专题02 圆锥曲线有关的范围、最值问题（题型专练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题02 圆锥曲线有关的范围、最值问题 （题型突破·举一反三） 题型01 与椭圆有关的范围、最值问题 题型02 与双曲线有关的范围、最值问题 题型03 与抛物线有关的范围、最值问题 ▌题型01 与椭圆有关的范围、最值问题 1、椭圆上动点到定点/定直线的距离最值 点到定点：设点（普通坐标/参数坐标），写出距离平方d2=(x−x0)2+(y−y0)2，消元变成一元二次函数，结合椭圆定义域求最值。优先算距离平方，避免根号，简化计算。 点到定直线：点到直线距离公式 d=，代入参数方程，三角函数求最值。 注意：焦点在 x 轴上，椭圆上点到左焦点距离范围：[a−c,a+c]；到右焦点也是[a−c,a+c]（由第一定义，焦半 径范围结论，填空直接用） 焦半径公式：P(x0,y0)在右半椭圆，∣PF1∣=a+ex0,∣PF2∣=a−ex0，e离心率，x0∈[−a,a]，一眼看出范围。 2、直线与椭圆相交的范围、最值 常见求：弦长最值、三角形面积最值、斜率范围、参数k/m范围、∣PA∣·∣PB∣最值固定流程： 设直线：y=kx+m（单独讨论斜率不存在） 联立椭圆方程，整理一元二次方程 写出判别式：Δ>0，这是参数范围的第一个限制条件！ 韦达定理：x1+x2,x1x2​ 写出目标式（弦长、面积等），全部换成k,m的表达式 转化为函数 / 对勾函数 / 二次函数，结合Δ>0给出的自变量范围求最值 配套常用公式弦长：∣AB∣= 面积：S=∣AB∣·d，d定点到直线距离 常见结论：过椭圆内定点的弦，最长弦是长轴，最短弦是垂直于长轴的弦（过中心时） 3、面积最值 S=∣AB∣·d，代入后一般化简成分式函数，两种处理： ① 换元，令t=或者t=k2+1(t≥1)，二次/对勾函数 ② 基本不等式：t+≥2λ，注意等号能不能取到（看t能不能满足Δ>0） 4、离心率范围 思路： 列出不等关系：动点范围、三角形两边之和差、Δ>0、夹角条件 全部转化为a,b,c关系式 两边同除以a2，变成关于e的不等式，结合0<e<1求解 【典例1】已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 【变式1-1】已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是____________. 【答案】 【详解】由椭圆的性质可知，因为是椭圆上一点，在第二象限内.若， 根据余弦定理可知， 所以可得， 则可知，又因, 所以可知，所以直线的斜率为. 故答案为： 【变式1-2】已知动圆与圆：内切，同时与圆：外切，圆心的轨迹为曲线，，． (1)求曲线的方程； (2)直线经过与曲线交于，两点，的面积为，求直线方程； (3)设，为曲线上一点，在处切线为． （i）证明：切线的方程； （ii）若切线交直线：于点，与交于点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或. (3)（i）点在椭圆上，故满足，即， 设切线的方程为，即，记，则， 代入椭圆方程，得，整理得， 因为直线与椭圆相切，所以判别式， 展开并化简得，即， 因为，所以，即， 移项整理为关于的方程得， 由于，有， 故该方程判别式， 所以，又由得，代入得， 将切线斜率代入切线方程得，所以， 即， 所以切线的方程为，得证. （ii） 【详解】（1）设动圆的半径为，圆心，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 由动圆与内切，得，由动圆与外切，得， 两式相加得， 因为，且，根据椭圆的定义，圆心的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，焦距，则， 又动圆半径，故轨迹去掉左顶点， 故曲线的方程为. （2）直线过点，曲线的方程为. ①当直线的斜率不存在时， 直线，代入的方程得，则， 点到直线的距离为，面积，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，消去整理得， 判别式，由韦达定理， 由弦长公式得， 点到直线的距离为， 故三角形面积， 令，平方化简得，解得（负根舍去），即， 所以直线的方程为 ，或，即或. （3）（i）略 （ii）切线的方程为，将代入切线的方程，得， 和，所以的方程为； 和，斜率，所以的方程为； 联立两直线方程，利用化简，可得， ，代入，整理得， 令（），则， 代入得，令，则是开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值为，所以即. 故的最小值为. 【变式1-3】已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； (2)直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)，，离心率； (2)（i）；（ii）面积最大值为，此时点坐标为. 【详解】（1）由椭圆得，故，，因此左焦点，右焦点，离心率. （2）（i）设直线的方程为，斜率不存在时直线与圆不相切，舍去. 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径1，即，解得，即. 因直线不过第二象限，时纵截距为，经过第二象限，舍去，故，直线方程为. 联立，消去得。设，由韦达定理得. 弦长. （ii）设为椭圆上任意点，满足，到直线的距离. 令，则（为辅助角），取值范围为. 故最大值为，. 三角形面积，因此. 此时，联立椭圆方程解得，即. ▌题型02 与双曲线有关的范围、最值问题 1、双曲线上动点到定点、定直线的距离最值 动点到定点：设坐标（普通坐标/参数方程），写出距离平方d2=(x−x0)2+(y−y0)2，利用双曲线方程消元，结合定义域或求最值。 双曲线开放，经常只有最小值，无最大值。 动点到定直线：点到直线距离公式d=，代入参数方程转化三角函数求解。 补充：双曲线上点到渐近线距离范围：(0,b] 2、 直线与双曲线相交的范围、最值 3、 常见问题：弦长最值、三角形面积最值、参数k,m范围、斜率范围固定流程： 设直线：y=kx+m，单独讨论斜率不存在x=t 联立双曲线方程，整理：Ax2+Bx+C=0 重中之重：A=0 时，直线平行渐近线，只有一个交点，不是相交！此时不能用韦达、Δ！ 若A=0，才是二次方程，写Δ>0（交于两个不同点的条件） 韦达定理：x1+x2,x1x2​​ 写出目标式（弦长、面积等），全部换成参数表达式 换元，转化二次、对勾函数，结合Δ>0、A=0求范围最值 配套公式弦长：∣AB∣=​ 面积：S=∣AB∣·d，d为定点到直线距离 3、离心率范围 双曲线离心率e=ac，固定前提：e>1 思路： 根据题意找不等关系：动点范围、三角形三边关系、Δ>0、夹角条件、交点在左 / 右支限制 转化为a,b,c不等式 两边除以a2，化为关于e的不等式，结合e>1求解 【典例2】已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 【变式2-1】已知曲线：，则曲线上的点到距离的最小值为__________． 【答案】 【详解】由题意知，， 令，则，令 由于函数在均为单调递增函数， 所以函数在上单调递增， 因为，所以的根为，即， 所以曲线的方程为， 所以曲线上的点到距离满足： ， 当且仅当时等号成立， 所以，即曲线上的点到距离的最小值为 【变式2-2】已知双曲线：（，）过点，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 【答案】(1) (2)① ②由（1）知，，故. 在中，由余弦定理可得， 即； 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以， 所以； 设的高为，所以，因此； 又因为与的高相等， 所以. 【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，. ①点在双曲线右支上运动，由双曲线定义得，即. 圆：圆心为，半径，点在圆上，则（当且仅当在线段上时取等号）. 所以 又（当且仅当在线段上时取等号）， ， 所以（当且仅当在线段上，在线段上时取等号）， 所以的最小值为. ②略 【变式2-3】双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，实轴长为2，点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为______． 【答案】 【详解】由，所以.，所以，所以， 因此双曲线的方程为，两条渐近线方程分别为：，：. 不妨设点在第一象限，如图，，显然四点共圆，直径为. 设与的夹角为，因为渐近线的斜率为，所以. 在中，由正弦定理得，，所以. 设，由，所以， ，因为， 所以，即的最小值为1，因此的最小值为. ▌题型03 与抛物线有关的范围、最值问题 1、抛物线上动点的距离最值 动点到定点距离：设点，距离平方d2=(x−x0)2+(y−y0)2，利用抛物线方程消元，变成单变量二次函数，结合定义域x≥0求最值。优先算距离平方，去掉根号简化计算。 动点到焦点 / 准线距离：直接用定义转化。 例：求∣PA∣+∣PF∣最小值（A 是定点，F 焦点）：∣PF∣换成P到准线距离，三点共线时最小。 动点到定直线距离：点到直线距离公式，消元后函数求最值。 2、直线与抛物线相交的范围、最值（大题高频） 常见：弦长最值、三角形面积最值、参数k,m范围、∣PA∣⋅∣PB∣最值固定流程： 设直线：优先考虑两种形式① y=kx+m（有斜率，注意k=0时直线平行对称轴，只一个交点，不能用韦达）② x=ty+m（推荐！ 避开斜率不存在讨论，t=0 代表垂直 x 轴） 联立抛物线方程，整理一元二次方程 检验二次项系数：如果二次项为 0，直线平行对称轴，只有一个交点，不能用 Δ、韦达 二次方程时，写Δ>0（交于两个不同点的限制条件） 韦达定理：y1+y2​,y1y2（用x=ty+m联立，韦达是 y 的式子，计算更简单） 写出目标式（弦长、面积等），换成参数表达式 换元，二次函数、对勾函数、基本不等式求最值，结合Δ>0检验 配套公式弦长（设x=ty+m）：∣AB∣==​​​ 面积：S=∣AB∣·d，d是定点到直线距离 3\焦点弦的范围与结论 过焦点的直线交抛物线y2=2px(p>0)于 A、B ∣AB∣=x1+x2+p 最短焦点弦是通径：长度2p（直线垂直 x 轴时），焦点弦没有最大值，可以无限大。 （定值） 【典例3】已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. 【变式3-1】已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 【变式3-2】在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点. (1)用表示点到点的距离； (2)设，是曲线上的动点，求的最小值； (3)设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）由曲线，则焦点，准线为， 所以根据抛物线的定义，得. （2）当时，直线，则， 设，则， 则， 所以时，取得最小值. （3）存在，当时，直线，则，, 已知，设，， ①若，则， 因为在矩形中，，， 所以，， 又不在曲线上，则此情况不成立； ②若，则PF的斜率， 因为在矩形中，，则，得， 所以直线QF为， 则Q点纵坐标，得， 所以，， 因为在矩形中，， 设，则， 所以，得到， 要使得点在上，则将代入， 得到，解得， 又，得，即. . 【变式3-3】已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，即点的坐标为时，取最小值， 则点到直线的距离的最小值是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线有关的范围、最值问题 （题型突破·举一反三） 题型01 与椭圆有关的范围、最值问题 题型02 与双曲线有关的范围、最值问题 题型03 与抛物线有关的范围、最值问题 ▌题型01 与椭圆有关的范围、最值问题 1、椭圆上动点到定点/定直线的距离最值 点到定点：设点（普通坐标/参数坐标），写出距离平方d2=(x−x0)2+(y−y0)2，消元变成一元二次函数，结合椭圆定义域求最值。优先算距离平方，避免根号，简化计算。 点到定直线：点到直线距离公式 d=，代入参数方程，三角函数求最值。 注意：焦点在 x 轴上，椭圆上点到左焦点距离范围：[a−c,a+c]；到右焦点也是[a−c,a+c]（由第一定义，焦半 径范围结论，填空直接用） 焦半径公式：P(x0,y0)在右半椭圆，∣PF1∣=a+ex0,∣PF2∣=a−ex0，e离心率，x0∈[−a,a]，一眼看出范围。 2、直线与椭圆相交的范围、最值 常见求：弦长最值、三角形面积最值、斜率范围、参数k/m范围、∣PA∣·∣PB∣最值固定流程： 设直线：y=kx+m（单独讨论斜率不存在） 联立椭圆方程，整理一元二次方程 写出判别式：Δ>0，这是参数范围的第一个限制条件！ 韦达定理：x1+x2,x1x2​ 写出目标式（弦长、面积等），全部换成k,m的表达式 转化为函数 / 对勾函数 / 二次函数，结合Δ>0给出的自变量范围求最值 配套常用公式弦长：∣AB∣= 面积：S=∣AB∣·d，d定点到直线距离 常见结论：过椭圆内定点的弦，最长弦是长轴，最短弦是垂直于长轴的弦（过中心时） 3、面积最值 S=∣AB∣·d，代入后一般化简成分式函数，两种处理： ① 换元，令t=或者t=k2+1(t≥1)，二次/对勾函数 ② 基本不等式：t+≥2λ，注意等号能不能取到（看t能不能满足Δ>0） 4、离心率范围 思路： 列出不等关系：动点范围、三角形两边之和差、Δ>0、夹角条件 全部转化为a,b,c关系式 两边同除以a2，变成关于e的不等式，结合0<e<1求解 【典例1】已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【变式1-1】已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是____________. 【变式1-2】已知动圆与圆：内切，同时与圆：外切，圆心的轨迹为曲线，，． (1)求曲线的方程； (2)直线经过与曲线交于，两点，的面积为，求直线方程； (3)设，为曲线上一点，在处切线为． （i）证明：切线的方程； （ii）若切线交直线：于点，与交于点，为坐标原点，求的最小值． 【变式1-3】已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； (2)直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． ▌题型02 与双曲线有关的范围、最值问题 1、双曲线上动点到定点、定直线的距离最值 动点到定点：设坐标（普通坐标/参数方程），写出距离平方d2=(x−x0)2+(y−y0)2，利用双曲线方程消元，结合定义域或求最值。 双曲线开放，经常只有最小值，无最大值。 动点到定直线：点到直线距离公式d=，代入参数方程转化三角函数求解。 补充：双曲线上点到渐近线距离范围：(0,b] 2、 直线与双曲线相交的范围、最值 3、 常见问题：弦长最值、三角形面积最值、参数k,m范围、斜率范围固定流程： 设直线：y=kx+m，单独讨论斜率不存在x=t 联立双曲线方程，整理：Ax2+Bx+C=0 重中之重：A=0 时，直线平行渐近线，只有一个交点，不是相交！此时不能用韦达、Δ！ 若A=0，才是二次方程，写Δ>0（交于两个不同点的条件） 韦达定理：x1+x2,x1x2​​ 写出目标式（弦长、面积等），全部换成参数表达式 换元，转化二次、对勾函数，结合Δ>0、A=0求范围最值 配套公式弦长：∣AB∣=​ 面积：S=∣AB∣·d，d为定点到直线距离 3、离心率范围 双曲线离心率e=ac，固定前提：e>1 思路： 根据题意找不等关系：动点范围、三角形三边关系、Δ>0、夹角条件、交点在左 / 右支限制 转化为a,b,c不等式 两边除以a2，化为关于e的不等式，结合e>1求解 【典例2】已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知曲线：，则曲线上的点到距离的最小值为__________． 【变式2-2】已知双曲线：（，）过点，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 【变式2-3】双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，实轴长为2，点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为______． ▌题型03 与抛物线有关的范围、最值问题 1、抛物线上动点的距离最值 动点到定点距离：设点，距离平方d2=(x−x0)2+(y−y0)2，利用抛物线方程消元，变成单变量二次函数，结合定义域x≥0求最值。优先算距离平方，去掉根号简化计算。 动点到焦点 / 准线距离：直接用定义转化。 例：求∣PA∣+∣PF∣最小值（A 是定点，F 焦点）：∣PF∣换成P到准线距离，三点共线时最小。 动点到定直线距离：点到直线距离公式，消元后函数求最值。 2、直线与抛物线相交的范围、最值（大题高频） 常见：弦长最值、三角形面积最值、参数k,m范围、∣PA∣⋅∣PB∣最值固定流程： 设直线：优先考虑两种形式① y=kx+m（有斜率，注意k=0时直线平行对称轴，只一个交点，不能用韦达）② x=ty+m（推荐！ 避开斜率不存在讨论，t=0 代表垂直 x 轴） 联立抛物线方程，整理一元二次方程 检验二次项系数：如果二次项为 0，直线平行对称轴，只有一个交点，不能用 Δ、韦达 二次方程时，写Δ>0（交于两个不同点的限制条件） 韦达定理：y1+y2​,y1y2（用x=ty+m联立，韦达是 y 的式子，计算更简单） 写出目标式（弦长、面积等），换成参数表达式 换元，二次函数、对勾函数、基本不等式求最值，结合Δ>0检验 配套公式弦长（设x=ty+m）：∣AB∣==​​​ 面积：S=∣AB∣·d，d是定点到直线距离 3\焦点弦的范围与结论 过焦点的直线交抛物线y2=2px(p>0)于 A、B ∣AB∣=x1+x2+p 最短焦点弦是通径：长度2p（直线垂直 x 轴时），焦点弦没有最大值，可以无限大。 （定值） 【典例3】已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【变式3-1】已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点. (1)用表示点到点的距离； (2)设，是曲线上的动点，求的最小值； (3)设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【变式3-3】已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 圆锥曲线有关的范围、最值问题 (题型突破举一反三) 目录 题型01与椭圆有关的范围、最值问题 题型02与双曲线有关的范围、最值问题 题型03与抛物线有关的范围、最值问题 题型01与椭圆有关的范围、最值问题 典例精析 【典例1】10+V5/W5+10 举一反三 【变式11】（-o,-V5） 【变式12】(1)设动圆C的半径为r,圆心C(x,),圆G的圆心为G(山，0)，半径片=3：圆C2的圆心为 C2(-1,0),半径2=1， 由动圆C与C内切，得CC=3-r,由动圆C与C2外切，得CC=1+r, 两式相加得CC+CC,=4, 因为CC=2,且4>2，根据椭圆的定义，圆心C的轨迹是以C,C2为焦点的椭圆， 其中2a=4→a=2,焦距2c=2→c=1,则b2=a2-c2=3, 又动圆半径r>0,故轨迹去掉左顶点（-2,0) 改线6的力置为苦+号=〔x子2》 （②直线过点B-0)曲线6的方起为香+号-〔：-2) ①当直线的斜率不存在时， 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直线：x小代入E的方程得=号剥w=3, 点42.0到直线-1的原高为，面积5=3x3-号2， 25,不符合题意： ②当直线1的斜率存在时，设直线：y=k(x+),M(x,y),N(:,2), y=k(x+1) 联后兮-1去，理特 (3+4k2）x2+8k2x+42-12=0 判别式△=14(2+1)小>0，由韦达定理5+5=-，8 4k2-12 +4k2,x3= 3+4k2, 一12(k2+1) 由弦长公式得MN=+及G+广-4=3+42 点420)到直线-y+k=0的距滨为d= Vk2+11 放三角形面积S-MWd-181_126 3+4k2 5 令1=k2≥0，平方化简得112-21-36=0，解得1=3（负根舍去），即k=±V5, 所以直线1的方程为y=V5(x+),或y=-V5(x+l),即3x-y+V3=0或V3x+y+V5=0. B/ 6)心点为)在图上，教足于+号-1.即3心46=n 设切线马的方程为y-%=k(x-),即y=x+(-),记m=-,则y=c+m, 代入N方子号1，符号他-.装理得6+F84r-回0 3 因为直线与椭圆相切，所以判别式△=(8km)2-43+4k2)(4m2-12)=0, 展开并化简得642m2-43+42)(4m2-12）=0,即m2=3+4k2, 因为m=%-,所以0，-)2=3+42，即-2+k2=3+4k2 2/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 移项整理为关于k的方程得2（号-4-2x,yk+(-3)=0, 由于3x6+4=12,有x66-(-4)(-3)=3x+4-12=0, 故该方程判别式△=4x6-4(号-4(-3)=0， 3xo 所以k=- 滨普 2得-4=-46，代入 k==- 出3x+4= 4 4y0, 3 3 将切线斜率k= 3xo 代入切线方程得-乃一4x-,所以4y-4以=-3，x壬 4y 即3xx+4yy=3x6+4y=12」 所以切线马的方程为3xx+4yy-12=0,得证 6-3x (切线，的方程为3xx+4y-12=0将x-2代入切线，的方程，得Q22。 0)南PW小所p4的方捉为产2-2列。 B(-0)和g斜率0=2-名 2分，所以0的方程为少=2(+)。 2y% 联立两直线方程，利用3式+4城=12化尚，可得%-8 名+10s x+10 o-+.,代xG,.g果or.社P 4 (x。+10)2 令6=x+10(6∈(8,12])，则x0=6,-10, 6 to 17「11 )=2592-62n+37是开口向上的=次函数，对将轴为1=名428， 代入得最小值为 3/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2592 144 4 4 故OR的最小值为4 B A 【变式13】()由椭圆C: 4+少=1得=4，B=1,故a=2:c=V-B=5,因此左焦点 F5.0小，右焦点E,0离率e=仁=5 a 2 (2) (①设直线的方程为y=k(-V3),斜率不存在时直线x=V5与圆r+y=1不相切，舍去 直线与圆相切，圆心0.0到直线的距离等于半径1，即、+ 知-1，解得片即k= 2 3 因直线不过第二象限，k=-2 时纵截距为 >0,经过第二象限，舍去，故k= 2，直线，方程为 2 x-V3) 2 +y21 4 联立 2 消去y得3x2-4W3x+2=0。设4x,Bx,乃)，由韦达定理得 y2(x-3) 4v5 x+x2= 2 516×38_E.26=2. 弦长B1+G+-4629-3V23 (i) 50为俯圆上任意点。满起手+店-1，p到直线：2x-2y-石-0的房 d=1V2x,-2,-V6 6 令x=2cos0,6=sin0,0e[0,2m),则V2x,-2y=2V2cos0-2sin0=2V3sin(0+p)(p为辅助角)，取 4/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值范围为[-2V3,2V3]. 的-2%61限大位为2w5+6d256-51 √6 三角形面积S引4B1d,因此S×2x(5+)=5+1 26V3 此时，52，二25’联立椭圆方程解得=-3=，即P 3 Γ33 D 题型02与双曲线有关的范围最值问题 E 典例精析 【典例2】D 举一反三 V14 【变式2-1】 2 【变式22】 (1)由题意得e=9=3 a 2 解得a=2, 所以双曲线 的方程为 c2=a2+b2 b=5 x2 y2 c=3 451 (2)由(1)知，A(-2,0),B(2,0),E(-3,0),E(3,0) ①点P在双曲线右支上运动，由双曲线定义得PF-PF引=2a=4,即PF=PF+4. 圆M:x2+(y-3)=1圆心为M(O,3),半径r=1,点Q在圆上，则P四PPM-rPM1-1(当且仅当Q 在线段PM上时取等号)· 所以Pg+PF=|Pg+|PF+4≥PM-1+|PF+4=PM+PE+3 又PM+|PFRIMFI(当且仅当P在线段ME上时取等号)， 5/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1ME=V3-0)2+(0-3}=18=3V2, 所以PO+PF≥3W2+3(当且仅当P在线段M上，9在线段PM上时取等号)， 所以Pg+PF的最小值为3W2+3 BF末 ②由(1)知，A(-2,0),B(2,0),E(-3,0),F(3,0),故AB=4,FF=6. 在A4PB中，由余弦定理可得ABP-APP+|PBP-2引AP-1PB1co 6 16 APP+IPBP-3-1API-IPBI>(2-3)1 API-IPBI: 由塑可风AHP手以上式不能取客，所以1P水2 =16(2+V3) 所以5.名-4Hak42+, 设aP4B的商为h:所以Se4Bh=2h,因t2<42+与hc20+: 又因为aPF5与APMB的高相等，所以S=FFh=3h<62+3)=12+65 FA O B F2 x 【变式231 3 2 题型03与抛物线有关的范围、最值问题 典例精析 6/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例3】B 举一反王 【变式3-1】B 【变式32】(1)由曲线「：y=8x,则焦点F2,0),准线为x=-2, 所以根据抛物线的定义，得BF=x+2=1+2, (2)当t=6时，直线1：x=6,则4(6,0)， 设P(x%),0≤≤6，%≥0，则=8x0, 则P=V(x-6}+=-12x+36+8x,=V(x-2}+32 所以，=2时，PA取得最小值4V2。 (3)存在，当1=8时，直线1：x=8,则A(8,0),B(8,8) n2 已知r2.0设P8” 0≤n≤8' ①若8 =2,则P(2,4) 因为在矩形FPEQ中，FP⊥FQ,FP+F@=FE, 所以Q(8,0),E(8,4), 又E(8,4)不在曲线「：y=8x上，则此情况不成立： +2，则PF的斜率km-16 8n ②若8 因为在矩形FPEQ中，FP1FQ,则kpk=-1,得kar= 6-n2 8n; 所以直线Q6为y-16g-。 48-3n2） 所印号-2小顶-6） 因为在矩形FPEQ中，FP+FO=FE 设E(x,yE),则FE=(xg-2,yE), 7/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以FP+FO= +448+n 4n =(xs-2,y),得到E 4n n2 48+n2 要使得点E在上，则将 (8+6 4n 代入y=8x 48+n2）2 得到4n 解得- P 得n=4v5 5 B x=8 【变式33】B 8/8