专题02 数学归纳法（题型专练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题02 数学归纳法 （题型突破·举一反三） 题型01 证明恒等式 题型02 用数学归纳法证明整除性问题 题型03 用数学归纳法证明几何问题 ▌题型01 证明恒等式 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． 【典例1】已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2) 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）略 【变式1-1】（多选）已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 【答案】ABC 【详解】由题意得，，则，故A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以， 若，则，则，则， 故取得最大值时的值为3，故D错误； 因为， ， ，，均满足； 假设当时成立，即， 则当时， 综上，成立，故C正确. 【变式1-2】已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明：等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【详解】略 【变式1-3】是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 【详解】略 ▌题型02 用数学归纳法证明整除性问题 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． 【典例2】已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【答案】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 【详解】略 【变式2-1】求证：对任意正整数，都能被整除． 【答案】 当时，，则能被整除， 假设当时，能被整除， 则当时，即 , 因为、都能被整除，故能被整除， 即能被整除， 所以，当时，命题也成立， 因此，对任意正整数，都能被整除. 【详解】略 【变式2-2】证明：当时，能被64整除． 【答案】当时，能被64整除． 假设当时，能被64整除， 则当时，． 故也能被64整除． 综上可知当时，能被64整除． 【详解】略 【变式2-3】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】 （1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 【详解】略 ▌题型03 数学归纳法 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 【典例3】已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为且，令，得到，所以， 假设是等差数列，则公差，所以， 则，又，所以， 整理得到，解得，所以，与数列是正项数列相矛盾， 故假设错误，故数列不可能为等差数列. （2）（i）因为，则，， 猜想，当时，，下面用数学归纳法证明， 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即， 则时，则，所以时，猜想仍成立， 所以，则当时，， 又时，，满足，所以. （ii）由（i）知，所以， 设的前项和为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 【变式3-1】（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 【答案】AC 【详解】A选项，当时，等式只有一项，所以命题左边为1，所以A选项错误； B选项，当时，等式左边为，所以B选项正确； C选项，当时，等式左边为， 所以在的基础上增加的部分是，所以C选项错误，D选项正确. 【变式3-2】如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 【答案】B 【详解】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立，可推出均成立， 即对所有正偶数都成立. 【变式3-3】（多选）在无穷数列中，，则下列选项正确的是（     ） A．若 ，，则对任意，都存在，使得 B．若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C．若，，使得集合中有有限个元素 D．若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 【答案】AC 【详解】对于选项A，已知 ，对其求导得 ，所以 在 上单调递增； 因为 ，则 ，由于 ，所以 ，那么 . 同理 ， 下证：当时， . 证明：当时，，故成立； 设当时，，则， 而 ， 故， 由数学归纳法可得， 因为时，，故， 故对任意 ，都存在 ，使得 ，故A正确. 对于选项B，已知 ． 因为对任意 ，都有 ，所以 ，解得 ， 又 ，即 ， 当 时， ，不满足对任意 ， 所以 的最大值不可能为 ，故选项B错误. 对于选项C，当 时， ， ， 以此类推，对任意 ，都存在 ，使得 ， 此时集合 有有限个元素，故选项C正确； 对于选项D，因为 ， 由于 ，故，所以 ， 这与为递减数列矛盾, 故选项D错误. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数学归纳法 （题型突破·举一反三） 题型01 证明恒等式 题型02 用数学归纳法证明整除性问题 题型03 用数学归纳法证明几何问题 ▌题型01 证明恒等式 【典例1】 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； (2) 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 【变式1-1】ABC 【变式1-2】证明：等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【变式1-3】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． ▌题型02 用数学归纳法证明整除性问题 【典例2】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 【变式2-1】 当时，，则能被整除， 假设当时，能被整除， 则当时，即 , 因为、都能被整除，故能被整除， 即能被整除， 所以，当时，命题也成立， 因此，对任意正整数，都能被整除. 【变式2-2】当时，能被64整除． 假设当时，能被64整除， 则当时，． 故也能被64整除． 综上可知当时，能被64整除． 【变式2-3】 （1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． ▌题型03 数学归纳法 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 【典例3】（1）因为且，令，得到，所以， 假设是等差数列，则公差，所以， 则，又，所以， 整理得到，解得，所以，与数列是正项数列相矛盾， 故假设错误，故数列不可能为等差数列. （2）（i）因为，则，， 猜想，当时，，下面用数学归纳法证明， 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即， 则时，则，所以时，猜想仍成立， 所以，则当时，， 又时，，满足，所以. （ii）由（i）知，所以， 设的前项和为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 【变式3-1】AC 【变式3-2】B 【变式3-3】AC 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数学归纳法 （题型突破·举一反三） 题型01 证明恒等式 题型02 用数学归纳法证明整除性问题 题型0 用数学归纳法证明几何问题 ▌题型01 证明恒等式 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． 【典例1】已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【变式1-1】（多选）已知数列是首项和公比均为的等比数列，记数列的前项和为，则（    ） A． B．存在，且，使得 C． D．取得最大值时的值为4 【变式1-2】已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【变式1-3】是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． ▌题型02 用数学归纳法证明整除性问题 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． 【典例2】已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【变式2-1】求证：对任意正整数，都能被整除． 【变式2-2】证明：当时，能被64整除． 【变式2-3】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． ▌题型03 数学归纳法 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 【典例3】已知正项数列满足且. (1)判断是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若的前项和为. （i）求； （ii）若，求的前项和. 【变式3-1】（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 【变式3-2】如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（    ） A．对一切正整数n都成立 B．对任何正偶数n都成立 C．对任何正奇数n都成立 D．对所有大于1的正整数n都成立 【变式3-3】（多选）在无穷数列中，，则下列选项正确的是（     ） A．若 ，，则对任意，都存在，使得 B．若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C．若，，使得集合中有有限个元素 D．若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $