精品解析：甘肃省陇南市武都区陇南育才学校 2025-2026学年八年级下学期阶段性测试卷 (数学)

陇南育才学校八年级2026学年第一学期阶段性测试卷 （数学） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数是整数或整式；②被开方数不能再开方，再进一步分析即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 2. 下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，4，6 B. 6，8，10 C. 5，12，15 D. 7，23，24 【答案】B 【解析】 【分析】运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故3，4，6不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； B、，故6，8，10能作为直角三角形三边，该选项符合题意； C、，故5，12，15不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意； D、，故7，23，24不能作为直角三角形三边，该选项不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 4. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 四个角都是直角的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，牢记有关矩形的判定定理及定义是解答本题的关键，属于基础概念题，难度不大． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误； B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； C、两条对角线互相垂直的四边形可能是菱形，故错误； D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确， 故选：D． 6. 在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长． 【详解】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示， ∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5， ∵， ∴， 解得CD=2.4， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题应该先化简，再代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴原式． 8. 如图，在平行四边形中，BE平分∠ABC交DC于点E．若，则∠DEB的大小为（ ） A. 130° B. 125° C. 120° D. 115° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可以得到AD∥BC，DC∥AB，然后即可得到∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，再根据∠A=60°，BE平分∠ABC，即可得到∠DEB的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC∥AB， ∴∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°， ∵∠A=60°， ∴∠ABC=120°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=60°， ∴∠DEB=120°， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 9. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为 A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可 【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3 ∴根据勾股定理得AC=5 根据折叠可得：△DEC≌△D′EC， ∴D′C=DC=3，DE=D′E 设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x， 在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2， 解得：x= 故选A. 10. 如图，正方形的边长为6，E、F分别为、的中点，P是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，矩形的判定与性质、正方形的性质，作E点关于的对称点，连接，，推出四边形周长的最小值为，再求出的长即可解决问题． 【详解】解：作E点关于的对称点，连接，， ∵四边形是正方形，E点是的中点， ∴是的中点， ∴， ∵正方形的边长为6，E、F分别为的中点， ∴四边形周长， ∴四边形周长的最小值为， ∵为的中点，F是的中点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的周长最小值为12， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同，把化为最简二次根式后，因此令 等于 化简后的被开方数即可求解． 【详解】解：∵， 与是同类二次根式， ∴，解得． 故答案为 3． 13. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中位线的判定和性质求出，再结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】∵，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， 故， 又∵四边形为平行四边形， ∴． 14. 若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长是_____． 【答案】5或 【解析】 【分析】任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；另外已知直角三角形两边、的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论． 【详解】解：， ，， ，． ①在直角三角形中，当边长为4的边是斜边，则第三边的长为； ②在直角三角形中，当边长为4的边是直角边，则第三边的长为． 综上所述，该直角三角形的第三边长为5或． 故答案是：5或． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，绝对值、算术平方根的非负数的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想讨论边长为4的边是直角边还是斜边． 15. 如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的对角线互相平分得到，，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得的长，最后根据直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵菱形的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴． 16. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】可求出，由作图方法可知，平分，则，据此可求出的长，由，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：原式 18. 已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． （1）求的值； （2）求正边形每个内角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据多边形内角和的计算方法以及外角和是列方程求解即可； （2）根据正六边形内角的计算方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：这个正六边形的每个内角的度数为． 19. 如图，在中，点、是对角线上的两点，且，连接、，求证：. 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，得出，根据证明即可得出结论． 【详解】略 20. 在如图所示方格中，每个小方格的边长都为 （1）在图中画出，使得，顶点都在格点上． （2）求点到直线的距离． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）借助网格利用勾股定理画图； （2）利用等面积求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：设点到直线的距离为， ， ． 21. 如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，由勾股定理可得：，，可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ． ∴主梁上的点A 到桥面l的高度． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，代入求值，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则化简计算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. 某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算可得； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则可得． 【小问1详解】 解： ， 答：电视背景墙的周长为． 【小问2详解】 解： （元）， 答：整个电视背景壁纸需要花费元． 24. 小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米． （1）求风筝的垂直高度（线段的长）； （2）如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的垂直高度为米 （2）他应该往回收线8米 【解析】 【分析】（1） 先利用勾股定理求出中的长，再加上的长度得到． （2）先算出的长，再用勾股定理求出的长，最后用得出回收线的长度． 【小问1详解】 解：由题意得：米，米，米． ∴在中，（米）， ∴（米）. 答： 风筝的垂直高度为米． 【小问2详解】 解：由题意得：米，(米) 在中，(米)， (米) 答：他应该往回收线8米． 25. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是BO，DO的中点，G，H分别是AD，BC的中点，顺次连接G，E，H，F． （1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若，求证：四边形EHFC是矩形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明，，同理再证明，，即可证明四边形EHFG是平行四边形； （2）连接GH，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，证明即可． 【小问1详解】 证明：∵G，F分别为AD，DO的中点， ∴GF为的中位线， ∴，， 同理可得：，， ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴OA＝OC， ∴，， ∴四边形GEHF是平行四边形； 【小问2详解】 证明：连接GH ∵四边形ABCD是平行四边形，且G，H分别是AD，BC的中点， ∴，， ∴四边形ABHG是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是BO，DO的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形GEHF是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，矩形的判定定理，熟练掌握三角形中位线定理是证明四边形EHFG是平行四边形的关键；利用平行四边形的性质证明对角线是证明平行四边形GEHF是矩形的关键． 26. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； （2）用含n的等式表示上述规律，并证明； （3）利用这一规律计算：． 【答案】（1） （2） ， 证明： ； （3） 【解析】 【分析】（1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第4个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【小问1详解】 解：由上述等式的规律得，第4个等式：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 27. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是______； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 证明： ∵是中点， ∴， 由折叠可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由题意可求得，的值，再将其代入A，B的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得， ，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点N的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴， ∴点， 点， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵、、、为顶点的四边形是菱形，分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示： ， ， ， 此时 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇南育才学校八年级2026学年第一学期阶段性测试卷 （数学） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，4，6 B. 6，8，10 C. 5，12，15 D. 7，23，24 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 四个角都是直角的四边形是矩形 6. 在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2.4 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，在平行四边形中，BE平分∠ABC交DC于点E．若，则∠DEB的大小为（ ） A. 130° B. 125° C. 120° D. 115° 9. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为 A. B. 3 C. 1 D. 10. 如图，正方形的边长为6，E、F分别为、的中点，P是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 化简：_______________． 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 13. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则________． 14. 若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长是_____． 15. 如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 16. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积为______． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． （1）求的值； （2）求正边形每个内角的度数． 19. 如图，在中，点、是对角线上的两点，且，连接、，求证：. 20. 在如图所示方格中，每个小方格的边长都为 （1）在图中画出，使得，顶点都在格点上． （2）求点到直线的距离． 21. 如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 24. 小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米． （1）求风筝的垂直高度（线段的长）； （2）如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 25. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是BO，DO的中点，G，H分别是AD，BC的中点，顺次连接G，E，H，F． （1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若，求证：四边形EHFC是矩形． 26. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； （2）用含n的等式表示上述规律，并证明； （3）利用这一规律计算：． 27. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是______； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $