精品解析：广东深圳市光明区深圳中学光明科学城学校2026-2027学年上学期九年级学情自测数学试卷

九年级上学期第7周数学核心素养调查 一、单选题（3×8=24分） 1. 在下列几何体中，俯视图为正方形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 3. 如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在一个花架简易图中，， ，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为，宽为，中间画作的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3×5=15分） 9. 已知，则的值为________． 10. 一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中．不断重复这一过程，共摸了400次球，发现有240次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有 _____个． 11. 关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为_____． 12. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为______． 13. 如图，中，，，点是线段上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则______． 三、解答题（共61分） 14. 解方程 （1）； （2）． 15. 如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为，． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为； （2）分别写出M，N的对应点P，Q的坐标； （3）求的面积． 16. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 17. 如图，在中，平分，点B是延长线上一点，连接交于点F． （1）求证：是菱形； （2）当时，线段的长为________． 18. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产1000个，6月份生产1440个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，在某城市销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 解决问题 任务1 若月平均增长的百分率保持不变，求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件应在原售价的基础上上涨多少元？ 19. 【定义新运算】对于非零实数a、b，定义运算“”，满足． （1）计算：______；关于x的方程有两个相等的实数根，则______； 【探究新运算】材料1、解关于x的一元二次方程： ，由等式的性质得：．． （2）结合材料1，如果运算“”满足，求a的值． 【应用新运算】 （3）如图，在菱形中，点E在上，，若、、，求的值． 20. 综合与探究 【探究发现】（1）小军同学对图1、2两个四边形性质进行了探究． ①如图1，在四边形中，，，，则______（填位置关系）； ②如图2，在四边形中，，于E，则______；（填“>”，“<”或“=”） 【抽象定义】小军发现上面两个四边形有一些共同特征．他把有一个内角是直角，且对角线互相垂直四边形称为“直角对垂四边形”． 【存在性】（2）如图3，在三角形中，，点D是中点，将线段绕点A逆时针旋转至，使得，连接、，与相交于点F，求证：四边形是直角对垂四边形． 【应用】（3）如图4，在长方形中，，，点E在上，点F在四边形的边上，，如果四边形是直角对垂四边形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第7周数学核心素养调查 一、单选题（3×8=24分） 1. 在下列几何体中，俯视图为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图．根据正方体、圆锥、圆柱、三棱柱的俯视图的形状进行判断即可． 【详解】解：A、正方体的俯视图是正方形，因此本选项符合题意； B、圆锥的俯视图是圆形，不是正方形，因此本选项不符合题意； C、三棱柱的俯视图是三角形，不是正方形，因此本选项不符合题意； D、圆柱的俯视图是圆形，不是正方形，因此本选项不符合题意． 故选：A． 2. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 3. 如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得的长，进而求得菱形的周长． 【详解】解：、分别是、的中点， ， 菱形的周长是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及三角形的中位线定理，正确求得的长是解题的关键． 4. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ． ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，在一个花架简易图中，， ，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，可得：，根据，可以求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 6. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割点的定义，计算即可． 【详解】解：∵点是笛子的黄金分割点，， ∴， ∵笛子长， ∴， ∴长为． 故选：A． 7. 清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为，宽为，中间画作的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设空白画框的宽度为，则中间画作的长为，宽为，根据中间画作的面积为，列出方程即可． 【详解】解：设空白画框的宽度为，则中间画作的长为，宽为，根据题意得： ． 8. 如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．设，则，利用勾股定理求得，再证明，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则，记与交于点， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（3×5=15分） 9. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 10. 一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中．不断重复这一过程，共摸了400次球，发现有240次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有 _____个． 【答案】15 【解析】 【分析】根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：∵共摸了400次球，发现有240次摸到黑球， ∴摸到黑球的概率为240400=0.6， ∴袋中的黑球大约有25×0.6=15（个）； 故答案为：15． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 11. 关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为_____． 【答案】3． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知△=b2-4ac=0，即42﹣4×2×（m﹣1）=0，解得m=3. 考点：根的判别式 12. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．先证明，再根据相似三角形对应边成比例得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：米． 13. 如图，中，，，点是线段上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 设，则，，根据垂直和折叠的性质证得、 和，过点作于点，证得是等腰直角三角形，设，则，证得，根据相似三角形的性质和勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：设，则， ， ， 由折叠的性质得 过点作于点， 是等腰直角三角形 设 ， ， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 三、解答题（共61分） 14. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： 则或． 解得，． 【小问2详解】 解： ． ，． 15. 如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为，． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为； （2）分别写出M，N的对应点P，Q的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图： （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形的作图，位似变换的坐标规律，三角形面积的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）以为位似中心，在轴左侧，连接并延长至、，使，，确定、位置后连接得到； （2）根据位似中心在原点，相似比且在轴左侧，将、的坐标分别乘以得到、的坐标； （3）利用割补法计算的面积． 【小问1详解】 解：连接并延长至、，使，，连接得到，则即为所求； 【小问2详解】 解：∵位似中心在原点，与的相似比，且在轴左侧， ∴将、的坐标分别乘以得到、的坐标， ∴，； 【小问3详解】 解： ． 16. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【答案】（1）400， （2）D （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； 【小问2详解】 解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D； 【小问3详解】 解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 17. 如图，在中，平分，点B是延长线上一点，连接交于点F． （1）求证：是菱形； （2）当时，线段的长为________． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握有一组对边相等的平行四边形是菱形，等角对等边，相似三角形对应边成比例等知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，得出，再根据角平分线的定义，得出，进而得出，最后根据等角对等边，得出，即可求证； （2）根据菱形的性质得出，通过证明，得出，设，求出，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ， 解得：， ∴， 故答案为：． 18. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产1000个，6月份生产1440个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，在某城市销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 解决问题 任务1 若月平均增长的百分率保持不变，求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件应在原售价的基础上上涨多少元？ 【答案】任务1：；任务2：元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务1：设平均增长率为未知数，根据该零件4月份生产个，6月份生产个列一元二次方程，求解后舍去不合理值； 任务2：设该零件应在原价的基础上上涨m元，则月销售量为个，每个零件单利润元，根据月销售利润达到元列方程求解，并保留符合题意的解． 【详解】解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 任务2：设该零件应在原价的基础上上涨m元，则月销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴， 答：该零件应在原价的基础上上涨元． 19. 【定义新运算】对于非零实数a、b，定义运算“”，满足． （1）计算：______；关于x的方程有两个相等的实数根，则______； 【探究新运算】材料1、解关于x的一元二次方程： ，由等式的性质得：．． （2）结合材料1，如果运算“”满足，求a的值． 【应用新运算】 （3）如图，在菱形中，点E在上，，若、、，求的值． 【答案】（1）；； （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据定义新运算的计算方法得到关于的一元二次方程，再根据方程有两个相等的实数根，即，代入计算即可求解； （2）根据运算规则代入化简即可； （3）四边形是菱形，可证，代入即可求解． 【详解】解：（1）； ∵， ∴ ；整理得： ∵关于x的方程有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根， ∴，解得：； 故答案为：；； （2）． ． ， ， ． 、b为非零实数， 由材料1得， ． （3） 四边形是菱形， ，，， ． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了定义新运算，一元二次方程根的判别式求参数，菱形的性质，相似三角形的判定及性质等相关知识点， 解题关键在与熟练掌握其知识体系，综合运用各个知识点的内容即可，难点较大. 20. 综合与探究 【探究发现】（1）小军同学对图1、2两个四边形性质进行了探究． ①如图1，在四边形中，，，，则______（填位置关系）； ②如图2，在四边形中，，于E，则______；（填“>”，“<”或“=”） 【抽象定义】小军发现上面两个四边形有一些共同特征．他把有一个内角是直角，且对角线互相垂直四边形称为“直角对垂四边形”． 【存在性】（2）如图3，在三角形中，，点D是中点，将线段绕点A逆时针旋转至，使得，连接、，与相交于点F，求证：四边形是直角对垂四边形． 【应用】（3）如图4，在长方形中，，，点E在上，点F在四边形的边上，，如果四边形是直角对垂四边形，直接写出的长． 【答案】（1）①⊥；②=； （2）证明：∵，点D是中点， ∴，， ∵， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线，即， 又即， ∴四边形是直角对垂四边形； （3）1或或或 【解析】 【分析】（1）①证明是线段的垂直平分线，即； ②证明，即可得到； （2）证明，得到，证明是线段的垂直平分线，即可证明四边形是直角对垂四边形； （3）分三种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，勾股定理以及公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线，即， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）当点F在边上， 设，则， ∵四边形是直角对垂四边形， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得，即， 解得或， ∴的长为1或； 当点F在边上，设， 作于点，且点在点右侧，如图， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，即， 整理得， 则，解得， ∵，不符合题意，舍去， ∴的长为； 当点F在边上，设， 作于点，且点在点左侧，如图， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，即， 整理得， 则， 解得， ∵，不符合题意，舍去， ∴的长为； 综上，的长为1或或或． 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $