椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练 椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 例1．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为. (1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 【答案】(1)椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围分别为，顶点坐标分别为、长轴与短轴的长度分别为； (2) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程、性质分析即可求解； （2）设的横坐标分别为，，直线的方程为与椭圆方程联立，求出、，由弦长公式即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，， 解得：，，， 则椭圆的方程为：， 椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围分别为， 顶点坐标分别为、长轴与短轴的长度分别为； （2）过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 由可得， 设的横坐标分别为， 可得，， 则 ， 所以线段的长为. 例2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据半焦距及离心率可计算得,进而确定椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理与弦长公式求解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且,得, 因此椭圆方程为. （2）过且斜率为1的直线为,设, 联立直线方程与椭圆方程,可得, 根据韦达定理，有. . 例3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 变式1．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）由题设直线为，联立椭圆求交点坐标，再应用弦长公式求弦长. 【详解】（1）由题设，又为正三角形，则， 所以，则椭圆C的标准方程为. （2）由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得，故，， 所以． 变式2．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知椭圆的两个焦点分别是、，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于4，为坐标原点，直线与椭圆相交于、两点（不重合）． (1)求椭圆的标准方程； (2)求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据，即可求解； （3）根据韦达定理求，再根据的取值求最大值. 【详解】（1）由条件可知椭圆的焦点在轴，，，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）联立，整理为， 若直线与椭圆有2个不同的交点，则， 解得：， 所以的取值范围是； （3）设，， ，， ， 当时，最大，最大值为， 所以的最大值为. 变式3．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，过点的直线与椭圆C交于，两点（其中，），点B关于x轴的对称点为D点，直线AD与x轴交于点E，直线BD与x轴交于点F． (1)求椭圆C的方程； (2)求点E的坐标； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：由（2）有：，可得，又． 所以， 有，得证．    【分析】（1）依据题意直接计算即可； （2）假设直线AB的方程为，点E的坐标为，联立椭圆方程，使用韦达定理可得，，结合A，D，E三点共线得到点D ，然后计算即可； （3）由（2）得到，表示，计算可得. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，由，有，． 可得椭圆C的方程为，代入点的坐标，有，可得， 故椭圆C的方程为． （2）解：设直线AB的方程为，点E的坐标为， 联立方程消去x后整理为， 有，， 由A，D，E三点共线，点D的坐标为，有， 有，整理为， 有，又由m的任意性，有，可得， 故点E的坐标为． （3）略 考点二 椭圆中的面积问题 例1．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知椭圆：过点，右焦点为，圆：，直线：与圆、椭圆分别相切于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积（为坐标原点）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）联立方程，根据相切即可求解参数； （3）设直线与轴的交点为，切点，由（2）即可求得点坐标，然后分别求出的面积和，即可求得结果. 【详解】（1）由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得，联立， 消去可得，① 因为直线与椭圆相切，所以， 整理得．② 因为直线与圆相切，所以，整理得，③ 由②与③联立解得（舍去）或， 所以直线的方程为． （3）设直线与轴的交点为，切点， 则点的坐标为． 由（2）中①式可知，，则， 则， 且， 所以． 例2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，上顶点的坐标为． (1)求的方程； (2)已知点为上一点，过点作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； (3)设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)结合椭圆离心率、上顶点坐标及求解椭圆参数，得到椭圆方程； (2)设点坐标，根据向量关系推导S与M的坐标对应关系，代入椭圆方程化简得轨迹方程； (3)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和三角形面积公式列方程求解的值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意得上顶点，故； 离心率，即. 代入，得，解得. 因此椭圆的方程为. （2）设，，如图所示： 由题意得在轴的垂足，则，. 由得，即； 因为在椭圆上，将坐标关系代入，即， 因此点的轨迹方程为. （3）设，， 联立直线与椭圆的方程，消去得， 由韦达定理得，; 的面积，故。 由，代入韦达公式得 ， 可得，两边平方整理得，即； 因为恒成立，故， 解得. 例3．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且过点，为其右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求过点的直线与椭圆相交于，两点（点在，两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质和离心率分别求出，进而求出椭圆方程； （2）设直线方程，利用已知几何关系结合椭圆的性质求出点坐标，进而求出直线的方程． 【详解】（1）已知离心率，则，故， 椭圆过点，则，解得，故， 椭圆的方程为． （2）为椭圆的右焦点，由（1）知， 由已知直线斜率存在，设为，则直线的方程为， 若，则为轴，此时三点共线，不合题意，舍去； 设，且在之间， 已知与的面积相等，且等高，则， 故是中点，则， 由位于椭圆上，则， 整理得，联立椭圆方程得， 解得，代入椭圆方程得：，解得， 故或， 则直线的斜率为， 故直线方程为：． 变式1．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆右顶点和离心率，结合直接求出椭圆标准方程； （2）设直线方程，联立椭圆用韦达定理，表达三角形面积，解方程求出参数t即可. 【详解】（1）由题知，，而离心率为，故， 因为，故，故椭圆方程为：. （2）由题设直线的斜率不为0，且过点， 故设直线，， 由，得， 故，即， 且， 故， 解得， 所以直线或 变式2．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆的交点，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知列方程组求参数值，再由曲线的关系即可得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率，并设出直线方程，联立椭圆求交点坐标，再由化简得到定值，结合三角形面积公式及基本不等式求面积最小值. 【详解】（1）当时，，则，由对称性知内切圆的圆心为原点， 结合题设，有，解得， 因此所求椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率存在且时，则， 联立，得， 由，解得， 所以，则，同理， 法一：由 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 法二：因为， 又， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 此时面积的最小值是， 当时，， 当k不存在时，， 综上所述，的面积的最小值为. 变式3．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和焦距可得，即可得，从而求得椭圆C的方程； （2）求直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式求得，以及点到直线的距离，即可得面积. 【详解】（1）因为椭圆：（）的离心率为，焦距为2， 则，解得，可得， 所以椭圆的方程为：． （2）由题意可知：，直线的斜率，且直线与椭圆必相交，    则直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 设，，则，， 可得， 且点到直线：的距离为． 所以的面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练 椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的面积问题专项训练 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 例1．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为. (1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 例2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 例3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 变式1．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长． 变式2．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知椭圆的两个焦点分别是、，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于4，为坐标原点，直线与椭圆相交于、两点（不重合）． (1)求椭圆的标准方程； (2)求的取值范围； (3)求的最大值． 变式3．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，过点的直线与椭圆C交于，两点（其中，），点B关于x轴的对称点为D点，直线AD与x轴交于点E，直线BD与x轴交于点F． (1)求椭圆C的方程； (2)求点E的坐标； (3)证明：． 考点二 椭圆中的面积问题 例1．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知椭圆：过点，右焦点为，圆：，直线：与圆、椭圆分别相切于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积（为坐标原点）． 例2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，上顶点的坐标为． (1)求的方程； (2)已知点为上一点，过点作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； (3)设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求实数的值． 例3．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且过点，为其右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求过点的直线与椭圆相交于，两点（点在，两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程． 变式1．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 变式2．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆的交点，求的面积的最小值． 变式3．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $