周周测12 4.3等比数列、数学归纳法（数学苏教版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦等比数列与数学归纳法，通过选择、填空及综合解答题（如第17题证明等比数列并求前n项积最大值），分层考查数学思维与表达，适配高二周测巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|等比数列基本量计算（第2题等比中项）、数学归纳法步骤（第4题）|基础巩固，突出概念辨析| |多项选择|3/18|等比数列单调性判断（第9题）|考查推理意识，体现思维严谨性| |填空题|3/15|前n项和与不等式恒成立（第14题）|融合运算能力与逻辑推理| |解答题|5/77|数学归纳法证明（第16题）、含参数等比数列最值（第19题）|综合应用，注重创新意识与数学表达，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年高二上学期数学周周测12 4.3等比数列、数学归纳法 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列满足且，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由条件得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式列方程求解. 【解析】因为数列满足，所以数列是公比为2的等比数列， 因为，则，解得. 故选：A. 2．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解. 【解析】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 3．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（  ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【解析】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 4．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 5．数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，可得数列为递增数列；举反例说明反之不成立，根据充分不必要条件的定义即可得答案. 【解析】设数列的公比为q（）， ， ，可得， 于是数列为递增数列； 反之不成立，例如数列是递增数列，但． “”是“数列为递增数列”的充分不必要条件． 故选：A． 6．设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据构成以为公比的新等比数列，可求出的公比，再用等比数列求和公式求得，再相除可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，，， 故． 故选：B. 7．已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 8．已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，结合等比数列的性质可得， 则， 当且仅当时等号成立，又，所以， 因为，所以等号取不到， 设，则， 设函数，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由以上可得不成立，则2两侧满足条件的数值有，此时， 以及，此时， ，， 因为，所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由等比数列的首项为，公比为， 对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误； 对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确； 对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误； 对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确. 故选：BD. 10．已知数列的首项为4，且满足，则（  ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．为等比数列 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】 根据递推关系可得为等比数列，进而可判断ACB，根据等差数列求和公式即可判断D. 【解析】由可得，所以数列为等比数列，且公比为2，故A错误，C正确， ，由于均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以为递增数列，B正确， ，设的前项和为，则，D正确， 故选：BCD 11．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】BCD 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【解析】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等比数列中，，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据等比数列的基本量计算求解得出公比. 【解析】依题意得， 两式相除得，所以， 即. 利用试根法分解因式得，解得． 故答案为：2. 13．已知等比数列满足，，若的前n项和，则 ． 【答案】5 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比与，再根据等比数列的求和公式列式求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，所以，解得， 所以. 因为，所以， 所以，解得， 故答案为：5. 14．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】由求得，再通过错位相减法得到，将不等式转化成，求出函数的最小值即可. 【解析】由， 可得：， 当时，符合， 所以， 所以， 两边同乘以，得 两式相减，得， 所以． 则由可得 即，对任意的恒成立， 令， 则，且， 当时，， 当，时，， 所以的最小值为， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知等比数列． (1)若，，求的值； (2)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：代入等比数列的前项和公式，即可求解；方法二：根据与的关系，即可求解； （2）根据等比数列的通项公式，列方程组即可求解. 【详解】（1）方法一  ∵，， ∴，即，∴． 方法二  ∵，且， ∴． （2）设等比数列的公比为， 由题意得，即 ∵，，∴得，，即， ∴，∴，． 16． （15分） 用数学归纳法证明以下恒等式和不等式： (1)； (2)用数学归纳法证明：，． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明. 【解析】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 17.（15分） 数列中，，（） （1）设，求证：是等比数列； （2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【分析】（1）利用等比数列定义判别；（2）利用等比数列的单调性与判断单调性的方法求解即可. 【解析】（1）由，得，即， 整理得：，又， 所以，即， 又，故是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1） ，设， 则， 当，2时，； 当时，，即， 又，，，，， 故，，当时，，， 综上，当或时，取得最大值． 18.（17分） 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）由递推关系得，结合等比数列定义证明； （2）由等差数列前n项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n项和公式，再应用作差法比较大小即可； （3）应用错位相减、等比数列前n项和求结果. 【解析】（1）由题设，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，得证. （2）令数列的公差为，而， 所以，又， 则 恒成立， 所以，得证. （3）由上知，则， 则，即， 所以，即. 19.（17分） 已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，，；(2)；(3)答案见解析 【分析】（1）利用等比数列基本量计算求解；（2）利用数列的单调性与判断单调性的方法求解即可；（3）对n分奇偶讨论求解。 【解析】（1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年高二上学期数学周周测12 4.3等比数列、数学归纳法 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) da=2(nEN 1.己知数列an满足a。 且aa,=4a,则4=() 1 1 A.8 B.4 C.2 D.1 2.在等比数列{a,}中，各项均为正数，且4一4，q=2,则a,与a,的等比中项是（） A.2 B.±4 C.1 D.1 3.已知等比数别a的首项4>0，且满足%-4=15，a-4=6, ,则公比g为() A.2 B.2 C.2或2 D.3 4。用数学归纳法证明，1 高…+六效1neNn=霸-k+,不特式 边应添加的项是() 1 11 A.2k+1 B.2k+1k+1 1 +1 11 C.2k+12k+2 D.2k+12k+2 5.数列a,是各项均为实数的等比数列，则4>4>0”是“数列a,为递增数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 S0 6.设Sn是等比数列{a}的前n项和，若S,=3,a,+a4=6,则S( A.9B沿 3 C.2D.3 1/5 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7。已知3是等比数列a 的前n项和，且5=2+a,则a4,-a4+aa,+…+a4。=（) 8+221 -8+221 8-221 8+221 A.5 B 5 C.3 D.3 41 8.已知等比数列{a}中，存在s,teN,满足a,a,=a,则。+的最小值为() 1 19 1 9 A.3 B.21 C.2 D.10 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知等比数列a的首项为“，公比为9，则下列能判断a,为递增数列的有《) A.4=3q=2 B.a=2,9=3 11 C.4=39=2 11 D.4=-39=2 10.已知数列a,}的首项为4，且满足 2(n+D)a,-nd=0(neN),) A. (n)为等差数列 B.a,}为递增数列 an n'+n C.(nJ为等比数列 D.2 的前n项和= 2 2” 11.己知数列{an}的前n项和为Sn,a1=l,Sn1=Sn+2an+1,数列an·an+的前n项和为T,n∈N,则下 列选项正确的是() A.数列a,+ 是等差数列 B.数列a,+川是等比数列 c.数列a 的通项公式为0，=2”-1 2/5 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0.7s1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在等比数列a中，a,-5a,=18且a,-a4=-12则公比g 3,己知等比数列a满足4=12,4，=8，若a,}的前n项和5，=93，则 14.设数列a,函前，项利为5，且8“生，记6，数列么的前项和为虹者不等式 7>m+”-2 2一-3对任意的mN恒成立，则m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分) 已知等比数列a,} 1)若9=2S,=18 ,求的值： 5 (2)若a+4,=10,a,+a6=4,求a,和S的值. 16.(15分) 3/5 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 用数学归纳法证明以下恒等式和不等式n∈N: (0)-1+3-5+…+-12n-1=-1n (2)用数学归纳法证明：1×2+2x3++nn+1<nn+2 22,n∈N'. 17.（15分) 数列a,中，a=1.0a,-4)=a-6(n∈N) =1-1 (1)设 a。-2,求证：亿，}是等比数列： n2 (2)设数列b,的前n项积为T,求T取得最大值时n的取值. 18.（17分) 已知等差数列a,的前n项和为5,4=，=10，数列么满足么=3，=2边，-1 (1)证明：数列 b.-1} 是等比数列； (2)证明： Samb>2Sb 4/5 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 Cn (3)若”（色，-，求数列{c}的前n项和T 19.(17分) 已知等比数列a,满足“=4，a+a,=16(a+a) (1)求数列an的通项公式： ②)若a是递增数列，若n∈N,n-3”-ka,<0 恒成立，求实数的取值范围： 6=20+1 (3)若an不是递增数列， a,,求b的最小值. 5/5 2026-2027学年高二上学期数学周周测12 4.3等比数列、数学归纳法 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解. 【解析】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 2．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（  ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【解析】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 3．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 4．数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，可得数列为递增数列；举反例说明反之不成立，根据充分不必要条件的定义即可得答案. 【解析】设数列的公比为q（）， ， ，可得， 于是数列为递增数列； 反之不成立，例如数列是递增数列，但． “”是“数列为递增数列”的充分不必要条件． 故选：A． 5．设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据构成以为公比的新等比数列，可求出的公比，再用等比数列求和公式求得，再相除可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，，， 故． 故选：B. 6．已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知数列的首项为4，且满足，则（  ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．为等比数列 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】 根据递推关系可得为等比数列，进而可判断ACB，根据等差数列求和公式即可判断D. 【解析】由可得，所以数列为等比数列，且公比为2，故A错误，C正确， ，由于均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以为递增数列，B正确， ，设的前项和为，则，D正确， 故选：BCD 8．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】BCD 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【解析】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知等比数列满足，，若的前n项和，则 ． 【答案】5 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比与，再根据等比数列的求和公式列式求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，所以，解得， 所以. 因为，所以， 所以，解得， 故答案为：5. 10．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】由求得，再通过错位相减法得到，将不等式转化成，求出函数的最小值即可. 【解析】由， 可得：， 当时，符合， 所以， 所以， 两边同乘以，得 两式相减，得， 所以． 则由可得 即，对任意的恒成立， 令， 则，且， 当时，， 当，时，， 所以的最小值为， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）由递推关系得，结合等比数列定义证明； （2）由等差数列前n项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n项和公式，再应用作差法比较大小即可； （3）应用错位相减、等比数列前n项和求结果. 【解析】（1）由题设，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，得证. （2）令数列的公差为，而， 所以，又， 则 恒成立， 所以，得证. （3）由上知，则， 则，即， 所以，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年高二上学期数学周周测12 4.3等比数列、数学归纳法 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1 1.在等比数列{a,}中，各项均为正数，且4-4，g=2,则a,与a,的等比中项是（） A.2 B.±4 C.1 D.1 2.已知等比数列a,的首项4>0，且满足4-4=15，a-4=6,则公比0为《) 1 1 A.2 B.2 C.2或2 D.3 3.用数学归纳法证明十十1++≥头n≥L,n∈N,由n=k到n=k+1时，不等式左 n+1n+2n+3+…+2n≥24 边应添加的项是() 1 11 A.2k+1 B.2k+1k+1 1 1 1 1 C.2k+12k+2 D.2k+12k+2 4.数列a}是各项均为实数的等比数列，则4>4>0。是“数列a,为造暗数列”的《) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 S0= 5.设S是等比数列{a}的前n项和，若S,=3,a+a,=6,则S( 15 31 63 A.7 B.15 C.2 D.31 6.已知3是等比数列0的前u项和，且S=2"+a, 则4a,-a4+aa++a,a0=（) 8+221 -8+221 8-221 8+221 A.5 B.5 C.3 D.3 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分.） 1/3 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7。已知数列a,的首项为4，且满 2a+a,-nai=0aeN）,则() A. n 为等差数列 B.{a,}为递增数列 C.(nJ为等比数列 D. 12 的前n项和心+ 2 ∫2” 8.己知数列{an}的前n项和为Sn,a=1,Sn1=Sn+2an+1,数列anan+1J的前n项和为Tn,n∈N,则下列 选项正确的是( ) A.数列a,+ 是等差数列 8.数列a,+ 是等比数列 c.数列a 的通项公式为0，=2”-1 0.7s1 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分， 9.已知等比数列a,}满足4=12,4，若和的前n项和3，=93，则n 10设敏列红简前，明和为，且义=生，记6=只，激列a的前项和为r·若不等式 T>m+n-2 二-3对任意的n∈N恒成立，则m的取值范国为 四、解答题：本题共1小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.已知等差数列 的前2项和为，4=1，=10，数列么满足么=3.61=26。-1 )证明：数列么- 是等比数列： (2)证明： Smb>2b 2/3 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 Cn (3)若”（色，-，求数列{c}的前n项和T. 3/3