥CE,探究AD,BC,CD满足的数量关系。 (2)如图2,若AB=3,BC=5,AD=2,∠DEC=120°,直接写出线段CD长的最大值。 24. (12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s。 (1)求BC边的长。 (2)当△ABP为直角三角形时,求t的值。 (3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值。 参 考 答 案 一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分) 1. B 2. B 3. B 4. D 5. A 6. D 解析:由题意可知,CD是△ABC的高线,CE是角平分线,CF是中线,由垂线段最短可知,CD是三条线段中最短的一个。当拖动点C的时候,CE与CF的长短关系不定,即当AC≠BC时,CE与CF的长短关系不定,所以选项A,B不符合题意;当AC=BC时,△ABC是等腰三角形,由“三线合一”可知,CD=CE=CF,所以选项C不符合题意,选项D符合题意。故选D。 7. B 8. B 9. B 10. B 解析:①因为AC=BC,D是AB的中点,所以CD⊥AB,∠CDB=90°,因为∠EDF=90°,所以∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF,所以∠CDE=∠BDF,因为D是Rt△ABC斜边AB的中点,AC=BC,所以CD=BD=AD=½AB,∠ACD=∠B=45°,在△CDE和△BDF中,∠CDE=∠BDF,CD=BD,∠DCE=∠B,所以△CDE≌△BDF(ASA),所以DE=DF,CE=BF,故①正确; ②因为∠EDF=90°,所以△EDF是等腰直角三角形,故②正确; ③因为△EDF是等腰直角三角形,所以EF=·DE,因为点E,F分别在边AC,BC上运动,所以DE的长不确定,则EF的长不确定。因为CD=½AB,所以EF与CD不一定相等,故③错误; ④因为△CDE≌△BDF,所以S△CDE=S△BDF,所以S四边形CFDE=S△CDF+S△CDE=S△CDF+S△BDF=S△DBC=½S△ABC,故④正确。所以结论中正确的有①②④。故选B。 二、填空题(本大题有6小题,每小题3分,共18分) 11. 5或7 12. 10 13. 3 14. 2.5 15. 16. 16/3 三、解答题(本大题有8小题,共72分) 17. 解:因为AB=AD,∠B=50°,所以∠ADB=∠B=50°。 又因为AD=DC,所以∠C=∠DAC。 因为∠ADB=∠C+∠DAC,所以∠C=½∠ADB=25°。 18. 解:(1)如图1,△A′B′C′为所作。(2)如图2,点P,点P′均符合要求。(答图见“第2章 特殊三角形(B)-1.png”) 19. (1)证明:如图,因为BD平分∠ABC,所以∠1=∠2。因为AD∥BC,所以∠2=∠3,所以∠1=∠3,所以AB=AD。 因为AB=AC,所以AC=AD。所以△ACD为等腰三角形。 (2)解:由(1)知∠1=∠2=∠3,因为∠BAD=140°,∠BAD+∠1+∠3=180°,所以∠1=∠2=∠3=½(180°-∠BAD)=20°, 所以∠ABC=40°,因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC=40°, 由(1)知,AD=AC,所以∠ACD=∠ADC=∠BDC+∠3=∠BDC+20°, 因为AD∥BC,所以∠BCD+∠ADC=180°,所以40°+(∠BDC+20°)+(∠BDC+20°)=180°,所以∠BDC=50°。 20. (1)解:因为AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,∠C=90°,所以DC=DE=3,因为BC=8,所以BD=BC-DC=5,所以BE==4。 (2)因为AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,∠C=90°,所以DC=DE=3,∠C=∠DEA=90°,AD=AD,所以Rt△ACD≌Rt△AED(HL),所以AC=AE,设AC=AE=x,在Rt△ABC中,AC²+BC²=AB²,所以x²+8²=(x+4)²,解得x=6,所以AC=6。 21. (1)证明:如图1,作BC边上的中线AD,因为AB=AC=,AD是BC边上的中线,所以AD⊥BC,BD=CD=½BC=2,在Rt△ABD中,由勾股定理得AD===4,所以AD=BC=4,所以△ABC是“美丽三角形”。 (2)解:因为△ABC是“美丽三角形”,所以分以下两种情况: ①如图2,作AC边上的中线BD,则CD=½AC=½,当BD=AC=时,由勾股定理得BC==6; ②如图3,作BC边上的中线AD,则CD=½BC,当BC=AD时,AD=2CD,在Rt△ACD中,由勾股定理得CD²+AC²=AD²,则CD²+()²=4CD²,解得CD=4(负值已舍去),所以BC=2CD=8。 综上,BC=6或8。 22. (1)证明:如图,连结DE。因为AD是△ABC的高线,所以∠ADB=∠ADC=90°。因为CE是△ABC的中线,所以E是AB的中点,所以在Rt△ABD中,DE=AE=BE=½AB。 因为CD=AE,所以CD=DE,所以△CDE是等腰三角形,因为G是CE的中点,所以DG⊥CE。 (2)解:如图,作EF⊥BC,垂足为F,由(1)可知DE=BE=CD,所以△BED是等腰三角形,所以BF=DF, 因为AD=6,BD=8,所以在Rt△ABD中,AB==10,BF=DF=4, 所以DE=AE=BE=CD=½AB=5,所以在Rt△EFB中,EF==3,所以CF=DF+CD=4+5=9, 所以在Rt△CEF中,CE===。 23. (1)AD+BC=CD,理由如下:如图1,延长DE,CB,相交于点F,因为CE平分∠BCD,所以∠DCE=∠FCE,因为DE⊥CE,所以∠DEC=∠FEC=90°。 在△DCE和△FCE中,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∠DEC=∠FEC=90°,所以△DCE≌△FCE(ASA),所以CD=CF,DE=FE,因为E为AB边的中点,所以AE=BE。 在△ADE和△BFE中,DE=FE,∠AED=∠BEF,AE=BE,所以△ADE≌△BFE(SAS),所以AD=BF,所以CD=CF=BC+BF=BC+AD。 综上,AD,BC,CD的长度满足AD+BC=CD。 (2)如图2,将△ADE沿DE翻折,A点的对应点为A′,将△BCE沿CE翻折,B点的对应点为B′,CD≤AD+A′B′+B′C,且当翻折后,A点的对应点A′落在CD上,B点的对应点B′也落在CD上时等号成立,由翻折可知,AE=A′E,AD=A′D,BE=B′E,BC=B′C,∠DEA=∠DEA′,∠CEB=∠CEB′。 因为E为AB边的中点,所以AE=BE,所以A′E=B′E。 因为∠DEA+∠DEA′+∠A′EB′+∠CEB+∠CEB′=180°,∠DEA′+∠A′EB′+∠CEB′=120°,所以∠DEA+∠CEB=60°,所以∠A′EB′=60°, 所以△A′EB′为等边三角形,所以A′B′=A′E=AE=½AB=3.5,所以CD≤2+3.5+5=8.5。故CD的最大值为8.5。 24. (1)在Rt△ABC中,BC===8(cm)。 (2)由题意知BP=2t cm, ①如图1,当∠ABP为直角时,点P与点C重合,BP=BC=8 cm,即t=4; ②如图2,当∠BAP为直角时,BP=2t cm,CP=(2t-8)cm,AC=6 cm,在Rt△ACP中,AP²=6²+(2t-8)²,在Rt△BAP中,AB²+AP²=BP²,即10²+[6²+(2t-8)²]=(2t)²,解得t=25/4。 故当△ABP为直角三角形时,t=4或t=25/4。 (3)①如图3,当AB=BP时,t=5; ②如图4,当AB=AP时,BP=2BC=16 cm,t=8; ③如图5,当BP=AP时,AP=BP=2t cm,CP=|8-2t|cm,AC=6 cm,在Rt△ACP中,AP²=AC²+CP²,所以(2t)²=6²+(8-2t)²,解得t=25/8。 综上,当△ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=25/8。(答图见“第2章 特殊三角形(B)-7.png”) — — 学科网（北京）股份有限公司 $