专题04 与全等三角形有关的情景创新题（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级上学期

专题04 与全等三角形有关的情景创新题 考点01 新定义问题 考点02 阅读理解问题 考点03 综合与实践 考点04 从特殊到一般 考点01 新定义问题 1．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断：如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：____． (2)性质探究：如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，均在外，连接，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． 2．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做非全等积三角形． (1)如图1，在中，，若P为上一点，当的长为________时，与是非全等积三角形； (2)如图2，D为上一点，与是非全等积三角形，，，且线段为奇数，则的值为________； (3)如图3，与是非全等积三角形，，，求证：． 3．新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 4．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； (2)点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线． 如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 考点02 阅读理解问题 1．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 2．（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．（结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明） 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 3．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直于的直线与过点B垂直于的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是_____． (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是_____． (3)若是的“边垂角”，且． 如图2，已知，交于点E，，连接，且，，求证：； 4．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 考点03 综合与实践 1．综合与实践 背景 如图1，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．     素材一 图2是工程师设计的车站两圆弧翼展开时的截面图，均垂直于地面，点在同一竖直平面内．连接并向两端延长，分别与交于点，则．已知，． 素材二 地铁站规定：若安装完成后，的实际长度与设计图中的长度偏离值超过，就需要重新安装通道闸机．现在安装完成后，测得某通道闸机的长度为． 解决问题 (1)任务一：求出图2中的长度． (2)任务二：请你判断该通道闸机是否需要重新安装，并说明理由． 2．综合与实践．某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点的距离 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 - 实施过程 1．池塘外取的垂线上的两点，使； 2．再画出的垂线，使与，在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取的垂线上的点； 2．再画出的垂线，使与在一条直线上，且； 3．测量出的长； 测量数据 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 请你从以上两种方案中任选一种，并求出间的距离． 3．综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 4．综合与实践 已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧，且． (1)操作填空 如图1，当点D在线段上时，过点E作于H， ①找出始终与相等的角　　，与相等的线段　　； ②直接写出，，的关系　　； (2)类比探究： 如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，连接交的延长线于点M，求证：； (3)拓展应用： 当点D在射线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 考点04 从特殊到一般 1．【问题背景】 数学活动课上，“智慧小组”将一副三角尺按不同的摆放位置来探究三条线段的数量关系． 【特例探究】 （1）“智慧小组”的同学决定从特例入手探究，他们将含的三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，则之间的数量关系为___________． 【类比探究】 （2）“智慧小组”的同学将一副三角尺按如图2所示的方式叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）“智慧小组”的同学将一副三角尺按如图3所示的方式叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，连接，若，求的面积． 2．问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 3．【问题背景】 在中，，，在边上取一点，使，连接．点是射线上一动点，连接，以为一边作等边三角形，且点和点在直线的异侧，连接． 【特例探究】 （1）如图1，当点是线段的中点时，的度数为______________． 【归纳证明】 （2）如图2，当点在线段上运动时，的度数是否发生变化，并说明理由． 【类比迁移】 （3）如图3，当点在线段的延长线上运动时，根据题意补全图形，不要求尺规作图，并直接写出的度数． 【拓展应用】 （4）若，设线段的中点为，连接．当是直角三角形时，直接写出的长． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与全等三角形有关的情景创新题 考点01 新定义问题 考点02 阅读理解问题 考点03 综合与实践 考点04 从特殊到一般 考点01 新定义问题 1．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断：如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：____． (2)性质探究：如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，均在外，连接，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． 【答案】(1) (2) 依然成立，理由如下： 和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可得出答案； （2）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可完成证明； 【详解】（1）解：和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ， 故答案为：； （2）略 2．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做非全等积三角形． (1)如图1，在中，，若P为上一点，当的长为________时，与是非全等积三角形； (2)如图2，D为上一点，与是非全等积三角形，，，且线段为奇数，则的值为________； (3)如图3，与是非全等积三角形，，，求证：． 【答案】(1)5 (2)5或7 (3)过点B作于G，过点E作交的延长线于点F． ， 和是非全等积三角形， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 【分析】（1）三角形中线把三角形分成两个面积相等的小三角形； （2）倍长中线构造全等三角形，利用三角形三边关系得出结论； （3）过点B作于G，过点E作交的延长线于点F，与是非全等积三角形，得到，同角的补角相等，用证明，两个三角形全等，对应的边相等． 【详解】（1）解：， 此时线段是的中线，将分成面积相等的两个小三角形； （2）过点C作交的延长线与于点E，如下图所示， 与是非全等积三角形，且与在、边上的高相等， ， ， ， 又， ， ，， ，且，， ， ， ， 线段为奇数， 的值为5或7； （3）略 3．新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①∵与均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴； ② (2)①； ②，证明如下： 同理可证明， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵为中边上的高， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①利用即可证明；②延长交于F，设交于G，由全等三角形的性质可得，再导角可证明，据此可得答案； （2）①根据（1）②的结论可得答案；②同理可证明，则，由三线合一定理可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①略 ②如图所示，延长交于F，设交于G， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①同（1）②可证明， ∵A、E、D三点共线， ∴； ②略 4．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； (2)点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线． 如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， 在与中， ； (2) ① 证明：分别过点A作于点M，于点N， 由（1）得，， ， ， ， 又∵，， ； ②与的数量关系不变，，理由如下： ∵， . 在与中， ， ， ，， 分别过点A作于点M，于点N， ， ， 又∵，， ， 即与的数量关系不变. 【分析】此题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识． （1）证明即可得到结论； （2）①分别过点A作于点M，于点N，由全等的性质得到，，由等积法求出，由角平分线的判定定理即可证明结论；②仿照①的证明过程解答即可． 考点02 阅读理解问题 1．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 2．（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．（结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明） 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 【答案】（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴ ∵， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， ； （2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证； （2）连接，过点作于点，证明，和，得出，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）连接，过点作于点， ∵， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ∵， ， ∴． 3．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直于的直线与过点B垂直于的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是_____． (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是_____． (3)若是的“边垂角”，且． 如图2，已知，交于点E，，连接，且，，求证：； 【答案】(1) (2)或 (3) 证明：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ∵ ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，结合，再由线段的和差结合等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ， ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ， 综上所述，与的数量关系是或； （3）略 4．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 【答案】（1）①；② （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵， 由外角定理得：， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2） 略 （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 考点03 综合与实践 1．综合与实践 背景 如图1，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．     素材一 图2是工程师设计的车站两圆弧翼展开时的截面图，均垂直于地面，点在同一竖直平面内．连接并向两端延长，分别与交于点，则．已知，． 素材二 地铁站规定：若安装完成后，的实际长度与设计图中的长度偏离值超过，就需要重新安装通道闸机．现在安装完成后，测得某通道闸机的长度为． 解决问题 (1)任务一：求出图2中的长度． (2)任务二：请你判断该通道闸机是否需要重新安装，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：该通道闸机需要重新安装，理由如下： ∵， ∴该通道闸机需要重新安装． 【分析】（1）证明，得到，再根据线段的和差关系求解即可； （2）根据（1）所求计算对应的偏离值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 2．综合与实践．某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点的距离 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 - 实施过程 1．池塘外取的垂线上的两点，使； 2．再画出的垂线，使与，在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取的垂线上的点； 2．再画出的垂线，使与在一条直线上，且； 3．测量出的长； 测量数据 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 请你从以上两种方案中任选一种，并求出间的距离． 【答案】A，B间的距离是， 选择方案一： 由方案可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ A，B间的距离是； 选择方案二： 由方案可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ A，B间的距离是． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是正确理解题意，找出全等三角形的判定的元素． 方案一证明即可；方案二证明即可． 【详解】略 3．综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴； (2) (3)若测量出，则河流，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴若测量出，则河流． 【分析】（1）利用证明即可； （2）在（1）的条件下，，，得到，利用面积相等得到高相等，即，再证明，得到，最后根据计算即可； （3）先证明，得到，，再证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）的条件下，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 4．综合与实践 已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧，且． (1)操作填空 如图1，当点D在线段上时，过点E作于H， ①找出始终与相等的角　　，与相等的线段　　； ②直接写出，，的关系　　； (2)类比探究： 如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，连接交的延长线于点M，求证：； (3)拓展应用： 当点D在射线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】(1)①；或；②； (2) 证明：如图2，作交的延长线于点，   ，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． (3)或1 【分析】（1）①由，，，得，所以，即可证明，则， ②根据全等三角形的性质解答即可； （2）作交的延长线于点，先证明，得，再证明，得； （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由，则，于是用表示出，，即可求解；二是点在线段上，设，则，则，同理求解即可． 【详解】（1）解：①如图1，，，，   ， ， 在和中， ， ， ，． 故答案为：；； ②由①可知，， ，， ， ， 即， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图3，点在的延长线上，作交的延长线于点，则，   ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，点在线段上，设，则，   ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为1或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、有关三角形的面积问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 考点04 从特殊到一般 1．【问题背景】 数学活动课上，“智慧小组”将一副三角尺按不同的摆放位置来探究三条线段的数量关系． 【特例探究】 （1）“智慧小组”的同学决定从特例入手探究，他们将含的三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，则之间的数量关系为___________． 【类比探究】 （2）“智慧小组”的同学将一副三角尺按如图2所示的方式叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）“智慧小组”的同学将一副三角尺按如图3所示的方式叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，连接，若，求的面积． 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）的面积为8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到，即可得出答案； （2）先求出，证明，得到，即可得出答案； （3）过点C作交的延长线于点P，得到，证明，得出，即可求出的面积． 【详解】解：（1），理由如下： 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图，过点C作交的延长线于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 【答案】(1) 证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：如图： 易得， ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； (3)8 【分析】（1）先运用直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换得，证明，即可作答． （2）先运用三角形的外角性质以及角的和差关系得出，证明，即可作答． （3）这运用等高算面积，则底的比就是它们的面积的比列式计算，再结合全等三角形的性质，即可作答． 本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：如图： ∵的面积为24，，且分别以为底来运算面积 ∴此时它们的高是相等的，即的面积是：， 由（2）可知，， ∴与的面积之和等于与的面积之和， 即等于的面积是8， 答案为：8． 3．【问题背景】 在中，，，在边上取一点，使，连接．点是射线上一动点，连接，以为一边作等边三角形，且点和点在直线的异侧，连接． 【特例探究】 （1）如图1，当点是线段的中点时，的度数为______________． 【归纳证明】 （2）如图2，当点在线段上运动时，的度数是否发生变化，并说明理由． 【类比迁移】 （3）如图3，当点在线段的延长线上运动时，根据题意补全图形，不要求尺规作图，并直接写出的度数． 【拓展应用】 （4）若，设线段的中点为，连接．当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）不会变化，理由如下， ∵由（1）可得，，是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上运动时，的度数是否发生变化； （3）根据题意，作图如下， 的度数为； （4）2或8 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，根据等边三角形的性质可得，，，，可证，得到，由，即可求解； （2）证明方法同（1），根据，是等边三角形，可证，得到，由，即可求解； （3）根据作图，由等边三角形的性质可证，得到，在中，由三角形内角和定理即可求解； （4）由（2）、（3）的证明可得，当是直角三角形时，分类讨论：第一种情况，如图所示，，可得点重合得到；第二种情况，，在中， ，根据含角的直角三角形的性质可得，根据中点可得，再证明，可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为一边作等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）∵，是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）由（2）可得，当点在线段上运动时，的度数为， ∵，， ∴， 根据（3）的证明可得，当点在线段延长线上运动时，， ∵，， ∴， ∴当是直角三角形时，， ∴第一种情况，如图所示，， ∴，即点重合， ∵， ∴； 第二种情况，如图所示，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $