期中真题重组卷（辽宁专用，新教材北师大版九上1-4章：特殊平行四边形+一元二次方程+图形的相似+投影与视图）九年级数学上学期

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 5 6 > 6 9 10 A C D B A D C C C C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 8 11.7 12.一、二 13.5-5-5+5 14.8 15.25 三、解答题 16.(6分)【详解】(1)解：方程两边同乘以3(+) 得3x-3(r+1)=2x 解得x=-1.5, 经检验：x=-1.5是原方程的解；…(3分) (2)解：a=1,b=-1,c=-3. △=b2-4ac=1-4×1×(-3)=13>0 =生R4c1生店 2a 2 试卷第1页（共3页） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+V13 1-V13 解得戈 2, X2= 2.…(3分) 17.(9分)【详解】(1)解：，四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°， 又，DE=DE, .△ADE≌aCDE;·(3分) (2)解：，四边形ABCD是正方形， .AD‖BC, ∴.∠DAF=∠F, .AADE≌ACDE, .∠DAF=∠DCE,AE=CE, ∠DAF=∠F, 又，∠GEC=∠CEF」 ∴.aGEC∽aCEF, GE EC CE EF ..CE2=EF.EG, AE2=EF.EG;…(3分) (3)解：，四边形ABCD是正方形， .ABII CD,DG=AB, EG DG :AE AB DG 2 GC3 .可设DG=2x,CG=3x, .AB DC DG+GC 5x. EG DG =2x=2 ·4E=AB=5x5· …(3分) 试卷第2页（共3页） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(9分)【详解】(1)解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，93出现次数最多，且为3次， ∴.众数a=93: …调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴.中位数排在第10和11名之间， 则45%×20=9，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第10和11名的竞赛成绩分别是89和88， .中位数b 89+88=88.5, 2 又，B组有6名学生， 6 则m%= ×100%=30% 20 故答案为：93,88.5,30 …(4分) (2)解：依题意，900×0+800×9=495+360=855. 11 20 20 ∴估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有855人.…(2分) (3)解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： 开始 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 ∴.一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有10种， 105 “抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为126· …(4分) 19,9分)【详解】山如图。》，BL,3》,C42)关于'轴对称的点的坐标得到的坐标4(3，) B,(-1,3)C7(-4,2) …(3分) （2)43D,B1,3),C42)的坐标都乘以-2得到的坐标4(-6-2).8(2-0，C(84), 试卷第3页（共3页） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △4，B2C 即为所求， B(-2,-6) …(3分) (3连按8，交'轴于点P,则 PB=PB 由两点之间线段最短， PA+PB=PA+PB≥AB,=V(-1-3}+(3-=2V5,可知此时PA+PB最小，最 W5 小值为 6 5 3 2 A 1 -8-7-6-5-4-3-2-19 2345.6元…3分) +2 3 4 5 *6 20.(9分)【详解】解：(1)设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x, 由题意得： 61+x)}=8.64 x=0.2=20%,x2=-2.2 解得： (不符合题意，舍去)， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为20%；…(3分) (2)设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为cm,0.016m2=160cm2, 由题意得： 2x26-yj22-2=160 y2-24y+63=0 整理得： 片=3，y2=21 解得： (不合题意，舍去)， 试卷第4页（共3页） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为3Cm;…(3分) (3)设降价m元，则下调后每个千办的告价为65-m叭元，销告量为30+3测)个， (65-m-30)(30+3m)=1500 由题意得： 整理得：m2-25m+150=0, m=15,m2=10 解得： (不符合题意，舍去)， ∴.65-m=50」 答：下调后每个手办的售价为50元.…(3分) 21.(9分)【详解】(1)·四边形EFPO是矩形， ∴.EQ=DH=PF,EFBC, ∴.△AEF-△ABC, AHEF ·ADBC .8-x_EF .810 :EF=10-5 4 故答案为：10-5 : …(3分) (2),四边形EFPQ是矩形， ∴.EO=DH=PF,EFBC, .△AEF-△ABC, AH EF ·ADBC 8-x EF .810’ :EF=10-5 一 4 试卷第5页（共3页） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴S=EF.EQ=x10- x=-x+10x 44 ÷5x2-10x+S=0. 4 ∴.△=100-5S≥0. .S≤20. S0有最大值，最大值为20 …(3分) 题=：设AD的长为米，则B=300米 x米，需要用的篱笆长为米， 1=3x+300 整理，得3x2-k+300=0. ∴.△=12-3600=(1+60)1-60)≥0 1+60>0, .1-60≥0 .1260. ∴.需要用的篱笆最少是60米.…(3分) 22.(12分)【详解】(1)四边形BEDF是菱形，理由如下： :将矩形纸片ABCD折叠，点B与点D重合， ∴.BE=DE,BF=DF,∠BEF=∠DEF, ,四边形ABCD是矩形， AD∥BC, .∴.∠BFE=∠DEF, .∠BFE=∠BEF, .BE=BF, .BE=DE=BF =DF, ∴.四边形BEDF是菱形： …(3分) (2)解：①AB∥AC,理由如下： 试卷第6页（共3页） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD是矩形， .OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°， ..OA=OB. 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC=VAB2+BC2=82+(85=16, 0M=4c=8, ..OA=OB=AB, ∴.△AOB是等边三角形， .∠OBA=∠AOB=∠OAB=60°， ∴.∠CB0=90°-∠OBA=30° 由折叠的性质得：∠AB'F=∠ABF=90°，FB=FB, .∠FB'B=∠CBO=30°」 .∠AB'B=90°-30°=60°， ∴.∠AOB=∠AB'B=60° .AB∥AC:·(4分) ②四边形ABCD是矩形，如图3，点B在线段BD上时，设A'B与BD交于点G, A D O B2------ F 图3 .∠BAD=90°，由①知∠OAB=60°， .∠DA0=30°. A'B∥AC, .∠A'GE=∠DAO=30° ,∠BAE与∠A是折叠图形中的对应角， 试卷第7页（共3页） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=∠BAE=90°， ..GE=2A'E, .BD=AC=16, :OD-1BD-8 2 当B'D=4时，DB=OB, :AB∥AC, AG OB' ·DGDB =1 4G=DG-4D=45, AE+GE=43 .A'E=AE, :4E+GE=4V5 GE-4-4E :45-AE=24E 解得AE=45 3 :AE=45 3 如图4，点B在线段BD的延长线上时，设直线AB与直线AD交于点H, B G D .H 图4 .A'B∥AC, 试卷第8页（共3页） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△B'DH∽aODA, HD B'D ∴.AD=OD, HD 4 838’ .HD=43 AH=HD+AD=12 即1E+HE=A'E+HE=123 ,HE=12√3-AE 同理可得HE=2AE, :123-AE=2AE AE=43 解得 .AE=45, 综上所i运：6=分5成45、5分 1 23.(12分)【详解】(1)根据题意，“原函数”y=3+2的“相关函数”表达式为：y=-3-2: …(1分) ②证明：在“原函数”y=+b中，令+h=0:则x=- k b A直线与x轴交点为F,0 在它的“相关函数”y=--b中，令c-b=0,x=-力 试卷第9页（共3页） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线与x轴交为0 ·直线，直线与”轴的交点为同一个点：…(2分) (3)“原函数”的表达式为y=)x+山 2 :它的“相关函数”表达式为y= 2-1, 令2+1s-1 x-1 2 .x=-2 直线与直线的交点为-2,0) “点4在直线”上， 如图1，当a>-2时，点A在点B右侧. Y x+1 B A B 轴， ABllx yA=yg=。a+1」 2 “点B在直线上. 20+1 1 1 2x-lx=-a-4 .AB=2 试卷第10页（共3页) 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..X1-X8=2 ∴.a-（-a-4)=2 ∴.a=-1 4(引 当a<-2时，点A在点B的左侧，-a-4-a=2,a=-3 4(3 综述，点4的标人或3-】 (4分) (4)①：“原函数”为y=mx+2m y=-mx-2m mx+2m=0 它的“相关函数”为 令 x=-2, （-2,0) ·直线1与直线2交点为 如图， 12:y=-mx-2m 11:y=1mx+2m D :点C在直线上，点D在直线，且0<%<%， 试卷第11页（共3页) 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [1-2<-2 .11>-2 ∴.-2<t<0 :yc=mt+2m,yp =-m(t-2)-2m yp<yc,-m(t-2)-2m<mt+2m .2ml>-2m .2m>0, ∴1>-1. t的取值范围为-1<t<0: C=12a+24(a>0) ② 2(-2,0), 如图，直线与直线交点为9 2 ..00=2,OM=ON=2m .MN =4m, 2MW.09=8 ×4m×2=8 :.2 .∴.m=2 小“原函数”表达式为，它的“相关函数”表达式为 y=2x+4 y=-2x-4 ∴.E(a,2a+4),EF y轴交于点F ∴.F(a,-2a-4) 试卷第12页（共3页) 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EF=2a+4-(-2a-4)=4a+8 :EH∥x轴， ..yE yn =2a+4 ∴.2a+4=-2x-4 ∴.x=-a-4 ∴.H(-a-4,2a+4) ∴.EH=a-（-a-4)=2a+4 :FG∥x轴， …y%=yr=-2a-4 .-2a-4=2x+4, ∴.x=-a-4 ∴.G(-a-4,-2a-4) ∴.FG=a-(-a-4)=2a+4 .FG=EH=2a+4 又：FG∥x轴，EH‖x轴， ∴FG∥EH, ∴四边形EFGH为平行四边形， ∴.C=2(EF+FG)=2(4a+8+2a+4)=12a+24 …(5分) 试卷第13页（共3页） 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~4章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西太原·期中）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（    ） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·重庆开州·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（24-25九年级上·安徽铜陵·期中）如图，是的中线，点在上且满足，连接，与交于点，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 9．（24-25·广东·期中）如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．（24-25·江苏无锡·期中）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 二、填空题 11．（25-26九年级上·海南·期中）若，则_____． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期中）若，则函数一定经过第________象限． 13．（24-25·陕西西安·期中）已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______． 14．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为______． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为_________． 三、解答题 16．（6分）（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程： (1) (2) 17．（9分）（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，求的值． 18．（9分）（25-26九年级上·重庆·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_____，_____，______； (2)若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ (3)该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 19．（9分）（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于轴对称的； (2)以原点位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； (3)点为轴上一点，求的最小值． 20．（9分）（24-25九年级上·湖北十堰·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，．    素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 21．（9分）（24-25九年级上·广东深圳·期中）材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 22．（12分）（24-25·九年级上辽宁丹东·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． (1)【活动猜想】 如图2，当点与点D重合时，请判断四边形的形状并证明； (2)【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点O． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，请求出此时的长． 23．（12分）（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”．“原函数”的图象记为直线，它的“相关函数”的图象记为直线． 例如：“原函数”的“相关函数”为． (1)直接写出“原函数”的“相关函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与轴的交点是同一个点； (3)若“原函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“原函数”的表达式为． ①点在直线上，点在直线上，若，求的取值范围； ②若直线，直线与轴围成的图形面积为8，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~4章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、方程化为，是一元二次方程，故该选项符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、当时，方程是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 【答案】C 【详解】解：选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以不符合题意； 选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以不符合题意； 选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以不符合题意． 故选：． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 4．（24-25九年级上·山西太原·期中）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（    ） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 【答案】B 【详解】解：由，可知， 无论取何值， 一定有两个不相等的实数根． 故选：B 5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：A． 6．（24-25九年级上·重庆开州·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设共有x个队参赛， 根据题意，得． 故选：D． 7．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由折叠的性质可知，DF＝GF，HE＝CE，GH＝DC，∠DFE＝∠GFE． ∵∠GFE＋∠DFE＝180°﹣∠AFG＝120°， ∴∠GFE＝60°． ∵AF∥GE，∠AFG＝60°， ∴∠FGE＝∠AFG＝60°， ∴△GEF为等边三角形， ∴EF＝GE． ∵∠FGE＝60°，∠FGE＋∠HGE＝90°， ∴∠HGE＝30°． 在Rt△GHE中，∠HGE＝30°， ∴GE＝2HE＝CE， ∴GH＝＝HE＝CE． ∵GE＝2BG， ∴BC＝BG＋GE＋EC＝4EC． ∵矩形ABCD的面积为， ∴4EC•EC＝， ∴EC＝1，EF＝GE＝2. 故选：C． 8．（24-25九年级上·安徽铜陵·期中）如图，是的中线，点在上且满足，连接，与交于点，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：过点E作交于G， 是的中线， ,, ,,, ， , , , 设， ,, ,, , 故答案为：C 9．（24-25·广东·期中）如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则，， ∴在中，由勾股定理得， 解得：或（舍）， ∴， 故选：C． 10．（24-25·江苏无锡·期中）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 【答案】C 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 二、填空题 11．（25-26九年级上·海南·期中）若，则_____． 【答案】 【详解】解：由 ，得 = ， 即， 移项，合并同类项，得， 因此． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期中）若，则函数一定经过第________象限． 【答案】一、二 【详解】解：， 情况1：若， ∵ 由等比性质，， ∴ ， ∴ ， ∴ 函数为， ∴ 函数过第一、二、三象限， 情况2：若， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 函数为， ∴ 函数过第一、二、四象限， 综上，函数一定经过第一、二象限， 故答案为：一、二． 13．（24-25·陕西西安·期中）已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______． 【答案】/ 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 由正五边形可得， 由题意得，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是黄金三角形， ∴设， ∴ ∵黄金三角形的底与腰之比为， ∴在中， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ， ∴， ， ∵， ∴ ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为______． 【答案】8 【详解】解：矩形是由三个全等矩形拼成的， ，， 四边形，四边形是平行四边形，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：8． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ， 在中，， ， 最小值为． 故答案为：． 三、解答题 16．（6分）（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)，． 【详解】（1）解：方程两边同乘以， 得， 解得， 经检验：是原方程的解； （2）解：，，， ， ∴， 解得，． 17．（9分）（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) 解：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； (2) 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴． 18．（9分）（25-26九年级上·重庆·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_____，_____，______； (2)若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ (3)该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，出现次数最多，且为次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第和名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第和名的竞赛成绩分别是和， ∴中位数， 又∵组有名学生， 则， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． （3）解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种， ∴抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为． 19．（9分）（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于轴对称的； (2)以原点位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； (3)点为轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) 描点，连接，即为所求； (2) 描点，连接，如图； (3) 【详解】（1）如图，，，关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，． （2），，的坐标都乘以得到的坐标，，， ∴即为所求，． （3）连接，交轴于点，则， 由两点之间线段最短，，可知此时最小，最小值为， 20．（9分）（24-25九年级上·湖北十堰·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，．    素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【详解】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 21．（9分）（24-25九年级上·广东深圳·期中）材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】题一：①；②最大值为；题二：米 【详解】（1）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 有最大值，最大值为． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米， ， 整理，得， ， ， ∴ ， 需要用的篱笆最少是米． 22．（12分）（24-25·九年级上辽宁丹东·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． (1)【活动猜想】 如图2，当点与点D重合时，请判断四边形的形状并证明； (2)【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点O． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，请求出此时的长． 【答案】(1) 四边形是菱形，理由如下： ∵将矩形纸片折叠，点与点重合， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) ①，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或 【详解】（1）略 （2）解：略 ②四边形是矩形， 如图，点在线段上时，设与交于点， ∴，由知， ∴， ∵， ∴， ∵与是折叠图形中的对应角， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴， 解得， ∴， 综上所述：或． 23．（12分）（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”．“原函数”的图象记为直线，它的“相关函数”的图象记为直线． 例如：“原函数”的“相关函数”为． (1)直接写出“原函数”的“相关函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与轴的交点是同一个点； (3)若“原函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“原函数”的表达式为． ①点在直线上，点在直线上，若，求的取值范围； ②若直线，直线与轴围成的图形面积为8，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 证明：在“原函数”中，令，则， ∴直线与x轴交点为， 在它的“相关函数”中，令 直线与轴交点为， 直线，直线与轴的交点为同一个点； (3)或 (4)①；② 【详解】（1）根据题意，“原函数”的“相关函数”表达式为；； （2）略 （3）“原函数”的表达式为 它的“相关函数”表达式为， 令 直线与直线的交点为 点在直线上， 设． 如图1，当时，点在点右侧． 轴， ． 点在直线上， ． ， 当时，点在点的左侧， ． 综上所述，点的坐标为或； （4）①“原函数”为 它的“相关函数”为．令 ， 直线与直线交点为． 如图， ∵点C在直线上，点D在直线，且， ∴ ． ， ， ． 的取值范围为； ② 如图，直线与直线交点为 ， “原函数”表达式为，它的“相关函数”表达式为 轴交于点 ， 轴， ， ， 轴， ， ， ， ， ． 又轴，轴， 四边形为平行四边形， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $