第4章 相交线和平行线（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版七年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第4章相交线和平行线·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，C岛在B岛的北偏西50°方向.求 ∠ACB的度数() 北 DA AE B A.90 B.85o C.80° D.50° 【答案】B 【分析】根据方向角和平行线的性质求解即可. 【详解】解：由题意得，∠DAC=35°，∠EBC=50°， 过点C作CF‖DA, 北 北 DA AE B .∠ACF=∠DAC=35°， DA‖BE .CF‖EB, ∴.∠BCF=∠EBC=50°， ∴.∠ACB=∠ACF+∠BCF=35°+50°=85°」 2.如图，直线ab,直线l分别与直线a,b相交于点P,Q,PA⊥1于点P.若∠2=26°，则∠1的度数 为() 1125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.26° B.36° C.116° D.64° 【答案】D 【分析】根据垂直定义可知∠BPA=90°，根据角之间的关系可以求出∠CPQ=64°，根据两直线平行， 内错角相等可以求出∠1=∠CPQ=64°. 【详解】解：如下图所示， .PA⊥I于点P .∴.∠BPA=90°， ,∠2=26°， .∴.∠BPC=∠BPA+∠2=90°+26°=116°， ∴.∠CPQ=180°-∠BPC=180°-116°=64°， .ab, .∴.∠1=∠CPQ=64°. B 一A 2 P -b 3.如图，直线112，则∠a,∠阝，∠1，∠2一定满足() a 2 2 A.∠1+∠2+∠B-∠a=180° B.∠1+∠2+∠a+∠B=360° C.∠1+∠B=∠2-∠a D.∠Q+∠B=∠1+∠2 【答案】A 【详解】解：如图所示：作l1的平行线l3,4, 2125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 -141l2 :1121314, .∴.∠1=∠3，∠4=∠5，∠6+∠2=180°， 又.∠a=∠3+∠4，∠β=∠5+∠6， ∴.∠1+∠2+∠B-∠a=∠1+∠2+∠5+∠6-∠3-∠4=∠2+∠6=180° 4.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB,CD,若CDBE,∠1=25°，则 ∠2的度数是() C D B A.70° B.75 C.80° D.85° 【答案】C 【分析】如下图所示：由折叠的性质可得∠3=∠1=25°，从而求得∠4=50°，再根据平行线的性质和 补角的性质得∠5=∠4=50°，又∠6=180°-∠5=130°，且∠6=∠5+∠2从而求出∠2， 【详解】解：如图所示：由折叠的性质，可得∠3=∠1=25°， C 6 D 4 B A ∴.由平行线的性质可得∠4=∠1+∠3=50°， ,CD‖BE,AC‖BD 3125 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EBD+∠4=180° ∠EBD+∠5=180°， ∴.∠5=∠4=50°， ∠6=180°-∠5=130°， 又由折叠可知∠6=∠5+∠2， ∴.∠2=∠6-∠5=130°-50°=80°. 5.将一副三角板中的两块直角三角板如图所示放置，已知PQ‖MN,∠ACB=∠EDF=90°， ∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠=60°.则∠B-∠a=() D F MB AN A.135° B.150° C.125° D.130° 【答案】A 【详解】解：如图，过点E作EGPQ D p .PQ‖MW F MB AN .'PQ MN EG, ∴.∠GEF=∠CAB=45°， .∴.∠DEG=∠g-∠GEF=15°， ∴.∠a=∠DEG=15, .∠B=180°-∠DFE=150°， .∴.∠B-∠a=135°. 4/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若∠2=30°，则AC‖DE;②若BC‖AD, 则∠2=45°：③∠2+∠CAD=180°：④若∠CAD=150°，则∠4=∠C;⑤若∠1=15°，则 CBDE,其中正确的个数是() 47B D A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【分析】根据题意可知∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，证明 ∠1=∠E,可判断①正确；根据平行线的性质可判断②正确：根据∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 可判断③正确：证明AC‖DE,即可判断④正确：先求出∠2=75°，∠AFB=60°，从而得到 ∠E=∠AFB,可判断⑤正确. 【详解】解：由题意，知∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°， .∠2=30°， .∴.∠1=∠BAC-∠2=60°， ∴.∠1=∠E, ∴.AC‖DE,故①正确，符合题意： BC AD. ∴.∠3=∠B=45°， ∴.∠2=∠DAE-∠3=45°，故②正确，符合题意： .∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴.∠2+∠CAD=∠2+∠1+∠2+∠3=90°+90°=180°，故③正确，符合题意： .:∠CAD=150°，∠D=30°， ∴.∠CAD+∠D=180° .AC DE, ∴.∠4=∠C, 故④正确，符合题意： 5125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B .∠1=15° A .∠2=90°-15°=75°， ∴.∠AFB=180°-∠2-45°=60°， .∵∠E=∠AFB=60° ∴.CB‖DE,故⑤正确，符合题意， 其中正确的个数是5. 7.如图，AB‖CD,∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F, ∠BEC-∠BFC=15°，则∠E的度数为() A D A.60° B.70° C.80° D.90° 【答案】B 【分析】过点E、F分别作AB的平行线，设∠ABE=2a,∠DCE=2B,因为ABCD,所以所作直 线也平行于CD,利用平行线的同旁内角互补和内错角相等性质，依据角平分线的定义，将BF平分 ∠ABE、CG平分∠DCE的条件转化为角的倍分关系，分别将∠BEC、∠BFC用α和B表示.结合 己知条件∠BEC-∠BFC=15°，将得到的两个角的表达式代入，求出Q-B,即可求解∠BEC的度数. 【详解】解：过点E作EM‖AB,过点F作FN‖AB,设∠ABE=2a,∠DCE=2B, C--N D 则∠BEM=180°-∠ABE=180°-2a, ,BF平分∠ABE :∠ABF=∠ABE=a, :FN‖AB, 6125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、∠BFN=∠ABF=a, ,AB‖CD,EM‖AB, .EM‖CD ∴∠CEM=∠DCE=2β， .∠BEC=∠BEM+∠CEM=180°-2a+2B=180°-2a-B, ,CG平分∠DCE, ·∠DCG= 4 DCE=B. ..FN AB,AB CD, FN‖CD .∠NFG=∠DCG=B, ∴∠BFC=∠BFN-∠NFG=a-B, ∠BEC-∠BFC=15°， ∴.180°-2a-β-a-B=15°， ∴.a-B=55°， :∠BEC=180°-2a-β=180°-2×55°=70° 8.如图，已知AB‖CD,∠D=100°，EF平分∠BED,点G是CD上的一个定点.点P是直线EF上 的一个动点，设∠EPG=&,∠PGD=B,则点P在运动过程中，Q与B的关系不可能是() A.a-β=50° B.a+β=50° C.a+β=130° D.β-a=50° 【答案】D 【分析】分三种情况讨论点P的位置：当点P在AB,CD之间时，当点P在CD的下方时，当点P在AB的上 方时，利用平行线的性质和角平分线的定义推导α与β的关系，即可求解. 【详解】解：：ABCD,∠D=100°， ∴.∠BED=∠D=100°， EF平分∠BED, 7125 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六∠BEF=∠些=1 ∠BED=50°， ∴.∠AEF=180°-∠BEF=130°， 当点P在AB,CD之间时，如图，过点P作PQ‖AB .PQ‖AB‖CD, ∴、∠EPQ=∠BEF=50°，∠GPQ=∠PGD=B, ∴.∠EPG=∠EPQ+∠GPQ=50°+B,即a=50°+B,a-B=50°，故A可能： 当点P在CD的下方时，如图，过点P作PQ‖CD, E G D .PQ‖AB‖CD,∠QPE=∠=50°，∠QPG=∠PGD=B, ∴∠EPG=∠QPE-∠QPG=50°-B,即a=50°-β，a+B=50°，故B可能： 当点P在AB的上方时，如图，过点P作PQ‖AB, G万 .PQ‖AB‖CD ∴∠QPE=∠AEF=130°，∠QPG=∠PGD=β， ∴∠EPG=∠QPE-∠QPG=130°-β，即a=130°-β，a+B=130°，故C可能： 综上所述，a与B的关系不可能是B-Q=50°.故选D. 9.如图，点P是直线l外的一点，现有直线l上可任意移动的线段AB(B在A的右侧)和CD(D在C的右 侧)，连接PA,PB,PC,PD,已知AB=3,CD=5,当PA+PC的最小值为8时，△PBD的面积是 () 8125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C D A.20 B.16 C.8 D.4 【答案】D 【分析】设点P到直线I的距离为h,垂足为O,作出PA+PC的最小值为8时的图形，计算即可. 【详解】解：设点P到直线的距离为h,垂足为O, .A、C都在直线上， ∴.PA≥PO=h,PC≥PO=h, ∴.PA+PC≥2h, 当且仅当A、C、O重合时取等号，如图所示， D O(A、C)B D .PA+PC的最小值为8， ∴.2h=8,解得h=4, 即点P到直线的距离为4， .AB=3,CD=5,且B在A右侧，D在C右侧， ∴.BD=CD-AB=5-3=2, 此时△PBD的底边BD=2,高为h=4, 58mBDh=×2×4=4 2 选D 10.如图，己知EF‖GH,A,D为GH上的两点，M,B为EF上的两点，延长AM至点C,AB平分 ∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分∠FBC,若∠ACB=110°，有下列结论：① ∠ABM=∠BAM,②∠NBC=∠BDH:@设∠CBM=a,则∠BAD=55o-之a,@∠DBA=55 9125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中，正确的有() E G H A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 【答案】B 【分析】求出∠DAB=∠MAB,∠ABM=∠DAB,可判断①正确；求出∠NBF=∠BDH, ∠NBC=∠NBF可判断②正确：过点C作CP‖EF,可求出∠CMB=180°-∠PCM=70°-a,从而 ∠DAC=∠CMB=70°-α，然后根据角平分线的定义可判断③错误：由③知 ∠ABM=∠BAD=35°-C,求出∠ABN=∠ABC+∠CBN=125°，进而可判断④正确 【详解】解：.AB平分∠DAC, ∴.∠DAB=∠BAM, .EF‖GH, .∠ABM=∠DAB, .∴.∠ABM=∠BAM,故①正确： :EF‖GH, ∴.∠NBF=∠BDH, .'BN平分∠FBC, ∴.∠NBC=∠NBF, ∴.∠NBC=∠BDH,故②正确： 如图，过点C作CP‖EF C P M ∴.∠BCP=∠CBM=a∠PCM+∠CMB=180 G -H A D .∠ACB=110°， ∴.∠PCM=∠ACB+∠BCP=110°+a, ∴.∠CMB=180°-∠PCM=180°-110°+a=70°-， 10125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF GH, ∴.∠DAC=∠CMB=70°-a, .AB平分∠DAC, ∠BAD= 2<DAC=350-1。 ,故③错误： .'∠CBM=a, .∴.∠FBC=180°-a, .BN平分∠FBC, ∠CBw= ∠FBC=90-1。 由③知∠ABM=∠BAD=350-1 , ∠ABC=∠ABM+∠CBM=35°-)a+a=35+号 0, 2 ∴.∠ABN=∠ABC+∠CBN=35+a+90- 5a=125°， .点N在直线DB上， ∴.∠DBA=180°-∠ABN=180°-125°=55°，故④正确. 综上所述，正确的结论有①②④. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，已知AC‖DB,AB‖DF,EC‖DG,延长EC交DB于点H,射线DF在∠BDG内部，若 ∠ECA=60,∠FDG=28°，则∠ABD的度数为 B 【答案】32 【分析】由AC‖DB,利用平行线的同位角相等性质，可得∠ECA与∠EHB的等量关系.由EC|DG, 利用平行线的同位角相等性质，可得∠EHB与∠BDG的等量关系，从而推导得到∠BDG的度数.结合 11125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知∠FDG的度数，通过角的和差关系计算出∠BDF的度数.由AB‖DF,利用平行线的内错角相等 性质，可得∠ABD与∠BDF的等量关系 【详解】解：：AC‖DB, ∴.∠ECA=∠DHC=60°」 ,EC‖DG .∠BDG=∠DHC=60°. ∠BDF=∠BDG-∠FDG=60°-28°=32° :AB‖DF, ∴.∠ABD=∠BDF=32° I2.如图，已知直线ABCD,点F为直线AB上一点，G为射线BD上一点.若∠HDG=2∠CDH, ∠GBE=2∠EBF,HD交BE于点E,则∠E的度数为· H 【答案】 60° 【分析】根据平行线的性质，结合题意得到∠CDB=∠DBF=3∠EBF,∠CDG=3∠CDH,由平角 的定义得到∠CDH+∠EBF=60°，如图所示，过点E作EM‖CD,根据平行线的性质得到 ∠DEB=∠MED+∠MEB=∠CDH+∠EBF,由此即可求解. 【详解】解：，AB‖CD, ∴∠CDB=∠DBF, ∠DBF=∠DBE+∠EBF,∠GBE=∠DBE=2∠EBF, ∴.∠DBF=2∠EBF+∠EBF=3∠EBF=∠CDB. ,∠HDG=2∠CDH, ∴.∠CDG=∠CDH+2CDH=3∠CDH, ∠CDB+∠CDG=180°， .3∠EBF+3∠CDH=180°， .∠EBF+∠CDH=60°， 12125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，过点E作EM‖CD C D --->E .CD‖EM‖AB, ∴∠CDH=∠MED,∠EBF=∠MEB ∴∠DEB=∠MED+∠MEB=∠CDH+∠EBF=6O°. 13.如图，OC平分∠AOB,CD的延长线DE平分∠FDB,CD‖OB,OA‖DF,己知∠C=I50° 则∠B的度数为 D E B 【答案】60°160度 【分析】由平行线的性质可得∠BOC=30°，由角平分线的定义可得∠AOB=2∠BOC=60°，延长 DC交OA于点G,再由平行线的性质得出∠FDE=∠AGC=60°，由角平分线的定义可得 ∠BDE=∠FDE=60°，最后再由平行线的性质即可得出结果. 【详解】解：，CDOB,∠OCE=150°， .∠BOC=180°-∠OCE=30°， OC平分∠AOB, ∴.∠AOB=2∠BOC=60°， 如图，延长DC交OA于点G, D 13125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD OB, .∠AGC=∠AOB=60°， OA‖DF, ∴∠FDE=∠AGC=60°， DE平分∠FDB ∴.∠BDE=∠FDE=60°， ,CD‖OB .∠B=∠BDE=60° 14.如图，已知直线l1‖l2,点A,D在直线1上，点B,C在直线l2上，BE平分∠ABC,DE平分 ∠ADC,射线BE,DE交于点E.若DE‖AB,且∠ABC-∠BCD=30°，则∠DEB的度数为 【答案】145° 【分析】根据平行线的性质得出∠DAB+∠ABC=180°，∠ADE+∠DAB=180°，从而推出 ∠ADE=∠ABC,结合角平分线的定义和平行线的性质得出∠ADC=2∠ABC,再利用 ∠ADC+∠BCD=180°及已知条件求出∠ABC的度数，最后过点E作平行线，利用平行线的性质求解 即可. 【详解】解：山1l2, ∴∠DAB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ,DE‖AB ∴∠ADE+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴.∠ADE=∠ABC, DE平分∠ADC, .∠ADC=2∠ADE=2∠ABC, :l112, :.∠ADC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴，2∠ABC+∠BCD=180°， 14125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠ABC-∠BCD=30°， ∴.∠BCD=∠ABC-30°， 2∠ABC+∠ABC-30°=180°， 解得∠ABC=70°， ÷∠ADE=70,∠CBE=2ABC=35, 过点E作EFl1,如图： 112, 2.EF, .∠=180°-∠ADE=180°-70°=110°，∠BEF=∠CBE=35°， ∴.∠DEB=∠g+∠BEF=110°+35°=145° 15.将一副三角板如图所示摆放在一起，己知AB‖GH,∠DFE=45°，∠BAC=60°，AC‖EF,则 下列结论：①BC‖ED;②∠EFG=2∠ADE;③∠ACF=3∠DCB;④ ∠ACF+3∠DFH=180°.其中正确的是 (填序号). 4 D B G H 【答案】①②③ 【分析】根据平行线的判定和性质，结合互余和互补角的定义，逐一分析各结论即可， 【详解】解：：∠DFE=45°，AC‖EF, ∴.∠ACD=∠DFE=45°， ,∠ACB=90°， ∴.∠DCB=90°-∠ACD=45°， ,∠EDF=90°-∠DFE=45°， .∠DCB=∠EDF, 15125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BCDE,故结论①正确： ,AB‖GH, ∴.∠BDC=∠DFG, BC‖DE, ∴∠ADE=∠DBC=90°-60°=30， ∴.∠DFG=∠BDC=180°-30°-45°=105°， ∴∠EFG=∠DFG-45°=60°， :.∠EFG=2∠ADE,故结论②正确： ,∠ACD=45, .∠ACF=180°-45°=135°， :∠DCB=45, :.3∠DCB=135°=∠ACF,故结论③正确： .∠DFG=105°， ∴.∠DFH=180°-105°=75°， ,∠ACF=135°， ·∠ACF+3 DFH=1350+3×750=191.25°≠180°，赦结论④错误. 4 ∴.正确的结论是①②③ 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)已知：如图，在三角形ABC中，∠1+∠2=180°，∠B=∠3.求证：∠BAC=∠DFC. D 【答案】证明：：∠1+∠=180°，又∠1+∠2=180°， ∴∠2=∠就， .EF‖BC, .∠CDF=∠3，(3分) ,∠B=∠3， 16125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CDF=∠B,(5分) .DF‖AB ∴∠BAC=∠DFC.(8分) 【分析】先证明EF‖BC,推出∠CDF=∠3，再证明DF‖AB,即可推出∠BAC=∠DFC, 【详解】略 I7.(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D,点G在BC上，过点G作GF⊥AB交AB于点 F,点E在AC上，连接EF,∠1=∠2.请判断∠FEC与∠ECB是否互补，并说明理由. D E G 【答案】∠FEC与∠ECB互补(1分)，理由如下： CD⊥AB,GF⊥AB, ∴CD‖GF, .∠2=∠BGF,(3分) .:∠1=∠2（已知）， .∠1=∠BGF(等量代换).(5分) ∴.EFBC(内错角相等，两直线平行)·(7分) .∠FEC+∠ECB=180°（两直线平行，同旁内角互补）· 即∠FEC与∠ECB互补.(8分) 【分析】由题意可得CDGF,从而得出∠2=∠BGF,结合已知可得∠1=∠BGF,即可推出 EF‖BC,最后由平行线的性质即可得证. 【详解】略。 18.(9分)已知：点E,F,G分别在AB,BC,AC上，BD⊥AC于点D,∠1=∠A,∠2+∠4=180°， 求证：EG⊥AC. 17125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3 94 D 【答案】证明：.∠1=∠A, .DF‖AB, ∴.∠2=∠3，(2分) .·∠2+∠4=180°， ∴.∠3+∠4=180°， ∴.EG‖BD,(5分) .BD⊥AC, ∴.∠BDC=90°，(7分) ∴.∠EGC=∠BDC=90°， ∴.EG⊥AC.(9分) 【分析】根据已知条件，通过角的关系和平行线的判定与性质来证明EG⊥AC 【详解】略 19.(9分)已知：直线ABCD,经过直线AB上的定点P的直线EF交CD于点O,点M,N为直线CD 上的两点.当点M在点O右侧，点N的左侧时，连接PM,PN,满足∠MPN=∠MNP.如图所示，射 线PQ为∠MPE的角平分线，用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关系并证明. A O M D 【答案】∠NPQ=)∠POM,(1分)证明如下： 设∠MPN=∠MNP=a,∠POM=B, AB‖CD, 18125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BPN=∠PNM=a,∠EPB=∠POM=B .∴∠MPE=∠BPN+∠NPM+∠EPB=2C+B,(5分) PQ平分∠MPE, :∠QPM=号∠MPE=2a+E=a+g 2 (7分) 、∠NPQ=∠QPM-∠MPN=a+g-a=E-号∠POM.(9分) 221 【分析】利用平行线性质、角平分线定义进行角度代换，设∠MPV=∠MNP=x,∠POM=B,把 ∠NPQ和∠POM用设定的角度表示，推导出二者数量关系， 【详解】略 20.(9分)如图，ABCD,AP⊥AC,CP平分∠ACD,求证：∠1+2∠2=90° A B 【答案】 证明：AP⊥AC, .∠CAP=90°， ∴.∠BAC=∠CAP+∠PAB=90°+∠1，(2分) .:CP平分∠ACD ∴.∠ACP=∠2， .∴.∠ACD=∠ACP+∠2=2∠2，(5分) AB CD. ∴.∠BAC+∠ACD=180°，(7分) ∴.90°+∠1+2∠2=180°， ∴.∠1+2∠2=90°.(9分) 【分析】利用两直线平行同旁内角互补，结合垂直、角平分线表示∠BAC、∠ACD,代入等式化简得证. 【详解】略 21.(9分)如图，直线AB,CD被直线MN所截，交点分别是E,F.已知AB‖CD,G,H分别是AB, 19/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD上的点，P是线段EF上的点，试探究∠GPH,∠BGP,∠DHP之间的数量关系，并说明理由. G IN 【答案】解：∠BGP+∠DHP=∠GPH:(1分)理由为， 如图，过点P画AB的平行线， M G B (M0 (N .'AB‖CDMN‖AB ∴.CD‖MN.(3分) ∴.∠BGP=∠GPM,∠DHP=∠HPM.(5分) .'∠GPM+∠MPH=∠GPH, .∠BGP+∠DHP=∠GPH.(9分) 【分析】过点P画AB的平行线MN,根据平行线的性质得到∠BGP=∠GPM,∠DHP=∠HPM,根 据角的和差即可得到结论 【详解】略 22.(11分)如图，点D,E,F分别是三角形ABC的边AC,BC,AB上的点，连接DF并延长至点G, 连接BG,DE.已知∠ADG=∠G,∠ABG+∠ADE=180°. (1)求证：AB‖DE: (2)若DE平分∠CDG,∠G=3∠A,求∠AFD的度数. 20125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)证明：，∠ADG=∠G, .BG‖AC,(1分) ∴.∠ABG=∠A.(2分) ,∠ABG+∠ADE=180°， .∠A+∠ADE=180°，(4分) AB‖DE:(5分) (2)解：1得AB‖DE ∴∠AFD=∠EDF,∠EDC=∠A,(7分) DE平分∠CDG, ∴∠EDC=∠EDF, ∠AFD=∠EDC=∠EDF=∠A,(8分) 由∠G=3∠A,设∠A=X,则∠ADG=∠G=3X,∠AFD=∠EDC=∠EDF=∠A=X, ,∠ADG+∠EDC+∠EDF=180°， .3x+X+x=180°，解得x=36°， ·∠AFD=36°.(11分) 【分析】(1通过平行线的判定与性质即可求证： 2由1得∠A+∠ADE=180°，AB‖DE,则∠AFD=∠EDF,∠EDC=∠A,又DE平分 ∠CDG,所以∠EDC=∠EDF,故有∠AFD=∠EDC=∠EDF=∠A,设∠A=X,则 ∠ADG=∠G=3x,∠AFD=∠EDC=∠EDF=∠A=X,然后通过 ∠ADG+∠EDC+∠EDF=180°，再代入即可求解. 【详解】(1)略： (2)解：由1得AB‖DE, ∴、∠AFD=∠EDF,∠EDC=∠A, DE平分∠CDG, ∴.∠EDC=∠EDF, ∴.∠AFD=∠EDC=∠EDF=∠A, 由∠G=3∠A,设∠A=X,则∠ADG=∠G=3x,∠AFD=∠EDC=∠EDF=∠A=X, ,∠ADG+∠EDC+∠EDF=180°， .3x+X+x=180°，解得x=36°， 21125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFD=36° 23.(12分)已知AB‖DE,点C在AB上方，连接BC,CD B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ABC=146°，∠EDC=115°，则∠BCD=°； (2)如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,判断∠ABC与∠F之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在(2)的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G,连接GB并延长至点H.若BH平分 ∠ABC,求∠BGD-∠CGF的值. 【答案】(1)31(2分) (2)解：∠ABC-∠F=90°.(3分) 理由：如图2，过点C作CNAB, C ...W B .∴.∠ABC=∠BCN E D 图2 :AB‖DE, .CN‖EF ∴.∠F=∠FCN.(4分) .'∠BCN=∠BCF+∠FCN, ∴.∠ABC=∠BCF+∠F.(5分) .'CF⊥BC, ∴.∠BCF=90°， ∴.∠ABC=90°+∠F, 即∠ABC-∠F=90°.(6分) (3)解：如图3，延长HG,交EF于点Q,过点G作GP‖EF, 22125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ∴.∠BGD=∠CGQ E D O 图3 AB‖DE, .∠ABH=∠EQG.(7分) .GP‖EF, ∴.∠EQG=∠PGQ,∠EFG=∠PGF, ∴.∠PGQ=∠ABH, ∴.∠BGD-∠CGF=∠CGQ-∠CGF=∠FGQ.(9分) .∠FGQ=∠PGQ-∠PGF, ∴.∠FGQ=∠ABH-∠EFG.(10分) .·BH平分∠ABC,FG平分∠CFD, ∠ABH=克∠ABC,∠EFG=∠CFD, ∠FGQ-3∠ABC-3CFD=∠ABC-∠CFD1.aI分) 由(2)，可得∠ABC-∠CFD=90°， 56FG0×90°=459， 即∠BGD-∠CGF=45°.(12分) 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的 关系 【分析】(1)过C点作CMED,根据平行线的性质和角的和差即可得解： (2)过点C作CN‖AB,可证得CN‖EF,由∠F=∠FCN,结合垂线，从而可求得 ∠ABC-∠F=90°： (3)延长HG,交EF于点Q,过点G作GP‖EF,不难证得∠FGQ=∠ABH-∠EFG,再由角平分 线的定义得∠AB=号∠ABC,∠EFG=号∠CFD,可得 23/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠FGQ= ∠ABC-克<CD-∠ABC-∠CDL.结合2)即可求解 【详解】(1)解：如图1，过C点作CM‖ED, 则∠BCM=∠ABC=146°，∠DCM=∠EDC=115°， ∴.∠BCD=∠BCM-∠DCM=146°-115°=31°. …M D 图1 (2)略 (3)解：如图3，延长HG,交EF于点Q,过点G作GP‖EF, B ∴.∠BGD=∠CGQ E D 图3 AB‖DE, ∴.∠ABH=∠EQG. GP‖EF, ∴.∠EQG=∠PGQ,∠EFG=∠PGF, .∴.∠PGQ=∠ABH, ∴.∠BGD-∠CGF=∠CGQ-∠CGF=∠FGQ. .'∠FGQ=∠PGQ-∠PGF, ∴.∠FGQ=∠ABH-∠EFG .'BH平分∠ABC,FG平分∠CFD, LABH=∠ABC,∠EFG=CFD, ∠FGQ2ABC-3∠CFD∠ABC-∠CFD. 24/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)，可得∠ABC-∠CFD=90°， .∠FGQ=1×90=45°， 即∠BGD-∠CGF=45°. 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的 关系 25/25………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第4章 相交线和平行线·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．求的度数（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线分别与直线，相交于点，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，则，，，一定满足（     ） A． B． C． D． 4．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．将一副三角板中的两块直角三角板如图所示放置，已知，，，，．则（     ） A． B． C． D． 6．将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则；⑤若，则，其中正确的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知，平分，点是上的一个定点．点是直线上的一个动点，设，则点在运动过程中，与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点是直线外的一点，现有直线上可任意移动的线段（在的右侧）和（在的右侧），连接，，，，已知，，当的最小值为8时，的面积是（     ） A．20 B．16 C．8 D．4 10．如图，已知，，为上的两点，，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若，有下列结论：①，②；③设，则，④．其中，正确的有（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，已知，，，延长交于点，射线在内部，若，，则的度数为__________． 12．如图，已知直线，点F为直线上一点，G为射线上一点．若，，交于点E，则的度数为______． 13．如图，平分，的延长线平分，，，已知，则的度数为___________． 14．如图，已知直线，点，在直线上，点，在直线上，平分，平分，射线，交于点．若，且，则的度数为_______． 15．将一副三角板如图所示摆放在一起，已知，，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）已知：如图，在三角形中，，．求证：． 17．（8分）如图，在中，交于点D，点G在上，过点G作交于点F，点E在上，连接，．请判断与是否互补，并说明理由． 18．（9分）已知：点分别在上，于点，，求证：． 19．（9分）已知：直线，经过直线上的定点的直线交于点，点，为直线上的两点．当点在点右侧，点的左侧时，连接，，满足．如图所示，射线为的角平分线，用等式表示与之间的数量关系并证明． 20．（9分）如图，，，平分，求证：． 21．（9分）如图，直线，被直线所截，交点分别是，．已知，，分别是，上的点，是线段上的点．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 22．（11分）如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，连接并延长至点，连接，．已知，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 23．（12分）已知，点在上方，连接，． (1)如图1，若，，则 °； (2)如图2，过点作交的延长线于点，判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，连接并延长至点．若平分，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第4章相交线和平行线·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，C岛在B岛的北偏西50°方向.求 ∠ACB的度数() 北 DA AE B A.90 B.85o C.80° D.50 2.如图，直线ab,直线l分别与直线a,b相交于点P,Q,PA⊥1于点P.若∠2=26°，则∠1的度数 为() 02 A.26° B.36° c.116° D.64° 3.如图，直线l1‖12，则∠a,∠B,∠1，∠2一定满足() A.∠1+∠2+∠B-∠a=180° B.∠1+∠2+∠a+∠B=360° C.∠1+∠B=∠2-∠a D.∠Q+∠B=∠1+∠2 4.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB,CD,若CD‖BE,∠1=25°，则 ∠2的度数是() 117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D A.70° B.75° C.80 D.85° 5.将一副三角板中的两块直角三角板如图所示放置，已知PQ‖MN,∠ACB=∠EDF=90°， ∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠=60°.则∠B-∠a=() D P E ○ M B AN A.135° B.150° C.125° D.130 6.将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若∠2=30°，则AC‖DE;②若BC‖AD, 则∠2=45°：③∠2+∠CAD=180°：④若∠CAD=150°，则∠4=∠C;⑤若∠1=15°，则 CB‖DE,其中正确的个数是() 47B 3 A.5 B.4 C.3 D.2 7.如图，ABCD,∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F, ∠BEC-∠BFC=15°，则∠E的度数为() A.60° B.70° C.80° D.90° 217 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，已知ABCD,∠D=IO0°，EF平分∠BED,点G是CD上的一个定点.点P是直线EF上 的一个动点，设∠EPG=Q,∠PGD=B,则点P在运动过程中，Q与P的关系不可能是() A.a-B=50° B.a+B=50° C.a+β=130° D.B-a=50° 9.如图，点P是直线！外的一点，现有直线l上可任意移动的线段AB(B在A的右侧)和CD(D在C的右 侧)，连接PA,PB,PC,PD,已知AB=3,CD=5,当PA+PC的最小值为8时，△PBD的面积是 () B D A.20 B.16 C.8 D.4 I0.如图，已知EF‖GH,A,D为GH上的两点，M,B为EF上的两点，延长AM至点C,AB平分 ∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分∠FBC,若∠ACB=110°，有下列结论：① ∠ABM=∠BAM,@∠NBC=∠BDH:g设∠CBM=a,则∠BAD=55-2a,④∠DBA=55O 其中，正确的有() E A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） I1.如图，已知AC‖DB,AB‖DF,EC‖DG,延长EC交DB于点H,射线DF在∠BDG内部，若 ∠ECA=60°，∠FDG=28°，则∠ABD的度数为 0 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 12.如图，己知直线AB‖CD,点F为直线AB上一点，G为射线BD上一点.若∠HDG=2∠CDH, ∠GBE=2∠EBF,HD交BE于点E,则∠E的度数为一 H G C B 13.如图，OC平分∠AOB,CD的延长线DE平分∠FDB,CD‖OB,OA‖DF,己知∠C=150°， 则∠B的度数为 A D B 14.如图，已知直线l112,点A,D在直线l1上，点B,C在直线l2上，BE平分∠ABC,DE平分 ∠ADC,射线BE,DE交于点E.若DE‖AB,且∠ABC-∠BCD=30°，则∠DEB的度数为 15.将一副三角板如图所示摆放在一起，已知AB‖GH,∠DFE=45°，∠BAC=60°，AC‖EF,则 下列结论：①BC‖ED;②∠EFG=2∠ADE:③∠ACF=3∠DCB:④ ∠ACF+3∠DFH=180°.其中正确的是 （填序号). 4 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)已知：如图，在三角形ABC中，∠1+∠2=180°，∠B=∠3.求证：∠BAC=∠DFC. D I7.(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D,点G在BC上，过点G作GF⊥AB交AB于点 F,点E在AC上，连接EF,∠1=∠2.请判断∠FEC与∠ECB是否互补，并说明理由. D G 18.(9分)已知：点E,F,G分别在AB,BC,AC上，BD⊥AC于点D,∠1=∠A,∠2+∠4=180°， 求证：EG⊥AC B 7 4 D 19.(9分)已知：直线ABCD,经过直线AB上的定点P的直线EF交CD于点O,点M,N为直线CD 上的两点.当点M在点O右侧，点N的左侧时，连接PM,PN,满足∠MPN=∠MNP.如图所示，射 线PQ为∠MPE的角平分线，用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关系并证明. 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A /O M D 20.(9分)如图，ABCD,AP⊥AC,CP平分∠ACD,求证：∠1+2∠2=90°. B D 21.(9分)如图，直线AB,CD被直线MN所截，交点分别是E,F.已知ABCD,G,H分别是AB, CD上的点，P是线段EF上的点.试探究∠GPH,∠BGP,∠DHP之间的数量关系，并说明理由. G B 22.(11分)如图，点D,E,F分别是三角形ABC的边AC,BC,AB上的点，连接DF并延长至点G, 连接BG,DE.已知∠ADG=∠G,∠ABG+∠ADE=180°. (1)求证：ABDE: (2)若DE平分∠CDG,∠G=3∠A,求∠AFD的度数. 23.(12分)已知ABDE,点C在AB上方，连接BC,CD 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H A B B G E D 图1 图2 图3 1)如图1，若∠ABC=146°，∠EDC=115°，则∠BCD=°： (2)如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,判断∠ABC与∠F之间的数量关系，并说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G,连接GB并延长至点H.若BH平分 ∠ABC,求∠BGD-∠CGF的值. 717可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第4章相交线和平行线·培优冲刺（参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 6 1 8 9 10 B A A A B D D B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.32 12.60° 13.60°160度 14.145° 15.①②③ 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【答案】证明：，∠1+DEF=180°，又∠ 1+, ∴.∠2=DEF, EF‖BC .∠CDF=∠3，(3分) ∠B=∠3， .∠CDF=∠B,(5分) ..DF AB, .∠BAC=∠DPC.(8分) 17.(8分) 【答案】∠FEC与∠ECB互补(1分)，理由如下： CD⊥AB,GF⊥AB, .CD‖GF ∠2=BGF,(3分) .∠1=（已知）， ∴.∠1BGF(等量代换).(5分) 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EFBC(内错角相等，两直线平行).(7分) ∴.∠FEC+∠ECB=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 即∠FEC与∠ECB互补.(8分) 18.(9分) 【答案】证明：：∠1=∠A, ∴.DF‖AB, ∴.∠2=∠3，(2分) .∠2+∠4=180°， ∴.∠3+∠4=180°， ∴.EG‖BD,(5分) .BD⊥AC, ∴.∠BDC=90°，(7分) ∴.∠EGC=∠BDC=90°， .∴.EG⊥AC.(9分) 19.(9分) 【答案】∠NPQ号<POM,1分)证明如下： 设∠MPN=∠MNP=o,∠POM=B, AB‖CD, .∠BPN=∠PNM=a,∠EPB=∠POM=B. .∴.∠MPE=∠BPN+∠NPM+∠EPB=2a+B,(5分) .∵PQ∠ MPE, ∠QPM=3∠MPEa+E=a+ 2 21 (7分) :.∠NPQ=∠QPM-∠MPN=a+E-&=号号∠POM,(9分) 2 22 20.(9分) 【答案】 证明：'AP⊥AC, .∴.∠CAP=90°， 2/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC=∠CAP+∠PAB=90°+∠1，(2分) .'CP平分∠ACD, ∴.∠ACP=∠2， ∴.∠ACD=∠ACP+∠ 2,(5分) .AB‖CD .∴.∠BAC+∠ACD=180°，(7分) ∴.90°+∠ 1+.(9分) 21.(9分) 【答案】解：∠BGP+∠DHP=∠GPH;(1分)理由为， 如图，过点P画AB的平行线， M G E B (0- (W) .'AB CD MN‖AB C ∴.CD‖MN.(3分) ∴.∠BGP=∠GPM,∠DHP=∠HPM.(5分) '∠GPM+∠MPH=∠GPH, ∴.∠BGP+∠DHP=∠GPH.(9分) 22.（11分) 【答案】(1)证明：，∠ADG=∠G, .BG‖AC,(1分) .∠ABG=∠A.(2分) ,∠ABG+∠ADE=180°， ∠A+∠ADE=180°，(4分) .AB‖DE:(5分) (2)解：由1得AB‖DE, .∠AFD=∠EDF,∠EDC=∠A,(7分) 3/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,DE平分∠CDG, ∴.∠EDC=∠EDF, .∠AFD=∠EDC=∠EDF=∠A,(8分) 由∠G=3∠A,设∠A=X,则∠ADG=∠G=3x,∠AFD=∠EDC=∠EDF=∠A=X, ,∠ADG+∠EDC+∠EDF=180°， .3x+x+X=180°，解得x=36° .∠AFD=36°.(11分) 23.(12分) 【答案】(1)31(2分) (2)解：∠ABC-∠F=90°.(3分) 理由：如图2，过点C作CN‖AB, B .∴.∠ABC=∠BCN D 图2 .AB DE, ∴CN‖EF, ∴.∠F=∠FCN.(4分) .∠BCN=∠BCF+∠FCN .∠ABC=∠BCF+∠F.(5分) .CF⊥BC, ∴.∠BCF=90°， .∴.∠ABC=90°+∠F, 即∠ABC-∠F=90°.(6分) (3)解：如图3，延长HG,交EF于点Q,过点G作GP‖EF, 4/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B ∴.∠BGD=∠CGQ E DO 图3 AB DE, ∴.∠ABH=∠EQG.(7分) GP‖EF, .∠EQG=∠PGQ,∠EFG=∠PGF, ∴.∠PGQ=∠ABH, ∴.∠BGD-∠CGF=∠CGQ-∠CGF=∠FGQ.(9分) .·∠FGQ=∠PGQ-∠PGF, ∴.∠FGQ=∠ABH-∠EFG.(10分) .BH平分∠ABC,FG平分∠CFD, ∠ABH=号∠ABC,∠EFG=∠CFD, GQ=ABC-CPD-ABC--CED). 由(2)，可得∠ABC-∠CFD=90°， 2FGQ=2×90=45, 即∠BGD-∠CGF=45°.(12分) 5/5