专题03 三角形中的边角关系及其几何模型综合应用（高效培优期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题03 三角形中的边角关系及其几何模型综合应用 考点01 三角形三边关系 考点02 八字模型 考点03 内外角平分线模型 考点04 折叠模型 考点05 中线等分面积模型 考点06 角平分线与高线模型 考点07 多几何模型综合 考点08 动态探究与规律归纳 考点01 三角形三边关系 1．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如果等腰三角形的一边长是1，另一边长是2，则它的周长（） A．3 B．5 C．4 D．5或4 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c为三角形的三边，则式子（   ） A． B． C．0 D． 3．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知：、、分别是三角形的三边，那么化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰三角形两边的长分别为5和7，则此等腰三角形的周长为_____ 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c分别为的三条边． （1）若，，且第三边c的长为奇数，则c的值为_______． （2）若，，则b的取值范围为_______． 7．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 8．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c分别是的三边长． (1)若，，c为奇数，试说明：为等腰三角形． (2)化简：． 考点02 八字模型 9．（23-24八年级上·安徽六安·期中）试解答下列问题： (1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：______； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是______个； (3)在图2中，若，，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．求的度数．        10.如图，与中的与是对顶角． (1)如图1，证明：； (2)如图2，分别是的平分线，探索和之间的数量关系并加以证明； (3)如图3，与的相邻补角平分线交于点P，探索和之间的数量关系并加以证明． 11．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想的数量关系，并说明理由． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 考点03 内外角平分线模型 13．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，和分别平分和，和分别平分和，，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去．若，则（   ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，已知在中，与的平分线交于点P． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 16．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，则_____，_____； (2)若，求，的度数（用含的代数式表示）． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，，则_____，_____． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含的代数式表示）． (3)若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 19．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 20．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 21.如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）（1）如图1，在中，，的角平分线交于点，则．如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，求证：． （2）如图3，当、被等分时，内部有个点，则与的关系为：__________（用含的代数式表示）    23．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）（1）在中，，图1，是两内角平分线的夹角；图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1，______；如图2，______；如图3，______； （2）如图4所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，，求的度数． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图1，在中，若，则称，分别为的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图2，在中，，．若的邻三分线交于点D，则 °； (2)如图3，在中，是的邻三分线，是的邻三分线．若，求的度数； (3)如图4，在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点P．若，，求的度数．(用含的代数式表示) 考点04 折叠模型 25．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在三角形内部时，与，之间的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 29.如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 30．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 31．如图，在中，，D是的中点，点E是边上一动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，则_____．    32．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图：点，分别是的、边上的点，将纸片沿折叠使点落在点处，①若，，则的度数为__________． ②若，始终保持在，边上时（不和点重合），，，且为锐角，当点落在内部时，则__________．（用含有，的代数式表示）    33．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 34．（25-26八年级上·安徽·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数． 考点05 中线等分面积模型 35．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，D是中边AB的中点，连接，E是的中点，连接，．若，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 36．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为5，则的面积为（    ） A．10 B．15 C．17.5 D．20 37．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知点为上一点，点分别为的中点，且，则图中的面积是（　　） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图所示，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．8 39．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，已知点，，分别为边的中点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 40．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是上一点，是的中点，，分别是，的中点．若阴影部分面积为2，则的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 41．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，是的中线，、分别为，的中点，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点，若的面积等于16，设的面积为，的面积为，则（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．5.6 43．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知的面积为4，分别延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，依次连接，，，则阴影部分面积为（） A．12 B．16 C．18 D．24 44．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，图中阴影部分的面积为15平方厘米，则的面积为_______平方厘米． 45．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 46．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是______． 47．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，点是上一点，，点是的中点，若，则______． 48．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，点在边上，，连接交于点．若（注：表示的面积），则___________．    49．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于，则阴影部分的面积是______． 50．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是3，则的面积是____________． 51．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，三边上的中线，，相交于点，且，若，则图中阴影部分面积是_____． 52．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 53．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的面积． 54．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 55．已知的面积为S，根据下列条件完成填空. 图1                    图2                            图3 (1)是的边BC上的中线，如图1，则的面积为 （用含S的式子表示，下同）； 是的边上的中线，如图2，则的面积为 ； 是的边上的中线，如图3，则的面积为 ；…… (2)在图2022中，是的边上的中线，则的面积为 . 考点06 角平分线与高线模型 56．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，、分别是的高、角平分线，，求的度数是______度． 57．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，是上的高，平分交于点F，则的度数为________，的度数为________．    58．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），，是的高，是的角平分线，求的度数． 59．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 60．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线． (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是_____（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 61．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 62．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 63．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 64．如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 65．（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）（1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 66．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 考点07 多几何模型综合 67．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 68．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 69．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 70．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 考点08 动态探究与规律归纳 71．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则______； ②猜想：的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由． (2)如图2，若，，求的度数． 72．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）在中，平分，．    (1)如图1，若于点，，，则______； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作于点，则与，之间的数量关系是______； (3)如图3，若点是延长线上一点，过点作于点，则与，之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论． 73．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，点D，E分别是边上的点，点F是直线上一动点，设，，． (1)如图1，若点F在线段上，且，求的度数； (2)若点F在线段的延长线上． （i）如图2，当点D位于上方时，探究与之间的数量关系，并说明理由； （ii）如图3，当点D位于下方时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 74．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，和有一条公共边，平分，平分． (1)如图1，若点是与的交点，且，， ①直接写结果：的度数是______； ②求的度数； (2)如图2，点，分别是射线和上的动点，点在与外，当时，请探究与，之间的数量关系． 75．将一把直角尺放置在钝角上，使得点分别在该直角尺的两条直角边上，且直角顶点与点在边的同侧．    (1)如图，点在直角尺内部． ①若，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）． (2)改变直角尺的位置，使点在直角尺外部，其它条件不变，探索三者之间的数量关系，并说明理由． 76．我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．    (1)______°，＝______°，______（填“是”或“不是”）“完美三角形”； (2)若，试说明：是“完美三角形”； 【应用拓展】 (3)如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，若是“完美三角形”，求∠B的度数． 77．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，平分，交于点，动点在射线上（不与点重合），过点作交线段于点（不与点，重合），的平分线所在的直线与射线交于点． (1)如图①，当点在线段上时． ①若，，的度数为______．的度数为______； ②求证：； (2)当点在线段的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出与之间的数量关系． 78．（25-26八年级上·安徽六安·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：． (2)如图2，分别作分别作与的平分线交于点F，若，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 79．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图1，已知两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．如图2，点为三条内角平分线的交点，连接． (1)当时，求的度数； (2)在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的邻补角的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 三角形中的边角关系及其几何模型综合应用 考点归纳 考点01三角形三边关系 考点02 八字模型 考点03内外角平分线模型 考点04折叠模型 考点05中线等分面积模型 考点06角平分线与高线模型 考点07多几何模型综合 考点08动态探究与规律归纳 考点专练 考点01三角形三边关系 1.(25-26八年级上安徽马鞍山期中)如果等腰三角形的一边长是1，另一边长是2，则它的周长() A.3 B.5 C.4 D.5或4 【答案】B 【详解】解：，等腰三角形有两边相等，已知两边长为1和2， ∴.可能情况：①腰为1，底为2；②腰为2，底为1. 对于情况①：三边为1、1、2，由1+1=2，不满足两边之和大于第三边，则不能构成三角形： 对于情况②：三边为2、2、1，由2+2>12+1>22+1>2均成立，能构成三角形.则周长为2+2+1=5 故选B 2.(24-25八年级上安徽滁州期中)已知a,b,c为三角形的三边，则式子a+b-c-|a-b-c非() A.2a B.2b C.0 D.2a-2c 【答案】D 【详解】解：根据三角形的三边关系，得到a+b-c>0,a-b-c<0, :.la+b-cl-la-b-cl=a+b-c+(a-b-c)=2a-2c 故选：D 3.(24-25八年级上安徽宣城期中)已知：a、b、c分别是三角形的三边，那么化简式子 la+b-c-a-b-c的结果是() A.2a B.26 C.-2c D.2a-2c 【答案】D 【详解】解：根据三角形的三边关系，得到a+b-c>0,a-b-c<0, 1/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a+b-c-a-b-c=a+b-c-(-a+b+c)=2a-2c. 故选：D 4.(25-26八年级上·安徽安庆·期中)已知等腰三角形两边的长分别为5和7，则此等腰三角形的周长为 【答案】17或19 【详解】解：当三角形三边为5,5,7时， :5-5<7<5+5,可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为5+5+7=17： 当三角形三边为5,7,7时. :7-5<5<7+5,可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为5+7+7=19 5.(25-26八年级上·安徽合肥期中)若三角形的三边长分别为5，x,2,则x的取值范围是 【答案】3<x<7 【详解】解：三角形的三边分别为5，x,2, 根据三角形的三边关系：5-2<x<5+2,即3<x<7. 故答案为：3<x<7 6.(25-26八年级上安徽蚌埠期中)已知a,b,c分别为△ABC的三条边. (1)若a=2,b=5,且第三边c的长为奇数，则c的值为 (2)若a+c=3b-2,a-c=2b-4,则b的取值范围为， 【答案】 4<b<4 【详解】解：(1)由题意得，b-a<c<b+a,即5-2<c<5+2, .3<c<7, 第三边c的长为奇数， .c=5: 故答案为：5： a+c=3b-2 (2)联立1a-c=2b-4' 2/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5b-6 a= 2 解得 b+2, C= a,b,c分别为△ABC的三条边， {5b-6>0 2 b>0 b+2,0 a>0 2 b>0 ,即5b-6 b+2, +b72 2 c>0 b+2.5b-6 a+b>c b+ 2 2 b+c>a b+25b-6>b c+a>b 2 4 解得3<b<4, 故答案为：3<h<4, 7. (25-26八年级上安徽毫州期中)己知△ABC的三边长为a,b,c, (1)若a=3,b=5,求边长c的取值范围： (2)化简a+b-c-a-b+c 【答案】(1)2<c<8 (2)2b-2c 【详解】(1)解：a=3,b=5, .5-3<c<5+3,即2<c<8 (2)解：，△ABC的三边长为a,b,C, ..a+b>c,a+c>b ..a+b-c>0,a-b+c=a+c-b>0, ..a+b-c=a+b-c;a-b+c=a+c-b. .原式-a+b-c-a+c-bl =(a+b-c)-(a+c-b) =a+b-c-a-c+b 3/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2b-2c 8.(25-26八年级上安徽蚌埠期中)己知a,b,c分别是△ABC的三边长。 (1)若a=2,b=5,c为奇数，试说明：△ABC为等腰三角形. (2)化简：2a+b-c-a-b-c-la-b+d 【详解】(1)解：a=2,b=5, ∴5-2<c<2+5,即3<c<7, 3<c<7,c为奇数， (2)a+b-c>0,a-b-c<0,a-b+c>0, ∴原式=2(a+b-c)-(b+c-a)-(a-b+c) =2a+2b-2c-b-c+a-a+b-c =2a+2b-4c 考点02八字模型 9.(23-24八年级上安徽六安期中)试解答下列问题： (1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是一一个： (3)在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB 分别相交于M、N.求∠P的度数， .D 图1 图2 【答案】(1)∠A+∠D=∠C+∠B (2)6 (3)38 【详解】(1)解：：∠A+∠D+∠A0D=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC, ∴∠A+∠D=∠C+∠B, (2)解：如图： 4/90 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B ①线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”： ②线段AN、CM相交于点O,形成“8字形”： ③线段AB、CP相交于点N,形成“8字形”： ④线段AB、CM相交于点O,形成“8字形”： ⑤线段AP、CD相交于点M,形成“8字形”： ⑥线段AN、CD相交于点O,形成“8字形”： 故“8字形”共有6个： (3)解：因为∠DAP+∠D+∠AMD=∠P+∠DCP+∠CMP=180°，∠AMD=∠CMP 所以LDAP+LD=LP+∠DCP,① 同理得∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,② ,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P, ∴.∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P, 即2∠P=∠D+∠B 又∠D=40°，∠B=36°， .2∠P=40°+36°， 、∠P=38°： 10.如图，△A0B与△COD中的∠AOB与∠COD是对顶角. B B D 图1 图2 D 图3 (1)如图1，证明：∠A+∠B=∠C+∠D: 5/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，AP,DP分别是∠BAO,∠CD0的平分线，探索∠P,∠B和∠C之间的数量关系并加以证明： (3)如图3，∠BA0与∠CD0的相邻补角平分线交于点P,探索∠P,∠B和∠C之间的数量关系并加以证明. 【详解】(1)i证明：：∠A+∠B+∠A0B=180°，∠C+∠D+∠C0D=180°，∠AOB=∠CD0, ∴∠A+∠B=∠C+∠D: (2)结论：∠B+∠C=2∠P, 证明：：AP,DP分别是∠BAO,∠CDO的平分线， ÷∠BAP=∠PAC=)∠BAO,∠BDP=∠PDC=∠CDO. 2 由(1)可知，∠BA0+∠B=∠D0C+∠C, ∠B+∠BAP=∠BDP+∠P,，∠PDC+∠C=∠PAO+∠P, 即∠B+5B00DC+P,∠C+3<CD03BA0+P. .∠B+∠C=2∠P: (3)结论：∠B+∠C=2∠P, 证明：'∠BAO与∠CD0的相邻补角平分线交于点P, ÷∠PAB=I80°-∠BA0),∠PDB=)I80°-∠BDC), ,∠P+∠PAB=∠B+∠PDB, ∠P+I80-∠BA0)=∠B+80-∠BDC), 即2∠P-∠BAO=2∠B-∠BDC①， 又∠BAO+∠B=∠C+∠BDC②， ①+②得2∠P=∠B+∠C 11.(25-26八年级上·安徽阜阳期中)【新知探究】 B E 图1 图2 图3 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：∠A+∠B=∠C+∠D: 【问题探究】 6/90 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=40°，∠ADC=20°，求∠P的度数： 【拓展提升】 (3)如图3，直线AP平分LBAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,请猜想∠P,∠ABC, ∠ADC的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)证明：在△ABE中，∠A+∠B+∠AEB=180°，则∠A+∠B=180°-∠AEB, 在△DEC中，∠D+∠C+∠CED=180°，则∠D+∠C=180°-∠CED, :∠AEB=∠CED ∠A+∠B=∠D+∠C: (2)解：由(1)得：1+∠B=∠3+∠P,∠4+∠D=∠2+∠P, .∠I+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P, :AP平分∠BAD,CP平分∠BCD, .∠1=∠2，∠3=∠4 .2∠P=∠B+∠D, :∠ABC=40°，∠ADC=20° .2∠P=40°+20°=60°， ∠P=30°： (3)2∠P=∠B+∠D,理由如下： 如图3， B 12 D E 图3 由(1)得∠PAB+∠P=∠4+∠B,∠PAD+∠P=∠PCD+∠D. ,∠PAB=∠1，∠PAD=180-∠2，∠PCD=180-∠3， 、∠1+∠P=∠4+∠B,180°-∠2+∠P=180°-∠3+LD, .∠P-∠2=∠D-∠3 .∠1+∠P+∠P-∠2=∠4+∠B+∠D-∠3， ,AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, .∠1=∠2，∠3=∠4 7/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.2∠P=∠B+∠D 12.(25-26八年级上·安徽合肥期中)平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相连，BC与AD 相交于点O. E M 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠B=24°，∠D=42°，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M,求∠M的度数： 2如图2，若∠B=50·∠D=32,2BM-写BD.∠BCM-BCD,求∠y的度数： 3 3 B幻图3，若∠B=x,∠D=°，∠BAM-∠BMD,∠BCM=∠BCD,试用含LX、y的代数式表示 n ∠M的度数 【答案】(1)∠M=33 (2)∠M=44° B)∠M=xP-1e+ 1 n n 【详解】(1)解：：∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M, :.∠BAM=∠DAM,∠DCM=∠BCM ,∠BAE+∠B+∠AEB=180°，∠MCE+∠M+∠CEM=180°，∠AEB=∠CEM, .∠BAE+∠B=∠MCE+∠M①. 同理可得：∠D+∠DCF=∠FAM+∠M②. 由①+②可得：∠D+∠DCF+∠BAE+∠B=∠MCE+∠M+∠FAM+∠M, .∠D+∠B=2∠M, .∠B=24°，∠D=42°， .∠M=33°： (2)解：：∠BAO+∠B+∠AOB=180°，∠DC0+∠D+∠DOC=180°，∠DOC=∠AOB ∴.LBAO+LB=∠DCO+∠D. :∠B=50°，∠D=32°， 8/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DCO-∠BAO=∠B-∠D=18°， :∠BAE+∠B+∠AEB=180°，∠MCE+∠M+∠CEM=180°，∠AEB=∠CEM, .∠BAE+∠B=∠MCE+∠M①， 同理可得：∠D+∠DCF=∠FAM+∠M②， 由①+②可得：∠D+∠DCF+∠BAE+∠B=∠MCE+∠M+∠FAM+∠M, ∠BMM-3BiD,∠BCM-3BCD, :∠D+∠DC0+∠BA0+∠B=∠DC0+∠M+2∠BM0+∠M, 3 3 3 3 :D+写D0写B40+B=2M, D+(DC0-∠BA0)+∠B=2∠M, ∠B=50°，∠D=32°， ∴.∠M=44°： (3)解：∠BA0+∠B+∠A0B=180°，∠DC0+∠D+∠D0C=180°，∠D0C=∠AOB, ∴，∠BAO+∠B=∠DCO+∠D, :∠B=x°，∠D=y°， ∠DC0-∠BA0=∠B-∠D=(x-y)°， :∠BAE+∠B+∠AEB=180°，∠MCE+∠M+∠CEM=180°，∠AEB=∠CEM, .∠BAE+∠B=∠MCE+∠M①. 同理可得：∠D+∠DCF=∠FAM+∠M②， 由①+②可得：∠D+∠DCF+∠BAE+∠B=∠MCE+∠M+∠FAM+∠M, :∠BAM=∠BAD,∠BCM=∠BCD, n &∠D+"-∠DCO+∠BA0+∠B=∠DCO+∠M+"=l∠BAO+∠M, n n n :∠D+"-2∠DC0-I-2∠BA0+∠B=2∠M. n ∠D+"-2(∠DC0-∠BMO)+∠B=2∠M, n :∠B=x°，∠D=y°， 9/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .∠M=x°--x°+y° n n 考点03内外角平分线模型 13.(24-25八年级上·安徽滁州期中)如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB,BE和 CE分别平分∠CBD和∠BCD,∠A=6O°，下列式子中正确的是() A.∠A+∠D=∠E B.2∠D=3∠A C.∠E=3∠A D.5∠D=4∠E 【答案】D 【详解】解：：BD和分别平分∠ABC和∠ACB,∠A=60°， ∠CBD+∠BCD=(∠ABC+∠ACB)=)80°-∠A=×180°-60)=60° :.∠D=180°-（∠CBD+∠BCD)=180°-60°=120°. ,BE和CE分别平分∠CBD和∠BCD, ∠CBE+∠BCE-CBD+∠BCD)-X60-30° :.∠E=180°-（∠CBE+∠BCE)=180°-30°=150° A,∠A+∠D=60°+120°=180°≠150°=∠E,故A选项不符合题意； B.2∠D=2×120°=240°≠180=3∠1，故B选项不符合题意： C.∠E=150°≠180°=3∠A,故C选项不符合题意： D.5∠D=600°=4∠E,故D选项符合题意， 故选D 14.(24-25八年级上：安徽阜阳期中)如图，BA和C4分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA,是 ∠ABD的平分线，CA是∠ACD的平分线，BA是∠ABD的平分线，CA,是∠A,CD的平分线，依此下去. 若∠A=a,则∠A24=(） 10/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 71）2023 2024 2025 1 2026 A a 2 0 【答案】B 【详解】解：BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，， ∠AB4=∠CB4=ABc,4C4=∠DC4=24CD, ∠A=a, .∠ACD=∠ABC+∠A=2∠CBA+∠A①，∠DCA=∠A+∠CBA②. ②×2得：2∠DCA=2∠A+2∠CBA, ∴.∠ACD=2∠A+2∠CBA③， 由①和③得：2∠4=∠A, ∠A=a, 1 6L4=)∠A=5L0, 2 同避44 =1∠A=1 a】 2 1 1 1 4=24=8A=2a, 8 1 2024 1 4m4=24a 22024 2 a 故选：B 15.(23-24八年级上，安徽六安期中)如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P. A 49C 11/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当∠A=70°时，求∠BPC的度数： (2)当∠A=a时，求∠BPC的度数. 【答案】(1)125 290°+20 【详解】(1)解：：△ABC中，∠A=70°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°， ∴BP,CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线， ∴22+24=（∠1C+Z4CB)=x10=5°， :.∠P=180°-(L2+∠4)=180°-55°=125° (2)解：：△ABC中，∠A=a, :.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a, ∴.BP,CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线， 2+24=(4Bc+∠ACB)-×080-a）=90-9 . 2P=1n-(2+2到=180-00-0+0 16.(25-26八年级上·安徽准北期中)如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交AC于 点E.DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,∠ACF的平分线CO与DP的 延长线相交于点Q, B 万 (1)若∠A=50°，∠B=60°，则LDPC=_一，∠0=一： (2)若∠A=a,求∠DPC,∠0的度数（用含a的代数式表示）· 【答案】(1)115°，25°， 回2Dc=0+0:Q=a 1 12/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：∠A+∠B+∠ACB=180°，且∠A=50°，∠B=60, :.∠ACB=180°-（∠A+∠B)=180°-(50°+60）=70°， ZRCP-LACP-LACB-35 :DE∥BC, ·.∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=35°， :DP平分∠ADE, ∠PDG=2∠ADE=30, 在ADPG中，∠DPC=180°-（∠PDG+∠PGD)=180°-(30°+35）=115： :.∠QPC=180°-∠DPC=65°， :CP平分∠ACB,CQ平分∠ACF, ∴ACr-ACB,∠A0-ACr, ∠rQ=∠AC+∠ACQ-(∠Acr+LAcB). ∠ACF+∠ACB=180°， .∠PCQ=90° .∠0=180°-（∠PC0+∠0PC)=180°-(90°+65）=180°-155°=25°， 故答案为：115°，25°： (2)解：DE∥BC, .∠ADE=∠B,∠PGD=∠BCP, ∴.DP平分∠ADE,CP平分∠ACB, :∠PDG=3ADE=∠B,∠PGD=BCP-ACB, GPGD-BAC) ∠A=a, 六∠B+∠ACB=180°-a, &∠PG+☑PGD=0-0， 13/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在ArP中2Drc=18w-0--0+0, :∠QPC=90- 2, 由(1)可知：∠PC0=90°， 在aPC0中，∠0=180°- (w-ja)-. 17.(25-26八年级上安徽合肥：期中)如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交AC于 点E.DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,过点C作CO⊥CP交DP的延 长线于点. (1)若∠A=48°，∠B=62°，则∠DPC=_°，∠Q=°. (2)若∠A=m,当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由； 若不发生变化，求∠DPC,∠Q的度数（用含m的代数式表示）. (3)若AB∥QC,试猜想∠A与∠B之间的数量关系，并证明. 【详解】(1)解：在△ABC中，∠A=48°，∠B=62°， .∠ACB=180°-（∠A+∠B)=70°， :CP平分∠ACB, LBCP=LACP=2∠ACB=35°， DE∥BC, ∴.∠ADE=∠B=62°，∠PGD=∠BCP=35°， DP平分∠ADE, ÷∠PDG=)∠ADE=31°， 2 在ADPG中，∠DPC=180-(∠PDG+∠PGD)=180°-(31°+35)=114° ∴.∠QPC=180°-∠DPC=66° 14/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CQ⊥CP, ∴.∠PCQ=90° 在APC0中，∠0=180°-（∠PC0+∠QPC)=180°-(90°+66）=24°： 故答案为：114,24： 1 (2)解：∠DPC、∠Q均不发生变化，∠DC=90+2m,∠0-2m,理由如下： :DE∥BC, ∴.∠ADE=∠B,∠PGD=∠BCP, .DP平分∠ADE,CP平分∠ACB ∠Pnc=ADE-B,GD=∠BcP-4cB， PDG+ZPGD-(BAC) 在△ABC中，∠A=m, .∠B+∠ACB=180°-m, 六∠PDG+∠PGD=90°- 2m, 在ADG中，∠Dc=18r-(2PDG+∠rGDj=10-(0-j90+m. .∠QPC=180°-∠DPC=180°- 2 CQ⊥CP .∠PCQ=90° (3)解：∠A=∠B,证明如下： 依题意，设∠A=m,∠B=n, 在△ABC中，∠ACB=180°-n-m ,CP平分∠ACB, 2cp=∠4P-4Cg=0sw-nm则=90a+m. ,AB∥QC 15/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACQ=∠A=m CQ⊥CP :.∠PCQ=∠ACP+∠ACQ=90° 2(m+m)+m=900 .90- 1 1 2m-2n+m=0 2 11 2m- h0 即m=n. .∠A=∠B 18.(25-26八年级上·安徽合肥·期中)已知直线AB与CD相交于点O,点E,F分别在射线OB和OD上. D D EB O 0 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BOD=60°，EP平分∠OEF,FP平分∠OFE,求∠EPF的度数： (2如图2，EP平分∠OEF,FG平分∠DFE,FG的反向延长线交EP于点P: ①若∠BOD=60°，则∠P=_ 度（直接写出结果，不需说理）： ②若∠BOD=a°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）· 3)如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP,∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所 在的直线分别相交于点P、Q,若△PEO的某一个内角是∠P的2倍；请直接写出∠OFE的度数. 【答案】(1)120° 1 2)①30：②2m (3)60°或90° 【详解】(1)解：：∠BOD=60°， .∠OFE+∠OEF=180°-∠EOF=120°： 16/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EP平分∠OEF,FP平分∠OFE, ∠PEF-0E、∠PrE=0r, PEPE0EZ0F2OEFOF 2 2 、.∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE)=120°： (2)解：①设∠0EF=2x, ,∠B0D=60°， ∴∠OFE=180°-∠OEF-∠EOF=120°-2x, .∠DFE=180°-∠OFE=60°+2x, :EP平分∠OEF,FG平分∠DFE, :∠PEF-0ir=x∠DrG=DnE=30+x, .∠OFP=∠DFG=30°+x, ∠EFP=∠OFE+∠OFP=150°-x, ∴.∠P=180°-∠EFP-∠PEF=180°-150°+x-x=30°： ②设∠0EF=2y, ∠BOD=a°， ÷.∠0FE=180°-∠0EF-∠E0F=180°-a°-2y, ∠DFE=180°-∠OFE=a+2y, :EP平分∠OEF,FG平分∠DFE, &∠PEr-0ir=y∠DrG-DE 2 2+y, .∠OFP=∠DFG=5°+y, 2 ·∠EFP=∠OFE+∠OFP=180°- a°-y, 2 :∠P=180-∠EFp-∠PEF=180-180°+2a+y-y 1 1 2a (3)解：：OP平分∠AOD,EP平分∠OEF, :2A0r-A0.∠Ar-ABE: 17/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠AOD=∠OEF+∠OFE,∠AOP=∠P+∠AEP, (LOEF+ZOFE)-2P+AEF. 1 &P=2∠OFE, E0平分∠OEG, &200-0G=5080-∠0ar)=0-号0Br, 又：∠EOQ=∠AOP=∠P+∠ABP=)∠OFE+)∠OBF, 8∠Q=180-∠0B0-∠B00=90-)∠0FE. 2 、∠PE0=180°-∠P-∠0=90°： 当∠PE0=2∠P时，则∠P=45°， ∠0FE=90°： 当∠Q=2∠P时，则2∠P=90°-∠P, .∠P=30°， 、∠OFE=60°； 综上所述，∠OFE的度数为60°或90° 19.(25-26八年级上·安徽准南期中)【初步认识】 (1)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.若∠A=80°，则∠P=_—: 如图2，BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是一； C 图1 图2 图3 图4 【继续探索】 (2)如图3， BN平分外角∠CBE:Gv平分外角∠BCF,求证：∠N=90-A, 【拓展应用】 (3)如图4，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于 18/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M,在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数. 【详解】(1)解：如图1，：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, :∠ABP=∠CBP=ABG∠4Cr=∠BCP=4CB. :∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°， :∠P=I80P-(∠CBP+∠BCP)=180-(∠ABC+∠ACB)=130: 如图2，：BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD, ÷∠CBM=∠ABM=)∠ABC,∠DCM=∠ACM=)∠ACD. 2 2 :∠ACD=∠A+∠ABC,∠DCM=∠M+∠CBM, :.2∠DCM=∠A+2LCBM=2(∠M+∠CBM), 整理得，∠A=2∠M; (2)证明：：BN平分外角∠CBE,CN平分外角∠BCF, ∠CBN=∠BN-CBE,∠BCN=∠RCN-)∠BCF. ,∠ABC+∠ACB=180°-∠A, .∠CBE+∠BCF =180°-∠ABC+180°-∠ACB =360°-（∠ABC+∠ACB) =360°-(180°-∠A) =180°+∠A, :.∠N=180°-(LCBN+∠BCW) =1s02CBE+∠BCP） =180080+乙0） =90°-1 <4 :∠W=90- -∠A (3)解：BP平分∠ABC,BN平分∠CBE, 19/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &∠CBP=)∠ABC,∠CBN=∠CBE, 1 2 2 ∠ABC+∠CBE=180°， ∴.∠MBN=∠CBP+∠CBN LE2(之ABC+∠CBE) 1 ×180° 2 =90° 由d2②知∠42∠MW=0-A, :在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ÷0当∠MBN=3∠M时，∠M-写MBN-x90=30, ∴.∠A=2∠M=60° e当∠MBv=3w时，.90w-9n-A 解得∠A=120°」 @当2M=32x时.4=304 解得∠A=135°. ④当∠N=3∠M时，90-A=34, 2 2 解得∠A=45° 综上，∠A的度数为60°或120°或135°或45° 20.(24-25八年级上·安徽滁州期中)已知△ABC中， D 图1 图2 图3 (1)如图1，A平分∠BAC,CI平分∠ACB,∠B=80°，求∠AIC的度数： 20/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，∠BCE是△ABC的外角，∠BCE、∠BAC的平分线交于点D,求∠B与∠D的数量关系： (3)如图3，∠BCE、∠HAC是△ABC的外角，∠BCE的平分线所在的直线与∠HAC、∠BAC的平分线分别 交于点FD.在aADF中，如果∠F=3∠D,求∠B的度数. 【答案】(1)130° (2)∠B=2∠D (3)45° 【详解】(1)解：∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∠B=80°， ∠BAC+∠BCA=180°-∠B=100°， :AI平分∠BAC,CI平分∠ACB, ∠ac=a4c,∠4-BCa, ZAC+ICA-(ZBACCA)-5 :∠LAC+∠ICA+∠AIC=180°， .∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA)=180°-50°=130°. (2)解：如图，设AD与BC交于点H, B 分别是 的平分线， .CD AD ∠BCE∠BAC 0-号<cE,BAn= ∠BAC 2 :∠HCD=∠BCE -eaic+B =∠BAC+∠B 2 1 =∠BMH+2∠B, ∴.∠D=180°-（∠HCD+∠CHD) 21/90 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =180°-（∠HCD+∠AHB) =180°-∠HCD-∠AHB =180°- (BH+B-08w-∠H-B E80°-∠BAH号∠B-180°+∠BAH+∠E 2<B, ∠B=2∠D; (3)解：AF平分∠HAC,AD平分∠BAC, ∠Fic-HAC,∠DaC-BaC, ∠DMF=∠FPAC+∠DAC=MC+∠BaC)-=x180=0. 1 2 :CD平分∠BCE,AD平分∠BAC, ∴由(2)可知：∠B=2∠D, :∠DAF+∠F+∠D=180°， ∴.90°+3∠D+∠D=180°， .2∠D=45°， ∴.∠B=2∠D=45° 21.如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D. D D D ⊙ E B E 图1 图2 (1)判断∠D与∠A的数量关系，并加以证明； (2如图2，∠DBC与∠DCE的平分线交于点D,得∠D:∠DBC与∠D,CE的平分线相交于点D,得 ∠D:;∠D2sBC与∠Dz2sCE的平分线相交于点D26,得∠D6,直接写出∠D6与∠A的关系 (3)如图2，若∠D=5°，∠ACB=85°，求∠ABC的度数. 22/90 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 【答案】(1)∠D=。∠A 1 (2)2D6=2m7∠A (3)75° 【详解】a)a)∠D=)A, 2 证明：在△ABC中，∠ACE=∠A+∠ABC, 在△DBC中，∠DCE=∠D+∠DBC, :∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D, :∠DC-4Bc,∠Dcs-4E, :∠A=∠ACE-∠ABC,∠D=∠DCE-∠DBC=)∠ACE-)∠ABC, 2 2 即∠DacE-A80-号A, 1 &∠D=2A: (2)在△DBC中，∠DCE=∠D+∠DBC, D D D D —EB 图1 图2 在△DBC中，∠D,CE=∠D+∠D,BC, :∠DBC的平分线与∠DCE的平分线相交于点D, ∠DBC=5DnC∠DCE=DCE, D=∠DCE-∠DBC,∠D=∠DcE-∠DBC=DCE-DBC, (DCE-ZDRCD 又D=∠ 21 23/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 D=4A=2∠A, 4 同理0A.0=A,… 2Ds2丽A (3)解：由(2)知道，∠D=44 .∠1=4∠D,=20°， 在△ABC, ∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∠ABC=180°-20°-85°=75°， 答：∠ABC的度数是75°. 22.(23-24八年级上安徽合肥期中)(1)如图1，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的角平分线交于点0， 则∠B0C=分180+A=90+号A,如图2，在ABC巾，∠AC:∠ACB的两条三特分角线分别对应 交于0，O,求证：∠B0C=120°+∠A 3 (2)如图3，当∠ABC、∠ACB被n等分时，内部有(n-)个点，则∠BO,C与∠A的关系为：∠BO,C= (用含n的代数式表示) 图1 图2 图3 【详解】(1)证明：：∠ABC,∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O,O, 20Bc=ABC,∠0cB=ACB, 20c+∠0cB-写4c+写Ac -(ZACB+ZABC) =3180-∠4) 24/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠B0C=180-(208C+20c8)=180-80-∠4=12+54 (2)解：当∠ABC、∠ACB被n等分时，内部有(n-)个点， 则∠0，BC=∠ABC,∠OCB=∠4CB, n :∠O,BC+∠OCB=L∠ACB+1∠ABC n n ='(LACB+∠ABC) n =1(180°-∠40 n :∠B0c=1wr-(0C+0c=18r-00w-∠0-18w"号+4 n 故答案为：180.”+∠A, nn 23. (25-26八年级上安徽马鞍山期中)(1)在△ABC中，∠A=60°，图1，∠0是两内角平分线的夹角： 图2，∠0是内角和外角角平分线的夹角；图3，∠0是两外角平分线的夹角，请直接写出∠0的度数. 如图1，∠0=一：如图2，∠0=一；如图3，∠0=一： 0 图1 图2 图3 (2)如图4所示，在△ABC中，∠ABC的三等分线BO、B0O2和LACB的平分线CO相交于点O和点O, ∠2=135°，∠1=115°，求∠A的度数. A 0 图4 【答案】(1)120°，30°，60°：(2)70°. 【详解】解：(1)如图1： 25/90 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B C 图1 :BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, &∠CB0=∠ABC,∠BC0= ∠ACB, 2 ∴.∠O=180°-∠CB0-∠BCO -18P-ABC-ACB =1wr-日4c+4c8 =180-ABc+∠4C) =180-2080-∠4 =180-080-60） =120°： 如图2： B C D 图2 :BO平分∠ABC,CO平分∠ACD, &2CB0-ABC,∠D0-AD, ,∠ACD=∠BAC+∠ABC=60°+∠ABC, 20=∠D0-∠C0-w+Ac)4c=30: 如图3， 26/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图3 :BO平分∠CBE,CO平分∠BCF, &∠CB0=)∠CBB,∠BC0=)∠BCr :∠CBE=180°-∠ABC,∠BCF=180°-∠ACB, ∴.∠BCF+∠CBE =180°-∠ACB+180°-∠ABC =360°-（∠ACB+∠ABC) =360°-(180°-∠BAC) =360°-(180°-60） =240° :∠CB0+∠Bc0-4CBE+∠BCP)=120. .∠0=180°-（∠CB0+∠BCO)=60°」 故答案为：120°，30°，60° (2)解：：∠ABC的三等分线BO、BO,和∠ACB的平分线CO相交于点O和点O, :<c0,-号hc,B0-写Bc,∠Bc0,-4cB,200-hc, ∠2=∠1+∠0B02,∠2=135°，∠1=115°， ∠0B02=∠2-∠1=20°， .∠ABC=3∠0，B02=60°， &<0B0-ABc=20. :∠BC0,=180°-∠CB0,-∠2=25°， ÷.∠ACB=2LBCO=50°， .∠A=180°-∠ABC-∠ACB=70° 27/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(25-26八年级上·安徽合肥阶段检测)如图1，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则称BD, BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”. B 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，在△ABC中，∠A=45°，∠ABC=75°.若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D,则 ∠BDC=: (2如图3，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线.若∠A=45°，求 ∠BPC的度数； (3)如图4，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P.若 ∠A=m°，∠ABC=n°，求∠BPC的度数.（用含m,n的代数式表示） 【答案】(1)70 (2)90° 2m 2m+n (3)3或3 【详解】(1)解：：∠ABC=75°，BD是邻AB三分线， ÷∠ABD=×75°=250. 3 :∠BDC是△ABD的外角，∠A=45°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=45°∠ABD=45°+25°=70° 故答案为：70°： (2)解：∠A=45°，.∠ABC+∠ACB=180°-45°=135° :BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线， &<Pc-号Ac,<B-号4B ∠PBC+∠PCB-3(2ABC+∠ACB)-子x135=90 23 在ABPC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-90°=90°， (3)解：，∠ACD是△ABC的外角，.，∠ACD=∠A+∠ABC=m°+n° 28/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,CP是∠ACD的邻AC三分线， ∠4p-4cD-m+p.<ncD=∠4cD-∠4cp-m+j. 情况1：如图，BP为∠ABC的邻AB三分线 :BP是∠ABC的邻AB三分线， :<an-r,<ac-∠c-<an-rr-子0 :∠PCD是△PBC的外角，·.∠PCD=∠BPC+∠PBC, 2 代入得(m+m)°=∠BPC+号mP,化简得∠BPC= 2m. 3 情况2：如图，BP为∠ABC的邻BC三分线 C D “BP是∠ABC的邻BC三分线，÷∠PBC= 3 :∠PCD是△PBC的外角，&∠PCD=∠BPC+∠PBC 代入得写m+°=∠BPC+了P,化商得∠BPC=2m+m。 2 1 3 3 2m。 2m+n。 故答案为：3°或3 考点04折叠模型 25.(25-26八年级上·安徽安庆期中)如图，将△ABC沿BE翻折交AC于点D,又将△BCD沿BA'翻折， 点C落在BE上的C处，其中∠C=88°，∠C'DE=44°，则原三角形中∠A的度数为() 29/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E D B C A.20° B.18° c.16° D.14° 【答案】A 【详解】解：，翻折 ,∠CDB=∠C"DB,∠ABE=∠ABE=∠A'BC, 2CDB-080-∠cDE)=68， :.∠CBD=180°-∠C-∠BDC=24° ∴.∠ABC=∠ABE+∠ABE+∠A'BC=3∠CBD=72°， :∠A=180°-∠C-∠ABC=20°： 故选：A 26.(25-26八年级上·安徽六安·期末)如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处， ∠1+∠2=100°，则∠A的度数是() A.55° B.50° C.70° D.65 【答案】B 【详解】解：根据折叠的性质得，∠ADE=∠FDE,∠AED=∠FED, :∠ADE+∠FDE=180°-∠I,∠AED+∠FED=180°-∠2， .∠1+∠2=100°， ∴.∠ADE+∠AED 1 =。×(180°-∠1+180°-∠2) 2 [360-(4+2】 30/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =5×(360°-100°) =130°， .∠A=180°-（∠ADE+∠AED)=50° 27.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若 ∠A=,∠FDB=B,则∠FEC的度数是() B E A.a+B B.a+2B C.2a+B D.90°+Q+B 2 【答案】C 【详解】解：由折叠可得：∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF, ∠FDB=B, .∠ADF=180°-∠FDB=180°-B, 2ADE-(00-ADr)=0+号、 2 ,∠A=a, 8ZABD=180°-∠A-∠ADE=90°-号-a ∴.∠AEF=∠AED+∠DEF=2∠AED=180°-2a-B, ∠FEC=180°-∠AEF=2a+B. 故选：C 28.(23-24八年级上·安徽阜阳阶段检测)如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在三角形 ABC内部时，∠A与∠I,∠2之间的数量关系是() A.∠1+∠2=2∠A B.∠1+∠2=180°+∠A 31/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.∠A=∠1-∠2 D.∠1+∠2=180°-∠A 【答案】A 【详解】解：如图 ~三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在三角形ABC内部， ∴.∠ADE=∠ADE,∠AED=∠ED .2∠ADE=180°-1,2∠AED=180°-∠2， Z1D6=90°-4，∠1BD=90°-}2 :在△ADE中，∠A=180°-∠ADE-∠AED」 ÷∠1=180°- （w-4小w-2 整理得：2∠A=∠1+∠2， 故选：A 29.如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN,△BMD沿BD翻折后 得到△BED,且点E在BC边上，ACND沿CD翻折后得到aCFD,且点F在边BC上，若∠A=7O°，则 ∠1+∠2=() M D B C A.65° B.70° C.75° D.85o 【答案】D 【详解】解：如图所示， 32/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 132 B F 依题意，∠MBD=∠CBD=)∠ABC,∠DCB=∠DCN=)∠4CB, 2 .∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB (LCB+ACB) =180-7080°-709）=125. 即∠1+∠2+∠3=125°， ∠I+∠3=∠BDM,∠2+∠3=∠CDN,∠MDN=∠A=70°， :∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°， .∠1+∠2+2∠3+∠1+∠2+∠3+∠MDN=360°， ÷.3(∠1+∠2+∠3)-(21+∠2)+70=360°， .3x125°-（∠1+∠2）+70°=360°， .∠1+∠2=85°， 故选：D 30.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，且A'B平分∠ABC,AC平分∠ACB,若 ∠BAC=115°，则∠I+∠2的度数为 B D人1 A 【答案】100° 【详解】解：∠BA'C=115°， 、∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=65°， :AB平分∠ABC,AC平分∠ACB, 33/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=2∠ABC,∠ACB=2∠ACB ∴.∠ABC+∠ACB=2∠ABC+2∠ACB=130°， :.∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=50°， ∴.∠ADE+∠AED=180°-∠A=130°. ,将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处， 、.∠ADE=∠ADE,∠AED=∠AED 、.∠1+∠2=(180°-∠ADE-∠ADE)+(180°-∠AED-∠AED)=360°-2（∠ADE+∠AED)=100° 31.如图，在△ABC中，∠C=90,∠ABC=70°，D是AB的中点，点E是边AC上一动点，将△ADE沿 DE翻折，使点A落在点'处，当AE‖BC时，则∠ADE= D -2A 【答案】115°或25° 【详解】解：如图，当AE‖BC时， 0 ∴.∠AEA=∠C=90°， .∠ABC=70° :.∠A90°-70°=20°， 由翻折可知：∠AED∠ABD)∠AEM45°， 2 .∠ADE=180°-∠A∠AED=180°-20°-45°=115° 或者：由翻折可知：∠AED=∠ABD=)X360-90)=135. 2 .∠DEC=45°. ∴.∠ADE=∠DEC-∠A=45°-20°=25° 34/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 故答案为：115°或25 32.(23-24八年级上安徽合肥期中)如图：点D,E分别是△ABC的AC、AB边上的点，将纸片△ABC 沿DE折叠使点A落在点处，①若∠1=80°，∠2=20°，则∠A的度数为 ②若D,E始终保持在AC,AB边上时（不和点A重合），∠I=m,∠2=n,且∠A为锐角，当点A落 在∠BAC内部时，则∠A= (用含有m,n的代数式表示) D A.s--- 【答案】 30°： 20m+)】 【详解】①由折叠性质可得：∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠AED, ·:∠1+2∠ADE+2∠AED-∠2=360°， ∠A+∠A+2∠ADE+2∠AED=360, ∴.∠A+∠A=∠1-∠2 1=4-∠2）-2×(80-20)=30： 2 ②当点A落在∠BAC内部时，由折叠性质可得：∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠AED, D A 2 B·.·∠1+2∠ADE+2∠AED+∠2=360°， ∠A+∠A'+2∠ADE+2∠AED=360, .∠N+∠A=∠2+∠1， A=2+☑)=xm+). 35/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.(24-25八年级上安徽合肥期中)如图，点E,F分别在△ABC边AB和AC上，连接EF,将△ABC 沿着直线EF折叠，使得点A与点A重合，连接AB,A'C,'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB (1)若∠A=50°，求∠BAC的度数： (2)若∠AEB+∠AFC=x°，∠BAC=y°，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 【答案】(1)115° (2)y=90°+4x(0<x<180) 【详解】(1)解：如图， ,且 4△C:∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∠A=50°， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130° 又A'B平分∠ABC,AC平分∠ACB, 1=2-A8C,3=24=4CB, .∠ABC+∠ACB=(2ABC+∠ACD)-2x130°=659 ∠BA'C=180°-65°=115°： (2)解：设∠AEB=a,∠AFC=P,则a+B=x°， 由折叠得，∠AEF=∠AEF,∠AFE=∠AFE, ∠EF=080-a)=90-a24FE=080-月=90-A ∠Er=18o-HF-rE-18-0+a-w+B-+)- 36/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而∠EA'B=180°-a-∠1，∠FAC=180°-p-∠3， ∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.∠EAB=180°-a-∠2，∠FA'C=180°-B-∠4， ,·∠EAF+∠EA'B+∠BAC+∠FAC=360°. “29+180°-a-2+y+180°-B-∠4=360 1 +180°-(2+24)-(a++y+180=360 1 2+y-x+y+180°=360 y=90°+4(0<x<180) 34.(25-26八年级上·安徽期末)在△ABC中，∠ABC,∠ACB的角平分线BE，,CD交于点F. D (1) (2) (1)【问题呈现】如图1，若∠A=100°，求∠BFD的度数： (2)【问题推广】如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠I+∠2=160°，求∠BFC的度数. 【答案】(1)40° (2)∠BFC=130° 【详解】(1)：∠ABC,∠ACB的角平分线BE,CD交于点F, :.∠ABC=2∠FBC,∠ACB=2LFCB, 在△ABC中，：∠ABC+∠ACB=180°-∠A, .2∠FBC+2∠FCB=180°-∠A, FC+ZFC) :∠BFD是△FBC的一个外角， :根据三角形外角的性质可得，∠BFD=∠FBC+∠FCB=90P-A, .∠A=100°， 37/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BFD=90°- ×100°=40°， 2 则∠BFD的度数为40°： (2),∠AMF=180°-∠1，∠AWF=180°-∠2，∠1+∠2=160°. :∠AMF+∠AWF=180°-∠1+180°-∠2=360°-∠1-∠2=360°-160°=200°， 由折叠性质得：∠AMF=2∠AMN,∠ANF=2∠ANM, :.2∠AMN+2∠ANM=200°， ∴.∠AMN+∠AWM=100°， :.∠A=180°-（∠AMN+∠AWM)=80°. 由4)得：∠PmC+∠B=90-A=90-×80=50, :.∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB)=180°-50°=130°： 则∠BFC的度数为130° 考点05中线等分面积模型 35.(25-26八年级上·安徽六安期中)如图，D是△ABC中边AB的中点，连接CD,E是CD的中点，连 接AE,BE.若Sc=8,则阴影部分的面积为() 4 E B A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】C 【详解】解：，E是CD的中点， 1.5.a-5.xc5w-5.. 1 则S影=S。ACs+SD= 29 故选：C 36.(25-26八年级上安徽合肥期中)如图，在△ABC中，已知D,E,F分别是边AC,BD,CE的中点，且 阴影部分图形的面积为5，则△ABC的面积为() 38/90 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.10 B.15 C.17.5 D.20 【答案】D 【详解】解：F是CE的中点，Sr=5, SM=2S.m=2×5=10, :E是BD的中点， =24m,Se= 1 1 S.ADE=7 S.CHD 2 ∴.SADE+SAcE= SABC S。MDE+SACE=S4CE=10, S.4C=2(S.4DE+S.CDE)=20 故选：D 37.(25-26八年级上安徽合肥期中)如图，在△ABC中，己知点D为BC上一点，点E、F分别为 AD、BE的中点，且SAc=8cm,则图中ACEF的面积是() D A.4cm2 B.2cm2 C.6cm2 D.Icm2 【答案】B 【详解】解：E是AD的中点， 1 ∴.SARDE= 8m=8ax+5a-8m+分m-8m+8ar)卢8度=4em) 1 1 2 2 :F是BE的中点， 39/90 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 s.am-25.x=2×4=2(cm2）, 2 故选：B 38.(25-26八年级上·安徽准北期中)如图所示，BD是△ABC的AC边上的中线，AE是△ABD的BD边 上的中线，BF是△ABE的AE边上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积为() A.10 B.12 C.14 D.8 【答案】B 【详解】解：：BD是△ABC的AC边上的中线， =1x32=16 E.SAmD=S.BCD=SARC :AE是△ABD的BD边上的中线， 1 1 ÷Sm=S,e=25.4am-2X16=8, 又：BF是△ABE的AE边上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线， 1 .S.m-S.4w-78.-7x8=4.S.cm-S..c-S..6=S.cm-7.4c=8 2 则S影=SBBr+SCr=4+8=12, 故选：B 39.(25-26八年级上·安徽六安期中)如图，在△ABC中，己知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中 点，且SaMe=4cm',则SaDr等于() E B A.2cm2 B.1cm2 o.m 【答案】C 40/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：点D为边BC的中点， 1 1 :Sn0=28.e=2×4=2cm, 点E为边AD的中点， 1 1 .S.co-28.we-7x2=lem', 2 :点F为边EC的中点， .5.w-x 1 cm2 故选：C 40.(25-26八年级上安徽阜阳期中)如图，在△ABC中，D是AB上一点，G是CD的中点，E,F分 别是AG,BG的中点.若阴影部分面积为2，则△ABC的面积为() C D A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】C 【详解】解：：E,F分别是AG,BG的中点， S.4CG=2S.cEGS.ncG=2S.crG, ,阴影部分面积为2，即SCG+ScG=2, S.acG+S.mco=2S.cEG+28.crG=4, G是CD的中点， SADG =SACGSARDG =SACRG S.C=S4DG+S4CG+S.DG+S.cG=2(S4CG+SRCG)=8: 故选C. 41.(25-26八年级上安徽合肥期中)如图，BD是△ABC的中线，E、F分别为BD,CE的中点，若 △AEF的面积为4，则△ABC的面积为() 41/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.10 B.12 C.16 D.20 【答案】C 【详解】解：，F是CE的中点， .S.4CE=2S.A=8, E是BD的中点， SAAMD=2SAADE:S.CBD=2S.CDE, SAMD+SCBD=2S.4DE+2SCDE=2(S.ADE+S.CDE)=2S4CE =16, 故选：C, 42.(25-26八年级上安徽马鞍山期中)如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，BC=4DC,AD与 CE交于点F,若△ABC的面积等于16，设△AEF的面积为m,△DFC的面积为n,则m+n=() E B D A.4.8 B.5 C.6 D.5.6 【答案】D 【详解】解：设BC边上的高为h, 根据题直，行：S.e-BC-=-16,又m0Ch, ..BC=4DC, 11 :S.ADC= ×-BC.h=4. 42 ,CE是AB边上的中线，△ABC的面积等于16， .S.uc-S.mc-7c-8 又：△AEF的面积为m,△DFC的面积为n, 42/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.4-n=8-m即m=n+4, 如图，连接BF,根据BC=4DC, E B D .S.cra=4S.DrC=4n, 又CE是AB边上的中线， .S.AEF =S.EF=n+4, 4 ·4n+n+4=8:解得：n= , 4 24 .∴.m=n+4=-+4= 5 5 24,428 ∴m+n= 5+5=5 =5.6 故选D 43.(25-26八年级上·安徽合肥期中)如图，已知△ABC的面积为4，分别延长BC至点D,使得 CD=BC,延长CA至点E,使得AE=AC,延长AB至点F,使得BF=AB,依次连接DE,EF,FD, 则阴影部分面积为() 4 A.12 B.16 C.18 D.24 【答案】D 【详解】解：如图，连接AD、BE、CF D 43/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=AC, .S.ABE=S40C=4. BA=BF, SB贴r=SMBE=4 .SAr=SABE+S,B贴=8 同理可得，SAr=8,ScDs=8, 、.S阴影=S.Ar+SBr+ScDE=24」 故选：D 4,(25-26八年缓上安微黄山期中)如图，在A1BC中，BD-8C,4=BD图中阴影部分的面积为15 平方厘米，则△ABC的面积为_平方厘米. D 【答案】120 【详解】解：因为。4BD与。ABC等高，且BD=BC, 所以an=4Sac, 因为AE=ED, 1 1 同理S。BED三云S。ABD三8SaC 2 因为阴影部分的面积为15平方厘米， 所以SABc=8S,m=8×15=120(平方厘米) 故答案为：120。 45.(25-26八年级上安徽安庆期中)如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF1BC于点 F.若SaAc=30,BC=10,则EF长为 44/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B DF 【答案】3 【详解】解：：AD是△ABC的中线， SMBD-SMORC BD=BC=7X10=5 21 2 :BE是△ABD的中线， SARDE =SA 2 1 1 .S.oS.c *3015 2 :EF⊥BC于点F S.mo BD-EF. BD.EF= 2 即2*5xF=15 1 2 解得：EF=3, 故答案为：3. 46.(25-26八年级上·安徽芜湖期中)如图，CD是AB上的中线，AF是CD上的中线.E是AF的中点， △ABC的面积是40，则△DEF的面积是 【答案】5 【详解】解：CD是AB上的中线，△ABC的面积是40， 1 S4m=SMc=20, 2 45/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AF是CD上的中线， 1 me-2S,o=10, :E是AF的中点， . 2 故答案为：5. 47.(25-26八年级上安徽合肥期中)如图，△ABC中，点E是BC上一点，EC=2BE,点D是AC的中 点，若Sac=36,则S.Ar=— D E 【答案】9 【详解】解：连接FC,如图所示： D 点是 的中点， C.D AC =S.CBD:SAFD=S.CRD: S△MBc=36, SAMD=SCBD= x36=18, 1 点E是BC上一点，EC=2BE, SFRC=2F SACE=2E S△ABc=36, 1 SAANC =12,S.ARC 31 -2Sm=24 31 46/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设SMD=SCFD=x,SE=y,SFEc=2S。BE=2y, ∴.S。MEc=S。MFm+SCFD+SEc=x+x+2y=2x+2y=24, 则x+y=12 :SABE=S。ABF+SrBE=S。ABr+y=12, .SABF=X 即SAr=x=SAm, S.ABD=18=S.4BF+S.FD=2x, x=9, 则SMDr=x=9, 故答案为：9. 48.(24-25八年级上安徽安庆期中)如图，AD是△ABC的中线，点E在AB边上，AE=2BE,连接 CE交AD于点F.若SMBc=12(注：S,MBc表示△ABC的面积)，则SAMr-SAF= E F D 【答案】2 【详解】解：：AD是△ABC的中线，Sc=l2, 1 .SAAOC-7AAC=6, AE=2BE, R-号4B,S=2, 3 m子=8 设S,Ac=S,则SAAr=SAAFC-SaAc=8-S，SAc=SAAc-SaAc=6-S, ∴SAMr-S△Cr=8-S-(6-S)=2 故答案为2. 49.(24-25八年级上安徽马鞍山期中)如图△ABC中，AD是BC边的中线，G是AD上的一点，E、F 47/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分别是CG,BG的中点，若△ABC的面积等于36，则阴影部分的面积是 【答案】9 【详解】解：AD是BC边的中线，△ABC的面积等于36， 8o=Sm=号54c=)×36=18 2 2 设点C到AD的高为h,点B到AD的高为h, ÷8m-24D4=1&Sm 24Dh=18, .h=h2, ,E、F分别是CG,BG的中点， x=IxiDG-DG, S=S4CG+SDFG e=4c内+0c%=(4G+D0)-=D4-=4DA, 2AD4=18, 8w=2×18=9, 故答案为：9 50.(24-25八年级上·安徽合肥·期中)如图，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到 的点水、BC顺次连接成△MB'C,若△ABC的面积是3，则△M'B'C的面积是 A' 48/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】21 【详解】解：如图，连接AB、BC、CA, B 由题意得：AB=AA,BC=BB,AC=CC', .S.M=S4B8=S4BC=3,S.crc=SAC=SANC=3,S.MWC =S.NCC=SARC=3, S.AC=S++Scrc+S.c+S.mc+S.mcc+S.4c =7S,AC =21, 故答案为：21. 51.(24-25八年级上·安徽合肥期中)如图，△ABC三边上的中线AD,BE,CF相交于点G,且 AG:GD=2:1,若Sc=24,则图中阴影部分面积是 G B D 【答案】8 【详解】解：，AD是BC边上的中线， .BD=CD. SaMm=Sa4四2ac=12, AG:GD=2:1, 8号8m12-8，m号8mx2-8, ,CF是AB边上的中线， .'AF BF, 1 .S.wG-.- ×8=4」 ,BE是AC边上的中线， ∴AE=CE 49/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 cm-230c=2x8=4, 2 、.S阴影=S,rG+SCBG=4+4=8, 故答案为：8. 52.(25-26八年级上·安徽安庆期中)如图△ABC中，AD是BC边的中线，G是AD上的一点，EF分 别是CG,BG的中点，若△ABC的面积等于36，求阴影部分的面积. 【答案】9 【详解】解：连接DE, B :AD是BC边的中线，△ABC的面积等于36， CD=BD=BC 2 、△ACD,△ABD等底同高， ∴.S4cm=SABn=7SMBc=7×36=18, 2 2 同理，Spcc=SpB, :E、F分别是CG,BG的中点， .S.cm-S.m0-S.wc.woS.oS.woS. 2 2 ∴.SADEG=SDFG, Is. 1 ÷阴影部分的面积为S.m+S.c=2S4ao+2 1 S.cpo Sm=9 50/90 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 53.(25-26八年级上安徽蚌埠期中)如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线. B (1)若AB-AC=4,△ABD的周长为24，求△ACD的周长： (2)若ScDE+SMBD=6,求△ABC的面积. 【答案】(1)20 (2)8 【详解】(1)解：：AD是△ABC的中线， .BD=CD △ABD的周长=AB+AD+BD=24,AB-AC=4, ∴.4+AC+AD+BD=24 ∴.AC+AD+BD=20, .AC+AD+CD=20. ∴.△ACD的周长=AC+AD+CD=20 (2)解：CE是△ACD的中线， .AE=DE, SACE =SACDE ∴.SAcD=2ScpE, 又，AD是△ABC的中线， S.ARD=S.ACD, 又SCDE+SABD=6, .3S.CDE =6, .S.CDE =2, △ABC的面积是4ScDE=8 54.(24-25八年级上安徽蚌埠期中)【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分. 已知：如图1，在△ABC中，点D是边BC上的中点，连接AD.求证：SMBm=SD. 证明：过点A作AE⊥BC于E, 51/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点D是边BC上的中点， .'BD =CD 8m号0-MB5m -CD.AE 1 S.ABD=S.ACD. DE D B 图1 图2 图3 【拓展探究】 (1)如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S△c=6,则SAn=_一： SABD (2)如图3，在AABC中，点D是BC边上的点，且CD=2BD'求SMc 的值： 【问题解决】 (3)现在有一块四边形土地ABCD,如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形ABCD 的面积. (要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺.) D B 图4 【答案】(1)3： SA如=1 (2)SAABC 3: (3)连接AD,取AD中点E,连接AE,CE, 则SAME=S△ABE'S△CE=SACE, ∴.S△AE+S△CE=S△MBs+S△CE, 即S四边形ADCE=四边形ABCE, 52/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD被平均分. D B 【详解】解：(1)：点D是BC边上的中点， .S.ABD=S4CD, x6=3; 1 故答案为：3： (2)取CD中点E,连接AE,则CE=DE, SAACE=SAADE CD=2BD, .'DE=BD=CE, ∴S△MDB=SAAHD, 、Sa4g=SAME=SAMm, SAABD=1 :SAABC 3: A B DE 图3 (3)略 55.已知△ABC的面积为S,根据下列条件完成填空. A A M M M B M M C B M 53/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)AM1是△ABC的边BC上的中线，如图1，则△ACM的面积为_（用含S的式子表示，下同）： CM2是△ACM,的边AM,上的中线，如图2，则△ACM2的面积为_： AM3是△ACM2的边CM上的中线，如图3，则△ACM的面积为：… (2)在图2022中，CMm是△ACMm1的边AMm上的中线，则△4CMm的面积为_， 【容灯，， 2宁2y 【详解】(1)解：：AM1是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为S,如图1， 又：CM2是aACM,的边AM上的中线，如图2， :AM3是△ACM2的边CM2上的中线，如图3， 1 (2)解：80w=2S, S.ACM:= 2 1 S4M,=7S4M,=S 2 8 …, 以此类推， 1 2022 当 =202时，840wm-（2 S, 54/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2022 故答案为： S 考点06角平分线与高线模型 56.(25-26八年级上安徽合肥期中)如图，在△ABC中，∠A>∠B,∠B=27°，CD、CE分别是 △ABC的高、角平分线，∠ECD=22°，求∠A的度数是度. B EDA 【答案】71 【详解】解：，CD是△ABC的高， .∠CDB=∠CDA=90°， ∠B=27°， .∠BCD=180°-∠CDB-∠B=63°， ∠ECD=22°， .∠BCE=∠BCD-∠ECD=41°， ,CE是△ABC的角平分线， :.∠ACE=∠BCE=41°， .∠ACD=∠ACE-∠ECD=19°， ∴.∠A=180°-∠CDA-∠ACD=71° 故答案为：71」 57.(23-24八年级上安徽蚌埠期中)如图，在△ABC中，∠ABC=44,∠ACB=66°，BD是AC上的高， CE平分∠ACB,BD,CE交于点F,则∠ABD的度数为 ∠BFC的度数为 E B 【答案】 20° 123° 【详解】解：：∠ABC=44°，∠ACB=66° 55/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠A=180°-∠ABC-∠ACB=70°， :BD是AC上的高， .∠ADB=∠CDB=90° .∠ABD=180°-∠ADB-∠A=20°， :CE平分∠ACB, ∠ACE=)∠ACB=30. 2 .∠BFC=∠ACE+∠CDF=123° 故答案为：20°，123 58.(25-26八年级上·安徽宜城期中)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2，我们称这 两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.如图，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B 互为“友爱角”（∠A<∠B),∠A+∠B=∠ACB,CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求 ∠DCE的度数. A B 【答案】15° 【详解】解：：∠A与∠B互为“友爱角”，且∠A<∠B, 4-38. ∴∠B=2∠A, :在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，且∠ACB=∠A+∠B, .∠A+2∠A+∠A+2∠A=180°， 、∠A=30° ∠B=2∠A=60°，∠ACB=90°， ,CD是△ABC的高， .∠ADC=90°， ∠ACD=90°-∠A=90°-30°=60°， ,CE是∠ACB的角平分线， 56/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &∠ACE=)∠ACB=,x90°=45， :.∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15° 59.(25-26八年级上安徽阜阳期中)如图，在△ABC中，AD,AF分别为△ABC的中线和高，BE为 △ABD的角平分线， D F (1)若∠BED=44,∠BAD=28°，求∠BAF的大小； (2)若△ABC的面积为48，BD=6,求AF的长. 【答案】(1)∠BAF=58 (2)AF=8 【详解】(1)解：∠BED=∠ABE+∠BAE,∠BED=44,∠BAD=28°， ∴∠ABE=∠BED-∠BAD=44°-28°=16°， :BE平分∠ABC, ∠ABC=2∠ABE=2×16°=32°， ,AF为高， .∠AFB=90° .∠BAF=90°-∠ABF=90°-32°=58° (2):AD为中线，BD=6, BC=2BD=12, A1BC的面积为48，及度=BC4F=48， .AF=8 60.(2526八年级上安徽准北期中)如图，AD,AE,AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线. B FED C 吓列结论：①BF=A行，②∠B1B=2C4B国Sm一，④∠C与∠CD互余，共中正痛的是 57/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一一（只填序号)· (2)若∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数. (3)若∠C>∠B,请直接写出∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系. 【答案】(1②③④ (2)10 ∠D1E=(C-∠B) 【详解】(1)解：“AD,AE,AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线， ÷AD⊥BC,∠BAE=∠CAE,BF=CF, 而BF=AF不一定成立，故①不正确，②正确： ∠ADB=90°， ·.∠C+∠CAD=90°，即∠C与∠CAD互余，④正确： AWF=BF:AD.S-BC:4D=BF:4 以m方，国正痛 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④： (2)解：∠B=40°.∠C=60° ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°， ∠BAE=∠CAE,AD⊥BC, ∠BAB=)∠BAC=×80=40，∠BAD=90°-∠B=90-40=50 ÷∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°： (3)解D1E=<C-∠B), 理由：~在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线， :∠CAB=180P-ZB-∠C:∠CaD=90P-∠C,∠CME=080°-∠B-∠C, ∠DAB=080-∠B-∠0-(90-∠9=C-∠B). 61.(25-26八年级上·安徽准南期中)如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上（不与点A,C重 58/90 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 合)，连接BE,交AD于点O. D D B 图1 图2 图3 (1)如图1，若BE是△ABC的中线，AB=8,BC=5,则△ABE与△BCE的周长差为 (2如图2，若BE是△ABC的高，∠BAC=28°，则∠BOD的度数为 (3)如图3，若BE是△ABC的角平分线，∠C=62°，求∠AOB的度数. 【答案】(1)3 (2)76° (3)121° 【详解】(1)，BE是△ABC的中线， .AE=CE. ∴·△ABE与△BCE的周长差为：AB+BE+AE-(BC+BE+CE) =AB+BE+AE-BC-BE-CE AB-BC =8-5=3 故答案为：3： (2):BE是△ABC的高， .∠AEB=90° .∠BAC=28°， .∠AB0=90°-28°=62°， ,AD是△ABC的角平分线， 2B1D-3BaC=14, 2 ∴.∠A0B=180°-62°-14°=104°， .∠B0D=180°-∠A0B=76° 故答案为：76°： (3):∠C=62° 59/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠BAC+∠ABC=180°-62°=118° :AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的角平分线， &∠BA0=∠BAC,∠AB0=ABC, :.∠AOB=180°-（∠BAO+∠ABO) (BCAR) 1 =180°-2x18°=1219。 62.(2425八年级上安徽安庆期中)如图1，在△ABC中，∠ABC<∠ACB<90°，AD是BC边上的高线， AE是∠BAC的平分线. A B B E D E 图1 图2 (1)若∠ABC=35°，∠ACB=65°，求∠DAE的度数： (2)根据(1)的计算结果，猜想∠DAE与∠ABC和∠ACB之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）： (3)如图2，若∠ACB是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由. 【答案】(1)15° a∠DME-4CB-∠ABG B)∠DE=ACB-∠ABC成立 【详解】(1)在△ABC中，已知∠ABC=35,∠ACB=65°，则 ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-65°=80°， :AE是∠BAC的平分线， 1 ∠EMC=2ZB1C=2×80°=40° :AD是BC边上的高线， ∴，∠ADC=90° 60/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ADC中， .∠DAC=90°-∠ACB=90°-65°=25°， .∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-25°=15°： (2)猜想：∠DAE=(∠4CB-∠AC),证明如下 ∠DAB=∠EAC-∠DAC=BAC-(90-∠ACB),∠BMC=180r-∠ABC-∠ACB &∠DAE=)(LACB-∠ABO: (3)当∠ACB是钝角时，上述猜想成立， 设∠ABC=a,∠ACB=F(B>90) 根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-a-B, AE是∠BAC的平分线， ∠EAC= =一1￥ 2a- AD是BC边上的高线， .∠ACD=180°-B, 在△ADC中，∠DAC=90°-(180°-B)=B-90° ZDAE-ZFAC+ZDAC-)) LACB-∠ABC 所以当∠ACB是钝角时，上述猜想仍然成立。 63.(24-25八年级上·安徽合肥期中)如图，AD,AE,AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线， FE D C 吓列等论：①BF=A,@∠B4B=∠C4E⑧Sm,心∠C与∠CD互余，共中正偏的是. (只填序号). (2)若∠C=56°，∠B=36°，求∠DAE的度数. 61/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)若∠C>∠B,直接写出∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系. 【答案】(1②③④ (210° BDME=c-∠B) 【详解】(1)解：，AD,AE,AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线， .AD⊥BC,∠BAE=∠CAE,BF=CF, 而BF=AF不一定成立，故①不正确，②正确； .∠ADB=90°， ∴∠C+∠CAD=90°，即∠C与∠CAD互余，④正确： BFADBCAD-84D 六m=2c,③正确； 1 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④： (2)解：∠C=56°，∠B=36° .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-56°=88°， ∠BAE=∠CAE,AD⊥BC, &∠BME=B4C=x8=4,∠BAD=90°-∠B=90°-36°=54 .∠DAE=∠BAD-∠BAE=54°-44°=10°： 3)解：∠DME=(2C-∠B), 理由：在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线， ∴∠CAB=180°-∠B-∠C,∠CAD=90°-∠C,∠CME=2I80°-∠B-∠O, ∴∠D4B=080-∠B-∠O-(9-∠0=uc-∠B) 64.如图1，AD,AE分别是∠ABC的高和角平分线（∠C>∠B) 62/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ED C B ED 图1 图2 )求证：∠DME=(∠C-∠B), 2)如图2，若点F为AE上一点，且FD⊥BC于点D,试推导∠EFD与∠C,∠B之间的等量关系： (3)当点F在AE的延长线上时，且FD⊥BC于点D,其余条件都不变，请直接写出∠EFD与∠C,∠B之 间的等量关系 【详解】(1)i证明：在△4BC中，∠BAC=180°-（∠B+∠C), :AE是∠ABC的平分线， ∠E4C=<BMC=90-<B+∠C). 2 :AD是△ABC的高， .∠ADC=90°， 在RtAACD中，∠CAD=90°-∠C, ∠DME=∠EAC-∠CMD=90°-(EB+∠C)-(90°-∠C)-)(<C-∠B): 2解：∠BFD与∠C∠B之间的等量关系是：∠BFD=(<C-∠B),理由如下 过点A作AH⊥BC于点H,如图2所示： B EDH 图2 由D可知：∠E4H=(<C-∠B), :FD⊥BC于点D,AH⊥BC于点H, :FDI AH 63/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠EFD=∠EAH, EFD-(C) (3)解： ∠ED与∠C,∠B之间的等量关系是：∠EFD<C-∠®)，理由如下： 过点A作AK⊥BC于点K,如图3所示： D B EK 图3 由①可知： ∠MK=<C-∠. ·FD⊥BC于点D,AK⊥BC于点K, :.FD AK, ∴.∠EFD=∠EAK, EFD-(c) 65.(2023八年级上安徽合肥竞赛)(1)【判断】如图1，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，作 ∠BAC的平分线AD交BC于点D,在AD上任取点R,作FE⊥BC,垂足为点E,则∠DFE=一： (2)【迁移】如图2，将(1)中“在AD上任取点"改为“在DA的延长线上任取点，其他条件不变， 则∠DFE=一： (3)【拓展】如图3，在△ABC中，∠B=a,∠C=P(B>Q),AD是∠BAC的平分线，在直线AD上任 取点F,过点F作EF⊥AD与直线BC交于点E,请直接写出∠DEF与a,B之间的数量关系一一· A F DE D EC D 图1 图2 图3 64/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(115：(2150：(3)∠DEF-, 2 【详解】解：(1)在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°， .∠BAC=180°-40°-70°=70°， :AD是∠BAC的平分线， ∠B4D-B4C=35, :∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+35°=75°， FE⊥BC, .∠DFE=90°-∠ADC=15°： (2)不变，理由如下： F D EC 图2 由()可知∠B4D-4C=35°，B=40 :∠ADC是△ABD的外角， :∠ADC=∠B+∠BAD=40°+35°=75°， FE⊥BC, ∴.∠DFE=90°-∠ADC=15°： (3)在△ABC中，∠B=a,∠ACB=B. .∠BAC=180°-a-B. :AD是∠BAC的平分线， ∠BAD=∠BAC=90-C+里 21 2 :∠ADC是△ABD的外角， ∠ADC=∠B+∠BAD=a+90°-a+P=90+a-2 2 2 65/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FE⊥AD, ∴.∠DEF=90°-∠ADC=90° 2· 66.(24-25八年级上河北邢台阶段检测)己知在△ABC中，AD是边BC上的高，AE是△ABC的角平分 线 ED ED D C G 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠B=45°，∠C=55°，则∠EAD的度数为 (2如图2，EP平分∠AEC交AC于点F,交△ABC的外角∠ACM的平分线于点P,请猜想∠P与∠BAC的 数量关系，并说明理由， B咖图3，在(2)的条件下，过点p作PG1BM于点G,若∠RAD=∠CD:且B+∠CPE-9<CPG, 7 请直接写出∠ACB的度数. 【详解】(1)解：：∠B=45°，∠C=55°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. ,AE是△ABC的角平分线， .∠BAE=∠CAE=40°， ∠AEC=∠B+∠BAE=85°， :AD是BC边上的高， .∠ADE=90°， ∴.∠EAD=5°： 故答案为：5°， 2)解：∠P=∠B4C.理由如下： :PE,PC分别平分∠AEC和△ACB的外角∠ACM, 2PeM-ABM,∠cM=4cM, &∠P=∠PCM-∠PEM=,(LACM-∠AEM)=,∠CAB, 66/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠CAE=号∠BAC, PRC (3)解：设∠EAD=∠CAD=2a,则∠BAE=∠CAE=4a, .∠BAC=8a,∠BAD=6a,∠B=90°-6a, :由(2)可得，∠CPE=∠BAC=2a, 4 :PC平分∠ACM, ∠cG=LACG-(ZB+☑BAO=oP-6a+a)=4s+a, 2 ∠CPG=90°-∠PCG=45°-u, ~∠B+∠CPE=19∠CPG. 7 00-6a+2a-194s0-a). ∴.a=10° .∠PCG=45°+10°=55°， .∠ACM=2∠PCG=110° .∠ACB=180°-∠ACM=70° 考点07多几何模型综合 67.(24-25八年级上·安徽安庆期中)沪科版（数学）（八年级上册）第02页第4题求五角星形五个角的 度数和（如图1），我们求得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E-180°.爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行 调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： E 图1 图2 图3 图4 (1)根据图2，直接写出∠A,∠B,∠C,∠D,∠E满足的关系式 (2)如图3，点E在AD上，求证：∠A+∠B+∠C+∠D-∠BEC=180°： 67190 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图4，点E在AD上方，请问(2)中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写 出你的结论，并进行证明 【详解】(1)解：如图，连接AE,设AD,BE交于点F, ,∠FAE+∠FEA+∠3=∠B+∠D+∠4=180°，∠3=∠4， ∴.∠FAE+∠FEA=∠B+∠D, :∠1+∠2+∠C=180°， ∴.1+∠2=180°-∠C, .∠FAE=∠I+∠FAC,∠FEA=∠2+∠FEC, ∴.∠I+∠FAC+∠2+∠FEC=∠B+∠D, :.180°-∠C+∠FAC+∠FEC=∠B+∠D, .∠B+∠C+∠D=180°+∠A+∠E. 4 E (2)证明：如图， ,∠A+∠C+∠1=180°，∠B+∠D+∠2=180° .∠A+∠C=180°-∠1，∠B+∠D=180°-∠2， .∠A+∠B+∠C+∠D=180°+180°-∠1-∠2， ∠BEC=180°-∠1-∠2 .∠A+∠B+∠C+∠D=180°+∠BEC, ∴.∠A+∠B+∠C+∠D-∠BEC=180° (3)解：成立，理由如下： 如图，过点E作FG∥AD交AC于点F,交BD于点G, ∴.∠1=∠A,∠2=∠D, 68/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BEC+∠3+∠4=180°， .∠BEC=180°-∠3-∠4. ,∠1+∠C+∠3=180°，∠2+∠B+∠4=180°. .∠1+∠C+∠3+∠2+∠B+∠4=360° .∠1+∠C+∠2+∠B=180°+180°-∠3-∠4， .∠I+∠C+∠2+∠B=180°+∠BEC, .∠A+∠C+∠D+∠B=180°+∠BEC, ∴∠A+∠B+∠C+∠D-∠BEC=180°. -24 2 G 68.(25-26八年级上安徽六安期中)如图，四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和 ∠NDC,若LBAD=&,∠BCD=B M M D D 图1 图2 (1)如图1，若a+B=105S°，求∠MBC+∠NDC的度数： (2)如图1，若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°，请直接写出a,B所满足的数量关系式： (3)如图2，若a=P,判断BE,DF的位置关系，并说明理由. 【详解】(1)解：四边形ABCD的内角和为360°， ∴.a+B=∠A+∠BCD=360°-（∠ABC+∠ADC) '∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角， .∠MBC=180°-∠ABC,∠NDC=180°-∠ADC, ∴，∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC =360°-(LABC+∠ADC) 69/90 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =a+B =105°： (2)解：B-a=90° 理由：如图1，连接BD M D N 图1 由(1)有，∠MBC+∠NDC=a+B, :BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC, ÷.∠CBG=2∠MBC,LCDG=2∠NDC, :∠CBG+∠CDG=2∠MBC+2∠NDC=2(ZMBC+∠NDC)=(a+B), 在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-B, 在△BDG中，∠BGD=45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°， ∴.∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=18O°， :(LCBG+∠CDG)+(LBDC+LCBD)+∠BGD=180°， :(a+p)+180°-B+45°=180r, ∴B-a=90° 故答案为B-a=90°： (3)BE∥DF,理由：如图2，过点C作CP BE, M E B D 图2 则∠EBC=∠BCP, ∴.∠DCP=∠BCD-∠BCP=B-∠EBC, 由(1)知∠MBC+∠NDC=a+B, .a=B. 70190 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠MBC+∠NDC=2B, 又：BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC, :∠BC+Z∠FDC=(∠MBC+∠NDC)=B, ∠FDC=B-∠EBC 又：∠DCP=B-∠EBC, ∠FDC=∠DCP, .CPI‖IDF, 又CP BE, .BEDF 69.(25-26八年级上·安徽滁州期中)如图，在△ABC中，∠BAC=L,点D在边AC上，DE⊥BC于点 E,BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交BC于点G, D B∠ 图1 图2 图3 (1)如图1，延长AB,交DG于点F,若BM∥DG,∠F=30°，求a的度数. (2)如图2，当0°<a<90°，DG与MB的延长线交于点H,用含a的代数式表示∠BHD,并说明理由. (3)如图3，若90°<a<180°，DG与线段BM交于点N,用含a的代数式表示∠BND,并说明理由. 【详解】(1)解：：BM∥DG, ∴∠ABM=∠F=30°， :BM为△ABC的角平分线， ∠CBM=∠ABM=30°， ∴∠CGD=∠CBM=30°， DE⊥BC, .∠DEG=90°. .∠EDG=90°-∠DGE=60°. :DG平分∠ADE, .∠ADF=∠EDG=60°， 71/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=180°-∠F-∠ADF=90°， .a=90° M D B G E 2解：2∠BD=45-了0.理 由八字模型可得，△BHG和△DEG中， ∠BHD=∠EDG+∠DEG-∠HBG (ZADE+ZABC)9 E)360°-∠BED-∠BAC)-909 =45°、1 B G 解：<BND-25”-0.理由： 由四边形的内角和得， ∠BND=360°-∠A-∠ABM-∠ADG =360-A-(∠MBC+∠ADE) =360°-LA-2（360°-DEG-∠40） =360°-∠A-270°-∠A) 72/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =225° 2 A D M B 日 G E 70.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”，例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与 △COD的内角∠COD互为对项角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”.根据三角形内角和定理可知“对 顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D 图1 图2 图3 图4 (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，若∠AOB=85°，则∠C+∠D=_°： (2)性质应用： ①如图2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_°； ②如图3，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC,若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求 ∠BED的度数： (3)拓展提高：如图4，BE、CD是△ABC的角平分线，∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P,设 ∠A=a,求∠P的度数（用含a的式子表示∠P)· 【答案】(1)95 (2)①180②27° aa5-40 【详解】(1)解：：∠AOB=85° :.∠A+∠B=180°-∠AOB=95 :∠A+∠B=∠C+∠D. ∴.∠C+∠D=95° 故答案为：95 (2)解：①连接CD,如图所示： 73/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 则∠B+∠E=∠FCD+∠FDC ∴.∠A+∠B+LC+∠D+∠E=∠A+∠FCD+∠FDC+∠C+∠D =∠A+∠ACD+∠ADC =180° 故答案为：180 ②，∠C=60°， :.∠BAC+∠ABC=180°-∠C=1209 :ADBE分别平分∠BAC和∠ABC, ∠BMF+∠ABF-(∠BAC+∠ABC-60 ·.∠BAF+∠ABF=∠ADE+∠BED ∴.∠ADE+∠BED=60① .:∠ADE-∠BED=6② 由①②可得：∠BED=27° (3)解：∠A=a, .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a :BE、CD是△ABC的角平分线， ∠AB5=A8c4D-4c8 :∠BDC和LBEC的平分线DP和EP相交于点P, ∴.∠BDP=∠CDP,∠BEP=∠CEP '.∠ABE+∠BDP=∠P+∠BEP① ∠ACD+∠CEP=∠P+∠CDP② 0+②每：2P-∠4BE+∠4CD=ABc+乙4CB) ∠p4MBc+∠AB=45-4a 74/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点08动态探究与规律归纳 71.(24-25八年级上·安徽合肥期中)如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点 O重合)· N B B D -M -M A A 图1 图2 (1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D. ①若∠BA0=60°，则∠D=一一°； ②猜想：∠D的度数是否随A,B的移动发生变化？并说明理由. 2跑图2，若∠0MD-01,∠BC-}∠N4,求∠D的度数 4 【详解】(1)解：①，∠M0N=90°，∠BAO=60° .∠OBA=180°-（∠MON+∠BAO)=30° :.∠ABN=180°-∠OBA=150°， ,BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D, :2DMB-B40=30,2N8C-4BN=75, .∠DBO=∠NBC=75°， ·∠DBA=∠DB0+∠0BA=75°+30°=105° 在AABD中，∠D=180°-（∠DBA+∠DAB)=180°-(105°+30）=45， 故答案为：45； ②∠D的度数不随A,B的移动发生变化，始终是45°，理由如下： 设∠BA0=20,则∠0BA=180°-（∠M0N+∠BAO)=180°-(90°+20）=90°-20， .∠ABN=180°-∠0BA=180°-(90°-20)=90°+20 ,BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D, ∴2DMB=BM0=0,∠NBC=ABN=90e+20)=45+0. 75/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠DB0=∠NBC=45°+0， ∴.∠DBA=∠DB0+∠OBA=45°+0+90°-20=135°-0， 在AABD中，∠D=180°-（∠DBA+∠DAB)=180°-(135°-0+0）=45°： （2解：：∠0AD-0aB,∠N8C-NB4, ：.设L0AB=4a,∠NBA=4p,则∠0AD=3a,∠NBC=3p, ·∠DBO=∠NBC=3p,∠DAB=∠OAB-∠OAD=a :∠MON=90°， 、.∠0BA=180°-（∠M0N+∠0AB)=180°-(90°+4a)=90°-4a, 、.∠DBA=∠DB0+∠0BA=3B+90°-4a, 在A4BD中，∠D=180°-（∠DBA+∠DAB)=180°-(3B+90°-4a+a)=90°-3(B-a), ,∠OBA+∠NBA=180°， 90°-4a+4p=180°， B-a=22.5° .∠D=90°-3×22.5°=22.5° 72.(23-24八年级上安徽铜陵期中)在△ABC中，AE平分∠BAC,∠C>∠B, B p 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD1BC于点D,∠C=60°，∠B=40°，则∠DAE= (2)如图2，若点P是线段AE上一动点，过点P作PG⊥BC于点G,则∠EPG与∠C,∠B之间的数量关系 是 (3)如图3，若点P是AE延长线上一点，过点P作PG⊥BC于点G,则∠EPG与∠C,∠B之间有何数量关 系？画出图形并证明你的结论。 【详解】(1)解：如图1，∠C=60°、∠B=40°， ∠CAB=180°-(LB+∠C=80°， :AE平分∠BAC, 76/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2Bac-a4c-x80=40, AD⊥BC, ∴∠ADC=90°， :∠C=60°， ∠DAC=180°-90°-60°=30°， ∴，∠DAE=∠CAE-∠CAD=40°-30°=10°， 故答案为：10°： (2)解：∠EPG=)∠C-1∠B 2 2 理由是：如图2，过A作AD⊥BC于D, EGD 图2 .·PG⊥BC .AD∥PG .∠DAE=∠GPE, :∠CAB=180°-(LB+∠C), :AE平分∠BAC, ∠B4C-a1c=s0-(uB+01=0-B-c, 21 2 :AD⊥BC, ∠ADC=90°， .∠DAC=90°-∠C, DAE-ZCAE-ZCAD--B-C)C 2 2<B ∠EPG-TC 放答案为：∠BG=C-B: 2 （a解：∠BGc-B， 1 证明：如图3，过A作AD⊥BC于D, 77/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E D 图3 p PG⊥BC AD∥PG .∠DAE=LGPE, :∠CAB=180°-(LB+∠C). :AE平分∠BAC, ∠B4C=3B1C=80-uB+∠O1=90-3B-C. 21 2 AD⊥BC. ∠ADC=90°， ∠DAC=90°-∠C, DAE-ZCAE-ZCAD-9-B-C-(-C)C-B 24C-348 ·∠EPG= 73.(25-26八年级上：安徽安庆期中)在△ABC中，∠A=60°，点D,E分别是△ABC边AC,AB上的点， 点F是直线BC上一动点，设∠CDF=∠I,∠BEF=∠2，∠DFE=∠a, 图1 图2 图3 (1)如图1，若点F在线段BC上，且∠α=45°，求∠1+∠2的度数： (2)若点F在线段BC的延长线上. (i)如图2，当点D位于EF上方时，探究∠1，∠2与∠Q之间的数量关系，并说明理由： (i)如图3，当点D位于EF下方时，探究∠1，∠2与∠α之间的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)解：如图1，连接AF, 78/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 2 图1 由三角形的外角性质，得∠I=∠DAF+∠DFA,∠2=∠EAF+∠EFA, ∴.∠1+∠2=∠DAF+∠EAF+∠DFA+∠EFA=∠DAE+∠DFE=60°+45°=105 (2)(i)∠2=∠1+∠a+60° 理由：如图2，设AC与EF相交于点G A D E 2 C 图2 ,∠AGE=∠I+∠a,∠2=∠A+∠AGE .∠2=∠A+∠1+∠a=∠1+∠a+60° (i)∠2=∠1-∠a+60° 理由：如图3，设AC与EF相交于点G 2 D F 图3 :∠2=∠A+∠AGE,∠I=∠DGF+∠a ∴.∠DGF=∠1-∠a .·∠AGE=∠DGF, ∴.∠AGE=∠I-∠a .∠2=∠A+∠1-∠a=∠1-∠a+60° 74.(25-26八年级上安徽六安期中)如图，△ABC和△DBC有一条公共边BC,BP平分∠CBD,CP平 分∠ACB 79190 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 W入D 图1 图2 (1)如图1，若点P是AB与CD的交点，且∠A=87°，∠D=78°， ①直接写结果：∠ABD-∠ACD的度数是_°： ②求∠BPC的度数： (2)如图2，点A,D分别是射线BM和CN上的动点，点P在△ABC与△DBC外，当∠MBC+∠NCB=64° 时，请探究∠BPC与∠BAC,∠BDC之间的数量关系. 【答案】(1)①9°；②∠BPC=115°： (2)2LBPC-(∠BAC+∠BDC)=64° 【详解】(1)解：①：∠A=87°，∠D=78°，∠BPC=∠D+∠ABD=∠A+∠ACD, .∠ABD-∠ACD=∠A-∠D=87°-78°=9°， 故答案为：9°； ②·BP平分∠CBD,CP平分∠ACB, ∴.∠ABD=∠ABC,∠ACD=∠BCD, :∠BPC=78°+∠ABD=87°+∠ACD, .∠BPC=78°+∠ABC=87°+∠DCB, :.2∠BPC=165°+（∠ABC+∠DCB). ∠BPC=180°-（∠ABC+∠DCB). :.3∠BPC=165+(LABC+∠DCB)+180°-（∠ABC+∠DCB)=345°， .∠BPC=115°： (2)解：设∠ABC=∠I,∠DCB=∠2，∠ABP=a,∠DCP=B, D B :BP平分∠CBD,CP平分∠ACB, 80/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DBC=2(∠I+a),∠ACB=2(∠2+B),∠BPC=180°-（∠I+∠2）-(a+PB), :∠MBC+∠NCB=64°，即∠1+∠2=64°， ÷.∠BPC=180°-64°-(a+P)=116°-(a+P),即a+B=116°-∠BPC, ∠BAC=180°-∠1-∠ACB=-180°-∠1-2（∠2+B),∠BDC=180°-∠2-∠DBC=180°-∠2-2（∠I+a), .∠BAC+∠BDC=180°-∠1-2（∠2+B)+180°-∠2-2（∠1+a) =360°-3（∠1+∠2）-2(a+B) =360°-3×64°-2×(116°-∠BPC) =2∠BPC-64° 即2∠BPC-(LBAC+∠BDC)=64° 75.将一把直角尺放置在钝角△ABC(∠BAC>90)上，使得点B.C分别在该直角尺的两条直角边DE,DF 上，且直角顶点D与点A在BC边的同侧. D B B E 备用图 (1)如图，点A在直角尺内部， O①若∠A=120°，∠ABD=10°，求∠ACD的度数： ②若∠A=,∠ABD=B,求∠ACD的度数（用含&，B的式子表示）. (2改变直角尺的位置，使点A在直角尺外部，其它条件不变，探索∠ABD,∠ACD,∠A三者之间的数量关系， 并说明理由. 【详解】(1)解：①：∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A =180°-120° =60° .∠D=90° .∠DBC+∠DCB=90 ∴.∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD=90°， 81/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ACD=90°-（∠ABD+∠ABC+∠ACB) =90°-(10°+60) =20°. ②：∠A+∠ABC+∠ACB=180° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A =180°-a. ∠D=90°， .∠DBC+∠DCB=90°， ∴.∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD=90°， ∴.∠ACD=90°-（∠ABD+∠ABC+∠ACB) =90°-（B+180°-a) =a-B-90° (2)当点D在AB的左侧时，∠A+∠ACD-∠ABD=90°：当点D在AB的右侧时， ∠A+∠ABD-∠ACD=90°，理由： ①如图，当点D在AB的左侧时， D A M E 设AB与CD交于点M. :∠D+∠ABD+∠DMB =∠A+∠ACD+∠AMC=180°， 又∠DMB=∠AMC. .∠D+∠ABD=∠A+∠ACD」 ∴.∠A+∠ACD-∠ABD=90° ②如图，当点D在AB的右侧时， 82/90 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A M B E 同理，得∠A+∠ABD=∠D+∠ACD. ∴∠A+∠ABD-∠ACD=90° 综上所述，当点D在AB的左侧时，∠A+∠ACD-∠ABD=90°： 当点D在AB的右侧时，∠A+∠ABD-∠ACD=90° 76.我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角 形”.如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”. 【简单应用】 如图1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD, 交线段OB于点C(点C不与O、B重合)· M D BN B 图1 图2 (1)∠AB0= ,∠AOB=°，△AOB-(填“是”或“不是”)“完美三角形”： (2)若∠ACB=90°，试说明：△AOC是“完美三角形”； 【应用拓展】 (3)如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在DC上取一点F,使 ∠EFC+∠BDC=I80°，∠DEF=∠B,若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数. 【详解】(1)解：：AB⊥OM, 83/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0AB=90°， :∠M0N=72°， ∴∠AB0=90°-72°=18°，∠A0B=72°， ,72°=4×18°， .△AOB是完美三角形， 故答案为：18,72，是 (2):∠ACB=90°，∠MON=72°， :.∠0AC=∠ACB-∠AOC=90°-72°=18°. 72°=4×18°， ∴.∠A0C=4∠0AC, ∴.△AOC是“完美三角形”： (3)解：：LEFC+∠BDC=180°，∠EFC+∠EFD=180°， ∴.∠BDC=∠EFD. ∴.AB∥EF, ∴.∠DEF=∠ADE, :DE是∠ADC的角平分线， ∴.∠ADE=∠FDE, ,∠DEF=∠B, ∠ADE=∠B, .DE∥BC, .∠FCB=∠FDE, ∴∠FCB=∠B :△BCD是“完美三角形”， ①当∠FCB=∠B=4∠BDC时，根据三角形内角和定理可得， 4ZB+∠B+∠B=180° 解得：∠B=80°， ②当4∠FCB=4∠B=∠BDC时，根据三角形内角和定理可得， ∠B+∠B+4∠B=180°， 解得：∠B=30°， 84/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述：∠B=30°或∠B=80°： 77.(24-25八年级上安徽安庆期中)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,动点E在射线 BD上（不与点D重合），过点E作EF∥BC交线段AC于点F(不与点A,C重合)，∠AFE的平分线 所在的直线与射线BD交于点G. D D 图① 图② (1)如图①，当点E在线段BD上时， ①若∠ABC=40°，∠C=60°，∠FED的度数为 ∠FGD的度数为一一一： ②求证：∠FGD=90°-)∠A: 21 (2)当点E在线段BD的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出∠FGD与∠A之间的数量关系. 【详解】(1)①：BD平分∠ABC,∠C=60°，∠ABC=40°， ∴.∠CBD=5∠ABC=20° EF∥BC, ∴.∠FED=∠CBD=20°. ∠AFE=∠C=60°. :FG平分∠AFE, ∠RG=AFE=0. ∴∠FGD=∠BG+∠FED24CB+)ABC-30r+20=50 1 2 ②证明：BD平分∠ABC, :∠CBD=∠ABC. 2 EF∥BC, :∠FED=∠CBD=2 ∠AFE=∠C. :FG平分∠AFE, 85/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EFG= 1 AFE=2∠ACB 2 .∴∠FGD=∠EFG+∠FED 2Z4CB 1 ∠ABC 2180°-∠4) (2)点E在线段BD的延长线上时，画图如下： B 解：∠FGD= 4 如图，点E在线段BD的延长线上. BD平分∠ABC, ·∠CBD= AC. :EF∥BC, ∠FED=∠CBD-3ABC,∠ERC=∠ACB ∴.∠AFE=180°-∠EFC=180°-∠ACB, :FH平分∠AFE, ·∠EFH=∠AFE=90°-1∠ACB 2 2 ∴.∠FGD=∠EFH-∠FED =90-∠ACB-1∠ABC 2 =90°-0809-2A） 78.(25-26八年级上安徽六安期中)两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在BC上， 86/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠BDE=90°，∠ABC=∠E. A D E 图1 图2 图3 (1)证明：AC∥BE」 (2)如图2，分别作分别作∠ACB与∠BED的平分线交于点F,若∠ABC=54°，求∠F的度数： (3)如图3，点P,G分别在线段AC,BD上，连接PG,作∠GPC的平分线交BE于点O,若点H是线段 PO上一点，连接BH,且∠HBC=2∠IHBO.设LBGP=a,∠GPO=B,∠PHB=6,求a,B,O之间 的数量关系， 【详解】(1)证明：：∠A+∠ABC+∠C=∠BDE+∠E+∠DBE=180°， 又：∠A=∠BDE=90°，∠ABC=∠E, ∴.∠C=∠DBE. .AC∥BE: (2)解：∠A=∠BDE=90°，∠ABC=∠DEB, ∴.∠ACB+∠ABC=90°=∠ACB+∠DEB, :∠ACB与∠BED的平分线交于点F, ∠ACF=ACB,∠REF-ZDEB, 乙ACF+∠BEF=4CB+∠DE8)-x90=45°。 如图l,过F作FK∥AC, A 可D 图1 87/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可得：AC∥BE, ∴AC∥FK∥BE ∴.∠KFC=∠ACF,∠KFE=∠BEF, .∠CFE=∠KFC+∠KFE=∠ACF+∠BEF=45°： (3)解：如图2，当H在线段P9上， A D C 图2 设∠HB0=x,则∠HBC=2∠HB0=2x,∠QBG=∠HBC+∠HBQ=2x+x=3x, 由(1)可得：AC∥BE, ∴.∠ACB=∠OBG,∠BOH=∠CPH」 ∴.∠BGP=∠CPG+∠ACB=∠CPG+∠QBG① ∠BHP=∠BQH+∠HBQ=∠CPH+∠HBQ②. :∠BGP=a,∠GPQ=B,∠PHB=O,∠GPC的平分线交BE于点Q, ∴.∠CP9=∠GPQ=B,∠CPG=∠GPC=∠CPQ+∠GPQ=B+B=2B, 由①、②可得： a=2B+3x 0=B+x’ .a,B,0之间的数量关系为：a+B=30 79.(25-26八年级上安徽合肥阶段检测)如图1，已知∠M0N=60°，A,B两点同时从点0出发，点A沿 射线ON运动，点B沿射线OM运动.如图2，点C为△AB0三条内角平分线的交点，连接BC,AC, M M M A N A A 图1 图2 图3 (1)当∠OAB=50°时，求∠ACB的度数： 88/90 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在点A,B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明 理由： (3)如图3，连接OC并延长，与∠ABM的邻补角的平分线交于点P.在△BCP中，如果有一个角是另一个 角的2倍，请求出∠BAO的度数. 【答案】(1)120° (2)不变，∠ACB=120° (3)∠BA0为90°或60° 【详解】(1)解：~点C为△AB0三条内角平分线的交点， ∠B4C-40MB∠ABc-AB0, :∠M0N=60°，∠OAB=50°， ∠AB0=180°-60°-50°=709，∠B4C=5∠0AB=250. ÷∠ABC=1∠AB0=35° 2 :∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC, ∠ACB=180°-35°-25°=120°： (2)解：不变，理由如下： :点C为△ABO三条内角平分线的交点， .2∠BAC=∠OAB,2∠ABC=∠ABO, .∠MON=60° .∠ABO+∠BAO+∠MON=180° ∴.2∠BAC+2∠ABC=180°-∠MON=120° ∴.∠BAC+∠ABC=60° ∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC)=180°-60°=120°： (3)解：设∠OBA=m, ∴.∠ABM=180°-m :∠ABO+∠BAO+∠MON=180°，∠MOW=60° ∴.∠BAO+m=120° .∠BA0=120°-m BP是∠ABM的平分线， 89/90 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠ABP= 5∠MBA=90°-1 :点C为△AB0三条内角平分线的交点， ABC)m,∠oBC=)m,∠B0C=30° ∴.∠BCP=∠BOC+∠OBC=30°+-m .CBP-AP:AC 2 .∠P=180°-∠CBP-∠BCP=60°-5m 2 在△BCP中有一个角是另一个角的2倍， 若z0r=20pw0=2(30+ 解得m=30°' .∠BA0=120°-m=120°-30°=90°： 若2c0-2p则0-20-0 ,解得m=30 .∠BA0=120°-m=120°-30°=90°： 若cp-2ap则0+m=2o0-） 解得 m=60° ∴.∠BA0=120°-m=120°-60°=60° 若2-2cp则0-m=230+ 解得m=0°（含去)： ∴在△BCP中有一个角是另一个角的2倍时，∠BA0为90°或60°. 90/90