精品解析：甘肃古浪县泗水初级中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

2025—2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分120分，考试时间120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项、B选项的被开方数可化为分数形式，含分母，不是最简二次根式； C选项的被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； D选项的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可. 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件就是被开方数大于等于0. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的化简和混合运算的法则逐一判断即可． 【详解】解：对于A：和不是同类二次根式，无法合并，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误． 4. 如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出两个正方形的边长，再利用勾股定理得出的长度． 【详解】解：∵两个正方形面积分别是49和25， ∴大正方形边长为7，小正方形边长为5， ∴构成的直角三角形两直角边长分别为和5， 由勾股定理得． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故B错误，不符合题意； 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 四个角相等的四边形是矩形，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查特殊四边形的判定．掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． 6. 如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，直角三角形的两锐角互余．由平行四边形的性质证明，结合，得到，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∵， ． ∴． 故选：A． 7. 如图，，且，，，则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长，再依次利用勾股定理求得、的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够依次求出、的长是解题的关键． 8. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】设边数为，利用多边形外角和为定值，以及边形内角和公式，列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为． ． 解得 ． ∴这个多边形是十边形． 9. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线定义得到，因此，可得，求出，得到，即可得的长． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，根据等边三角形的性质得出，即可推得，得出①结论正确；根据垂直平分线的判定可得垂直平分，得出③结论正确；根据等边三角形的性质得出，平分，根据全等三角形的判定和性质得出，得出②结论正确；根据度角的直角三角形所对的边是斜边的一半和勾股定理得出，结合垂直平分线的判定和性质得出，即可得出④结论正确． 【详解】解：在矩形中，，， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， 故， 即，①结论正确； ∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分，③结论正确； ∵和是等边三角形， ∴，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，②结论正确； 在中，， ∴， 故， 又∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分， ∴， 即，④结论正确； 故结论正确的有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式的值是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 因此． 12. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、三角形的中位线定理等知识，证明是的中位线是解题的关键．由菱形的性质得，而点M为的中点，则是的中位线，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O， ． 点O为的中点． 点M为的中点， 是的中位线． ， ． 故答案为：4． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘方的运算法则和平方差公式计算，可使运算简便. 【详解】解：原式= = . 故答案为. 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是利用乘方的运算法则和平方差公式简化运算. 14. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O．要使四边形为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是_______． 【答案】（或等，答案不唯一） 【解析】 【分析】首先根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形）添加条件即可． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件，则平行四边形是矩形； 或添加条件，则平行四边形是矩形． 15. 如图，在中，，以为边分别作正方形和正方形，若图中阴影部分的面积为16，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式求线段长，涉及直角三角形面积、正方形面积公式、完全平方和公式等知识，由题中直角三角形面积、正方形面积列式，最后结合完全平方和公式代值求解即可得到答案，熟练掌握完全平方和公式是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 图中阴影部分的面积为16， ， ，解得， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 三、解答题（本大题共72分，解答时，应写出必要的文字说明） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 求值： （1）已知，求的值 （2）已知，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对分母有理化化简，将所求代数式配方后整体代入计算； （2）对所求代数式配方，对已知条件变形后整体代入计算． 【小问1详解】 解：化简得  ， 对所求代数式配方得   代入，得 ． 【小问2详解】 解：由得  ， 两边平方得  ， 即， 整理得  代入所求代数式得 ． 19. 有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 20. 如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 【答案】12. 【解析】 【分析】根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】解： ∵OB=16×1.5=24，AB=30，∠AOB=90°， ∴ ∴18÷1.5=12（海里／时）， 答：乙船每小时航行12 海里. 21. 如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长． 【答案】（1）证明：在▱ABCD中，ADBC，且AD=BC ∵F是AD的中点 ∴DF=AD 又∵CE=BC ∴DF=CE，且DFCE ∴四边形CEDF是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形； （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度． 【详解】（1）略 （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H． 在▱ABCD中，∵∠B=60°， ∴∠DCE=60°． ∵AB=4， ∴CD=AB=4， ∴CH=CD=2，DH=2． 在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1． ∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=． 22. 在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等边对等角，先根据直角三角形的性质和等边对等角证明，则，由此可得，再由三角形中位线定理证明，据此可证明结论． 【详解】略 23. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接 、，连接交于点． （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 证明：为菱形， ， ， 四边形是平行四边形． ， ∴， 平行四边形是矩形． ． 【小问2详解】 解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定，勾股定理． 24. 如图，在中，，是的一条角平分线，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再由有三个角是直角的四边形是矩形证明； （2）先由勾股定理求出，再由面积法得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴在中， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴． 25. 已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． （3）当时，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2） 证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3） 证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分120分，考试时间120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是矩形 6. 如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，且，，，则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 9. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式的值是 _________． 12. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 13. 计算：______． 14. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O．要使四边形为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是_______． 15. 如图，在中，，以为边分别作正方形和正方形，若图中阴影部分的面积为16，，则的长为______． 16. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共72分，解答时，应写出必要的文字说明） 17. 计算： （1） （2）． 18. 求值： （1）已知，求的值 （2）已知，求的值 19. 有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 20. 如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 21. 如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长． 22. 在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接 、，连接交于点． （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求的长． 24. 如图，在中，，是的一条角平分线，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 25. 已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． （3）当时，求证：四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $