1.3 不等式 课后练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.3　不等式　课后练习题 （北师大版必修第一册·第一章 预备知识） （2026—2027学年　北师大版　高一数学必修第一册）　考试时间：45分钟　满分：60分 班级：______________　姓名：______________　得分：______________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项正确） 1．已知 a∈R，则 +2 与 2a+1 的大小关系为（　　） A．+2>2a+1　　B．+2<2a+1　　C．+2≥2a+1　　D．无法确定 2．设 a>b>0，c<d<0，则下列不等式一定成立的是（　　） A．ac>bd　　B．>　　C．ac<bd　　D．a+c>b+d 3．已知 x>0，则 x+ 的最小值为（　　） A．5　　B．10　　C．25　　D．50 4．已知 x>0，y>0，且 xy=12，则 x+3y 的最小值为（　　） A．4　　B．12　　C．6　　D．8 5．若对任意 x>0，不等式 x+≥m 恒成立，则实数 m 的最大值为（　　） A．3　　B．6　　C．9　　D．12 6．已知 x>0，y>0，且 x+2y=10，则 xy 的最大值为（　　） A．25　　B．　　C．10　　D． 7．已知 x>1，则 x+ 的最小值为（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 8．如图 1，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在 AB 上，AC=a，CB=b（a>0，b>0，a≠b），过点 C 作 CD⊥AB 交半圆于点 D，连接 OD。则 OD 与 CD 的大小关系是（　　） 图1　第8题示意图 A．OD>CD　　B．OD=CD　　C．OD<CD　　D．与 a、b 的取值有关 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9．比较大小：+1 ______ +（填“>”“<”或“=”）。 10．已知 1≤a≤3，2≤b≤5，则 2a-b 的取值范围为______。 11．已知 x>0，y>0，且 x+3y=6，则 xy 的最大值为______。 12．已知 a>0，b>0，且 ab=4，则 a+2b 的最小值为______。 三、解答题（本大题共3小题，共24分。解答应写出必要的文字说明、计算过程或推理步骤） 13．（7分）已知 a、b 为实数，比较 ++2 与 2a+2b 的大小，并说明理由。 14．（8分）某学校计划用一段长为 48 m 的栅栏围成一块矩形劳动实践基地，基地的一边利用现有围墙（即只围另外三边）。设垂直于围墙的一边长为 x m，基地的面积为 S m²。 （1）求 S 关于 x 的函数表达式，并写出 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时，S 最大？最大面积是多少？ 15．（9分）已知 x>0，y>0，且 x+3y=6。 （1）求 xy 的最大值，并求此时 x、y 的值； （2）求 + 的最小值，并求此时 x、y 的值； （3）求 + 的最小值。 参考答案与解析 1．答案：C 解析：作差得 +2-(2a+1)=-2a+1=≥0，所以 +2≥2a+1，当且仅当 a=1 时取等号。故选 C。 2．答案：C 解析：由 c<d<0，得 |c|>|d|；又 a>b>0，所以 a|c|>b|d|，从而 ac=-a|c|<-b|d|=bd，即 ac<bd，C 一定成立。A、B、D 均可举反例排除。故选 C。 3．答案：B 解析：因为 x>0，由基本不等式得 x+≥2=2×5=10，当且仅当 x=，即 x=5 时取等号。故选 B。 4．答案：B 解析：x·3y=3xy=36，由基本不等式得 x+3y≥2=2=12，当且仅当 x=3y，即 x=6，y=2 时取等号。故选 B。 5．答案：B 解析：当 x>0 时，x+≥2=6，当且仅当 x=3 时取等号。要使 x+≥m 恒成立，只需 m≤6，所以 m 的最大值为 6。故选 B。 6．答案：B 解析：由 x+2y=10 及基本不等式得 x·2y≤==25，所以 xy=·x·2y≤，当且仅当 x=2y，即 x=5，y= 时取等号。故选 B。 7．答案：C 解析：设 t=x-1>0，则 x+=t+1+≥1+2=1+4=5，当且仅当 t=，即 t=2，x=3 时取等号。故选 C。 8．答案：A 解析：OD 为半圆的半径，所以 OD=。因为点 D 在半圆上且 CD⊥AB，所以 =AC·CB=ab（射影定理），即 CD=。由基本不等式 ≥，且 a≠b，故 >，即 OD>CD。故选 A。 9．答案：< 解析：两边平方得 (+1=8+2，(+=8+2。因为 <，所以 8+2<8+2，故 +1<+。 10．答案：[-3,4] 解析：由 1≤a≤3，得 2≤2a≤6；由 2≤b≤5，得 -5≤-b≤-2。两式相加得 -3≤2a-b≤4，所以 2a-b 的取值范围为 [-3,4]。 11．答案：3 解析：由基本不等式得 x·3y≤==9，所以 xy≤3，当且仅当 x=3y，即 x=3，y=1 时取等号。故 xy 的最大值为 3。 12．答案：4 解析：a·2b=2ab=8，由基本不等式得 a+2b≥2=2=4，当且仅当 a=2b，即 a=2，b= 时取等号。故 a+2b 的最小值为 4。 13．答案：++2≥2a+2b，当且仅当 a=b=1 时取等号 解析：作差比较。++2-(2a+2b)=-2a+1+-2b+1=+。因为 ≥0，≥0，所以 +≥0，即 ++2≥2a+2b。当且仅当 a-1=0 且 b-1=0，即 a=b=1 时取等号。 14．答案：（1）S=x(48-2x)，0<x<24；（2）当 x=12 时，S 最大，最大面积为 288 m² 解析：（1）垂直于围墙的两边长均为 x m，则平行于围墙的一边长为 48-2x m。由 48-2x>0 得 x<24，又 x>0，所以 0<x<24。面积 S=x(48-2x)（0<x<24）。（2）S=·2x·(48-2x)。由基本不等式得 2x·(48-2x)≤==576，当且仅当 2x=48-2x，即 x=12 时取等号。此时 S≤×576=288，且 x=12 满足 0<x<24。所以当 x=12 时，S 最大，最大面积为 288 m²。 15．答案：（1）xy 的最大值为 3，此时 x=3，y=1；（2）+ 的最小值为 12，此时 x=3，y=1；（3）+ 的最小值为 解析：（1）x·3y≤==9，所以 xy≤3，当且仅当 x=3y，即 x=3，y=1 时取等号。故 xy 的最大值为 3。（2）因为 (+)(x+3y)=3+++3=6++≥6+2=12，当且仅当 =，即 x=3y，x=3，y=1 时取等号，所以 + 的最小值为 12。（3）因为 (+)(x+3y)=1+++9=10+3(+)≥10+3×2=16，当且仅当 x=y，即 x=y= 时取等号，所以 +≥=，即最小值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $