第13章 勾股定理 单元练习卷 2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A D C C A 二、填空题（每小题3分，共18分） 9． 10． 11． 12． 13． 14． 三、解答题（共78分） 17．【分析】分别计算与，若相等则由勾股定理的逆定理判定为直角三角形． 【详解】 而，所以． 由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，其中（c为斜边）． 【答案】△ABC是直角三角形 【易错提醒】要用勾股定理的逆定理必须先验证"两条较短边的平方和等于最长边的平方"，本题中保证，且是最大边． 16．【分析】两个直角三角形中，由勾股定理用斜边和一条直角边表示另一条直角边，证得后用SSS判定全等． 【详解】在Rt△ABC中，，由勾股定理得． 在Rt△A′B′C′中，，同理． 因为，，所以，又边长为正，所以． 在△ABC与△A′B′C′中，，，，所以（SSS）． 【答案】见详解 【易错提醒】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL），本题实质是用勾股定理推导出，从而把HL化归为SSS来证明． 17．【分析】反证法先假设结论不成立，即三个内角都大于60°，再与三角形内角和定理矛盾． 【详解】假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都大于60°， 则． 这与三角形内角和定理"三角形的三个内角和等于180°"矛盾， 所以假设不成立，即在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°． 【答案】见详解 【易错提醒】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，注意"至少有一个不大于60°"的反面是"全部大于60°"，不是"全部不大于60°"． 18．【分析】由折叠知，在Rt△ABF中求出BF，得FC；设，则，在Rt△ECF中用勾股定理建立方程． 【详解】由折叠可知，． 在Rt△ABF中，，，由勾股定理得 ，所以． 设，则． 在Rt△ECF中，由勾股定理得，即． 解得，即 cm． 【答案】 cm 【易错提醒】折叠前后的对应线段相等（、），这是建立方程的关键；不要误认为． 19．【分析】把长方体表面展开成平面图形，比较三类展开方式中A到C′的线段长，取最小值． 【详解】分三类展开： ①将长与宽拼在一条直线上，，； ②将长与高拼在一条直线上，，； ③将宽与高拼在一条直线上，，． 因为，所以最短路程为15 cm． 【答案】15 cm 【易错提醒】求立体图形表面最短路程必须展开成平面后用勾股定理，且三类展开都要比较，不能只算一种；直接连线AC′不是沿表面走的路线． 20．【分析】构造直角边分别为2和3的直角三角形，由勾股定理得斜边为，再以原点O为圆心、斜边长为半径画弧即可． 【详解】（1）作法：在数轴上取表示2的点A，过点A作数轴的垂线，在垂线上取，连接OM；以原点O为圆心、OM长为半径画弧，交数轴正半轴于点P．点P即为所求（作图痕迹略）． （2）在Rt△OAM中，，，，由勾股定理得 ．因为OP=OM=，且点P在数轴正半轴上，所以点P表示的数是． 【答案】见详解 【易错提醒】画弧时圆心必须是原点O，半径是OM的长；若弧交在负半轴，表示的数是，注意区分正负半轴． 21．【分析】（1）在Rt△ABC中直接用勾股定理；（2）下滑后梯长不变，重新用勾股定理求出新的底端距离，作差即滑动距离． 【详解】（1）在Rt△ABC中，，，，由勾股定理得 （m），即梯子顶端距地面8 m． （2）下滑后（m），梯子长度不变， m． 在Rt△A′B′C中，由勾股定理得（m）． 所以（m），即底端向外滑动2 m． 【答案】（1）8 m；（2）2 m 【易错提醒】梯子在滑动过程中长度不变（）；顶端下滑2 m不等于底端外滑2 m，必须重新计算后再作差． 22．【分析】连接AC，在Rt△ABC中求出AC，再用勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，最后分块求面积． 【详解】连接AC．在Rt△ABC中，，，，由勾股定理得 在△ACD中，，，，因为 所以由勾股定理的逆定理知，△ACD是直角三角形． 四边形ABCD的面积 【答案】36 【易错提醒】含这组勾股数要能及时识别；求不规则四边形面积常用"分割法"，分割线要选连接已知量最多的对角线AC． 23．【分析】中间小正方形的边长等于直角三角形两直角边之差；分别用"大正方形边长为c"和"4个三角形加小正方形"表示大正方形面积，比较即得． 【详解】（1）中间小正方形的边长为，面积为． （2）大正方形的边长为c，面积可表示为； 大正方形又由4个全等直角三角形和中间小正方形组成，面积也可表示为 两种方式表示同一个图形的面积，所以． 【答案】（1）边长，面积；（2）见详解 【易错提醒】中间小正方形的边长是（长直角边减短直角边），不是；用两种方法表示同一面积是证明勾股定理的重要思路（面积法）． 24．【分析】（1）由面积法求斜边上的高；（2）分、、三种情况，借助垂足位置用勾股定理列方程求解． 【详解】在Rt△ABC中，（cm）． （1）当时，由面积法得 （cm）． （2）设 cm．作于点H，由（1）知，且（cm）． ①当时， cm； ②当时，，解得，即 cm； ③当时，，解得或（舍去），即 cm． 综上，的长为6 cm、5 cm或7.2 cm． 【答案】（1） cm；（2）6 cm、5 cm或7.2 cm 【易错提醒】等腰三角形没有指明腰和底时必须分三类讨论，不要漏掉的情况；解出的对应点P与A重合，不合题意要舍去；，可用分数或小数表示． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度八年级上学期数学第13章单元练习卷 （华东师大版·第13章 勾股定理） 本卷共4页，三大题，24小题，满分120分，建议用时120分钟 适用范围：华东师大版八年级上册第13章（勾股定理） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（　　） A．5　　B．　　C．　　D．7 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5　　B．6，8，10　　C．　　D．5，7，9 3．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它斜边上的高为（　　） A．4.8　　B．5　　C．2.4　　D．10 5．若△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形　　B．直角三角形　　C．等腰直角三角形　　D．等腰三角形或直角三角形 6．一艘轮船以16 km/h的速度从港口A出发向正东方向航行，同时另一艘轮船以12 km/h的速度从港口A出发向正北方向航行．2小时后两船相距（　　） A．20 km　　B．30 km　　C．40 km　　D．56 km 7．一棵大树在离地面6 m的B处折断，树顶C落在离树底部A的距离为8 m的地面上，则这棵树在折断前的高度为（　　） A．10 m　　B．14 m　　C．16 m　　D．18 m 8．若一个直角三角形的周长为24，斜边长为10，则它的面积为（　　） A．24　　B．20　　C．30　　D．12 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则它的面积为　　　　． 10．在△ABC中，，，BC边上的高，则BC的长为　　　　． 11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，则△ABC的面积为　　　　． 12．若直角三角形的斜边长为13，周长为30，则它的面积为　　　　． 13．观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…按此规律，第6组勾股数是　　　　． 14．"引葭赴岸"是《九章算术》中的名题：有一棵芦苇生长在正方形池塘中央，高出水面1 m，把它的顶端拉向岸边，顶端恰好与岸边水面齐平，此时芦苇底端移动的水平距离为2 m，则池塘的水深为　　　　m． 三、解答题（共10小题，共78分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（6分）已知△ABC的三边长分别为，，（m、n为正整数，且m＞n）．判断△ABC的形状，并说明理由． 16．（6分）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，，，．求证：（要求：利用勾股定理说明）． 17．（6分）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°． 18．（7分）如图，长方形纸片ABCD中，，，点E在CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．求CE的长． 第18题图 19．（7分）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、12 cm，一只蚂蚁想从盒底的顶点A沿盒子表面爬到盒顶与A相对的顶点C′，求蚂蚁爬行的最短路程． 第19题图 20．（8分）如图是数轴的一部分，原点为O． （1）在数轴上作出表示的点P（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；提示：可先构造直角边长分别为2和3的直角三角形）； （2）简要说明作法依据，即说明点P表示的数是． 第20题图 21．（8分）如图，一架长10 m的梯子AB斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B距墙脚C为6 m． （1）求梯子顶端A距地面的高度AC； （2）若梯子顶端A沿墙下滑2 m到点A′，梯子底端B向外滑动到点B′，求梯子底端向外滑动的距离BB′． 第21题图 22．（8分）如图，在四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． 第22题图 23．（10分）如图，用4个全等的直角三角形（直角边分别为a、b，斜边为c，且a＜b）拼成一个大正方形，中间恰好留下一个小正方形． （1）用含a、b的代数式表示中间小正方形的边长和面积； （2）用两种不同的方法表示大正方形的面积，由此说明． 第23题图 24．（12分）如图，在Rt△ABC中，，，，点P从点A出发，沿AB边向点B运动（点P与点A、B不重合），连接CP． （1）当时，求CP的长； （2）当△ACP为等腰三角形时，求AP的长． 第24题图 学科网（北京）股份有限公司 $