精品解析：江苏无锡市江阴市河塘中学2026-2027学年八年级上学期9月课堂作业数学试题

2026—2027学年第一学期课堂作业练习 （初二数学） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 根据下列条件，能判定的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，与的周长相等 4. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知AD平分，AB=AC，则此图中全等三角形有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 6. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 7. 在和中，，高，则和的关系是（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 以上都不对 8. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【 】 A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 9. 如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 4.5 B. 4.8 C. 6 D. 8 二、填空题（每空3分，共24分） 11. 如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′=40°，则∠B′=_______，∠AOB=_______． 12. 一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________． 13. 如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝72°，∠C＝20°，则∠AEB＝________度． 14. 工人师傅在做完门框后，为避免变形，常常如图所示钉上两根斜拉的木条（即图中的、两根木条），如此做的数学原理是______． 15. 等腰三角形的两边分别等于5、12，则它的周长为_______ 16. 在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3cm，BC＝10cm， △DBC的面积_________． 17. 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作MN∥BC，分别交AB、AC于M、N点，则△AMN的周长为___________． 18. 如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，连接MN，已知MN＝4，则BD＝_________． 三、作图题：（每题6分，共12分） 19. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的．在方格纸中利用直尺找到一点，使得点到两点的距离相等，到两边的距离也相等． 四、解答题 21. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，． （1）求证：； （2）连接求证：． 23. 如图，在中，，，的垂直平分线交于，为垂足，连接．求的度数． 24. 如图，已知为的平分线，，点在上，于于．求证： （1）平分； （2）． 25. 如图：中，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以1和2的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于于．问：点运动多少时间时，与全等？请说明理由． 26. （1）观察推理：如图1，中，，，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，，，垂足分别为D、E．求证：； （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图3，等边中，，点O在上，且，动点P从点E沿射线以速度运动，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点F恰好落在射线上，求点P运动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期课堂作业练习 （初二数学） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三条线段可以组成三角形，符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段不可以组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段不可以组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不可以组成三角形，不符合题意； 故选：A． 2. 对于下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形高的定义，由角平分线的性质可判断①；由三线合一定理可判断②；由线段垂直平分线的性质可判断③；任意三角形都有三条高，据此可判断④． 【详解】解：①角平分线上的点到角两边的距离相等，原说法正确； ②等腰三角形底边的高、中线、角平分线互相重合，原说法错误； ③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，原说法正确； ④直角三角形有三条高线，原说法错误． ∴说法正确的有①③，共2个， 故选：B． 3. 根据下列条件，能判定的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，与的周长相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法逐个选项分析即可． 【详解】根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可． A．，，，没有边边角，故该选项不正确，不符合题意； B．，，，不是对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； C．，，，没有对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； D．，，由与的周长，可得，根据边边边，能判定，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，， ∴， ∴， 则画出的依据是， 5. 如图，已知AD平分，AB=AC，则此图中全等三角形有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】根据SAS推出△ABD≌△ACD，求出∠B=∠C，BE=CF，根据全等三角形的判定推出△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△AFB≌△AEC即可． 【详解】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD， ∵AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴BD=CD，∠B=∠C， ∵∠EDB=∠FDC，∴△BED≌△CFD（ASA）， ∴BE=FC， ∵AB=AC，∴AE=AF， ∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD， ∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，AF=AE， ∴△AFB≌△AEC 即图中的全等三角形有4对. 故答案为：C. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 6. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 7. 在和中，，高，则和的关系是（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分图①②和图①③两种情况，利用可证明得到，再根据角之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，当和如图①②所示时， ∵分别是和的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 如图，当和如图①③所示时， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； 综上所述，和的关系是相等或互补． 故选：C． 8. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【 】 A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】梯形和线段垂直平分线的性质． 【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为： AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A． 9. 如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等，可得，再由平行线的性质解答即可． 本题考查图形的翻折变换，平行线的性质．熟练掌握轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D 10. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 4.5 B. 4.8 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先过点作交于点，交于点，过点作于点，再利用角的平分线的性质得出，此时有最小值，即的长度，再利用等面积法即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴， 此时有最小值． 又， 的最小值为的长度． ∵，，，， ， ∴， 即的最小值是． 二、填空题（每空3分，共24分） 11. 如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′=40°，则∠B′=_______，∠AOB=_______． 【答案】 ①. 30° ②. 110° 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，利用∠AOB=∠A′OB′以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，∠A′=40°， ∴∠B=∠B′=30°，∠A′=∠A=40°， 则∠B′=30°，∠AOB=180°-∠A-∠B=110°． 故答案为30，110． 考点：旋转的变换 12. 一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可. 【详解】解：∵这两个三角形全等 ∴x=6，y=5 ∴x + y =11 故答案为11. 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键. 13. 如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝72°，∠C＝20°，则∠AEB＝________度． 【答案】112． 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出角相等，再根据角的和差求出结果即可． 【详解】解：∵△OAD≌△OBC， ∴∠C=∠D=20°， 在△AOD中，∠CAE=∠D+∠O=20°+72°=92°， 在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE=20°+92°=112°．故答案为112． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质． 14. 工人师傅在做完门框后，为避免变形，常常如图所示钉上两根斜拉的木条（即图中的、两根木条），如此做的数学原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】钉上两条斜拉的木条后，形成了两个三角形，这种做法根据的是三角形的稳定性． 【详解】略 15. 等腰三角形的两边分别等于5、12，则它的周长为_______ 【答案】29． 【解析】 【分析】有两种情况：①当腰是12时，求出三角形的周长；②当腰是5时，根据三角形的三边关系定理不能组成三角形． 【详解】解：分两种情况：①当腰是12时，三边是12，12，5，能构成三角形，它的周长是12+12+5=29； ②当腰是5时，三边是12，5，5， ∵5+5＜12， ∴此时不能组成三角形． 故答案是：29． 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，分类讨论是解此题的关键． 16. 在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3cm，BC＝10cm， △DBC的面积_________． 【答案】15cm² 【解析】 【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90°，BD平分∠ABC， ∴DE=AD=3cm， ∵BC=10cm， ∴S△DBC =BC×DE=×10×3=15cm²， 故答案为：15cm²． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出△DBC边BC上的高是解题的关键． 17. 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作MN∥BC，分别交AB、AC于M、N点，则△AMN的周长为___________． 【答案】14． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO=∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOM，从而得到∠ABO=∠BOM，根据等角对等边的性质可得BM=OM，同理可得CN=ON，然后求出△AMN的周长=AB+AC，代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO=∠OBC， ∵MN∥BC， ∴∠OBC=∠BOM， ∴∠ABO=∠BOM， ∴BM=OM， 同理可得CN=ON， ∴△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC， ∵AB=8，AC=6， ∴△AMN的周长=8+6=14． 故答案是：14． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质，用到的知识点是等角对等边，两直线平行，内错角相等，熟记性质是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，连接MN，已知MN＝4，则BD＝_________． 【答案】2 【解析】 【分析】延长BD到E，使DE=BD，连接AE，证明△ADE≌△CDB（SAS），可得AE=CB，∠EAD=∠BCD，再根据△ABM和△BCN是等腰直角三角形，证明△MBN≌△BAE，可得MN=BE，进而可得BD与MN的数量关系即可求解． 【详解】解：如图，延长BD到E，使DE=BD，连接AE， ∵点D是AC的中点，∴AD=CD， 在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS）， ∴AE=CB，∠EAD=∠BCD， ∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形， ∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°， ∴BN=AE， 又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°， ∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°， ∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE， 在△MBN和△BAE中， ，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE， ∵BE=2BD，∴MN=2BD． 又MN=4，∴BD=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 三、作图题：（每题6分，共12分） 19. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小． 【答案】（1） △A1B1C1如图所示： （2）如图， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质分别得出A、B、C的对应点、、的位置，顺次连接即可； （2）根据利用轴对称求最短路径的方法，连接与DE交于点Q，点Q即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接与DE交于点Q，点Q即为所求， 连接AQ， ∵点A和点关于DE对称， ∴QA＝， ∴QA+QC＝+QC， ∵+QC≥， ∴点C、Q、共线时，QA+QC最小， ∴连接与DE交于点Q，点Q即为所求． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，利用轴对称求最短路径，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的．在方格纸中利用直尺找到一点，使得点到两点的距离相等，到两边的距离也相等． 【答案】所作图形如图所示： 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线与角平分线的性质定理可进行作图． 【详解】解：图略 证明如下：如图： 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分； ， ， ， 平分， ∴根据线段垂直平分线与角平分线的性质定理可得点P即为所求． 四、解答题 21. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形外角的性质， 对于（1），根据“斜边直角边”证明即可； 对于（2），先根据全等三角形的对应角相等可得，再根据直角三角形的两个锐角互余求出，再根据三角形外角的性质得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴. 在中，，同理. ∵是的外角， ∴. 22. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，． （1）求证：； （2）连接求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴（）； （2） 证明：如图， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）结合（1），得到，进而得出，利用“”证明，根据全等三角形的性质及平行线的判定定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 23. 如图，在中，，，的垂直平分线交于，为垂足，连接．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等边对等角以及三角形的内角和定理，得出的度数，再利用线段的垂直平分线的性质，得出，最后利用等边对等角以及角的和差关系，即可解答． 【详解】解：，， ． 垂直平分， ， ， ． 24. 如图，已知为的平分线，，点在上，于于．求证： （1）平分； （2）． 【答案】（1）证明：为的平分线， ， 在和中： ， ， 即平分； （2）证明：，， 、分别是点到两边、的距离， 由（1）可知：平分，且点在上， ． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线定义得到一组相等角，结合已知边相等与公共边，用证明三角形全等，再由全等三角形对应角相等证出平分； （2）结合（1）得到的角平分线结论，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，证明． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略． 25. 如图：中，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以1和2的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于于．问：点运动多少时间时，与全等？请说明理由． 【答案】当点运动到时，与全等，理由如下： 设点运动时，与全等，由题意可分： 当点在上，点在上时，即，，如图： 由题意可知：，则有， ∵， ∴，解得：； 当点在上，点在上时，即，，如图： ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在上，点在上时，即，，如图： ∴， ∵， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 当点在上，点到终点A时，，如图： ∴， 解得：； 综上所述：当点运动到时，与全等． 【解析】 【分析】由题意可分当点在上，点在上时，即，，当点在上，点在上时，即，，当点在上，点在上时，即，，当点在上，点到终点A时，，然后分类进行求解即可． 【详解】略 26. （1）观察推理：如图1，中，，，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，，，垂足分别为D、E．求证：； （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图3，等边中，，点O在上，且，动点P从点E沿射线以速度运动，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点F恰好落在射线上，求点P运动的时间． 【答案】 （1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）18， （3）2.5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，等式的性质，等边三角形的性质，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）利用同角的余角相等判断出，即可得出结论； （2）先作出高，进而判断出，求出，最后用三角形的面积公式即可得出结论； （3）利用等式的性质得出，进而判断出，即可求出，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图2，过点作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图3， 由旋转知，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P运动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $