各点击破7 用相似三角形解决平衡问题 专项训练 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

2026—2027学年高中物理人教版必修一 3.5 共点力平衡　第三章　相互作用——力 各点击破7·用相似三角形解决平衡问题（学生版） 范围：必修一第三章 相互作用（相似三角形法、力三角形与几何三角形相似）　题型：单选 4 + 多选 3 + 解答 3，共 10 题 第一部分　本套题通用知识点 动笔前 3 分钟过一遍：几何长度给齐时，力三角形往往与几何三角形相似——用相似比直接求力，不解角。 一、第一性原理：先想「本质是什么」 1.　平衡即零合力　物体受三个共点力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线，三力首尾相接围成封闭力三角形。 2.　力三角形可与几何三角形相似　绳长、杆长、半径、高度差等几何量构成的三角形，与力三角形三个角对应相等时即为相似形。 3.　相似比就是力之比　对应边成比例：力边比=几何边比，列一个比例式即可求未知力，完全避开三角函数。 4.　对应关系靠「角」锁定　两个三角形三个内角对应相等才算相似——先核对哪个力对应哪条边，再动笔。 5.　几何形变则力形变　动态问题里几何三角形的边长在变，力三角形的边随之伸缩，相似比是看变化的尺子。 二、核心公式：缺哪个量就避开哪条 　三力平衡 　（首尾相接围成封闭力三角形） 　相似三角形·基本式 　（力边比=几何边比，L 为与 F₁ 对应的边） 　相似比推广 　（多个力边共用一个几何三角形时连锁使用） 　合力大小 　（θ 为两力夹角；合力与第三力等大反向） 　正弦定理 　（力三角形无现成相似形时，用数学正弦定理解三角形） 　过顶点弦模型 　（细线过圆环顶点连小球，L 为弦长、R 为半径） 　胡克定律 　（弹簧弹力与形变量成正比，x 常与几何长度联动） 　直角力三角形 　（F、G 互相垂直时直接勾股） 三、通用解题方法总览：拿到题先对号入座 1.　定对象、画受力　只画性质力（重力、弹力、摩擦力），题给外力另计，勿多勿漏。 2.　三力平衡先画封闭力三角形　重力边通常是恒力边，先固定它。 3.　找几何三角形　把题给的绳长、杆长、半径、高度差标进图中，与力三角形逐边对照。 4.　相似三角形法　对应边成比例列式 F/G=L₁/L，几何量给齐时优先用它，不引入角度。 5.　动态问题　几何三角形形状变化→用相似比看力边随几何边的伸缩，得增减结论。 6.　无现成相似形→平移力矢量构造三角形，或用正弦定理、勾股定理解三角形。 7.　解完必验　比例式两边量纲一致、对应边没有交叉错配、结果符合物理情理。 提醒　相似三角形法的关键是「对应边」——先写清哪个力对应哪条边，再列比例式；两个三角形必须三个内角对应相等才能说相似，勿把力的方向夹角直接当几何内角；弹簧题里 x 是形变量不是总长，先由原长算 x 再进相似比。 第二部分　各点击破专项练习 一、单选题（本题共 4 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．如图所示，轻杆A端用铰链固定在竖直墙上，B端吊一工件，工人将轻绳跨过定滑轮C用水平拉力将B端缓慢上拉，滑轮C在A点正上方，滑轮大小及摩擦均不计，则轻杆从图示位置逆时针转到AB与BC刚好垂直的过程中（     ） A．轻杆对B端的弹力减小 B．BC段绳子的拉力增大 C．工人受到地面的摩擦力减小 D．工人对地面的作用力增大 2．图甲所示，AO为弹性良好的轻质橡皮筋（弹力与伸长量成正比），BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，A、B两点的高度差为h。当O点不挂重物时，BO杆水平，橡皮筋恰好处于原长且与细杆的夹角α=30°；在O点挂上质量为m的重物，静止时如图乙，橡皮筋长度变为，重力加速度为g，则橡皮筋的劲度系数为（     ） A． B． C． D． 3．某攀岩运动员到达山顶后采用如下方式下山，绳的一端固定在山顶，另一端拴在运动员的腰间，点是缓冲的下降器位置，点是山顶的固定点，点是人重心位置简化图所示。沿岩壁缓慢下滑。在下移过程中可以把运动员看作一个质点。某时刻绳与岩壁成，绳与竖直方向也成（图中实线），则下列说法正确的是（     ） A．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力比运动员重力大 B．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力远比运动员的重力大 C．当运动员的重心下降到虚线位置的过程中，绳子对运动员的拉力增大 D．当运动员的重心下降到虚线位置的过程中，绳子对运动员的拉力不变 4．如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A，用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°，现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。不计一切摩擦，此过程中，下列说法中正确的是（     ） A．杆BC所受的力大小不变 B．杆BC所受的力先增大后减小 C．拉力F大小不变 D．拉力F的大小先增大后减小 二、多选题（本题共 3 小题，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得 0 分。） 5．如图所示，轻质硬杆一端与固定在地面上的光滑铰链O相连，另一端固定一个小球，站在地面上的人用轻绳绕过处在铰链正上方的小定滑轮拉住小球，此时轻绳与硬杆垂直。若该人拉住轻绳缓慢向右移动，不计轻绳与滑轮之间的摩擦，则在硬杆到达水平位置之前的过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳拉力逐渐增大 B．硬杆对小球的支持力逐渐增大 C．地面对人的支持力逐渐减小 D．轻绳对滑轮的作用力逐渐增大 6．如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向下移动，在人向下移动的过程中可以把人简化为如图乙所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，轻绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点（重心处）。已知长度不变，在人向下移动的过程中，某时刻恰好构成等边三角形，下列说法正确的是（　　） A．轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对平衡力 B．在此时刻，段承受的压力大小等于人的重力 C．从实线位置到虚线位置，轻绳的拉力变小 D．从实线位置到虚线位置，段承受的压力大小不变 7．如图所示，一个小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，一根自然长度为R劲度系数为k的轻质弹簧一端与小球相连，另一端固定在圆环的最高点A处，小球在B点处于平衡状态时，弹簧与竖直方向的夹角。已知，，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球所受弹簧弹力大小为 B．圆环对小球的作用力大小为 C．小球的质量为 D．小球的质量为 三、解答题（本题共 3 小题，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。） 8．如图，在半径为R的光滑半球面上高h处悬挂一定滑轮．重力为G的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住．人拉动绳子，在与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中，试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变化？ 9．如图所示，半径为的光滑半球面固定在水平地面上，定滑轮（半径可忽略）在半球面球心的正上方，的距离为，绕过定滑轮的轻绳一端连接质量为的小球（可视为质点），另一端连接质量为的木块，木块放在粗糙水平地面上，与地面间的动摩擦因数。木块在水平向右的拉力的作用下缓慢向右移动，当、之间的轻绳长为时、之间的轻绳与水平方向的夹角。重力加速度，，，求此时： (1)轻绳对小球的拉力大小； (2)水平向右的拉力的大小。 10．如图所示，粗糙水平面上放置一半径为R的四分之一圆柱体，其圆弧表面光滑，其他部分粗糙。光滑轻滑轮C用轻杆固定在圆心O的正上方，轻质细线一端固定在A点，另一端跨过滑轮连接质量为的小球，小球置于圆柱体圆弧表面上D点，CD＝R，且CD与竖直方向成30°角，质量为物块B通过光滑轻质圆环悬挂在细线上静止于P点，AP与竖直方向成60°角，此时圆柱体恰处于平衡状态。已知A、P、C、D在同一竖直面内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10m/s2，试求： (1)细线拉力大小和小球质量； (2)若圆柱体的质量为，则圆柱体与地面之间的动摩擦因数； (3)若圆柱体固定在地面上，调整细线长度使小球从D处移至E处（CE与圆柱体表面相切），整个系统仍然保持静止，则此时圆柱体对小球的支持力大小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高中物理人教版必修一 3.5 共点力平衡　第三章　相互作用——力 各点击破7·用相似三角形解决平衡问题（解析版） 范围：必修一第三章 相互作用（相似三角形法、力三角形与几何三角形相似）　题型：单选 4 + 多选 3 + 解答 3，共 10 题 第一部分　本套题通用知识点 动笔前 3 分钟过一遍：几何长度给齐时，力三角形往往与几何三角形相似——用相似比直接求力，不解角。 一、第一性原理：先想「本质是什么」 1.　平衡即零合力　物体受三个共点力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线，三力首尾相接围成封闭力三角形。 2.　力三角形可与几何三角形相似　绳长、杆长、半径、高度差等几何量构成的三角形，与力三角形三个角对应相等时即为相似形。 3.　相似比就是力之比　对应边成比例：力边比=几何边比，列一个比例式即可求未知力，完全避开三角函数。 4.　对应关系靠「角」锁定　两个三角形三个内角对应相等才算相似——先核对哪个力对应哪条边，再动笔。 5.　几何形变则力形变　动态问题里几何三角形的边长在变，力三角形的边随之伸缩，相似比是看变化的尺子。 二、核心公式：缺哪个量就避开哪条 　三力平衡 　（首尾相接围成封闭力三角形） 　相似三角形·基本式 　（力边比=几何边比，L 为与 F₁ 对应的边） 　相似比推广 　（多个力边共用一个几何三角形时连锁使用） 　合力大小 　（θ 为两力夹角；合力与第三力等大反向） 　正弦定理 　（力三角形无现成相似形时，用数学正弦定理解三角形） 　过顶点弦模型 　（细线过圆环顶点连小球，L 为弦长、R 为半径） 　胡克定律 　（弹簧弹力与形变量成正比，x 常与几何长度联动） 　直角力三角形 　（F、G 互相垂直时直接勾股） 三、通用解题方法总览：拿到题先对号入座 1.　定对象、画受力　只画性质力（重力、弹力、摩擦力），题给外力另计，勿多勿漏。 2.　三力平衡先画封闭力三角形　重力边通常是恒力边，先固定它。 3.　找几何三角形　把题给的绳长、杆长、半径、高度差标进图中，与力三角形逐边对照。 4.　相似三角形法　对应边成比例列式 F/G=L₁/L，几何量给齐时优先用它，不引入角度。 5.　动态问题　几何三角形形状变化→用相似比看力边随几何边的伸缩，得增减结论。 6.　无现成相似形→平移力矢量构造三角形，或用正弦定理、勾股定理解三角形。 7.　解完必验　比例式两边量纲一致、对应边没有交叉错配、结果符合物理情理。 提醒　相似三角形法的关键是「对应边」——先写清哪个力对应哪条边，再列比例式；两个三角形必须三个内角对应相等才能说相似，勿把力的方向夹角直接当几何内角；弹簧题里 x 是形变量不是总长，先由原长算 x 再进相似比。 第二部分　各点击破专项练习 一、单选题（本题共 4 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1〔相似三角形·杆绳滑轮动态平衡〕．如图所示，轻杆A端用铰链固定在竖直墙上，B端吊一工件，工人将轻绳跨过定滑轮C用水平拉力将B端缓慢上拉，滑轮C在A点正上方，滑轮大小及摩擦均不计，则轻杆从图示位置逆时针转到AB与BC刚好垂直的过程中（     ） A．轻杆对B端的弹力减小 B．BC段绳子的拉力增大 C．工人受到地面的摩擦力减小 D．工人对地面的作用力增大 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】C 【详解】AB．以B点为研究对象，受重物的拉力T（等于重物的重力G）、轻杆的支持力N和绳子的拉力F，作出受力分析图如图所示 由平衡条件得，N和F的合力与T大小相等，方向相反，根据三角形相似可得 使轻杆逆时针转到AB刚好与BC垂直时，AC、AB保持不变，BC变小，则N保持不变，F变小，故AB错误； C．对人受力分析可知水平方向，根据平衡条件，有f=F 所以工人受到地面的摩擦力逐渐减小，故C正确； D．工人对地面的作用力是工人对地面压力FN=mg和工人对地面摩擦力的合力，FN不变，而摩擦力减小，二者合力减小，故D错误。 故选C。 2〔相似三角形·胡克定律与力比联动〕．图甲所示，AO为弹性良好的轻质橡皮筋（弹力与伸长量成正比），BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，A、B两点的高度差为h。当O点不挂重物时，BO杆水平，橡皮筋恰好处于原长且与细杆的夹角α=30°；在O点挂上质量为m的重物，静止时如图乙，橡皮筋长度变为，重力加速度为g，则橡皮筋的劲度系数为（     ） A． B． C． D． 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】B 【详解】由甲图可知，橡皮筋的原长 挂上重物后，对重物受力分析如图 则由几何关系可知 又知 联立解得，橡皮筋弹力 根据胡克定律有 联立解得 故选B。 3〔相似三角形·绳索攀岩模型〕．某攀岩运动员到达山顶后采用如下方式下山，绳的一端固定在山顶，另一端拴在运动员的腰间，点是缓冲的下降器位置，点是山顶的固定点，点是人重心位置简化图所示。沿岩壁缓慢下滑。在下移过程中可以把运动员看作一个质点。某时刻绳与岩壁成，绳与竖直方向也成（图中实线），则下列说法正确的是（     ） A．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力比运动员重力大 B．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力远比运动员的重力大 C．当运动员的重心下降到虚线位置的过程中，绳子对运动员的拉力增大 D．当运动员的重心下降到虚线位置的过程中，绳子对运动员的拉力不变 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】C 【详解】AB．运动员缓慢下滑，处于平衡状态，受三个力：重力（竖直向下）、绳子的拉力（沿向左上）、轻杆的作用力（沿向右上，轻杆铰链作用力沿杆）。 已知绳和岩壁、杆和岩壁的夹角均为，根据平衡条件： 水平方向： 解得 竖直方向： 代入得，故A错误，B错误； CD．设、在岩壁上的距离（定值），对任意位置，结合三角形相似可得： 运动员重心下降到虚线位置的过程中，绳子的长度逐渐增大，和不变，因此绳子拉力逐渐增大，故C正确，D错误。 故选C 。 4〔相似三角形·经典杆绳滑轮模型〕．如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A，用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°，现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。不计一切摩擦，此过程中，下列说法中正确的是（     ） A．杆BC所受的力大小不变 B．杆BC所受的力先增大后减小 C．拉力F大小不变 D．拉力F的大小先增大后减小 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】A 【详解】AB．对结点受力分析，结点受到竖直向下的重物拉力（大小等于）、沿杆方向的支持力和沿绳BA方向的拉力，这三个力构成的封闭矢量三角形与几何三角形相似，由相似三角形对应边成比例可得 解得， 在使缓慢变小的过程中，竖直杆上AC的长度、轻杆BC的长度以及重力均保持不变，因此大小保持不变，根据牛顿第三定律，杆BC所受的力大小等于不变，故A正确，B错误； CD．在使缓慢变小的过程中，AB的长度逐渐变小，因此拉力的大小逐渐减小，故CD错误。 故选A。 二、多选题（本题共 3 小题，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得 0 分。） 5〔相似三角形·人移绳动定变化〕．如图所示，轻质硬杆一端与固定在地面上的光滑铰链O相连，另一端固定一个小球，站在地面上的人用轻绳绕过处在铰链正上方的小定滑轮拉住小球，此时轻绳与硬杆垂直。若该人拉住轻绳缓慢向右移动，不计轻绳与滑轮之间的摩擦，则在硬杆到达水平位置之前的过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻绳拉力逐渐增大 B．硬杆对小球的支持力逐渐增大 C．地面对人的支持力逐渐减小 D．轻绳对滑轮的作用力逐渐增大 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】ACD 【详解】AB．分别对小球和人受力分析如图所示 对小球，由相似三角形可知 由于mg、h、Op不变，随着小球向下转动，L变长，故轻绳拉力增大，硬杆对小球的支持力不变，故A正确，B错误； C．对人进行受力分析，在竖直方向上有， 由于、同时增大，又G不变，故地面对人的支持力减小，故C正确； D．滑轮左右两侧轻绳的夹角减小，又轻绳的拉力增大，故轻绳对滑轮的作用力逐渐增大，故D正确。 故选ACD。 6〔相似三角形·杆绳模型定性分析〕．如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向下移动，在人向下移动的过程中可以把人简化为如图乙所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，轻绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点（重心处）。已知长度不变，在人向下移动的过程中，某时刻恰好构成等边三角形，下列说法正确的是（　　） A．轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对平衡力 B．在此时刻，段承受的压力大小等于人的重力 C．从实线位置到虚线位置，轻绳的拉力变小 D．从实线位置到虚线位置，段承受的压力大小不变 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】BD 【详解】A．轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对相互作用力，故A错误； B．对C点受力分析，根据相似三角形，有 由于为等边三角形，故 故OC段承受的压力大小等于人的重力，故B正确； CD．从实线位置到虚线位置，AC长度变大，OC、OA长度不变，可知轻绳AC的拉力变大，OC段承受的压力大小不变，故C错误，D正确。 故选BD。 7〔相似三角形·圆环弹簧小球〕．如图所示，一个小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，一根自然长度为R劲度系数为k的轻质弹簧一端与小球相连，另一端固定在圆环的最高点A处，小球在B点处于平衡状态时，弹簧与竖直方向的夹角。已知，，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球所受弹簧弹力大小为 B．圆环对小球的作用力大小为 C．小球的质量为 D．小球的质量为 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】AC 【详解】A．由图可知，轻质弹簧的长度为 根据胡克定律可知，小球所受弹簧弹力大小为，故A正确； BCD．以小球为研究对象，分析受力情况，设小球的质量为，圆环对小球的作用力大小为，如图所示 由图可知，力的三角形BCD和几何三角形AOB相似，根据三角形相似有，解得， 故BD错误，C正确。 故选AC。 三、解答题（本题共 3 小题，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。） 8〔相似三角形·球面压力不变结论〕．如图，在半径为R的光滑半球面上高h处悬挂一定滑轮．重力为G的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住．人拉动绳子，在与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中，试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变化？ 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】压力不变，拉力减小 【详解】 对小球进行受力分析（如图），并将重力G沿绳子和垂直球面方向分解得出平行四边形，不难看出由G，，构成的力的三角形与由L，R，构成的几何三角形相似， 由于在拉动过程中，R、h不变，绳长L在减小，可见，支持力大小不变，由牛顿第三定律知小球对半球的压力大小不变； 绳子的拉力在减小。 9〔相似三角形·列比例式求拉力〕．如图所示，半径为的光滑半球面固定在水平地面上，定滑轮（半径可忽略）在半球面球心的正上方，的距离为，绕过定滑轮的轻绳一端连接质量为的小球（可视为质点），另一端连接质量为的木块，木块放在粗糙水平地面上，与地面间的动摩擦因数。木块在水平向右的拉力的作用下缓慢向右移动，当、之间的轻绳长为时、之间的轻绳与水平方向的夹角。重力加速度，，，求此时： (1)轻绳对小球的拉力大小； (2)水平向右的拉力的大小。 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】(1) (2) 【详解】（1）分别对小球A和木块B受力分析如图所示 对小球A，处于平衡状态，由相似三角形有 解得 （2）对木块B，处于平衡状态，水平方向有 竖直方向有 又因为 解得 10〔相似三角形·圆柱切线求力〕．如图所示，粗糙水平面上放置一半径为R的四分之一圆柱体，其圆弧表面光滑，其他部分粗糙。光滑轻滑轮C用轻杆固定在圆心O的正上方，轻质细线一端固定在A点，另一端跨过滑轮连接质量为的小球，小球置于圆柱体圆弧表面上D点，CD＝R，且CD与竖直方向成30°角，质量为物块B通过光滑轻质圆环悬挂在细线上静止于P点，AP与竖直方向成60°角，此时圆柱体恰处于平衡状态。已知A、P、C、D在同一竖直面内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10m/s2，试求： (1)细线拉力大小和小球质量； (2)若圆柱体的质量为，则圆柱体与地面之间的动摩擦因数； (3)若圆柱体固定在地面上，调整细线长度使小球从D处移至E处（CE与圆柱体表面相切），整个系统仍然保持静止，则此时圆柱体对小球的支持力大小。 【知识点】用相似三角形解决平衡问题 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对物块B和光滑轻质圆环受力分析，根据平衡条件可得细线拉力 对小球受力分析，根据三角形相似可得 根据几何关系可得 可得 解得 （2）对小球和圆柱体系统受力分析，竖直方向有 水平方向有 解得圆柱体与地面之间的动摩擦因数 （3）由几何关系可得，OE＝R，根据勾股定理可得，设，可得 根据平衡条件可得 可得 即此时圆柱体对小球的支持力为。 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $