期中真题重组卷（上海专用，沪教版必修第三册第10、11章+选择性必修第一册第3章）高二数学上学期模拟卷

2026-2027学年高二年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第10、11章+选择性必修第一册第3章 第一部分（选择题 共30分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（2025-26 高二上·上海虹口·期中）已知，，，则__________． 2．（2025-26 高二上·上海静安·期中）若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的半径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为_____. 3．（2025-26 高二上·上海崇明·期中）如图，长方体的各条棱所在的直线中，与直线异面的直线有_________条． 4．（2025-26 高二上·上海宝山·期中）是边长为的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是__________． 5．（2025-26 高二上·上海杨浦·期中）已知空间向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是________． 6．（2025-26 高二上·上海崇明·期中）2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功通过联合国教科文组织评审，成为全球共享的非物质文化遗产．春节灯笼象征着喜庆与团圆，图①为明代风格的八角灯笼，由18个正方形和8个正三角形构成，如图②，若正方形的边长为1，则该灯笼的体积为______． 7．（2025-26 高二上·上海宝山·期中）已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为______． 8．（2025-26 高二上·上海杨浦·期中）已知三棱锥中，平面ABC，，在中，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 9．（2025-26 高二上·上海闵行·期中）如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为_______. 10．（2025-26 高二上·上海金山·期中）如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，若，，，，平面与平面夹角的余弦值为__________. 11．（2025-26 高二上·上海普陀·期中）18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为________． 12．（2025-26 高二上·上海奉贤·期中）在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（2025-26 高二上·上海黄浦·期中）浙江省博物馆中陈列着2019年在浙江余姚井头山遗址出土的8000年前先民用的“海鲜火锅”——带支脚的陶釜，是我国沿海地区最早的炊具．上面的陶釜可近似地看成一个圆柱和半球的组合体（如图所示），其中圆柱下底面和半球的横截面重合．已知该陶釜的容积为，圆柱部分底面半径为，则圆柱的高为（     ） A．2 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm 14．（2025-26 高二上·上海奉贤·期中）已知二面角的棱上有两点，，，，，，若，，，异面直线与所成角为，则线段的长为（     ） A．或 B． C． D．或 15．（2025-26 高二上·上海长宁·期中）在正方体中，为棱上的一点（不与点重合），若平面平面，则直线与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 16．（2025-26 高二上·上海闵行·期中）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，且，则线段的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（2025-26 高二上·上海黄浦·期中）在长方体中，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，. (1)求证：平面；(2)求直线与平面的夹角的正弦值； 18．（2025-26 高二上·上海松江·期中）如图，在四面体中，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积的最大值． 19．（2025-26 高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形、侧棱平面，过点作交于点，过点作交于点，连接. (1)证明：； (2)若，直线与平面相交于点，求的值． 20．（2025-26 高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21．（2025-26 高二上·上海金山·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． (1)已知直线过点且方向向量为，直线过点且方向向量为，求直线与所成角的余弦值； (2)已知平面：，平面外一点．若直线过点且与平面垂直，求直线与平面的交点坐标； (3)（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）的夹角的大小． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第10、11章+选择性必修第一册第3章 第一部分（选择题 共30分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（2025-26 高二上·上海虹口·期中）已知，，，则__________． 【答案】 【详解】根据空间向量的坐标线性运算法则， . 2．（2025-26 高二上·上海静安·期中）若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的半径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为_____. 【答案】 【详解】设圆锥底面圆的半径为， ，，. 故答案为： 3．（2025-26 高二上·上海崇明·期中）如图，长方体的各条棱所在的直线中，与直线异面的直线有_________条． 【答案】 【详解】根据异面直线的概念可知与直线异面的直线有、、、，即条. 4．（2025-26 高二上·上海宝山·期中）是边长为的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是__________． 【答案】 【详解】已知是边长为的正三角形， 所以的面积， 所以的面积为. 5．（2025-26 高二上·上海杨浦·期中）已知空间向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意得：，解得， 又与不共线，所以，所以， 所以. 6．（2025-26 高二上·上海崇明·期中）2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功通过联合国教科文组织评审，成为全球共享的非物质文化遗产．春节灯笼象征着喜庆与团圆，图①为明代风格的八角灯笼，由18个正方形和8个正三角形构成，如图②，若正方形的边长为1，则该灯笼的体积为______． 【答案】 【详解】将多面体分割为1个八棱柱，8个三棱锥，8个三棱柱和2个长方体， 根据几何体特征，八棱柱的底面可补形为一个边长为的正方形， 故底面积为正方形的面积减去4个以为直角边的等腰直角三角形的面积， 则八棱柱体积，三棱锥体积， 三棱柱体积，长方体体积， 故该灯笼的体积为. 故答案为： 7．（2025-26 高二上·上海宝山·期中）已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为______． 【答案】12 【详解】已知，，，四点共面，若满足，且，， 则根据空间共面向量定理推论可知：，即：. 由于，，则， 当且仅当，即，时等号成立. 因此的最小值为. 8．（2025-26 高二上·上海杨浦·期中）已知三棱锥中，平面ABC，，在中，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】在中，由正弦定理，， 其中r为外接圆的半径．代入，， 得， 所以． 因为平面ABC， 所以三棱锥的外接球球心在过外心且垂直于平面ABC的直线上， 且球心到平面ABC的距离为． 设外接球半径为R，则， 所以． 因此外接球的表面积． 9．（2025-26 高二上·上海闵行·期中）如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为_______. 【答案】 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 设中点为，中点为，由题意得，， 因为和的弧长为，所以与弧长为， 可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，令，则，取， 则到平面距离为. 故答案为： 10．（2025-26 高二上·上海金山·期中）如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，若，，，，平面与平面夹角的余弦值为__________. 【答案】/0.5625 【详解】 过点作的平行线，且，连接， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以，又因为，所以是二面角的平面角， 因为，，且，所以平面， 因为，所以平面，因为平面，所以， 在中，因为，，，所以， 在中，因为，， ， 由余弦定理得， 所以二面角的余弦值是， 设平面与平面夹角为，且， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 11．（2025-26 高二上·上海普陀·期中）18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为________． 【答案】336 【详解】由，直线与平面所成角的正切值为，则正弦值为，所以到平面的距离为， 由平面，则，四边形为矩形，， 作出中截面，则，， 因为，四边形为矩形，所以四边形为矩形， 所以，，， 所以该五面体的体积为. 故答案为：336. 12．（2025-26 高二上·上海奉贤·期中）在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 【答案】/ 【详解】因为，，所以是等腰三角形，取的中点为，连接，则， 在中，，，所以， 因为，且在平面内的投影为，所以，这意味着点在的中垂线上，即在直线上， 已知，而，所以在上，且，则， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，并向上建立轴，如图所示， 各点坐标如下，，，， 因为在上，且，所以的坐标为，即，点在的正上方，，所以， 已知点 ，计算向量， ， 设平面 的法向量为 ，则，令，则，，所以， 点在线段上，设，其中， 向量，直线与平面所成角 ，为锐角， ， 平方得，解得或（舍去，不在内）， 所以，此时，，，，所以. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（2025-26 高二上·上海黄浦·期中）浙江省博物馆中陈列着2019年在浙江余姚井头山遗址出土的8000年前先民用的“海鲜火锅”——带支脚的陶釜，是我国沿海地区最早的炊具．上面的陶釜可近似地看成一个圆柱和半球的组合体（如图所示），其中圆柱下底面和半球的横截面重合．已知该陶釜的容积为，圆柱部分底面半径为，则圆柱的高为（     ） A．2 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm 【答案】C 【详解】设圆柱的高为，圆柱部分底面半径为，则 ，即， 代入， 可得，解得 所以圆柱的高为10 cm. 14．（2025-26 高二上·上海奉贤·期中）已知二面角的棱上有两点，，，，，，若，，，异面直线与所成角为，则线段的长为（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】设向量与的夹角为，由异面直线夹角的取值范围为，已知异面直线与所成角为，得，即， 由题意，，，在棱上，故，。 因为，两边平方得： ， 代入垂直条件化简得： ， 又，故， 代入已知数值， ，， ，整理得： ， 当时， ，即； 当时， ，即。， 故线段的长为或. 15．（2025-26 高二上·上海长宁·期中）在正方体中，为棱上的一点（不与点重合），若平面平面，则直线与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在正方体中，上底面下底面， 平面，平面同时与平面、平面相交， 平面平面，平面平面， 故由面面平行的性质定理，可得， 以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则，，，，， 所以，即为直线的方向向量， ，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以直线与平面所成角为． 16．（2025-26 高二上·上海闵行·期中）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，且，则线段的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】设， 因为是 的中点，，所以， 在 中，， 所以 ， 同理，因为是的中点，，所以， 在中，， 所以，    连接，因为，所以， 故， 又为中点，所以， 因为，所以，故， 又为中点，所以， 因为， 所以， ，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以，即， 将和进行分解：，， 以 ， 在中，， 由题意知， 即， 化简得， 解得， 因为，所以，即. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（2025-26 高二上·上海黄浦·期中）在长方体中，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值； 【详解】(1)以为原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题设，，，，，，， 2分 点在上，且，所以，则， 点在上，且，所以，得到点， 4分 所以，， ，所以， ，所以， 6分 因为平面，平面，且平面， 所以平面； 8分 （2）由（1）知，可取作为平面的法向量， 10分 直线的方向向量，设直线与平面的夹角为， 则， 12分 所以直线与平面的夹角的正弦值为. 14分 18．（2025-26 高二上·上海松江·期中）如图，在四面体中，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值． 【详解】(1)作交于，作交于， 平面，平面，，， 2分 ，，； 又，，， 则四边形为平行四边形，， 4分 且平面，平面，平面． 6分 （2）由题意可得， 设到平面的距离为，到平面的距离为，，， ， 9分 又， ， 12分 当且仅当时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为． 14分 19．（2025-26 高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形、侧棱平面，过点作交于点，过点作交于点，连接. (1)证明：； (2)若，直线与平面相交于点，求的值． 【详解】(1) 由于侧棱平面平面，则， 又，平面，则平面． 平面，所以， 3分 由于，平面， 则平面， 5分 又平面，所以． 又，平面， 则平面，由于平面，则． 8分 （2）以为坐标原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由于，． 由（1）知平面，即是平面的法向量． 10分 设，则， 即，解得，所以， 12分 所以，， 从而． 14分 20．（2025-26 高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，所以侧面， 1分 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以、、、， 因为侧棱，，所以，所以， 2分 所以，故， 所以，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 4分 （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为， 6分 ，，设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得. 8分 ，故锐二面角的余弦值为. 10分 （3）若存在，设，，则， 12分 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离为，， 15分 解得，此时，即. 18分 21．（2025-26 高二上·上海金山·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． (1)已知直线过点且方向向量为，直线过点且方向向量为，求直线与所成角的余弦值； (2)已知平面：，平面外一点．若直线过点且与平面垂直，求直线与平面的交点坐标； (3)（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）的夹角的大小． 【详解】（1）设直线与所成角为．由题意，直线的方向向量， 直线的方向向量， 2分 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 4分 （2）平面：的法向量为． 因为直线平面，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，可取方向向量为． 又因为直线过点，设直线方程为：， 令，则，，， 7分 代入平面的方程：，整理得：， 将代入，可得交点坐标：，， 所以直线与平面的交点坐标为． 10分 （3）（ⅰ）几何体S是底面圆的半径为2，高为的圆柱， 故几何体S的体积为． 13分 （ⅱ）的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，，，得， 15分 画出第一卦限图象，计算平面，的二面角， 所以两个平面的法向量分别为，， 则其二面角的夹角余弦值为， 所以几何体相邻两个面(有公共棱)的夹角的大小为． 18分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 12 8 . 9. 10 ./0.5625 11. 336 12. / 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C A A C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17． 【详解】(1)以为原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题设，，，，，，， 2分 点在上，且，所以，则， 点在上，且，所以，得到点， 4分 所以，， ，所以， ，所以， 6分 因为平面，平面，且平面， 所以平面； 8分 （2）由（1）知，可取作为平面的法向量， 10分 直线的方向向量，设直线与平面的夹角为， 则， 12分 所以直线与平面的夹角的正弦值为. 14分 18． 【详解】(1)作交于，作交于， 平面，平面，，， 2分 ，，； 又，，， 则四边形为平行四边形，， 4分 且平面，平面，平面． 6分 （2）由题意可得， 设到平面的距离为，到平面的距离为，，， ， 9分 又， ， 12分 当且仅当时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为． 14分 19． 【详解】(1) 由于侧棱平面平面，则， 又，平面，则平面． 平面，所以， 3分 由于，平面， 则平面， 5分 又平面，所以． 又，平面， 则平面，由于平面，则． 8分 （2）以为坐标原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由于，． 由（1）知平面，即是平面的法向量． 10分 设，则， 即，解得，所以， 12分 所以，， 从而． 14分 20． 【详解】（1）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，所以侧面， 1分 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以、、、， 因为侧棱，，所以，所以， 2分 所以，故， 所以，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 4分 （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为， 6分 ，，设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得. 8分 ，故锐二面角的余弦值为. 10分 （3）若存在，设，，则， 12分 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离为，， 15分 解得，此时，即. 18分 21． 【详解】（1）设直线与所成角为．由题意，直线的方向向量， 直线的方向向量， 2分 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 4分 （2）平面：的法向量为． 因为直线平面，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，可取方向向量为． 又因为直线过点，设直线方程为：， 令，则，，， 7分 代入平面的方程：，整理得：， 将代入，可得交点坐标：，， 所以直线与平面的交点坐标为． 10分 （3）（ⅰ）几何体S是底面圆的半径为2，高为的圆柱， 故几何体S的体积为． 13分 （ⅱ）的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，，，得， 15分 画出第一卦限图象，计算平面，的二面角， 所以两个平面的法向量分别为，， 则其二面角的夹角余弦值为， 所以几何体相邻两个面(有公共棱)的夹角的大小为． 18分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $