各点击破13 平衡问题中的极值问题 专项训练-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

2026—2027学年高中物理人教版必修一 3.5 共点力平衡　第三章　相互作用——力 各点击破13·平衡问题中的极值问题（学生版） 范围：必修一第三章 相互作用（力的极值、取值范围、临界判断）　题型：单选 5 + 多选 3 + 解答 3，共 11 题 第一部分　本套题通用知识点 动笔前 3 分钟过一遍：平衡中的极值问题：求某个力的最大值、最小值或取值范围。三件武器——矢量三角形图解法、三角函数极值、临界条件（恰好/最大静摩擦）。 一、第一性原理：先想「本质是什么」 1.　极值即临界　力的最大值、最小值都对应某个临界状态：恰好滑动、恰好离开、绳恰好竖直/水平——先找到临界点再列式。 2.　图解法看边长　三力平衡构成封闭矢量三角形：恒力边不变，定向力边只转不变向，变力边端点沿定向线移动——边最短即力最小。 3.　垂直即最短　一个力的大小方向都不变、另一个力方向不变时：当变力与定向力垂直时，变力最小——这是「垂直最短」原理。 4.　函数法求极值　把未知力表示成角度的三角函数，用三角函数的值域或配方求极值；两变量问题常配相似三角形。 5.　范围是两个临界　「取值范围」的两端各对应一个临界状态，分别列出再联立，中间即为范围。 二、核心公式：缺哪个量就避开哪条 　共点力平衡 　（所有极值方程的基础） 　最大静摩擦（临界条件） 　（恰好滑动时取最大值） 　斜面临界角 　（恰好静止（或匀速下滑）的条件） 　正交分解 　（设角度变量再求极值） 　合力大小 　（θ 为两力夹角） 　斜面分力 　（重力沿斜面与垂直斜面分解） 　正弦定理（力三角形） 　（力三角形中边角对应的定量关系） 　两力垂直极值 　（变力与定向力垂直时取最小值） 三、通用解题方法总览：拿到题先对号入座 1.　辨题型　求「最大/最小」用极值法，求「范围」找两端临界，问「恰好」直接写临界条件。 2.　画矢量三角形　三力平衡先画封闭三角形，恒力边固定、定向力边画方向线。 3.　图解找最短　变力边与定向线垂直时最短——力最小，一眼看出不用计算。 4.　函数法兜底　图解看不出时，设角度变量列正交方程，化成三角函数求极值。 5.　临界条件清单　f=μFN（恰好滑动）、N=0（恰好离开）、绳恰竖直/水平，逐个核对。 6.　范围题两端列式　最大值、最小值各列一组方程，解出后用不等号连接。 7.　解完必验　极值代入原始情境检验合理性，答案与「恰好」「至少」语义一致。 提醒　极值题先想「什么量不变」——恒力边和方向不变的力是解题的锚点；「垂直最短」是判断力最小的第一反应，比列函数更快；求范围时别只算一端，两个临界状态都要列方程；含摩擦的极值题，「恰好滑动」时静摩擦已达到最大值 μFN，方向与趋势相反。 第二部分　各点击破专项练习 一、单选题（本题共 5 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．如图所示，虚线表示分力的作用线，实线表示合力图示，当另一个分力取最小值时，的大小为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，质量均为m的小球A、B用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O点，在外力F的作用下，小球A、B处于静止状态。若要使两小球处于静止状态且悬线OA与竖直方向的夹角保持不变，重力加速度为g，则外力F的大小（     ） A．可能为mg B．可能为 C．一定为mg D．可能为3mg 3．茶农常用倾角可调的竹架晾晒茶青。如图所示，一竹匾放在倾角的竹架上，竹匾恰好能保持静止。不计空气作用力，下列说法正确的是（     ） A．竹匾所受重力沿竹架向下的分力与竹架对竹匾的静摩擦力是一对相互作用力 B．当时，竹匾仍能保持静止 C．当时，竹架对竹匾的作用力竖直向上 D．在静止的竹匾中放入茶青，竹匾一定沿竹架下滑 4．如图所示，粗糙地面上有一上表面光滑的斜面，斜面上有一个重力为100N的小球，被轻绳拴住悬挂在天花板上。已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为37°，，整个装置处于静止状态。现用外力推斜面向右缓慢移动，移动过程中，绳拉力的最小值为（　　） A．60N B．100N C． D．80N 5．如图，半径为3R的固定的半球形碗中，有两个半径均为R的质量分布均匀的球a、b，球a、b的质量分别为2m、m。现对b球施加大小及方向合适的推力F，使a、b球心处于同一高度。不计一切摩擦，重力加速度为g，则推力F的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得 0 分。） 6．如图在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2＞0）。由此可求出（　　） A．物块的质量 B．斜面的倾角 C．物块与斜面间的最大静摩擦力 D．物块的重力沿斜面向下的分力 7．如图所示，能承受最大拉力为15N的细线OA与水平方向成30°角，能承受最大拉力为15N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力。在不断增大所挂重物的重力的过程中（     ） A．OA绳先断 B．OB绳先断 C．OA绳与OB绳同时断 D．所挂重物的重力最大能增大到7.5N 8．如图所示，重力为的小球用轻绳悬于点，用力拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向角且不变。当与竖直方向的夹角为时，有最小，则、的值为（     ） A． B． C． D． 三、解答题（本题共 3 小题，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。） 9．如图所示，质量的物体用轻细绳绕过光滑的定滑轮与质量为的物体B相连，连接的细绳与水平方向的夹角为，此时系统处于静止状态。已知与水平面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。求： (1)绳子拉力的大小、物体所受摩擦力和支持力的大小； (2)要使物体保持静止，物体B的质量不能超过多少。 10．如图所示，在倾角θ为37°、质量为M=2 kg的斜面体上用水平力F推质量m=1 kg的木块，木块与斜面体间的动摩擦因数μ为0.5。当水平推力F=F0时，木块静止在斜面体上恰好不受摩擦力。改变水平推力F过程，斜面体始终静止在水平面上。已知物块与斜面体间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)水平推力F0的大小； (2)水平面对斜面体支持力的大小； (3)若要木块能静止在斜面上，求水平推力F的取值范围。 11．如图所示，粗糙水平地面上放置一重为G2=200N、倾角为θ=37°的斜面体，在斜面体上有一个重为G1=400N的光滑小球（可视为质点）被轻绳拴住悬挂在水平天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为α=45°，整个装置处于静止状态，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)求斜面对小球支持力FN的大小和轻绳对小球的拉力F2大小； (2)若在小球上施加一个外力F，让小球刚好脱离斜面，这个外力的最小值； (3)地面与斜面体间的动摩擦因数μ至少多大？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高中物理人教版必修一 3.5 共点力平衡　第三章　相互作用——力 各点击破13·平衡问题中的极值问题（解析版） 范围：必修一第三章 相互作用（力的极值、取值范围、临界判断）　题型：单选 5 + 多选 3 + 解答 3，共 11 题 第一部分　本套题通用知识点 动笔前 3 分钟过一遍：平衡中的极值问题：求某个力的最大值、最小值或取值范围。三件武器——矢量三角形图解法、三角函数极值、临界条件（恰好/最大静摩擦）。 一、第一性原理：先想「本质是什么」 1.　极值即临界　力的最大值、最小值都对应某个临界状态：恰好滑动、恰好离开、绳恰好竖直/水平——先找到临界点再列式。 2.　图解法看边长　三力平衡构成封闭矢量三角形：恒力边不变，定向力边只转不变向，变力边端点沿定向线移动——边最短即力最小。 3.　垂直即最短　一个力的大小方向都不变、另一个力方向不变时：当变力与定向力垂直时，变力最小——这是「垂直最短」原理。 4.　函数法求极值　把未知力表示成角度的三角函数，用三角函数的值域或配方求极值；两变量问题常配相似三角形。 5.　范围是两个临界　「取值范围」的两端各对应一个临界状态，分别列出再联立，中间即为范围。 二、核心公式：缺哪个量就避开哪条 　共点力平衡 　（所有极值方程的基础） 　最大静摩擦（临界条件） 　（恰好滑动时取最大值） 　斜面临界角 　（恰好静止（或匀速下滑）的条件） 　正交分解 　（设角度变量再求极值） 　合力大小 　（θ 为两力夹角） 　斜面分力 　（重力沿斜面与垂直斜面分解） 　正弦定理（力三角形） 　（力三角形中边角对应的定量关系） 　两力垂直极值 　（变力与定向力垂直时取最小值） 三、通用解题方法总览：拿到题先对号入座 1.　辨题型　求「最大/最小」用极值法，求「范围」找两端临界，问「恰好」直接写临界条件。 2.　画矢量三角形　三力平衡先画封闭三角形，恒力边固定、定向力边画方向线。 3.　图解找最短　变力边与定向线垂直时最短——力最小，一眼看出不用计算。 4.　函数法兜底　图解看不出时，设角度变量列正交方程，化成三角函数求极值。 5.　临界条件清单　f=μFN（恰好滑动）、N=0（恰好离开）、绳恰竖直/水平，逐个核对。 6.　范围题两端列式　最大值、最小值各列一组方程，解出后用不等号连接。 7.　解完必验　极值代入原始情境检验合理性，答案与「恰好」「至少」语义一致。 提醒　极值题先想「什么量不变」——恒力边和方向不变的力是解题的锚点；「垂直最短」是判断力最小的第一反应，比列函数更快；求范围时别只算一端，两个临界状态都要列方程；含摩擦的极值题，「恰好滑动」时静摩擦已达到最大值 μFN，方向与趋势相反。 第二部分　各点击破专项练习 一、单选题（本题共 5 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1〔分力最小·图解法〕．如图所示，虚线表示分力的作用线，实线表示合力图示，当另一个分力取最小值时，的大小为（　　） A． B． C． D． 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】D 【详解】根据力的平行四边形定则作图，从合力的终点向的作用线作垂线，此垂线为的最小值，如图所示 由几何关系可知与之间夹角为，此时 故选D。 2〔双球悬挂·F最小极值〕．如图所示，质量均为m的小球A、B用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O点，在外力F的作用下，小球A、B处于静止状态。若要使两小球处于静止状态且悬线OA与竖直方向的夹角保持不变，重力加速度为g，则外力F的大小（     ） A．可能为mg B．可能为 C．一定为mg D．可能为3mg 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】D 【详解】对A、B两球整体受力分析，受重力 OA绳子的拉力以及外力F，三力平衡，将绳子的拉力和外力F合成，其合力与重力平衡，如图所示： 当外力F与绳子的拉力垂直时，外力F最小，最小值为 由于外力F的方向具有不确定性，因而从理论上讲，外力F最大值可以取到大于的任意值。 故选D。 3〔竹架茶青·恰好静止〕．茶农常用倾角可调的竹架晾晒茶青。如图所示，一竹匾放在倾角的竹架上，竹匾恰好能保持静止。不计空气作用力，下列说法正确的是（     ） A．竹匾所受重力沿竹架向下的分力与竹架对竹匾的静摩擦力是一对相互作用力 B．当时，竹匾仍能保持静止 C．当时，竹架对竹匾的作用力竖直向上 D．在静止的竹匾中放入茶青，竹匾一定沿竹架下滑 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】C 【详解】A．根据平衡条件可知，竹匾所受重力的分力与静摩擦力均作用在竹匾上，大小相等、方向相反、作用在同一直线上，是一对平衡力，故A错误； B．竹匾放在倾角的竹架上，竹匾恰好能保持静止，则有 解得 因为 可知此时重力沿竹架向下的分力大于最大静摩擦力，竹匾会沿竹架滑动，故B错误； C．因为 可知竹匾会静止在竹架上，则竹架对竹匾的作用力，是竹架对竹匾的支持力与静摩擦力的合力，大小等于重力，方向竖直向上，故C正确； D．由B选项分析可知，竹匾是否下滑与物体质量无关，故D错误。 故选C。 4〔斜面小球·绳向极值〕．如图所示，粗糙地面上有一上表面光滑的斜面，斜面上有一个重力为100N的小球，被轻绳拴住悬挂在天花板上。已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为37°，，整个装置处于静止状态。现用外力推斜面向右缓慢移动，移动过程中，绳拉力的最小值为（　　） A．60N B．100N C． D．80N 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】A 【详解】对小球受力分析，如图 外力推斜面向右缓慢移动，则轻绳与竖直方向夹角变大，三力平衡的动态图如图 由图可知，斜面对小球的支持力逐渐变大，轻绳对小球的拉力逐渐变小。最小值为 故选A。 5〔半球碗双球·平衡极值〕．如图，半径为3R的固定的半球形碗中，有两个半径均为R的质量分布均匀的球a、b，球a、b的质量分别为2m、m。现对b球施加大小及方向合适的推力F，使a、b球心处于同一高度。不计一切摩擦，重力加速度为g，则推力F的最小值为（     ） A． B． C． D． 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】B 【详解】半球形碗的球心为O，碗的半径为3R，两个小球半径均为R，因此碗的球心O到任意一个小球球心的距离为 又因为两球半径都为R，两球心间距为 结合两球心处于同一高度，可知三个球心的连线构成边长为2R的等边三角形，如图所示 因此碗对a、b的弹力方向与水平方向均成角斜向上。 对a球受力分析，a受重力2mg、碗的弹力​、b对a的弹力，三力平衡。由a的受力矢量三角形可得，方向水平向左 对b球受力分析，由牛顿第三定律得a对b的弹力，方向水平向右 碗对b弹力方向不变，b受到4个力的作用，其合力为0，4个力构成首尾相连的矢量多边形，可知当外力F与碗对b弹力方向垂直时最小，最小值 故选B。 二、多选题 二、多选题（本题共 3 小题，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得 0 分。） 6〔斜面物块·F取值范围〕．如图在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2＞0）。由此可求出（　　） A．物块的质量 B．斜面的倾角 C．物块与斜面间的最大静摩擦力 D．物块的重力沿斜面向下的分力 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】CD 【详解】当取最大值时，物块有沿斜面向上运动的趋势，静摩擦力沿斜面向下且达到最大值，由平衡条件得 当取最小值时，物块有沿斜面向下运动的趋势，所以静摩擦力沿斜面向上且达到最大值，因为外力始终沿斜面向上，由平衡条件得 联立两式可得， 但无法求出物块的质量和倾角。 故选CD。 7〔细线承拉·先断判断〕．如图所示，能承受最大拉力为15N的细线OA与水平方向成30°角，能承受最大拉力为15N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力。在不断增大所挂重物的重力的过程中（     ） A．OA绳先断 B．OB绳先断 C．OA绳与OB绳同时断 D．所挂重物的重力最大能增大到7.5N 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】AD 【详解】ABC．对点，受力如图所示 假设绳先断，即 求出绳拉力 则假设不成立，应为绳先断，故A正确，BC错误； D．以先断的绳的最大拉力来计算重物的最大重力,所以所挂重物的最大重力，故D正确。 故选AD。 8〔矢量三角形·F极值〕．如图所示，重力为的小球用轻绳悬于点，用力拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向角且不变。当与竖直方向的夹角为时，有最小，则、的值为（     ） A． B． C． D． 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】AD 【详解】AB．小球静止时，设轻绳张力为，由水平和竖直方向平衡分别有 和 两式消去后得到= 当最小时，取最大值，所以，故A正确，B错误。 CD．当时，达到最大值，从而得到 这是最小拉力的值。由于，不等于，故C错误，D正确。 故选AD。 三、解答题 三、解答题（本题共 3 小题，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。） 9〔定滑轮·B质量临界〕．如图所示，质量的物体用轻细绳绕过光滑的定滑轮与质量为的物体B相连，连接的细绳与水平方向的夹角为，此时系统处于静止状态。已知与水平面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。求： (1)绳子拉力的大小、物体所受摩擦力和支持力的大小； (2)要使物体保持静止，物体B的质量不能超过多少。 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】(1)；； (2) 【详解】（1）对物体B受力分析，根据平衡条件可得 代入数据解得，绳子拉力的大小为 对物体A受力分析，水平方向则有 解得物体A受到的摩擦力的大小为 竖直方向则有 解得物体A受到的支持力大小为 （2）设物体B的最大质量为，绳子的拉力为，对物体B，根据平衡条件则有 对物体A则有， 联立解得 即要使A物体保持静止，物体B的质量不能超过 10〔斜面体·推力范围〕．如图所示，在倾角θ为37°、质量为M=2 kg的斜面体上用水平力F推质量m=1 kg的木块，木块与斜面体间的动摩擦因数μ为0.5。当水平推力F=F0时，木块静止在斜面体上恰好不受摩擦力。改变水平推力F过程，斜面体始终静止在水平面上。已知物块与斜面体间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)水平推力F0的大小； (2)水平面对斜面体支持力的大小； (3)若要木块能静止在斜面上，求水平推力F的取值范围。 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】(1)7.5N (2)30N (3) 【详解】（1）当水平推力时，木块静止在斜面体上恰好不受摩擦力，则沿斜面方向根据受力平衡有 解得 （2）以木块和斜面为整体，竖直方向根据受力平衡可得 解得水平面对斜面体支持力的大小为 （3）当木块刚好不沿斜面下滑时，由受力平衡得， 又 联立解得水平推力为 当木块刚好不沿斜面上滑时，根据受力平衡可得， 又 联立解得水平推力为 则要木块能静止在斜面上，水平推力F的取值范围为 11〔脱离斜面·最小外力〕．如图所示，粗糙水平地面上放置一重为G2=200N、倾角为θ=37°的斜面体，在斜面体上有一个重为G1=400N的光滑小球（可视为质点）被轻绳拴住悬挂在水平天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为α=45°，整个装置处于静止状态，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)求斜面对小球支持力FN的大小和轻绳对小球的拉力F2大小； (2)若在小球上施加一个外力F，让小球刚好脱离斜面，这个外力的最小值； (3)地面与斜面体间的动摩擦因数μ至少多大？ 【知识点】平衡问题中的极值问题 【答案】(1)， (2) (3)0.4 【详解】（1）对小球受力分析，如图所示 根据平衡条件可得， 解得， （2）若在小球上施加一个外力，让小球脱离斜面体，当外力垂直绳子斜向左上方时，拉力具有最小值，根据平衡条件可得 （3）以斜面体和小球整体为研究对象，根据平衡条件可得，， 联立解得 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $