1.3 不等式(课时训练)-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

班级 姓名 第一章 01 §3 不等式 3.1不等式的性质 A级|必备知识基础练 8.(2025福建福州模拟预测)设集合M={x| 1.(探究点一)设实数a=√5-√5，b=√3-1， x=2n-1,n∈Z},若a,b,c∈M,d,e∈R, c=7-5,则() 且3d+e=b,de=￡，则( ) a a A.b>a>c B.c>b>a A.b2<12ac B.3d∈R,e=0 C.a>b>c D.c>a>b C.b≤ac D.Hd∈Z,etZ 2(探究点二)下列四个条件中，不能推出2< 9.实数a,b满足-3≤a十b≤2，-1≤a-b≤4 (1)求实数a,b的取值范围； 方成立的是( (2)求3a一2b的取值范围. A.b>0>a B.0>a>b C.a>0>b D.a>b>0 3.(探究点二)设x<a<0,则下列不等式一定 成立的是( A.x2Kax<a B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.12>a2>ax 4.(探究点二)若1<a<3,-4<b<2,则a- C级丨学科素养创新练 |b的范围是() 10.对于四个正数x,y,之，w,如果x心<yz,那 A.-3<a-|b1≤3B.-3<a-|b|<5 么称(x,y)是（之，w)的“下位序对”.若(a, C.-3<a-lb1<3 D.1<a-|bl<4 5.(探究点一)若x∈R,则1十 1 b)是(c,d)的“下位序对”，试判断后分 2 (填“>”“<”“≥”“≤”或“=”). 8中之间的大小关系。 B级|关键能力提升练 6.已知x>y>之，x+y十x=0,则下列不等式 中一定成立的是() A.ry>yz B.zz>yz C.zy>xz D.zlyl>zyl 7.(2025陕西渭南高一阶段测试)已知实数x, y满足1≤x十y≤4，一1≤x一y≤2，则 4x一2y的取值范围是() A.[-4,10] B.[-3,6] C.[-5,13] D.[-2,10] -237 班级 姓名 第一章 01 §3不等式 3.2基本不等式 第1课时基本不等式 A级|必备知识基础练[ 7.(探究点二)已知4x+2(x>0,a>0)在x= 1.(探究点二)已知正实数a,b满足a十b=ab, 3处取得最小值，则a= 则ab的最小值为() A.1 B.√2 C.2 D.4 8.(探究点三)已知a>0,b>0,求证：方十2≥ 2.(探究点二)已知0<x<1,则当x(1一x)取 a+b. 最大值时，x的值为() A号 B号 c号 n号 3.(探究点一)（多选题）若a>0,b>0,且a十 b=4,则下列不等式一定成立的是() A.0<151 B.√ab<2 C.a+ 4.(探究点二)设x>0,y>0,且xy=4,则+ 的最小值是( y A.1 B.2 C.-1 D.-2 5.(探究点二)(2025江西新余高一开学考试) 已知正数a,b满足a十b=1,则2中的最 ab 小值为() A.4 B.6 C.16 D.25 6.(探究点二)（多选题）(2025安徽蚌埠高一期 末)已知a,b∈(0，+∞)，a+b=2,则以下 结论正确的是() A.(a-1)(6-1)0 B.la-21+16-21=2 C.a+b≥2 D.2+2≥4 —238 B级|关键能力提升练| 小值为() 9已知6>06>0，若不等式+之。6恒 A.6 B.4 C.3 D.2 成立，则m的最大值为() 11.已知a,b>0,且a2+4b2=8,则a+2b的 A.9 B.12 最大值为 C.16 D.10 :。十2十品的最小值为 10.1557年，英国数学家列科尔德在其论文《智 慧的磨刀石》中首先把“=”作为等号使用， C级|学科素养创新练 后来英国数学家哈里奥特首次使用“>”和 12.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数 “<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的 引入对不等式的发展影响深远.若实数x十 y一的图象上，则6十+%的最小 3y->1y>号，则十33”的最 值是 -239 班级 姓名 第一章 01 §3不等式 3.2基本不等式 第2课时习题课 基本不等式的应用 A级|必备知识基础练 汽车的柜游率为(3十高)L小，其中z(单 1.(探究.点一)/(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的 位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车 最大值为() 每小时的耗油量.司机每小时的工资为 A.9 号 76.4元，不考虑其他费用，此次出行的总费 C.3 用最少是多少？此时的车速是多少？（注： 总费用=耗油费十司机的工资) 2.(探究，点一)(2025山西晋城期末)设max{a, b,c,d}表示a,b,c,d中最大的数.已知x, 19 y均为正数，则max4红y,立，的最小值 为() A号 B.2 c D.3 3.(探究点二)某公司租地建仓库，每月土地占 用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每 月库存货物的运费y2与到车站的距离成正 比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两 项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那 么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离 车站() A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处 4(探究点一)若对任意x>0,x2+3江十1≤a 恒成立，则实数a的取值范围是 5.(探究，点二)某人准备雇司机开车去某地，已 知从出发点到目的地的距离为100km,按交 通法规定：这段公路车速限制在40~100（单 位：km/h)之间.假设目前油价为7.2元/L, -240 B级|关键能力提升练| (a>0),若无论左右两面墙的长度为多 6.(多选题)已知x,y是正数，且2x+y=1,则 少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的 下列结论正确的是( 取值范围. Ay的最大值为分 B4r+y的最小值为号 C之的最小值为4 D上+安的最小值为4 7.已知a,b是正实数，且a+2b一3ab=0,则 ab的最小值是 ,a十b的最小值 是 C级|学科素养创新练| 8.某火车站准备在某仓库外，利用其一侧原有 墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平 方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员 室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造 费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前 面新建墙体的报价为每平方米400元，左右 两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶 和地面以及其他报价共计7200元.设屋子 的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程 队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞 标，其给出的整体报价为900a1+z元 一 241-7.解(1)这一命题可以表述为p:对所有的实数m,方程 x2十工一m=0都有实数根，其否定是p:存在实数m,使得方 程x3+x一m=0没有实数根，注意到当△=1十4m<0,即 时，一元二次方程浸有实报，因此一p是真命题 (2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5 整除，是假命题 (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真 命题」 (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整徐， 是假命题 8.D命题“Hx∈R,x2-2ax十6a>0”是假命题， .“3x∈R,x2-2ax十6a≤0”是真命题， ∴.△=4a2-24a≥0，解得a≥6或a≤0， 即a的取值范围是（一∞，0]U[6,十o∞）.故选D. 9.{m-4<m<-2}当x≥1时，y:=x-1≥0，所以 y1=m(红一2m)(x十m十3)<0，易知m≠0，函数y1= m(x一2m)(x十m十3)的图象与x轴有交点，由二次函数的性 质可知其图象的开口方向只能向下，且二次盛数的图象与x轴 m0, 的交点都在(1,0)的左侧，则一m一3<1，解得-4<m<0,即 2m<1, 使①成立的m的范围为一4<m<0.又当x<一4时，y= x-1<0,所以存在x0<一4，使m(x0一2m)(x0十m+3)>0. 当m>0时，符合题意：当m<0时，若2m<一m一3，即 m<一1，则2m<一4，解得m<一2：若2m=一m一3，即 m=一1，则y1<0,不符合题意：若2m>一m一3，即一1<m< 0,则一m一3<一4，无解，不符合题意，故使②成立的m的范围 为m>0或m<一2，故参数m的取值范国为(m|一4< m<一2}. 10解(1)这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的” 改写后命题为：Hx∈R,有x≥0，是真命题. (2)改写后命题为：3(xy),x∈R,y∈R,使2x一y十1< 0,是真命题 如x=0,y=2时，2x-y十1=0-2+1=-1<0成立. 11.解(1)令y-x2-a,x∈{x-2≤x≤-1}， 根据题意，“命题p为真命题”等价于“当xE{x|一2 x≤-1}时，y≥0” 'ym=1-a,.1-a≥0，解得a≤1， .实数a的取值范围为{aa≤l}. (2)由(1)可知，当命题p为真命题时，实数a满足a≤1， .当命题b为假命题时，a>1, 当命题q为真命题，即方程有实数根时，△=4a2一4(2一 a)≥0，解得a一2或a≥1， 49 ,当命题为假命题时，一2a<1 {a≤1， ①当命题p为真命题，命题q为假命题时，得 -2<a<1, 解得一2<a<1: a>1, ②当命题p为假命题，命题g为真命题时，得《 a≤-2或a≥1， 解得a>1. 综上可得-2<a<1或a>1, .实数a的取值范图为{a|-2<a<1,或a>1}. §3不等式 3.1不等式的性质 1A5-6=后名后8-1=后万-5- 2 2 2.2 万中58+1<5+6<5+75+产5之 万+5即b>a>c. 2 2C著a>6>0,则ab>0,可得<行，D医确：若0> a>h,剥ab>0,可得>，B正痛：若6>0>a,则}>0> 日A正确者0>0>6：时日>0>行C错说 3.Bx<a<0,.x2>a2,x-a<0.ax-a2= a(x一a)>0,ar>a.结合选项可知B速项正确. 4.C:-4b<2,.0≤6<4，∴.-4<-b≤0. 又1<a<3,∴.-3a-|b|<3. s≤帝贵 6.C因为x>y>x,x十y+2=0,所以3x>x+y+x= 0,3z<x十y十z=0,所以x>0,z<0.y的特号无法确定 x>0, 由 可得xy>xz ly>:. 7.D设4x-2y=m(x+y)十n(x-y), 则(m十n)x十(m-n)y=4x-2y m十=4，解得 m=1, 所以 m-n=-2, n=3, 即4x-2y=(x十y)+3(x-y), 又1x+y4,-1x一y2, 因此4z-2y=(x+y)+3(x-y)∈[-2,10].故选D. &D由3d+e-合dc-, 6 得b=a(3d十e),c=ade, 则b2-12ac=[a(3d+e)]-12a2de=a(9d2+6de+ e2)-12a2de=a2(9d-6de+e2)=a2(3d-e)2 又实数a,b,c∈M,d,eER,所以a(3d一e)≥0，即 b2一12ac≥0，故A错误； 当e=0时，c=0,此时c任M,故B错误： 由A选项知，b2≥12ac,故当b≥13时，b≥ac,故C错误： 当d为奇数，e为奇数时，3d十e为偶数.又b=a(3d十e), 图为a为奇数，所以a(3d十e)必为偶数，这与b为奇数矛盾. 当d,e为整数，且其中至少有一个为偶数时，则de必为偶 数.又c=ade,且a为奇数，所以ade必为偏数，这与c为奇数 矛盾.故d,e不可能都为整数，即Hd∈Z,e任Z,故D正确. 故选D. 9.解(1)由一3a十b≤2，-1≤a-b≤4， 两式相加，得-42a≤6，则一2a≤3. 由一1≤a-b≤4，得-≤一4十b≤1， 又-3a+b<2,两式相加，得-72b≤3甲-子<≤ 是故a的取值范国是[-2,3]，6的取值范周是[子] (2)设3a-2b=m(a十b)十n(a一b)=(m十t)a十(m-n)b, {m十n=3, m2 解得 m一n=一2， 5 n=2' 3a-2h=2a+b)+2a-60. -3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4， 则一43a一2b≤11，枚3a一2h的取值范围是「一4,11]， 10.解(a,b)是(c,d)的“下位序对”， a,b,c,d均为正数且ad<bc, 者-+品>0特指音点<0， .a+c_￡=ad-bc 增台号后…后后导 3.2基本不等式 第1课时基本不等式 1.D'ab=a十b≥2√ab,∴.ab≥4，当且仅当a=b=2 时，等号成立，故ab的最小值为4. 2.B0<x<1,1>1-x>0.x(1-x)≤ (）=子，当且仅当x=1-x,即x=时，等号成立 3D√瓜<告艺-2，高县仅事a=6=2时，等号底主， 2方-后x-1成c+w≥岁= 2 1 1 当且仅当a=b时，等号成主，。中≤8故D正确，故选CD 4A因为x>0y>0,且y=4,所以>0，>0， +≥2归=2层=2x分-1s收含 子中三=y=2时：等号成土.故这A 5C图为9如+9+L ab石+aa+b=1, 所以（号+日）x1=(号+日）a+6)-尝+2+10， 因为a6均为三量，所以告台包为正数， 则号++10≥2，√岩· b a 9a.5+10=16, 当且仅当尝-台，即a-宁6-号时，等子成立，此时 十也的最小值为16. ab 故选C. 6.BCD对于A,a,b∈(0，十∞)，a十b=2,由基本不等式 得<a+6》=1,当且仅当a=b-1时，等号成立， 4 (a-1)(b-1)=ab-(a十b)+1=ab-1≤0，故A错误： 对于B,因为a,b∈(0，十o∞)，a十b=2,所以a,b∈(0,2)， 1a-2+|b-2=2-a+2-b=4-(a+b)=4-2=2,故 B正确， 对于C,a+b■2，故a十b≥2，救C正确： 对于D,2+2≥2√2·2=2√2=4， 当且仅当2=2，即a=b=1时，等号成立，故D正确. 故选BCD. 736由卷本不等式，得红+呈≥2，红·兰=46，当 且仅当红=兰，即工-号时，等号减立，即9=3，即a=36 8.证明：a>0,b>0, B.a-b. 号+6>g6-2a+> 号+经≥6：当凰收当a=6时号成立 C由已加8>0，b>0,不等式子+方>a6提成立 57 所以m≤（任+若）a+46)成立.（任+号）a+46)=8+ +号≥16，高1收含增=号中a=的时等号成立，所以 a m≤16.故选C 0A++-2+ 3y周为x+3y-3(>1,>号），所以x-1+3y-1=1, 且x-1>0.3y-1>0,所以马+3=-1+3y-D (（片+）=2+号+2+2号·写 音且收当号-号中x=受y宫时，等号成主，饮 与十3马的最小值为6载选A 1.4号“a,6>0,16=2a2+4)≥a+25),0< a十2b≤4，当且仅当a=2b,即a=2,b=1时，等号成立，∴a十 2弘的最大值为4：a+2+2(2+)-。单+密是 5≥2+5=9∴。2+苏>≥a+0+2≥2-号当且收 9 93 当a-26-1时，手号同时成立。2十六的最小维为是 2.8“成(a,b)在反比例函数y=上的困象上，b= 合ph=1a>06>0a+6>06+证+g ab a+6=。片时，等号成主，做6十应+鸭的最小值是8 第2课时习题课基本不等式的应用 1.B“,一6a≤3，，3一a≥0，a十6≥0，由基本不等式， 得V0-0a+可≤8=aa+位-号，当且仅当 2 。=一昌时取得等号。 2D夜m,w号》-M 因为红为正货，将以红十上>2·正=4 当且权当红=士即x=受时，等号成立，则M登=2 圆为y为正数，所以y十号>2：=6，音且收吉 y y号脚y=3时，等号成立，则M>号-3所以M≥3，则 49 m号}的最小维为三 故选D. 3.A设仓库与车站的距离为d(d>0),y1= dy:= kd,由题高知2-08=10k6=20,6:=08 y+-9+0.8d≥2v1压=8， 当且仅当9=-0,8d,即d=5时，等号减主，故选八 4{ae≥}由题可知，a大于等于+x中的最大 值国为>0所以空斗计+32，工+8 1一 1 吉：当且仅当1时，等号或立，所以十中的表大位为 专所以®≥洁 5.解设总费用为y元，由题嘉得y=76.4X100+7.2× 19×3+）-20+2z(40<≤1o0 9800+2x≥21960=280， 周为y= 当且仅者9800=2红，即工=70时取等号，所以这次粗车的 总费用最少是280元，此时的车速为70km/h 6Acy=号×2y<号×(2)'-日，当且仅当 11 2江=，即x=有y=之时等号成立，故A正确： 4x2+y=(2x+y)产-4xy=1-4zy,由选项A得xy≤ 11 8,则4红2+y=1-4y≥1-4×8=2，当且仅当2红=y 即红=y=合时，等子成立，故B正确 1 +忖-(2+号)a:+)-2+云+号≥2+ 2层·亭-4，备显收立-号印x=y-合时，号 成立，故C正确： +场-（++-++5≥+ y 2经号-多温收当子-5中y-时等号成 立，故D错误 故选ABC 1号1+29由a+2%-2h=0,有动-0+6> 2√2ab.即3va5≥22，所以ab>（当且仅当a=2b,即a= 等，6-号时取等号），所以ab的最小值为号由a+2的-3db 0,可知+2=3，所以a+6=.(合+）=号(3+ 的+号)≥号8+22)=1+2号当且仅的-号即a 2尘巨，6中时取等号，所以a十6的最小值为1+2 3 8.解(1)设甲工程队的总造价为y元，则y=3(150× 2z+400×）+7200-90(x+）+720(2<x<6. 90(r+19）+720>900x2x,夏+720=140 当且仅当x=16 即x=4时，等号成立.即当左右两面墙 的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元. (2)由题意可得，900(x+1）+7200>900a1+2对任 x x 意的x∈[2,6]恤成立，即红+4)a1+x) x “a<红+40 -t+6 +6≥2√+D·不+6=12.当仅 又x+1+9 当z十1=品脚红=2时，等号成立， a的取值范围为(0,12). §4一元二次函数与一元二次不等式 4.1一元二次函数 1,D对于x2十x十1=0，因为△=12-4×1<0，所以方程 无实根，故A错误： 对于x十1x十1=0，△=12一4×1>0不一定恒成立，故方 程不一定有两个不相等的实数根，故B错误： 由(x+3)2十x+1=x2+7x+10=(x+5)(x+2)=0,显 然x1·x4=(一5)×（一2）=10，故C错误： 15<1,5kD牌 2 故选D. 2.Cy=x2-4x十3=(x-2)2-1, .当x=2时y取得最小值，最小值为一1： 当y=3时，有x2-4红十3=3，解得x1=0,x2=4, ,当x=0或4时，y=3. 又当0x≤m时，y的最小值为一1，最大值为3， .2≤m≤4. 3.A设y=a(x-1)(x+1)(a≠0)，代入(0,1)，得 a(0-10(0+1)=-a=1,a=-1,y=1-x2 故选A 4.By=3+2x-x2=-(z-1)2+4,.函数在[0,1] 上y随着x的增大而增大，在[1,3]上y随着x的增大而减小， 又当x=0时，y=3,当x=3时，y=0,∴y=3十2x一x2(0≤ x≤3)的最小值为0. 5.BD二次函数y=(x一2)2-1的图象开口向上，对称轴 方程为x=2,且最小值为一1，对于A,周为y=(x一2)2一 1≥-1，所以Vx∈R,y=(x一2)2-1≥1错误，即A错误：对于 B,因为二次函数y=(x一2)2-1≥-1，所以Va>一1,3x∈ R,y=(x-2)2-1<a,故B正确：对于C,因为二次函数y= (x-2)2-1≥-1，所以Va<-1,3x∈R,y=(x-2)2-1=a 错误，即C错误：对于D,令y=0,即(x一2)-1=0，得x=3戏 x=1,所以3x1≠x,(x1一2)-1=(xg一2)2-1，故D正确. 故选BD. 6.一4因为一元二次方程x2十m:x十3=0有两个实数 根x1x,0<x工1<2<x2<4,且其图象开口向上，所以 (02+0·m+3>0, 7 m<-2'。 1 4十2m十30，所以< 即■ 19 <m<-子为 4 42+4m十3>0， 4 mEZ,所以m=一4 7.解(1)由题意得，点A(1,m)在直线y=一3x上， .m=一3×1=一3. 把x=1,y=一3代入y=ax2十6x-8,得a十6一8=-3， 求得a=一1，∴.抛物线的解析式是y=一x2十6z一8. (2)y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1, .把抛物线y=一x十6x一8向左平移3个单位长度，再 向下平移1个单位长度得到y=一x”的图象。 8.AD由图可知二次函数的图象与工轴交于两点，所以 b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确：对称轴为工=一1，即 2分=一1,2a一b=0,数B错误：结合图象，当x=一1时，y> 0,即a一b十c>0,故C错误：因为函数图象开口向下，所以a< 0,所以5a<2a.又b=2a,所以5a<b,故D正确.故速AD. 9.D由题得，函数y=x2-4x一2=(x一2)2-6的定义 城为[0，m],值域为[一6，一2]，且函数图象的对称轴为直线 x-2.当x=2时，y=-6,当x=0时，y■一2，由二次函数的 对称性，可知y=一2对应的另一个工的值为4，则值域为 [-6,一2]时，对应x的取值范图为[0,4]，故m的取值范围是 [2,4]故选D. 10.ABD当m=0时，(x-2)(x-3)=0,x1=2,x2= 9