各点击破6 三角形法则解决共点力平衡问题 专项训练 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

2026—2027学年高中物理人教版必修一 3.5 共点力平衡　第三章　相互作用——力 各点击破6·三角形法则解决共点力平衡问题（解析版） 范围：必修一第三章 相互作用（三角形法则、力三角形、相似三角形）　题型：单选 5 + 多选 3 + 解答 3，共 11 题 第一部分　本套题通用知识点 动笔前 3 分钟过一遍：三力平衡首选「力三角形」——把三个力首尾相接围成封闭三角形，几何关系即物理关系。 一、第一性原理：先想「本质是什么」 1．平衡即零合力：物体受三个共点力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线。 2．力三角形是"合力为零"的几何化身：把三个力矢量平移、首尾相接，恰好围成封闭三角形，边即力、角即方向关系。 3．边长对应力的大小，内角对应力的方向夹角：三角形一旦定形，三个力的大小、方向关系随之完全确定，解三角形就是解平衡。 4．力三角形可与几何三角形相似：题目中的绳长、支架、半径等几何量与力对应成比例，用相似比代替三角函数，避开解角。 5．恒力边是矢量三角形的锚点：大小方向都不变的力（通常是重力）画在原地固定不动，另两个力绕它的两端变化，这是动态分析与求最值的依据。 二、核心公式：缺哪个量就避开哪条 　三力平衡 　（首尾相接围成封闭三角形，是力三角形的总纲） 　合力大小 　（θ 为两力夹角；合力与第三力等大反向） 　正弦定理 　（θ 为对应边的对角；力三角形中已知两角一边即用） 　垂直最小值 　（F⊥绳、绳与竖直方向成 θ 时拉力最小） 　水平拉绳 　（绳与竖直方向成 θ 时，水平拉力公式） 　绳的拉力 　（与上两条配套使用） 　相似三角形 　（力边比=几何边比，绳长、半径等几何量与力对应） 　直角力三角形 　（F、G 互相垂直时直接勾股） 三、通用解题方法总览：拿到题先对号入座 1．定对象、画受力：只画性质力（重力、弹力、摩擦力），题给外力另计，勿多勿漏。 2．三力平衡首选力三角形：将三力平移首尾相接，先检查是否封闭，再定边角对应。 3．已知两边及夹角或三边关系→解三角形（数学正弦定理）；含直角→勾股定理与三角函数。 4．题给绳长、杆长、半径等几何长度且与力一一对应→相似三角形法，列比例式求解。 5．求某力的最小值→令该力与其余两力的合力垂直，F最小=恒力×sinθ。 6．动态变化→固定重力边与定向力边，让变向力的端点沿圆弧或直线移动，看边长伸缩。 7．解完必验：三力能否围成封闭三角形、方向是否合理、结果量纲是否正确。 提醒　力三角形中的角是「力的方向之间的夹角」，与几何角不是一回事，先标角再列式；"F 的最小值"不一定对应 F=0，垂直条件才是关键；相似三角形法要写清「力的边」与「长度的边」的对应，防止交叉比错。 第二部分　各点击破专项练习 一、单选题（本题共 5 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1〔三角形法则·三力方向关系〕．一个质点在、、三个共点力作用下，做匀速直线运动，则这三个力的方向关系可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】B 【详解】质点在三个共点力作用下做匀速直线运动，处于平衡状态，根据平衡条件有 根据力的合成的三角形定则可知，这三个力对应的有向线段必须依次首尾相接形成一个闭合的矢量三角形； A．图中与首尾相接，由三角形定则可知它们的合力为，则这三个力的合力为，合力不为零，故A错误； B．图中、、依次首尾相接，形成闭合的矢量三角形，则这三个力的合力为零，故B正确； C．图中与起点相同，由矢量合成法则可知与的合力为，则这三个力的合力为，合力不为零，故C错误； D．图中与首尾相接，由三角形定则可知它们的合力为，则这三个力的合力为，合力不为零，故D错误。 故选B。 2〔三角形法则·垂直求最小拉力〕．一根轻绳一端固定在天花板上O点，另一端与重力为5N的小球相连，给小球施加一个拉力F（未画出），小球平衡后轻绳与竖直方向夹角为30°，如图所示。重力加速度取g = 10m/s2该拉力的最小值为（     ） A．3N B．2.5N C．2N D．1.5N 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】B 【详解】对小球受力分析，要使拉力最小，拉力方向应与细线垂直，如图所示 根据矢量的合成法则，构建如图的矢量三角形，由几何知识可得 故选B。 3〔三角形法则·力三角形求取值范围〕．如图所示，一根细线系着一个质量为m的小球，细线上端固定在天花板上，给小球施加力F，小球平衡后细线与竖直方向的夹角。现改变F的方向，但仍要使小球在图中位置保持平衡，即角不变，重力加速度为g，则F的大小不可能为（　　） A． B． C． D． 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】A 【详解】对小球受力分析，其受到自身的重力、绳子的拉力以及外力F。若让小球保持平衡状态，则这三个力恰好能做成首尾相连的三角形，如图所示 则当F的方向与拉力T的方向相垂直时，拉力F有最小值，其有 由上述的分析可知，其有，不可能是。 故选A。 4〔相似三角形+矢量三角形求最值〕．如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，拉力F作用在小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（     ） A． B． C．G D． 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】A 【详解】对球A受力分析，受重力和OA绳子的拉力，根据受力平衡，绳子AB的拉力为零，绳子OA的拉力等于mg； 对球B受力分析，受到重力、拉力F和OB绳子的拉力T，合力为零，根据平衡条件可知，当F与T垂直时，拉力F最小，设OB绳与竖直方向的夹角为，根据几何关系得 其中，则 故选A。 5〔正弦定理分析动态平衡〕．如图所示，轻质细线一端拴接一质量为m的小球，另一端悬挂于天花板上的O点，给小球施加一水平外力F，小球平衡后细线与竖直方向的夹角，与F的夹角为。下列说法中正确的是（     ） A．保持F水平，将缓慢增大，F逐渐减小 B．保持小球位置及角不变，将缓慢减小到30°，F逐渐减小 C．保持角不变，将缓慢增大到90°，F先增大再减小 D．保持角不变，将缓慢增大到90°，细线拉力逐渐减小 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】D 【详解】A．小球处于平衡状态，重力、水平外力和细线拉力的合力为零，三力首尾相连可构成闭合力三角形。设力三角形中与重力相对的角为，则；与外力相对的角为，与细线拉力相对的角为。由正弦定理及上述角度关系，外力为 同理，细线拉力为 下面的力三角形图展示了三种变化过程，可据此核对角度与边长关系： 保持水平时，细线与的夹角满足 代入前式得 随着增大，增大，故逐渐增大，故A错误； B．保持小球位置及角不变，缓慢减小时，先增大后减小。由前式可知先减小后增大，故B错误； C．保持不变，将从增大到时，有 在给定区间内，正弦值随角度增大而增大，所以外力一直增大，故C错误； D．在上述过程中， 随着从增大到，从减小到，正弦值减小，所以细线拉力逐渐减小，故D正确。 故选D。 二、多选题（本题共 3 小题，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得 0 分。） 6〔矢量三角形定方向区域与最值〕．一根细线上端固定，下端系着一个质量为m的小球。给小球施加拉力F，使小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。则拉力F（     ） A．方向可能在图中Ⅰ区内 B．方向可能在图中Ⅱ区内 C．最小值为mgsinθ D．最大值为mg 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】BC 【详解】AB．小球受竖直向下的重力和沿细绳斜向上的拉力T以及拉力F，三力平衡，则力F必在和T夹角的对角范围内，即在图中的Ⅱ区域，故A错误，B正确； CD．当力F与T垂直时，F最小，最小值为，故C正确，D错误； 故选BC。 7〔整体法+矢量三角形求最值〕．将两个质量为m和M的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示，用力F拉小球b。使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ=30°，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．当拉力F水平时，其大小为 B．当拉力F水平时，其大小为 C．拉力F的最小值为 D．拉力F的最小值为 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】AD 【详解】AB．把小球a、b看成一个整体受力分析正交分解得： 竖直方向 水平方向 联立得 代入，，得， 故A正确，B错误； CD．据动态平衡矢量三角形法：大小方向都不变的总重力 拉力方向固定（始终与竖直方向成角），当方向与绳垂直时，最小。 由几何关系得最小值 代入，得，故D正确，C错误。 故选AD。 8〔矢量三角形比较拉力大小〕．如图所示，轻质细绳AO和BO相交于O点，其A、B端是固定的，在O点用轻质细绳悬挂质量为m的物体，平衡时，AO水平，BO与水平方向的夹角为θ，已知细绳AO和BO能承受的最大拉力相同。AO和BO的拉力大小分别为F1和F2，已知重力加速度为g，则（　　） A． B． C．F1与F2的合力大小为mg，方向竖直向下 D．增大物体的质量，最先断的是细绳BO 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】BD 【详解】AB．以结点O为研究对象，受力情况如图所示 根据共点力平衡条件有， 解得，，故A错误，B正确； C．由图可知与的合力大小为mg，方向竖直向上，故C错误； D．根据平衡条件有 增大物体的质量，BO绳上的拉力先达到最大值，先断开，故D正确。 故选BD。 三、解答题（本题共 3 小题，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。） 9〔三角形法则分解求绳拉力〕．图中，电灯的重力绳与顶板间夹角为，绳水平，则绳所受的拉力和绳所受的拉力各为多大？ 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】， 【详解】绳受到拉力是由于绳受到电灯的拉力才使绳张紧产生拉力 因此绳的拉力产生了两个效果，一是沿向下的拉紧绳的分力，二是沿向左的拉紧绳的分力 且绳拉力的大小等于的大小，绳拉力的大小等于的大小 因为拉力等于电灯重力，因此可得：， 10〔相似三角形法求拉力与支持力〕．用细线通过网兜把质量为的足球挂在光滑墙壁上，如图所示。不计网兜质量。已知悬点到足球球心的距离为，足球的半径为，重力加速度为，求： (1)细线的拉力大小； (2)墙壁对足球的支持力大小。 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对足球受力分析，构建矢量三角形如图所示： 矢量三角形和△OAB相似，有 由几何关系可知 代入数据可得 （2）由上述分析可知墙壁对足球的支持力大小 11〔矢量三角形三问动态分析〕．一根细线系着一个小球质量为，细线上端固定在横梁上。给小球施加力，小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为，如图所示。现改变的方向，但仍然要使小球在图中位置保持平衡，即保持不变，问： (1)力水平时，其大小为多少？ (2)改变方向，可能的最小值。 (3)若细线和的夹角不变，而从0°到90°变化，则角为多少时和细线拉力在变化过程中分别达到最大值。 【知识点】三角形法则解决共点力平衡问题 【答案】(1) (2) (3)当时，细线拉力达到最大，，当时，达到最大， 【详解】（1）当力水平时，对小球进行受力分析如下图所示： 得 代入数据解得 （2）当力方向可变时，由三力平衡中任意两个力的合力与第三个力等大反向，运用平行四边形定则将小球重力与绳拉力进行合成，则当该两力合力与拉力垂直时合力最小，即此时力最小，如下图所示： 得力 （3）若细线和的夹角不变，而从到变化，对小球进行受力分析如下图所示： 则由力的合成中正弦定理法得 则当从到变化过程中，当时，细线拉力达到最大，代入数据解得 当时，达到最大，代入数据解得 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高中物理人教版必修一 3.5 共点力平衡　第三章　相互作用——力 各点击破6·三角形法则解决共点力平衡问题（学生版） 范围：必修一第三章 相互作用（三角形法则、力三角形、相似三角形）　题型：单选 5 + 多选 3 + 解答 3，共 11 题 第一部分　本套题通用知识点 动笔前 3 分钟过一遍：三力平衡首选「力三角形」——把三个力首尾相接围成封闭三角形，几何关系即物理关系。 一、第一性原理：先想「本质是什么」 1．平衡即零合力：物体受三个共点力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线。 2．力三角形是"合力为零"的几何化身：把三个力矢量平移、首尾相接，恰好围成封闭三角形，边即力、角即方向关系。 3．边长对应力的大小，内角对应力的方向夹角：三角形一旦定形，三个力的大小、方向关系随之完全确定，解三角形就是解平衡。 4．力三角形可与几何三角形相似：题目中的绳长、支架、半径等几何量与力对应成比例，用相似比代替三角函数，避开解角。 5．恒力边是矢量三角形的锚点：大小方向都不变的力（通常是重力）画在原地固定不动，另两个力绕它的两端变化，这是动态分析与求最值的依据。 二、核心公式：缺哪个量就避开哪条 　三力平衡 　（首尾相接围成封闭三角形，是力三角形的总纲） 　合力大小 　（θ 为两力夹角；合力与第三力等大反向） 　正弦定理 　（θ 为对应边的对角；力三角形中已知两角一边即用） 　垂直最小值 　（F⊥绳、绳与竖直方向成 θ 时拉力最小） 　水平拉绳 　（绳与竖直方向成 θ 时，水平拉力公式） 　绳的拉力 　（与上两条配套使用） 　相似三角形 　（力边比=几何边比，绳长、半径等几何量与力对应） 　直角力三角形 　（F、G 互相垂直时直接勾股） 三、通用解题方法总览：拿到题先对号入座 1．定对象、画受力：只画性质力（重力、弹力、摩擦力），题给外力另计，勿多勿漏。 2．三力平衡首选力三角形：将三力平移首尾相接，先检查是否封闭，再定边角对应。 3．已知两边及夹角或三边关系→解三角形（数学正弦定理）；含直角→勾股定理与三角函数。 4．题给绳长、杆长、半径等几何长度且与力一一对应→相似三角形法，列比例式求解。 5．求某力的最小值→令该力与其余两力的合力垂直，F最小=恒力×sinθ。 6．动态变化→固定重力边与定向力边，让变向力的端点沿圆弧或直线移动，看边长伸缩。 7．解完必验：三力能否围成封闭三角形、方向是否合理、结果量纲是否正确。 提醒　力三角形中的角是「力的方向之间的夹角」，与几何角不是一回事，先标角再列式；"F 的最小值"不一定对应 F=0，垂直条件才是关键；相似三角形法要写清「力的边」与「长度的边」的对应，防止交叉比错。 第二部分　各点击破专项练习 一、单选题（本题共 5 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．一个质点在、、三个共点力作用下，做匀速直线运动，则这三个力的方向关系可能正确的是（     ） A． B． C． D． 2．一根轻绳一端固定在天花板上O点，另一端与重力为5N的小球相连，给小球施加一个拉力F（未画出），小球平衡后轻绳与竖直方向夹角为30°，如图所示。重力加速度取g = 10m/s2该拉力的最小值为（     ） A．3N B．2.5N C．2N D．1.5N 3．如图所示，一根细线系着一个质量为m的小球，细线上端固定在天花板上，给小球施加力F，小球平衡后细线与竖直方向的夹角。现改变F的方向，但仍要使小球在图中位置保持平衡，即角不变，重力加速度为g，则F的大小不可能为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，拉力F作用在小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（     ） A． B． C．G D． 5．如图所示，轻质细线一端拴接一质量为m的小球，另一端悬挂于天花板上的O点，给小球施加一水平外力F，小球平衡后细线与竖直方向的夹角，与F的夹角为。下列说法中正确的是（     ） A．保持F水平，将缓慢增大，F逐渐减小 B．保持小球位置及角不变，将缓慢减小到30°，F逐渐减小 C．保持角不变，将缓慢增大到90°，F先增大再减小 D．保持角不变，将缓慢增大到90°，细线拉力逐渐减小 二、多选题（本题共 3 小题，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得 0 分。） 6．一根细线上端固定，下端系着一个质量为m的小球。给小球施加拉力F，使小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。则拉力F（     ） A．方向可能在图中Ⅰ区内 B．方向可能在图中Ⅱ区内 C．最小值为mgsinθ D．最大值为mg 7．将两个质量为m和M的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示，用力F拉小球b。使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ=30°，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．当拉力F水平时，其大小为 B．当拉力F水平时，其大小为 C．拉力F的最小值为 D．拉力F的最小值为 8．如图所示，轻质细绳AO和BO相交于O点，其A、B端是固定的，在O点用轻质细绳悬挂质量为m的物体，平衡时，AO水平，BO与水平方向的夹角为θ，已知细绳AO和BO能承受的最大拉力相同。AO和BO的拉力大小分别为F1和F2，已知重力加速度为g，则（　　） A． B． C．F1与F2的合力大小为mg，方向竖直向下 D．增大物体的质量，最先断的是细绳BO 三、解答题（本题共 3 小题，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。） 9．图中，电灯的重力绳与顶板间夹角为，绳水平，则绳所受的拉力和绳所受的拉力各为多大？ 10．用细线通过网兜把质量为的足球挂在光滑墙壁上，如图所示。不计网兜质量。已知悬点到足球球心的距离为，足球的半径为，重力加速度为，求： (1)细线的拉力大小； (2)墙壁对足球的支持力大小。 11．一根细线系着一个小球质量为，细线上端固定在横梁上。给小球施加力，小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为，如图所示。现改变的方向，但仍然要使小球在图中位置保持平衡，即保持不变，问： (1)力水平时，其大小为多少？ (2)改变方向，可能的最小值。 (3)若细线和的夹角不变，而从0°到90°变化，则角为多少时和细线拉力在变化过程中分别达到最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $