专题03 与三角形有关的热门题型（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级上学期

专题03 与三角形有关的热门题型 考点01 应用“高线+角平分线”模型求解 考点02 应用“角平分线+平行线”模型求解 考点03 与三角形有关的新定义问题 考点04 与三角形有关的材料阅读问题 考点01 应用“高线+角平分线”模型求解 1．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，，垂足为D．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 4．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 5．如图，在中，，平分，若，，则________． 6．如图，是的角平分线，于点D，若，，求的度数． 7．如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 8．在中，，是中的角平分线． (1)若是的高，且，（如图1），求的度数． (2)若 F 是上一点，且，垂足为 G（如图2），求证：． 考点02 应用“角平分线+平行线”求解 1．如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，是的角平分线，，则的度数为_______． 3．如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 4．如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数． 5．如图，在中，的平分线交于点D，的平分线交于点F，过点D作 交于点E．已知，，求的度数． 考点03 与三角形有关的新定义问题 1．阅读两则材料，然后根据材料解决问题： 【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 解决以下4个问题： (1)如图1，在中，，，，写出图中的一对“等角三角形”； (2)如图2，中，，，是的角平分线．求证：为的“等角分割线”； (3)在中，，是的等角分割线，则的度数可以是（   ） A．    B．    C．    D． 2．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”． 例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”． (1)已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点． ①若，且和互为“创新角”，则___________； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________． 3．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 考点04 与三角形有关的材料阅读问题 1．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 2．小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于D．猜想的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值，得到下面几组对应值： 度 10 20 30 20 20 度 70 70 60 60 80 度 30 a 15 20 30 上表中　 　，于是得到的数量关系为 　 　． 【变式应用】 (2)小明继续探究，在图2中，，其他条件不变，若把“于点D”改为“F是线段上一点，于点D．”．求的度数，并写出与的数量关系． 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点P在线段上”改为“点F是延长线上一点”其余条件不变，当时，度数为 　 　． 【能力提升】 (4)在图4中，若点F在的延长线上，于点D，，其余条件不变，分别作出和的角平分线，交于点P，试用x，y表示　 ．         2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与三角形有关的热门题型 考点01 应用“高线+角平分线”模型求解 考点02 应用“角平分线+平行线”模型求解 考点03 与三角形有关的新定义问题 考点04 与三角形有关的材料阅读问题 考点01 应用“高线+角平分线”模型求解 1．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 2．如图，在中，平分，，垂足为D．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义得到的度数，则可求出的度数，再根据垂线的定义和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵在中，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 3．如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理得，计算即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， ， ． 4．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 5．如图，在中，，平分，若，，则________． 【答案】/42度 【分析】根据角平分线的定义，得到，求出的度数，再利用垂直的定义和三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，是的角平分线，于点D，若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又∵是的角平分线， ， ． 7．如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴； （2）解：∵是高， ∴，则， ∵是角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵是角平分线， ∴， ∴． 8．在中，，是中的角平分线． (1)若是的高，且，（如图1），求的度数． (2)若 F 是上一点，且，垂足为 G（如图2），求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∵是中的角平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，再由三角形高的定义和三角形内角和定理可得答案． （2）由三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是中的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）略 考点02 应用“角平分线+平行线”求解 1．如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，中，是的角平分线，，则的度数为_____________． 【答案】/25度 【分析】利用三角形的内角和定理求得∠ABC＝50°，根据角平分线的定义可得∠EBC＝25°，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵∠A＝46°，∠C＝84°， ∴∠ABC＝180°－∠A －∠C＝50°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠EBC＝∠ABC＝25°， ∵DEBC， ∴＝∠EBC＝25°． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义及平行线的性质，掌握三角形内角和定理及平行线的性质是解题的关键． 3．如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 【答案】/度 【详解】先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质得出，即可求解． 【分析】解：由条件可知 ， ， ， 平分， ∴ ， ∵， ∴， ． 4．如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数． 【答案】 【分析】先通过三角形内角和定理求出，再求出，最后根据两直线平行，内错角相等求出. 【详解】由三角形内角和为可知， ， 由两直线平行，内错角相等得 . 5．如图，在中，的平分线交于点D，的平分线交于点F，过点D作 交于点E．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】由题意可求出，因为，所以，因为的平分线交于点D，的平分线交于点F，可求，则的度数可求． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 考点03 与三角形有关的新定义问题 1．阅读两则材料，然后根据材料解决问题： 【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 解决以下4个问题： (1)如图1，在中，，，，写出图中的一对“等角三角形”； (2)如图2，中，，，是的角平分线．求证：为的“等角分割线”； (3)在中，，是的等角分割线，则的度数可以是（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】(1)与（答案不唯一） (2) 证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； (3)ACD 【分析】（1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与，与，与是等角三角形； （2）略 （3）解：∵是的等角分割线， ∴， 当是等腰三角形，和是等角三角形时， ①如图，时，， ∴， ∴；    ②如图，时，，   ， ∴， ∴； ③时，， ∴，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当是等腰三角形，和是等角三角形时， ④如图，时，   ， ⑤如图，时， ，    设， 则， 由题意得，， 方程无解，不符合题意，舍去， ⑥如图，时， 设，则， ∴， 解得， 综上的度数为或或或， 故选：ACD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，一元一次方程的应用等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 2．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”． 例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”． (1)已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点． ①若，且和互为“创新角”，则___________； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________． 【答案】(1) (2)①；②或；③，或． 【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理以及直角三角形的两锐角互余等，注意分情况讨论，是解题的关键． （1）根据创新角的定义，再结合补角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“创新角”的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和直角三角形两锐角互余，用表示和，列方程，即可解答． ③考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵和互为“创新角”，且，若和互补， ， ； 故答案为：； （2）解：①设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ，和互为“创新角”， ， 可得， 解得， ； ②设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ， ∵与互为“创新角”， ∴或， ∴或， 解得或； ③设， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ，， ∵的平分线交于点， ∴， ∴ ∴， ∵和互为“创新角” ∴或， ∴或， ∴，或； 综上所述，的度数为或． 3．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)①；②， 【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． （1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． （4）①设，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，然后根据“等高三角形”的面积关系可得结论； ②根据①中面积关系求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于E， 则，， ∴； （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴； （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （4）解：如图，设， ∵在中，，，是边上的高， ∴，， ∴， ∴，则， ∵与是等高三角形， ∴； ②∵，， ∴， ． 考点04 与三角形有关的材料阅读问题 1．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 2．小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于D．猜想的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值，得到下面几组对应值： 度 10 20 30 20 20 度 70 70 60 60 80 度 30 a 15 20 30 上表中　 　，于是得到的数量关系为 　 　． 【变式应用】 (2)小明继续探究，在图2中，，其他条件不变，若把“于点D”改为“F是线段上一点，于点D．”．求的度数，并写出与的数量关系． 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点P在线段上”改为“点F是延长线上一点”其余条件不变，当时，度数为 　 　． 【能力提升】 (4)在图4中，若点F在的延长线上，于点D，，其余条件不变，分别作出和的角平分线，交于点P，试用x，y表示　 ．         【答案】(1)25；； (2)20；； (3)28 ； (4)． 【分析】（1）求出和的大小即可得到的值，再通过找规律的形式得出三者的关系， （2）过点A作于M，先求得，再由平分，求得，从而即可求得，同理可求得； （3）过点A作于点M，先证明，得，再由（2）得，即可求解； （4）过点A作于点M，先求得，进而由、分别平分和，得，，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，． ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故答案为∶25；； （2）解：如图，过点A作于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 同时， ∴可得出， ∴； （3）解：如下图，过点A作于点M， ∵，， ∴， ∴， 由（2）得， ∵， ∴， 故答案为∶28． （4）解：如下图，过点A作于点M， ∵，， ∴，， ∴， 由（2）得， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查三角形的内角和定理、直角三角形的两锐角互余、平行线的判定及性质以及角平分线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $