第13章 勾股定理（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章 勾股定理·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ）． A． B．6 C． D．5 4．将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，作垂足为点．若，，则的长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 6．如图，在中，交于点，，，点为上方的动点，满足，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，与均为直角三角形，且，点E是的中点，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 8．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 由题意可知， ，， 9．如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则(     ) A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，长方形中，，，点是射线上一动点不与、重合，将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为_________． 12．如图，在中，，平分交于点，过点作的垂线，与，的延长线分别交于点，．若，，则的长为_____ ． 13．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 14．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动．当点运动_______秒时，为等腰三角形． 15．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，现有以下结论：①正方形的面积为；②；③是的中点；④．其中正确的是________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 17．（8分）如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 18．（8分）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 19．（9分）如图，在中，，，是上一点（不与点，重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，．若，，求的长． 20．（9分）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 21．（10分）如图，在中，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为，设运动时间为秒，若是以为腰的等腰三角形，求的值．      22．（11分）综合探究 (1)【问题探究】如图1，四边形中，，，，，点E是上的一个动点，连接、，则的最小值为______． (2)【问题解决】如图2，某风景区的局部是一个四边形，其中，千米，千米，点E在上，千米，点M是的中点，点F在上，千米．现计划在四边形内部修建游览通道、、、、，使得区域面积区域面积．由于区域地形复杂，修建通道成本较高，请你计算通道的最小长度． 23．（12分）综合与实践 定义：如图1，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的“勾股分割点”． 【初步感知】 (1)已知点，是线段的“勾股分割点”，，，若，，则_____； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角三角形中，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的“勾股分割点”． 小梦的思路是：如图3，将放置到的位置，连接．请你按照小梦的思路完成证明过程； 【拓展延伸】 (3)如图4，在等腰直角三角形中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，且，请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章勾股定理培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 8 9 10 D D D B C B B B B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.1或9 20 1469 13 20或5或2 15.①②③ 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作点A关于EF的对称点A,连接AB,则AB即为最短距离， D E B 5 过点A作AD⊥BE,交BE的延长线于点D, 根据题意，得AF=AF=DE=-3,AD=号×32=16，BD=BE+DE=14-5+3=12,(4分) 故由勾股定理，得AB=V162+12=201cm(8分) 17.(8分) 【详解】解：∠ABC=90, ∴.Rt△ABC中，AC2=AB+BC2, 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=3、BC=4, .AC=VAB2+BC2=5'(3分) 又在△ACD中，AC=5,DA=√89，DC=8, ..AC2+DC2=DA2, ∴.△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，(6分) SusD=SaAc+5AD号AB-BC+号AC-CD-25.(8分) 2 18.(8分) 【详解】解：如图，连接AC, 13m 12m 3m B 4m C .AB⊥BC ∴.∠ABC=90° AC=AB+BC-3+-5lcml ( AC2+CD2=52+122=169=13=AD2, ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，(3分) ,图中1cm代表实际距离10m, .AB=30m,BC=40m,AC=50m,CD=120m,(5分) .四边形ABCD的面积为： 5=5g+5m号AB-BC+号Ac-(D×30x40+号×50x120-360lm .3600×60=216000(元). ∴，绿化这块空地所需的费用为216000元.(8分) 19.(9分) 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由题意可知CD=CE,∠DCE=90°」 .∠ACB=90° ∴.∠ACB=∠DCE.(1分) .'∠ACD=∠ACB-∠DCB,∠BCE=∠DCE-∠DCB, .∴.∠ACD=∠BCE. (2分) AC=BC 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE CD=CE ∴.△ACD△ BCESAS.(4分) .'∠ACB=90°，AC=BC, .∠A=∠CBA=45°.(5分) .'△ACD≌△BCE, ∴.∠EBC=∠A=45°， .∠EBD=45°+45°=90°.(6分) .BE=5,DE=13, .BD=V132-52=12 (7分) .'AD=BE=5, .∴.AB=DB+AD=12+5=17.(9分) 20.(9分) 【答案】证明：如图，过点C作AB的垂线，分别交AB、ED于点J和点K,连接GB、CE、AI、CD :四边形ACFG和四边形AEDB都是正方形， ∴.AG=AC,AB=AE,∠GAC=∠BAE=90°， .∴∠GAC+∠CAB=∠BAE+∠CAB 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠GAB=∠CAE, ∴.△GAB≌△CAE SAS, ∴.SAGAB=SACAE,(3分) ACA-CA,5a号AEEK 1 SAGAB-2 2 Ca方aEEK ..CA2=AEEK, 即S正方形ACFG=S长方形AEKJ,(5分) 同理可得△ABI≌△DBC, .S△ABI=S△DBC, .S正方形CB1H=S长方形KDB,(7分) ∴，SE方形ACFG+S正方形CBIH=S长方形AEK+S长方形KDB=S正方形AEDB, AC2+BC2=AB2.(9分) 21.(10分) 【详解】解：设点P沿B→C→A→B运动. 由勾股定理得：AC=VAB2+BC=62+8=10cm' “以AB为腰”说明等腰三角形中有： AB=AP或AB=BP 分位置讨论： (1)点P在线段BC上， ∠ABP=90°， .AP>AB,只能是 BP=AB=6 此时运动路程为6cm, t935.3分) (2)点P在线段CA上， 若AB=AP=6: .AC=10, 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CP=10-6=4, 运动路程为BC+CP=8+4=12cm, t=2=6s 2 若AB=BP=6: 过点B作BH⊥AC于点H S%Ac号ABBC =1·ACBH, 又：SAABC 26x8=号×10xBH, 1 1 .24=5BH, ∴.BH=4.8, 在Rt△ABH中，由勾股定理得： AH2+BH2=AB2, AH+4.82=62, AH2+23.04=36, AH=12.96, AH=3.6, 在Rt△BPH中，由勾股定理得： PH2+BH2=BP2, PH+4.82=62, PH+23.04=36, PH=12.96, PH=3.6, P、H都在线段AC上，AP=AH+PH, 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP=3.6+3.6, AP=7.2 又AP=18-2t, .18-2t=7.2, 2t=18-7.2, 2t=10.8, t=5.4, t=5.4在4<t≤9范围内，符合题意.(7分) (3)点P在线段AB上， 此时A、B、P三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上：t=3s、6s、5.4s.(10分) 22.(11分) 【答案】（①）89(2分) (2)解：，BC=8千米，点M是BC的中点， :.BM=CM=4千米，(3分) .BE=3千米，∠B=90°， ME=32+4=5(千米)，(4分) ,CD=5千米，CF=2千米， ∴.DF=5-2=3(千米). 作NG⊥EM于点G,作NH⊥CD于点H, ,△NFD区域面积：△MEN区域面积=3：5， DENENG3:5 .3NH:5NG=3:5, .NH=NG,(6分) 延长EM,DC交于点T,则点N在∠DTE的角平分线上， .∠NTM=∠NTF, 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BME和△CMT中， ∠B=∠MCT=90° BM=CM ∠BME=∠CMT .△BME≌△CMTASA, ∴.BE=CT=3千米，ME=MT=5千米， :FT=CF+CT=5千米， MT=FT,(8分) 在△TNM和△TNF中， MT=FT ∠NTM=∠NTF, TN=TN .△TNM≌△TNF SAS, .MN=FN,(10分) DN+FN=DN+MN≥DM=CM+CD=/4I千米. A E B M 图2 (11分) 23.(12分) 【答案】(1)/10(2分) (2)证明：如图3，将△CNB放置到△CPA的位置CP=CN,连接MP. 则旋转角∠PCN=∠ACB=90°， .∠MCN=45, 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴∠MCP=∠PCN-∠MCN=45o:(3分) '△ABC是等腰直角三角形， ·∠B=∠CAB=45,(4分) 由旋转得BN=AP,∠B=∠PAC=45° ∴.∠PAM=∠CAB+∠PAC=45°+45°=90°， .MP2=AM2+AP2=AM2+BN2,(6) 在△MCP和△MCN中， CP=CN ∠MCP=∠MCN, CM=CM .△MCP≌△MCN(SAS)(8分) ∴.MP=MN, ∴.MN2=MP=AM2+BN2, .点M?N是线段AB的“勾股分割点”.(I0分) B2(12分) 3 8/8 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章 勾股定理·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 2．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由网格可知，，使用勾股定理计算出，再求出即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， 在中，， ∴． 3．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ）． A． B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】利用折叠性质推导角度，得出，同时得到垂直关系与线段相等，先求出，最后在中借助勾股定理求出． 【详解】解：由折叠性质：， ， 即， ∴， 沿折叠，落在处， ， 即，． 在中：，， 是等腰直角三角形，． 由第二次折叠得：， ， 在中，，，， ∴． 4．将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的性质可以得到，设为x，再运用勾股定理得，然后代入解方程即可解题． 【详解】解：如图，设图1中交点为O，为，为，为，图2中的余角为，由图可知：， ∵是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 根据勾股定理得， ∴，解得：． 5．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，作垂足为点．若，，则的长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过点作，由角平分线的性质得到，再由等腰直角三角形性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题中作图可知平分， ， ， ， 由三线合一可得， 在中，由勾股定理可得， ． 6．如图，在中，交于点，，，点为上方的动点，满足，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先求出，结合，求出，设点到的距离为，求出，得出点在平行于且到距离为 2 的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，此时取得最小值，最小值为线段的长，，在中，根据勾股定理求出即可； 【详解】解：，，， ， ， ， 设点到的距离为， ，即， 解得， 点在平行于且到距离为 2 的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接， 此时取得最小值，最小值为线段的长，， 点到直线的距离为2， 点到直线的距离为2，点到的距离为， 在中，，， ， 的最小值是5． 7．如图，与均为直角三角形，且，点E是的中点，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】延长，交于点F，先证，进而证明，推出，，再求出，根据勾股定理计算出，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点F， 点E是的中点， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 8．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知， ，， 由勾股定理可得， （）． 9．如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， ∵在中，，即， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴． 10．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定②，根据勾股定理与等量代换可得③正确，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②如图，设与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故②不正确， ③连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即，故③正确， ④∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④不正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，长方形中，，，点是射线上一动点不与、重合，将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为_________． 【答案】1或9 【分析】根据折叠的性质得到对应边和对应角相等，再分情况讨论为直角三角形时的情况，利用勾股定理建立方程求解的长度. 【详解】解：①当点在线段上时， 如图所示：∵， ∴，，三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当点在的延长线上时， 如图2所示：∵，，， ∴，，，三点共线， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的值为1或9. 12．如图，在中，，平分交于点，过点作的垂线，与，的延长线分别交于点，．若，，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】根据已知条件先证明，得出的长度和，再由勾股定理得出的长度，设，则，利用勾股定理列出方程求解的值，得出的长度，最终利用勾股定理求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，． 13．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 【答案】 【分析】连接，令与的交点为O，结合旋转的性质，证明，得到，从而得出垂直平分，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，令与的交点为O， ∵点B恰好落在直线上， ∴、、B三点共线， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴​． 14．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动．当点运动_______秒时，为等腰三角形． 【答案】或或 【分析】先求出，设点运动秒时，为等腰三角形，有，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐一求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 设点运动秒时，为等腰三角形，有， ①当时，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ②当时，如图， ∵，， ∴， 即 ， 解得， ③当时，如图， ∴， 解得， 综上所述，的值为或或． 15．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，现有以下结论：①正方形的面积为；②；③是的中点；④．其中正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断①和②；结合三角形全等的判定与性质即可判断③；结合前面的推导得出，直接计算即可判断④． 【详解】解：①设，则，， 四个相同的直角三角形（，，，）， ，，， ∴， ∴四边形是正方形， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， ∴正方形的面积为，故①正确； ②在中，，故②正确； ③在正方形中，，则， ， ， ∵，， ∴， ，即是的中点，故③正确； ④由前面的求解过程可知，， ∴，故④错误． 综上可知，正确的是①②③． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 【答案】 【分析】先画出圆柱的侧面展开图，作点A关于的对称点，可得即为最短距离，在利用勾股定理，求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作点A关于的对称点，连接，则即为最短距离， 过点作，交的延长线于点D， 根据题意，得，，，（4分） 故由勾股定理，得．（8分） 17．（8分）如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 【答案】26 【分析】先根据勾股定理求出的长，再证明是直角三角形，再将与的面积求和即可得四边形的面积． 本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， 中，， ∵、， ，（3分） 又∵在中， ，，， ， 是直角三角形，，（6分） ．（8分） 18．（8分）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 【答案】元 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∴，（2分） ∵， ∴是直角三角形，且，（3分） ∵图中代表实际距离， ∴，，，，（5分） ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元．（8分） 19．（9分）如图，在中，，，是上一点（不与点，重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，．若，，求的长． 【答案】 【分析】根据证明，得,由，，证明，进而证明是直角三角形，用勾股定理求得即可求得的长． 【详解】解：由题意可知，． ， ．（1分） ，， ．（2分） 在和中，， ．（4分） ，， ．（5分） ， ， ．（6分） ，， ．（7分） ， ．（9分） 20．（9分）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【答案】证明：如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，（3分） ∵，， ∴， ∴， 即，（5分） 同理可得， ∴， ∴，（7分） ∴， ∴．（9分） 【分析】如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、．先根据证明，则可得，进而可得，同理可得，进而可得，从而可得． 【详解】略 【点睛】本题主要考查利用割补法和面积法证明勾股定理，证明， 是解题的关键． 21．（10分）如图，在中，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为，设运动时间为秒，若是以为腰的等腰三角形，求的值．      【答案】、、 【分析】本题按照点 分别落在 、、 三条边上进行分类讨论，以 为腰分、两种等腰情况，结合勾股定理、三角形面积公式表示线段长度，建立关于时间 的方程求解，舍去三点共线不能构成三角形的情况，最终得到 的三个解． 【详解】解：设点 沿 运动． 由勾股定理得：， “以 为腰”说明等腰三角形中有： ． 分位置讨论： （1） 点 在线段 上， ∵ ， ∴ ，只能是 ． 此时运动路程为 ， ∴．（3分） （2）点 在线段 上, 若： ∵ ， ∴ , 运动路程为, ∴． 若： 过点作于点． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 、都在线段上，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， 在范围内，符合题意．（7分） （3）点 P 在线段 上， 此时 三点共线，不能构成三角形，舍去． 综上： 、、．（10分） 22．（11分）综合探究 (1)【问题探究】如图1，四边形中，，，，，点E是上的一个动点，连接、，则的最小值为______． (2)【问题解决】如图2，某风景区的局部是一个四边形，其中，千米，千米，点E在上，千米，点M是的中点，点F在上，千米．现计划在四边形内部修建游览通道、、、、，使得区域面积区域面积．由于区域地形复杂，修建通道成本较高，请你计算通道的最小长度． 【答案】(1)（2分） （2）解：∵千米，点M是的中点， ∴千米，（3分） ∵千米，， ∴（千米），（4分） ∵千米，千米， ∴（千米）． 作于点G，作于点H， ∵区域面积区域面积， ∴， ∴， ∴，（6分） 延长交于点T，则点N在的角平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴千米，千米， ∴千米， ∴，（8分） 在和中， ∵， ∴， ∴，（10分） ∴千米． （11分） 【分析】（1）作点A关于的对称点G，连接，交于点，则，．作交的延长线于点H，则四边形是长方形，根据即可求解； （2）作于点G，作于点H，由区域面积区域面积求出，延长交于点T，则点N在的角平分线上，证明得千米，千米，证明得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：作点A关于的对称点G，连接，交于点，则，． 作交的延长线于点H，则四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵千米，点M是的中点， ∴千米， ∵千米，， ∴（千米）， ∵千米，千米， ∴（千米）． 作于点G，作于点H， ∵区域面积区域面积， ∴， ∴， ∴， 延长交于点T，则点N在的角平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴千米，千米， ∴千米， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴千米． 23．（12分）综合与实践 定义：如图1，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的“勾股分割点”． 【初步感知】 (1)已知点，是线段的“勾股分割点”，，，若，，则_____； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角三角形中，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的“勾股分割点”． 小梦的思路是：如图3，将放置到的位置，连接．请你按照小梦的思路完成证明过程； 【拓展延伸】 (3)如图4，在等腰直角三角形中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，且，请直接写出的长． 【答案】(1)（2分） (2)证明：如图3，将放置到的位置，连接． 则旋转角， ， ．（3分） 是等腰直角三角形， ，（4分） 由旋转得，， ， ，（6分） 在和中， ， ，（8分） ， ， 点，是线段的“勾股分割点”．（10分） (3)（12分） 【分析】（1）由，可知，三条线段组成直角三角形时为斜边，利用勾股定理求解即可； （2）先根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质证明，由勾股定理得，再证 ，推出，通过等量代换得出，即可证明点，是线段的“勾股分割点”； （3）将绕点C逆时针旋转得到，连接，先证，由勾股定理得，再证 ，推出，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， ； （2）略 （3）解： 是等腰直角三角形， ， ， 如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ， ． ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章勾股定理·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3,DC=4,DA=5,则∠BDC的度数是() A.90° B.120° C.135° D.150° 2.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点O为圆心，OA的长为半径作弧交ED于点C,则EC 的长为() D A.V10 B.6 c.V10-3 D.3-V6 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AB边上，将边AC沿CE折叠，点A恰好落在AB边上的点 D处，再将BC折叠，使其落在直线CD上，点B落在点B处，折痕为CF,若CE=3,BF=1,则BC= (). A B 118 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3V5 B.6 c.5V2 D.5 4.将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD,DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放， 其中EC与BD共线.若BD=5,则AB的长为() ② ② ① ① ③ ③ D D B(E) 图1 图2 A 8.35 4 c.56 D.V34 2 5.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交AB于点D,再分别以点C,D为圆心，大 于CD的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,作EF L AC垂足为点F.若 AE=BE=5,EF=3,则AB的长为() A.6 B.7 C.8 D.10 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D,BC=3,AD=6,点P为BC上方的动点，满足 SA=Sc,则CP+BP的最小值是〈 D A.4 B.5 C.6 D.7 7.如图，△ABC与△BCD均为直角三角形，且∠ACB=∠CBD=90°，BD=2AC=8,BC=6,点E 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是AD的中点，则BE的长为() B D E A.4 B.V13 C.5 D.25 8.如图，在一张边长为6Cm的正方形纸板ABCD上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与AD平 行且相等，横截面是一个边长为1Cm的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，则蚂蚁爬行 的最短路径长为() D A.8cm B.10cm C.72cm D.85cm D C B 由题意可知， AB=6+1+1=8cm,BC=6cm, 9.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形： △ABD△ACE△BCF若图中阴影部分的面积S,=7.5S,=3.5'S,=5.5则S4（) D S2 S S4 S3 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 10.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D,E为BC上的两点，∠DAE=45°，F为 △ABC外一点，且FB⊥BC,A⊥AE.有下列结论：①CE=BF:②SAADE=2AD·EF;③ 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD2=DE2-CE2:①CE2+BE2=AE2,其中正确的结论有(） A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，长方形ABCD中，AD=3,AB=5,点E是射线DC上一动点（不与C、D重合，将△DAE沿 着AE所在的直线折叠得到△AE,连接FB.当△ABF是直角三角形时，DE的长为 D B 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,过点A作BD的垂线，与BD, BC的延长线分别交于点M,N.若AM=5,CN=6,则BM的长为一· 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ABC, 点B,C的对应点分别为B,C,且旋转角为锐角，连接CC,当点B恰好落在直线BC上时，线段CC 的长为· B' 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm,BC=5cm,点D从点B出发，以每秒2cm的 418 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速度沿射线BC的方向运动.当点D运动秒时，△ABD为等腰三角形. CD B I5.如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形(Rt△ADE,Rt△DCH,Rt△CBG,Rt△BAF )与一个小正方形EFGH组成的一个大正方形ABCD,连接DF交CH于点M,已知正方形ABCD的面积 为25，DE=2AE,现有以下结论：①正方形EFGH的面积为5；②DF2=25;③M是DF的中点；④ BG·CG=1.其中正确的是 H E M G 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3Cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最 短路程是多少Cm？(杯壁厚度不计)，请画出平面展开图并计算结果. 蚂蚁 蜂蜜 17. (8分)如图，在四边形ABCD中，已知AB=3、BC=4、DA=89、DC=8且∠ABC=90°.求 四边形ABCD的面积. D 6 518 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(8分)某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了 “求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调 查报告. 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 相关数据及说明： 测量示意图： ①在四边形ABCD中， ∠ABC=90°： 13m ②多次测量并求取平均值后的相关 研究方案及测 长度如图所示： A 12m 量数据 3m ③测量示意图中1cm代表实际距离 B 4m C 10m: ④每平方米的绿化费用为60元. 计算结果 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用. 19.(9分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB上一点（不与点A,B重合），连 接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE,BE.若BE=5,DE=13,求 AB的长. 20.(9分)欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成 的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由Rt△ABC的三边分别向外作正方形，过点C作AB的垂线，分别 交AB、ED于点J和点K,这样就把正方形ABDE分成两个长方形AJKE和BDKJ.连结GB、CE.请试 618 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 着利用该图形证明勾股定理. B K D 21.(10分)如图，在Rt△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边 逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2c/s,设运动时间为t秒，若△ABP是以AB为腰的等腰三角 形，求t的值. B→P BP 备用图 22.（11分)综合探究 D D N A E E Bh C M 图1 图2 (1)【问题探究】如图1，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=2,CD=3,BC=8,点E是BC上 的一个动点，连接AE、ED,则AE+ED的最小值为 (2)【问题解决】如图2，某风景区的局部是一个四边形ABCD,其中∠B=∠C=90°，BC=8千米， CD=5千米，点E在AB上，BE=3千米，点M是BC的中点，点F在CD上，CF=2千米.现计划在四边 形内部修建游览通道EM、EN、MN、DN、FN,使得△NFD区域面积：△MEN区域面积=3：5.由于 △NFD区域地形复杂，修建通道成本较高，请你计算通道DN+FN的最小长度. 23.(12分)综合与实践 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义：如图1，点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直 角三角形，则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”. M B B 图1 图2 图3 图4 【初步感知】 (1)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”，MN>AM,MN>BN,若AM=1,BN=3,则MN= 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，M,N为线段AB上两点，满足 ∠MCN=45°，求证：点M,N是线段AB的“勾股分割点”. 小梦的思路是：如图3，将△CNB放置到△CPA的位置CP=CN,连接MP.请你按照小梦的思路完成 证明过程； 【拓展延伸】 (3)如图4，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90°，若点M在线段AB上，点N在线段 AB的延长线上，且∠MCN=45°，BN=1,请直接写出BM的长. 8/8