专题03 与圆锥曲线有关的定点、定值、共线、共圆问题（题型专练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题03 与圆锥曲线有关的定点、定值、共线、共圆问题 （题型突破·举一反三） 题型01 定点问题 题型02 定值问题 题型03 共线问题 题型04 共圆问题 ▌题型01 定点问题 1.“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； 2.“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； 3.求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 【典例1】已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【变式1-1】已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式1-3】已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． ▌题型02 定值问题 1. 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2. 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典例2】已知抛物线上一点到焦点的距离为2，点在直线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若，垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)求面积的最小值． 【变式2-1】已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 【变式2-2】已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【变式2-3】已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，.设与的面积分别为，. （i）证明直线与椭圆相切，并求出切点； （ii）比较与的大小. ▌题型03 共线问题 1. 斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线 2. 距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线； 3. 向量法：利用向量共线定理证明三点共线； 4. 直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上； 5. 点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线． 6. 面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”． 【典例3】抛物线（）的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上的一点，到焦点的距离是4. (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴；点为中点，过点向轴作垂线交抛物线于点. 求证：①三点共线.         ② 抛物线上点处的切线与平行. 【变式3-1】（多选）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（    ） A．C的离心率为 B．C的焦点到其渐近线的距离为1 C．若，则的面积为2 D．若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则 【变式3-2】已知椭圆的方程为，过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆的右焦点，M，N是椭圆上的两点且直线MN与曲线相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是. 【变式3-3】已知焦点在y轴上的椭圆C：（）过点，且离心率为.设分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线：相交于两点，且直线与椭圆交于另一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)判断三点是否共线，并证明你的结论. ▌题型04 共圆问题 方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆． 方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）． 方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）． 方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）． 【典例4】已知椭圆：与椭圆：在四个象限内有4个交点A、B、C、D，且这4个交点与、的4个焦点共圆，则______． 【变式4-1】（多选）已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（    ） A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 【变式4-2】在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)已知分别为轨迹的左、右顶点，点不与重合．直线与直线交于点，与轴交于点，直线与直线的交点为，若四点共圆．求实数的值． 【变式4-3】如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． (1)写出的坐标； (2)证明：直线过定点； (3)、、、四点能否共圆？请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 专题03 与圆锥曲线有关的定点、定值、 (题型突破举一反三) 目录 题型01定点问题 题型02定值问题 题型03共线问题 题型04共圆问题 题型01定点问题 典例精析 【典例1】(1)由已知，焦距为2c=2W2,得c=v2: 离心率e=C-V2 。2,代入c=2得a=2 由a2=b2+c2,得b2=a2-c2=4-2=2, 因此椭圆c的标准方程为4+2 (2)(i)由已知，设过M(0,2)的直线I方程为y=c+2, 设Ax,),B,),D(-,2), y=kx+2 联立x2y2 4+2 =1,化简得 1+2k2)x2+8+4=0 8k 4 由韦达定理得x+x2= 1+2R2,x=1+2k2; D的斜华n名经，修如-男=之-)， 直线 x+x 根据对称性可知直线AD恒过定点N位于y轴上， 1/18 让教与学更高效 共线、共圆问题 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8k 4 令x=0并代入x+3=1+2,1+2, 化简得，=+男=+_25+2+)， x+x2 x+x2 x+x2 因此直线AD恒过y轴上的定点N(0,): (ii)由MA<MB可知x<xl, ANOD的面积S=之0NI-x=x, aAMM的面积S=之=x, 由题意S=3S,得x=3引，结合>0，可知=3x, 8k 4 将5=3x代入韦达定理得+3x=1+2水，方-3x1+22, -2k 4 化简得=1+2= V3(1+2k2 解得k2=1,即k=1, 因此直线！的方程为y=±x+2 M 举一反三 【变式1-1】(1)因为双曲线C的右焦点为F(c,0), 渐近线方程为bx士ay=0, bc =V3 所以右焦点为F(c,0)到渐近线的距离为√口+F 因为双曲线的离心率为2，所以。-2， a =2 a a=1 所以 bc =√3，解得 a2+b2 b=5’ c2=a2+b2 c=2 2/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以双曲线c的方程为2-号-1 3 (2)①设A(x,y),B(x,y), y=kx+m 联立-号16--2b--3=02 3-k2≠0 则=12(-+到0+0=” 3-k2 所以⅓=(c+mc+m)）=x5+m(5+5)+m_3m-3 3-k2, 片+乃=+m+c,+m=k(名+)+2m=6m 3-k2, 因为以线段AB为直径的圆经过点P(,O),所以PA⊥PB, 所以PAPB=(x-)(:-)+yy2=0,即x5-(x+x)+1+yy=0, 2授+120， 3-k2 化简得m2-km-2k2=0,即(m-2k)(m+k)=0, 因为k>0,m>0,所以m=2k, 所以直线I的方程为y=a+m=c+2k=k(x+2), 所以直线过定点(-2,0)： ②不存在，理由如下： 假设双曲线C上存在点M(o,),使G为AMAB的重心， 3/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +五+名=-4 3 3 则 y+y2+6=0 即x。=-4-(x+x2), 3 %=-(以+2) 2km 6m 由①知6+53尺，片+%=3二-R, -12+4k2-2km -12 x0= 3-k2 3-k2 所以 -6m ,又 ，所以 -12k’ =3-k2 m=2k %=3-k2 （-12)}2（-12k 因为点Mk为)在双线。上，所以G-菩=小即g- =1 3 化简得K+42k2-135=0,即(k2-3k2+45)=0, 所以k2=3,或k2=-45(舍)， △>0 又因为k+3,所以假设不成立， 故双曲线C上不存在点M,使G为△MAB的重心， 【变式12】()c的焦点？0，准线方程为x=号 因为点M2,)在c上，M=3,所以2+号=3，p=2 所以C的方程为y2=4x」 (2)①F(L,0),设AB为x=y+1,代入y2=4x,消去x,得y2-4-4=0. 设A(x,),B(x,乃)，则y+=41,y2=-4. 所以(4-2=(y+2)-4yy=16+16,以-y=4vP+1, 又P-1,所以。P4B的面积为2×1x4P+1=2F+≥2，当且仅当1=0时，取等号。 所以△PAB的面积的最小值为2. 4/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ΛE ②设D(x,),E(x,y4),又P(2,0) 直线4P的方程为(：-2)y=(x-2),与C方程联立，消去x得y-4(:-2)y-8y=0, 又D是直线与c的交点，所以-，为=8 y 同理山-8 ，所以y,=-16 当=4时，1=0，直线DE与x轴垂直，DE与x轴的交点为(4,0)， k=-当=4 4 以≠4时(0直线的斜车。一名y+片8820+为方. 当 1≠0 DE y y2 1 此时，可设直线DE的方程为y=27x+b，与c联立，消去x得y-8+8b=0, 所以y4=8b 又=-16，所以86=-6，b=子 t 情以DE肉方米代为分-子-利.百线注0。 综上，直线DE过定点(4,0) 【变式13】(1)由题意得2a=4,所以a=2, 又因为e=S=1 a2,所以c=1?b=a2-c2=3 +=1 所以C的方程为4+3 (2)①当直线MN与y轴垂直时，此时O,F,M,N四点共线，不合题意： 5/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当直线MN与y轴不垂直时，设MN:x=my+1,M(x,),N(:,), 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即y>0,乃<0， 联立了43，消去x并整理得 x=my+1 3m2+4）y2+6my-9=0' 6m 9 直线过椭圆的焦点，必有A>0:片+%=3m+4,少=3m+4: 因为Saw=25aw即20(-%)-=2号0F,所以为=-2 6m 6m 所以为+=一为= 3m+4,片=3m2+4, 9y2= 9 =-2=3m+4' 12(3m2+4）, 6m)2 9 所以3m+423m+4解得m=1,m=t士25 5 所以MN:x= 2V5 y+1或x= 2W5 5y+1, 即直线MN的方程为V5x-2y-V5=0或5x+2y-V5=0. ②若直线EN过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为H(,0), X=4 设M(,),N(x,),所以E(4,), 6/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以w=点二上 54,所以Ny-男=二4(x-4). x32-4 令y-0得e494m1-到4m5-3 2-y 2-4 -月， 9m 6m 因为myy2=- 344+⅓=3n4所以m-20+y). 3 33 所以x=4m-3=4-205+)小3 =4-25-2 =4-35 y2- y2-yi y2- 22 5 所以H 为直线N所过定点。 题型02 定值问题 三 典例精析 【奥例2】（山)抛物线C:y广=2pp>0的准线方程为x=一号 :点BL,)到焦点的距离为2’ 由抛物线定义可知1+)=2. 2 ∴解得p=2 ∴.抛物线C的方程为y2=4x, (2)存在定点Q,),使得PO为定值V2,证明如下： M x-y+2=0 v2=4x 设点A,1+2),M(:,),N(x2,y2) 设过M(:,H)的切线方程为y-y=x-x)(k为切线斜率，k≠0)， 整理得x=”+,将其代入抛物线方程y=4得少=4'+ k 整理得2-4y+4y-4=0②. 7/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :直线与抛物线相切，、△=(4)2-4.k(4y-4)=16-16,+16k2x=0, 两边同除以16得1-+2x=0③， 将0武5=手代入0武.得1-，+2.星=0， 4 整理得（-广=0，解得女 y 粉太听代入所设切线方程)-片-5)得-男子：-)。 两边同乘得y-=2x-2x., 将①式=4x代入上式，得y-4x=2x-2x,整理得y=2x+), 即抛物线y=4x的过切点M(x,乃)的切线方程为y=2(x+x). :点A在切线AM上，+2)=2+x),同理可得+2)=2+x) .点M,N均在直线+2)y=2(x+)上，即直线MN的方程为2x-+2)y+21=0 [2-y=0 x=2 将直线MN方程整理为2x-)+12-)=0:令-y=0解得=2，即直线MN恒过定点R2,2) :OP⊥MN,垂足为P,∠OPR=90,即点P的轨迹是以线段OR为直径的圆 该圆圆心为OR中点Q0,),半径为210RV2. ∴.存在定点Q1,),使得P非V2为定值 (3)将直线MN的方程2x-(U+2)y+21=0与抛物线y=4x联立，消去x得： y2-2t+2)y+4t=0 .△=4+22-161=4(+4④)，乃+y=2+2),yJ2=4t. 1w+生2)0+-4- t2+41+ 8.√42+④=P+41+8P+4. 点A1到直线y的度：2t2t2-产+4 V4+(U+2)2V2+4H+8 A1w的面积S=2WId-F++8P+4 vP++820+4 2+41 1 :P≥0，·当1=0时，S取得最小值2×4=4. 8/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即△AMN面积的最小值为4， 三举一反目 【变式21】(1)由左顶点4-2,0)得a=2离心率e=。 a 2 得c=万 则b2=c2-a2=7-4=3, x2 y2 故C的方程为4-3 =1 1 y-2 +5 G+5 (2)设M(x,),N(x2),联立直线与双曲线： =1 消去y得4 化简得x2-25x-16=0, 由韦达定理x+x=2V5,x为=-16， 又=停+5哼+5)-学+5++54+5+5=6. 4 所以k=业=6.3 =一 xx2-168 【变式22】1)由题可知c=1,2a=4→a=2,结合椭圆中ad=b2+c2可得b=5,所以椭圆方程为： 4+31,离心率：e=={ a21 x=my+4 (2)(i)设直线： 联立x+上 AB x=my+4 (431 (3m2+4)y2+24my+36=0 △=(24m)2-4×(3m2+4)×36>0化简得：m2>4 24m 36 设4，yBx,y,),由韦达定理得：月+乃=3m2+43=3m2+4 9/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Sow=l5.aw-8.aw=号oMy-y=2y-为=20y+y-4wn 化简得：SOaB= 24Vm2-4 3m+4,令1=Vm-4>0),则m㎡=+4 S.0B= 2424≤24=5 32+16 3+168V5 (当且仅当31=161-45时取等) 1 t 3 (ii)设D(0,d),E(0,e) 、3 直线 :y 3 2-,令得：d=兴：同理可得：23 AP 2x-1 x=0 2(x-1) 带入x=m+4得，d=22。 2m形16,6m"2兴2,1+eEsm-2%+12+0-2+12 2my,+6 2my2+6 一带入韦 达定理化简得：d+e=1444-m2-4 36(4-m2) 所以DE中点垒标Q生与)-=(@2)即06的中点为定点 B M 变式23】(1)由椭圆可知，2a=4'所以g=2'又e=CV2 a2 所以c=2'b2=a2-c2=2' 故椭圆B的方程为4+2 xox+2yov-4=0 2 (2)()联立 ,消去得， 4-2yoy +2y2=4, 4 2 整理得，(26+46)y-16y+16-4xG=0①， +令=1，所以2+4奶6=8,16-4=86， 又42 故①式可化简为8y2-16y+8=0,即(y-%广=0，所以y=, 10/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SOA 所以直(）设AG,y),B(,)易知，当x=飞时，由对称性可知， S,OB y=2 y=-2 当x≠5，时，不妨设x<<x'易知3，BM x2-x0x-x2’ Xox+2yoy-4=0 联立y=2 解得5=4二，=2. xox+2yoy-4= 联立y=-2 0,解得5=4八=2， 44%-。4-4-号 S=名-龙= 所以S2。-为 4+46x6-4y%-4 x0- 2-4%=2- -2y6-4y0 2+y% 4-4y0 2 +4 Xo V4(1-%)+x2 V41-%)2+4-2 V-4+4_2-6 OB 、2 4+4y% V41+)2+4-2 V%+4y+4 2+%’ +4 V4(1+⅓)'+x S OA 故S OB 题型03 共线问题 E 典例精析 【典例3】(1)由题意得MF=4, 由抛物线的定义得Mr=3+号=4，解得p=2,即抛物线方程为2=4： 则抛物线的准线方程为y= 11/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将M(m,3)代入抛物线方程得m2=4x3,解得m=±2V3 (2)①由题意可知，直线AB斜率一定存在， AB 因为点C在抛物线的准线上，且BC/y轴，则C(,-), 因为直线AB过点F(O,),则直线AB方程为y=c+1, y=kx+1 联立x=4y，整理得 2-4-4=0 △=16k2+16>0,由韦达定理得x+x2=4k,2=-4, 即54 x, 易知直线OA,OC的斜率均存在， -0 =1-0-1-1= 直线 斜率ko,=4 ，直线斜率 x2-0x2 -44， OA -04 OC 即ko=kc,所以A,O,C三点共线 ②由①知+x2=4k 因为点P为AB中点，则点P横坐标为2k,由题意知点Q的横坐标也为2k, 代入抛物线方程x2=4y可得(2k,k2), 易知在Q处的切线斜率存在，设切线斜率为1，则切线方程为y=1(x-2k)+k2, y=1(x-2k)+k2 联立x2=4y 整理得2-4r+8-42=0 所以△=1612-4(8k-4k2)=0,解得1=k, 即抛物线上Q点处的切线斜率与直线AB斜率相等， 所以抛物线上Q点处的切线与AB平行 12/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 举一反目 【变式31】ABD 【变式32】（+’-1 r? 62 (2)由(1)得，F(2,0),曲线为x2+y=2x>0), 当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=V2,M,N,F三点不共线，不合题意； 当直线MN的斜率存在时，设M(,y),N(x,), 必要性： 若M,N,F三点共线，可设直线MN:y=(x-2)即-y-2k=0, 由直线MN与曲线，+y=2x>0相切可得R 2=反，解得k= y=±(x-2) 联立父+上1，得 ,所以 3, 62 x2-6x+3=0 +x2=3,xx=2 所以MN=1+1V(x+x)-4xx=V6,所以必要性成立： 充分性： 设直线MN:y=c+m,(m<0)即c-y+m=0, m 由直线N与曲线：+y=2x>0相切可得R+ =2.所以m=2k2+2 y=kx+m 后+号-1可得{0+3x)r+6m+3m-6-0 联立x2y2 所以x+x2= 1+3w245=3m2-6 6km 1+3k2, 13/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以MW=1+2V(x+x}-4x5,=V1+ 6km 2 4. 3m2-6 1+3k2 1+3k2, m 由直线MN与曲线x+y=2x>0)相切可得P 5=5,所以m=2k2+2' 所以MN=V1+k 36k2(2K2+2）242 36k2(2k2+2)-24k2(1+3k2） V(+32 1+3球+2 (1+32）2 41+2V32, 1+3k2 南wF6角iC-6. 1+32 化简得(-=0，所以k=士， k=1k=-1 所以m=-2或1m=2,所以直线MN:y=x-2或y=-x+2: 所以直线MN过点F(2,O),M,N,F三点共线，充分性成立； 所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN=V√6 b=1 【变式3-3】1)根据题意得 -3 a=2 a 2 ,解得b=1, a2=b2+c2 c=V3 所以椭圆c的标准方程为4 +x2=1: M (2) 根据题意可知直线AP与BP的斜率都存在且不为零，A(0,-2),B(0,2), 设6)则公+1(-2<%<2 则kk心=为+2.为-2_片-4 14/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以6=4-4x号， 所以kAP·kBr 4-4x6-4=4 x 所以直线AP与BP的斜率之积为定值-4： 题型04 共圆问题 E 典例精析 【典例4V5 举一反目 【变式41】ACD 【变式4211少圆G:+y2+2x-5-0的圆心为C(1.0￥径为5= 4+0+457 4 2: 同G:2+-2x+子0的同心为CL0:￥轻为5= 4+0-3_1 2 2 1 因为5=2<斤，lCC=2,设动圆的半径为R,经分析可得，R<? 因为动圆M与圆C内切且与圆C2外切， MGI=-R=G-R=7-R 2 所以 MC-5+R-1+R 两式相加 2 MC+MG=4>GC2 所以点p的轨迹为以C仁1,0，CL,0)为焦点的椭圆，可设其方程为。+存=(>b>0 c=1 c=1 则2a=4 解得口=2，所以椭圆方程为丈击上 a2=b2+c2 b=5 4+3=1 所以轨迹E的方程为4十 3 (2)由题意可知直线AM的斜率不为0，故可设直线方程为x=my-2,且M(:,), 南子号-18：0201g0 15/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=my-2 联立+上=1 可得 43 3m2+4)y2-12my=0 12m 所以水 3m2+4则=my-2=m 12m-2=6m2-8 m2+4 3m2+4’ 即M 6m2-812m 3m2+4'3m2+4: x=1 联立 x=my-2 可) 12m 所以直线 的斜率为： kw=3m244=-3 6m-8-2 4 BM 3m2+4 t+2 所以直线 OP 的斜率为：飞=m=+2, t tm 因为四点B,S,P,H共圆，且直线与x轴垂直； 所以∠PHB=∠PSB=90°，∠SBH+∠SPH=180°， 故实数t的值为6 H x 【变式43】(1)FE(1,0) (2) 设直线P9的方程为y=c+m(k≠0)，设点P(:,y)、(x,), y=kx+m +号得 由 4 (3+4k2）x2+8%mx+4(m2-3）=0 △=64k2m2-4(4k2+3×4(m2-3）=48(42+3-m2)>0, 16/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由韦达定理可得x+x2= 8km 4m2-3 3+4k2,x5=3+4k2 +2=0】 由k%+kos=0,得x-+3-i +ms+m_(s+ms-+a+m-)=0. 又y=+mi=1,2),故x-1五2-1 (x-1)(x2-1) 即2kx+(m-k)(x+x)-2m=0, 则24r+m- 8km -2m=0, 3+4k2 3+4k2 化简整理得m=-4k,于是直线PQ的方程为y=k(x-4), 因此直线P9过点(4,0)： (3)O、F、P、O四点不能共圆，事实上，乃总在△OPO的外接圆的内部.理由如下： 线段 选直平分线方程为y=-x x2+ 2+3 =-五x+ 4 足+3 x+ x+1 4 OP 2 +2 2y 2y 2y 即y=-Xx+4 2y 左3 同理，线段。的垂直平分线方程为y=-占x+4 00 y22y2 联立上述两个方程，得△OP的外心C的横坐标为 (G+3)5+332k21.4162-3 +3 4 =3+4243+4k2 13+7k2 Xc= 8 8 23+4k2 13+7k2、1 因2>0，故c=23+4k>2: 17/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以FC-0C=(x-12+y2-(x2+2)=1-2x<0,于是FC<0C, 所以F在△OPO的外接圆的内部，故O、B、P、Q四点不能共圆， 18/18 专题03 与圆锥曲线有关的定点、定值、共线、共圆问题 （题型突破·举一反三） 题型01 定点问题 题型02 定值问题 题型03 共线问题 题型04 共圆问题 ▌题型01 定点问题 1.“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； 2.“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； 3.求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 【典例1】已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点； （ⅱ） 【详解】（1）由已知，焦距为，得； 离心率，代入，得； 由，得， 因此椭圆的标准方程为； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； 由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为. 【变式1-1】已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②不存在，理由如下： 假设双曲线上存在点，使为的重心， 则，即， 由①知，， 所以，又，所以， 因为点在双曲线上，所以，即， 化简得，即， 所以，或(舍)， 又因为，所以假设不成立， 故双曲线上不存在点，使为的重心． 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）①略 ②略 【变式1-2】已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 【变式1-3】已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 【答案】(1)； (2)①或； ②若直线过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为， 设，，所以， 所以，所以， 令得，   因为，，所以， 所以， 所以为直线所过定点． 【分析】（1）由椭圆的定义得到，由离心率得到，继而求出b，从而得到椭圆的方程； （2）①设直线方程，与椭圆方程联立得到根与系数的关系式，由的面积是的面积的两倍，解出m的值，得到直线的方程；②判断直线所过定点位于x轴上，表示出，令，结合根与系数的关系化简即可证明结论. 【详解】（1）由题意得，所以， 又因为，所以，， 所以C的方程为． （2）①当直线与y轴垂直时，此时O，F，M，N四点共线，不合题意； 当直线与y轴不垂直时，设，，， 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即，， 联立，消去x并整理得， 直线过椭圆的焦点，必有，，， 因为，即，所以， 所以，， ，， 所以，解得，， 所以或， 即直线的方程为或．   ② ▌题型02 定值问题 1. 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2. 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典例2】已知抛物线上一点到焦点的距离为2，点在直线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若，垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)存在定点，使得为定值，证明如下： 设点，，. 设过的切线方程为（为切线斜率，）， 整理得，将其代入抛物线方程得， 整理得 ②. ∵ 直线与抛物线相切，∴ ， 两边同除以16得 ③. 将①式代入③式，得， 整理得，解得. 将代入所设切线方程，得， 两边同乘得， 将①式代入上式，得，整理得. 即抛物线的过切点的切线方程为. ∵ 点在切线上，∴ ，同理可得. ∴ 点均在直线上，即直线的方程为. 将直线方程整理为，令，解得，即直线恒过定点. ∵ ，垂足为，∴ ，即点的轨迹是以线段为直径的圆. 该圆圆心为中点，半径为. ∴ 存在定点，使得为定值. (3) 【详解】（1）抛物线的准线方程为. ∵ 点到焦点的距离为，由抛物线定义可知. ∴ 解得. ∴ 抛物线的方程为. （2）略 （3）将直线的方程与抛物线联立，消去得： . ∴ ，，. ∴ . 点到直线的距离. ∴ 的面积. ∵ ，∴ 当时，取得最小值. 即面积的最小值为. 【变式2-1】已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由左顶点 得 ，离心率 得 ， 则 ， 故 的方程为 . （2）设 , ，联立直线与双曲线： 消去 得 ， 化简得 ， 由韦达定理 , ， 又 ， 所以 . 【变式2-2】已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【答案】(1)椭圆方程为：，离心率：. (2)（i）面积最大值. （ii）设 直线：，令得：；同理可得： 带入得：，，带入韦达定理化简得： 所以中点坐标.即的中点为定点. 【详解】（1）由题可知，，结合椭圆中可得，所以椭圆方程为：，离心率：. （2）（i）设直线：，联立得. 化简得：. 设，由韦达定理得：. 化简得：，令，则， （当且仅当时取等）. （ii）略 【变式2-3】已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，.设与的面积分别为，. （i）证明直线与椭圆相切，并求出切点； （ii）比较与的大小. 【答案】(1) (2)（i）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. （ii） 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为. （2）（i）略 （ii）设，易知，当时，由对称性可知，． 当时，不妨设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． ▌题型03 共线问题 1. 斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线 2. 距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线； 3. 向量法：利用向量共线定理证明三点共线； 4. 直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上； 5. 点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线． 6. 面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”． 【典例3】抛物线（）的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上的一点，到焦点的距离是4. (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴；点为中点，过点向轴作垂线交抛物线于点. 求证：①三点共线.         ② 抛物线上点处的切线与平行. 【答案】(1)；准线方程 (2) ①由题意可知，直线斜率一定存在， 设直线斜率为，设，， 因为点C在抛物线的准线上，且BC轴，则， 因为直线过点，则直线方程为， 联立，整理得， ，由韦达定理得，， 即， 易知直线的斜率均存在， 直线斜率，直线斜率， 即，所以三点共线. ②由①知， 因为点为中点，则点横坐标为，由题意知点的横坐标也为， 代入抛物线方程可得， 易知在处的切线斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为， 联立，整理得， 所以，解得， 即抛物线上点处的切线斜率与直线斜率相等， 所以抛物线上点处的切线与平行. 【详解】（1）由题意得， 由抛物线的定义得，解得，即抛物线方程为， 则抛物线的准线方程为， 将代入抛物线方程得，解得. （2）略 【变式3-1】（多选）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（    ） A．C的离心率为 B．C的焦点到其渐近线的距离为1 C．若，则的面积为2 D．若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则 【答案】ABD 【详解】由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上， 因为，即，则， 可得点，，渐近线为，即. 对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确； 对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确； 对于选项C：因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为，故C错误； 对于选项D：可知渐近线，直线， 联立方程，解得，即， 因为，即， 则， 当且仅当点Q 在线段上时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【变式3-2】已知椭圆的方程为，过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆的右焦点，M，N是椭圆上的两点且直线MN与曲线相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是. 【答案】(1) (2)由（1）得，，曲线为， 当直线的斜率不存在时，直线，M，N，F三点不共线，不合题意； 当直线的斜率存在时，设， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线即， 由直线与曲线相切可得，解得， 联立，得，所以， 所以，所以必要性成立； 充分性： 设直线即， 由直线与曲线相切可得，所以， 联立可得， 所以， 所以， 由直线与曲线相切可得，所以， 所以， 由，得， 化简得，所以， 所以或，所以直线或， 所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是． 【详解】（1）由题意，解得， 所以椭圆方程为； （2）略 【变式3-3】已知焦点在y轴上的椭圆C：（）过点，且离心率为.设分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线：相交于两点，且直线与椭圆交于另一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)判断三点是否共线，并证明你的结论. 【答案】(1) (2) 根据题意可知直线与的斜率都存在且不为零，， 设，则（）， 则， 因为， 所以， 所以， 所以直线与的斜率之积为定值； ，，三点共线，证明如下： 设直线的方程为， 则直线的方程为， 所以， 所以， 所以设直线的方程为， 由，得， 设，则， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以，，三点共线. 【详解】（1）根据题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）略 ▌题型04 共圆问题 方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆． 方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）． 方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）． 方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）． 【典例4】已知椭圆：与椭圆：在四个象限内有4个交点A、B、C、D，且这4个交点与、的4个焦点共圆，则______． 【答案】 【详解】椭圆：的焦点坐标分别为,, 椭圆：的焦点坐标分别为,, 因为两个椭圆的4个交点与、的4个焦点共圆，则共圆的圆心在原点，所以. 则，解得：, 所以椭圆方程为：， 共圆的方程为, 联立，解得：, 将代入椭圆：方程， 可得，解得：(负值舍去)， 故答案为： 【变式4-1】（多选）已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（    ） A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】因为椭圆（）满足 ，结合椭圆关系， 代入得：，即，所以，因此离心率​​，选项A正确. 设，由椭圆关于原点对称得 ；轴则. 所以​，由题意. 设 ，的面积也可表示为， 所以，得，即. 由，椭圆方程可写为， 又因为直线过和，斜率， 直线方程为，代入椭圆方程，， 结合，得，，， ，， ，， ，解得或. 所以，代入得，即， 所以， 又因为，所以，即，因此， 所以为直角三角形，故C正确. 由是直角，所以在直角三角形中， 又因为， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，D正确. 对选项B，，若四点共圆， 则圆心必在弦的垂直平分线 轴上，也在弦的垂直平分线上，且的垂直平分线过原点， 因此圆心必在轴与弦的垂直平分线的交点，即原点. 所以圆的半径，圆的方程为. 又因为在椭圆上，也在圆上， 联立，显然方程组无解，故不存在， 所以，，，四点不可能共圆，故B错误. 【变式4-2】在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)已知分别为轨迹的左、右顶点，点不与重合．直线与直线交于点，与轴交于点，直线与直线的交点为，若四点共圆．求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据两圆内切和外切满足的几何关系，即可得，结合椭圆的定义即可求解； （2）由四点共圆，得到，表示出斜率，代入计算即可. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为，,设动圆的半径为，经分析可得，, 因为动圆与圆内切且与圆外切， 所以,两式相加, 所以点的轨迹为以,为焦点的椭圆，可设其方程为， 则，解得，所以椭圆方程为， 所以轨迹的方程为. （2）由题意可知直线的斜率不为，故可设直线方程为,且 由易知：， 联立，可得， 所以则 即， 联立，可得， 所以直线的斜率为：， 所以直线的斜率为：， 因为四点共圆，且直线与轴垂直； 所以, 所以,即，解得：. 故实数的值为.    【变式4-3】如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． (1)写出的坐标； (2)证明：直线过定点； (3)、、、四点能否共圆？请说明理由． 【答案】(1) (2)若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾， 故直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，设点、， 由，得， ， 由韦达定理可得，． 由，得， 又，故， 即， 则， 化简整理得，于是直线的方程为， 因此直线过点. (3)、、、四点不能共圆，事实上，总在的外接圆的内部．理由如下： 线段的垂直平分线方程为，即． 同理，线段的垂直平分线方程为． 联立上述两个方程，得的外心的横坐标为 ． 因，故， 所以，于是， 所以在的外接圆的内部，故、、、四点不能共圆. 【详解】（1）在椭圆中，，， 则，故. （2）略 （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $