学易金卷：九年级数学期中模拟卷（天津专用，新教材人教版九上第25～28章：一元二次方程+二次函数+反比例函数+旋转）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形与轴对称图形的定义，本题属于基础题型． 2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式．二次函数图象上的点的坐标使二次函数的解析式成立，坐标使二次函数解析式成立的点在二次函数的图象上．依据题意可得，再解方程即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴， 解得：或， 故选：D． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若是一元二次方程的两个实数根，则，直接代入系数即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得 ． 4．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：，当压力F一定时，另外两个变量的函数图像能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】压力F一定时，p与S成反比，图像是双曲线，由此可得答案． 本题考查了反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】压力F一定时，p与S成反比，图像是双曲线，同时自变量是正数． 故选：C． 5．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质与一元二次方程根的判别式，熟练掌握一次函数的图象与性质与一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后根据一次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程无实数根，可知：， 解得：， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限； 故选A． 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ）． A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．图象与轴交点的坐标是 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点坐标即可解答． 【详解】解：二次函数为， 对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：当时，， ∴与y轴交点坐标为，不是，故C说法错误，不符合题意； 选项D：， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故D说法正确，符合题意． 7．《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为步，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形面积公式，先根据宽表示出长，再代入面积公式即可列出方程. 【详解】解：∵设宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积长宽，且矩形面积为平方步， ∴代入得方程． 8．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（    ） A．逆时针，30° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．顺时针，105° 【答案】D 【分析】先根据旋转得出△ABC≌△DEC，可得∠ACB=∠DCE=75°，利用邻补角求出∠BCE=180°-∠DCE=105°，得出旋转角和旋转方向即可． 【详解】解∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC， ∴△ABC≌△DEC， ∴∠ACB=∠DCE=75°， ∴∠BCE=180°-∠DCE=105°， ∴△ABC绕点C旋转，顺时针旋转105°得到△DEC， 故选D． 【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等旋转，邻补角，掌握图形旋转，三角形全等旋转，邻补角是解题关键． 9．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（　　） A．85米 B．8米 C．10米 D．2米 【答案】B 【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可． 【详解】解：当y＝0时，即， 解得：＝﹣2（舍去），＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 10．如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理．根据旋转的性质，得，，根据勾股定理，即可求出． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∵把绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，一元二次方程与二次函数的联系，利用数形结合的思想解决问题是关键．由图象可知，时，，可判断①结论；根据抛物线的顶点坐标确定对称轴为直线，可判断②结论；根据抛物线顶点坐标，可判断③结论；根据抛物线与直线的交点个数，可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，时，， 则，①结论正确； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ， ， ，②结论正确； 顶点坐标为， , ， ，③结论正确； 顶点坐标为， 抛物线与直线有一个交点， 抛物线开口向下， 抛物线与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，④结论正确； 即正确结论的个数是4， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13．点（2，-6）关于原点对称的点的坐标是______________． 【答案】（-2，6） 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得答案． 【详解】解：点（2，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，6）， 故答案为（﹣2，6）． 14．关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义列不等式式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不为零是解题的关键． 15．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，正比例函数的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据交点的纵坐标，利用正比例函数求出交点的横坐标，再代入反比例函数求k． 【详解】解：∵交点的纵坐标为2，且点在正比例函数上， ∴，解得：． ∴交点坐标为． 代入反比例函数，得， 即， 故答案为：2． 16．将抛物线向左平移个单位，得到的抛物线与轴的交点坐标是______________． 【答案】 【分析】根据抛物线平移的性质得平移后的抛物线解析式，再求出与轴的交点坐标即可． 【详解】∵将抛物线向左平移个单位 ∴平移后的抛物线解析式为 令 故得到的抛物线与轴的交点坐标是 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线平移的问题，掌握抛物线平移的性质、与轴的交点坐标的性质是解题的关键． 17．在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，连接，． （I）线段的长为___________； （Ⅱ）点O，分别是，的中点，连接，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由矩形的性质和勾股定理求解即可； （2）连接，由旋转的性质可得，；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再证明，由勾股定理可得． 【详解】解：（I）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，连接， 由旋转的性质可得，； ∵点O，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 三、解答题：本题共7小题，共66分。其中：19-20每题8分，21-25题每题10分。 19．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程可变为：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 20．若点，在反比例函数（为常数，）的图象上． (1)求：反比例函数的解析式和的值； (2)填空： ①函数的图象在第________象限； ②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________； ③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________． 【答案】(1)， (2)①二，四；②增大；③ 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）①根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；②根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；③根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，反比例函数的解析式为：； （2）∵，， ∴双曲线过二，四象限，在图象的每一支上，随的增大而增大； ∵点和在双曲线上，且， ∴； 故答案为：①二，四；②增大；③． 21．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 【答案】(1) 证明： ， 不论取何值，方程总有两个实数根； (2)，此时方程的根为 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程； （1）由根的判别式，可证出：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）由关于的方程有两个相等的实数根，可得出根的判别式，解之可得出的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 将代入原方程得：， 即 解得：， 的值为，此时方程的根为． 22．已知二次函数的解析式为：； (1)此抛物线的顶点坐标为 ；与x轴的两个交点坐标为_________和_________ (2)在上边的坐标系中，画出该抛物线； (3)根据图像回答： ①若函数上有点，若，则m的取值范围是 ； ②当时，求函数y的取值范围 ． 【答案】(1)；， (2) 该抛物线如下图所示： (3)①；② 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象和性质； （1）顶点坐标为，再由可求出与x轴的两个交点的横坐标； （2）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，由（1）知x轴的两个交点，即可画出抛物线图象； （3）抛物线上的点，，即点P在x轴下方，观察图象即可知m的范围；当时，由图象可知y的取值范围. 【详解】（1）解：顶点坐标为， 令，即 解得， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，. 故答案为：；，. （2）略 （3）解：∵抛物线上的点，，即点P在x轴下方 ∴从图象上得出， ∵当时，对称轴是直线在的范围之内， ∴当时，当时，y的最小值为，为这段图象的最低点 ∴当时，当，y的值为5，为这段图象的最高点，但图象不包括这个点 ∴ ∴当时，y的取值范围为. 故答案为：；. 23．某琴行销售一种笛子，每支进价为56元．当售价每支为80元时，月平均销售量为60支．为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下)．经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支． (1)若设销售单价为元/支，则销售量为____________支（用含的代数式表示）； (2)求月平均销售利润(单位：元)关于销售单价(单位：元/支)的函数表达式； (3)当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？ 【答案】(1)（-3x+300） (2)y=-3x2+468x-16800； (3)当销售单价定为每支78元时，所得月平均利润最大 【分析】（1）根据售价每支为80元时，月平均销售量为60支，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支，列出销售量代数式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求函数最值即可． 【详解】（1）根据题意，当销售单价为x元/支时，销量为：60+3（80-x）=-3x+300， ∴销售量为（-3x+300）支， 故答案为：（-3x+300）； （2）设销售单价为x元/盏，月销售利润y元，根据题意得： y=（x-56）（-3x+300）=-3x2+468x-16800， ∴月平均销售利润y关于销售单价x的函数表达式为y=-3x2+468x-16800； （3）由（2）知：y=-3x2+468x-16800=-3（x-78）2+1452， ∵-3＜0，56≤x≤80， ∴当x=78时，y有最大值，最大值为1452， ∴当销售单价定为每支78元时，所得月平均利润最大． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 24．将一个直角三角放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，将绕点顺时针方向旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E． (1)如图①，求点的坐标为___________； (2)如图②，当时，与轴交于点，求旋转角的大小和点的坐标； (3)点不变，当时，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）过点C作，垂足为H．解直角三角形求出，可得结论； （2）解直角三角形求出，可得结论； （3）连接．利用三角形中位线定理证明，再求出的取值范围，可得结论． 【详解】（1）解：过点C作于点H， 则， ∵点，点， ∴， ∵在中，， ， ∵， ∴， ， ∴，， 又点C在第一象限， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，以点B为中心，顺时针旋转，得到，且， ∴， ∴． ∵在中，，， ， ∴； （3）解：如图，连接，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点E在线段上时，； 当点E在延长线上时，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形旋转，熟练掌握旋转性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质，添加辅助线，构造三角形中位线，是解题的关键． 25．已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为，点的坐标为，点的坐标为；② (2)或 【分析】（1）①把代入求出抛物线的表达式，然后配方出顶点坐标，再分别令求出与坐标轴的交点； ②过点作，轴，交于点，得到是等腰直角三角形，那么将的最大值转化为的最大值求解即可； （2）同①可得，，，，直线的解析式为，可求点，作点关于轴的对称点，有．则，即点，，在一条直线上时，取得最小值，将点代入求出，求出抛物线解析式，取点，连接，然后证明． 当点在直线下方时，可知；当点在直线上方时，设与轴相交于点，可得，则，再求出直线的不等式与抛物线的表达式联立求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式为． 由，知抛物线的顶点坐标为． 当时，． 解得，． ∴点的坐标为． 当时，． ∴点的坐标为． ②过点作，轴，交于点． ，， ． ， ． 轴， ． ． 在中，有． ． ∴当取最大值时，直线与直线之间的距离取得最大值． 设直线 由，得， 解得 ∴直线的解析式为． ． ∵点在抛物线上， ． ． ∵， ∴当时，取得最大值．此时点的坐标是． （2）解：同①可得，，，，直线的解析式为． 由可知，点． 作点关于轴的对称点，有． ，即点，，在一条直线上时，取得最小值， ∴将点代入得，． 解得（舍去），． ∴抛物线解析式为． ∴点，． ． 取点，连接， 由，可知垂直平分． ． ．即． ． 当点在直线下方时，可知． 由点，，同理可求直线的解析式为． ∴设直线的解析式为． 把点代入可解得． ∴直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 当点在直线上方时，设与轴相交于点． 由，，可知． 又，， ∴． ∴． ． ∴同理可求直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 综上，满足条件的点的坐标为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D B C A D A D B D D D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13．（-2，6） 14． 15．2 16． 17． 18． 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 三、解答题：本题共7小题，共66分。 19．【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，；（4分） （2）解：， 原方程可变为：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，．（8分） 20．【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，反比例函数的解析式为：；（2分） （2）∵，， ∴双曲线过二，四象限，在图象的每一支上，随的增大而增大； ∵点和在双曲线上，且， ∴； 故答案为：①二，四；②增大；③．（8分） 21．【详解】（1）证明： ， 不论取何值，方程总有两个实数根；（5分） （2）解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 将代入原方程得：， 即 解得：， 的值为，此时方程的根为．（10分） 22．【详解】（1）解：顶点坐标为， 令，即 解得， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，. 故答案为：；，.（3分） （2）该抛物线如下图所示： （5分） （3）解：∵抛物线上的点，，即点P在x轴下方 ∴从图象上得出， ∵当时，对称轴是直线在的范围之内， ∴当时，当时，y的最小值为，为这段图象的最低点 ∴当时，当，y的值为5，为这段图象的最高点，但图象不包括这个点 ∴ ∴当时，y的取值范围为. 故答案为：；.（10分） 23．【详解】（1）根据题意，当销售单价为x元/支时，销量为：60+3（80-x）=-3x+300， ∴销售量为（-3x+300）支， 故答案为：（-3x+300）；（2分） （2）设销售单价为x元/盏，月销售利润y元，根据题意得： y=（x-56）（-3x+300）=-3x2+468x-16800， ∴月平均销售利润y关于销售单价x的函数表达式为y=-3x2+468x-16800；（6分） （3）由（2）知：y=-3x2+468x-16800=-3（x-78）2+1452， ∵-3＜0，56≤x≤80， ∴当x=78时，y有最大值，最大值为1452， ∴当销售单价定为每支78元时，所得月平均利润最大．（10分） 24．【详解】（1）解：过点C作于点H， 则， ∵点，点， ∴， ∵在中，， ， ∵， ∴， ， ∴，， 又点C在第一象限， ∴． 故答案为：；（3分） （2）解：如图，以点B为中心，顺时针旋转，得到，且， ∴， ∴． ∵在中，，， ， ∴；（7分） （3）解：如图，连接，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点E在线段上时，； 当点E在延长线上时，， ∴， ∴．（10分） 25．【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式为． 由，知抛物线的顶点坐标为． 当时，． 解得，． ∴点的坐标为． 当时，． ∴点的坐标为．（3分） ②过点作，轴，交于点． ，， ． ， ． 轴， ． ． 在中，有． ． ∴当取最大值时，直线与直线之间的距离取得最大值． 设直线 由，得， 解得 ∴直线的解析式为． ． ∵点在抛物线上， ． ． ∵， ∴当时，取得最大值．此时点的坐标是．（7分） （2）解：同①可得，，，，直线的解析式为． 由可知，点． 作点关于轴的对称点，有． ，即点，，在一条直线上时，取得最小值， ∴将点代入得，． 解得（舍去），． ∴抛物线解析式为． ∴点，． ． 取点，连接， 由，可知垂直平分． ． ．即． ． 当点在直线下方时，可知． 由点，，同理可求直线的解析式为． ∴设直线的解析式为． 把点代入可解得． ∴直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 当点在直线上方时，设与轴相交于点． 由，，可知． 又，， ∴． ∴． ． ∴同理可求直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 综上，满足条件的点的坐标为或．（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶J[W][/I 一、 单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11.A][B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13. 14. 15. 16. 17.(1) (2) 18.(1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19(8分))(x+5y-4=0, (2)3x(-2)=2x-4 20.(8分) 21.(10分) 22. (10分) y 4 32 1 -5432102345x 牛2 3 4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(10分) AO 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ ■………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．0或2 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 4．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：，当压力F一定时，另外两个变量的函数图像能是（    ） A．   B．   C．   D．   5．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ）． A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．图象与轴交点的坐标是 D．当时，随的增大而增大 7．《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为步，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（    ） A．逆时针，30° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．顺时针，105° 9．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（　　） A．85米 B．8米 C．10米 D．2米 10．如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 12．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13．点（2，-6）关于原点对称的点的坐标是______________． 14．关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________． 15．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则_____． 16．将抛物线向左平移个单位，得到的抛物线与轴的交点坐标是______________． 17．在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，连接，． （I）线段的长为___________； （Ⅱ）点O，分别是，的中点，连接，则线段的长为___________． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 三、解答题：本题共7小题，共66分。其中：19-20每题8分，21-25题每题10分。 19．解方程： (1)； (2) 20．若点，在反比例函数（为常数，）的图象上． (1)求：反比例函数的解析式和的值； (2)填空：①函数的图象在第________象限； ②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________； ③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________． 21．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 22．已知二次函数的解析式为：； (1)此抛物线的顶点坐标为 ；与x轴的两个交点坐标为_________和_________ (2)在上边的坐标系中，画出该抛物线； (3)根据图像回答： ①若函数上有点，若，则m的取值范围是 ； ②当时，求函数y的取值范围 ． 23．某琴行销售一种笛子，每支进价为56元．当售价每支为80元时，月平均销售量为60支．为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下)．经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支． (1)若设销售单价为元/支，则销售量为____________支（用含的代数式表示）； (2)求月平均销售利润(单位：元)关于销售单价(单位：元/支)的函数表达式； (3)当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？ 24．将一个直角三角放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，将绕点顺时针方向旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E． (1)如图①，求点的坐标为___________； (2)如图②，当时，与轴交于点，求旋转角的大小和点的坐标； (3)点不变，当时，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25．已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13._______________ 17.（1）______________ 14. ___________ （2）_______________ 15. _________________ 18. （1）______________ 16. __________________ （2）______________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（8分）(1)； (2) 20．（8分） 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．0或2 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 4．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：，当压力F一定时，另外两个变量的函数图像能是（    ） A．   B．   C．   D．   5．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ）． A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．图象与轴交点的坐标是 D．当时，随的增大而增大 7．《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为步，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（    ） A．逆时针，30° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．顺时针，105° 9．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（　　） A．85米 B．8米 C．10米 D．2米 10．如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 12．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13．点（2，-6）关于原点对称的点的坐标是______________． 14．关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________． 15．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则_____． 16．将抛物线向左平移个单位，得到的抛物线与轴的交点坐标是______________． 17．在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，连接，． （I）线段的长为___________； （Ⅱ）点O，分别是，的中点，连接，则线段的长为___________． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 三、解答题：本题共7小题，共66分。其中：19-20每题8分，21-25题每题10分。 19．解方程： (1)； (2) 20．若点，在反比例函数（为常数，）的图象上． (1)求：反比例函数的解析式和的值； (2)填空：①函数的图象在第________象限； ②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________； ③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________． 21．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 22．已知二次函数的解析式为：； (1)此抛物线的顶点坐标为 ；与x轴的两个交点坐标为_________和_________ (2)在上边的坐标系中，画出该抛物线； (3)根据图像回答： ①若函数上有点，若，则m的取值范围是 ； ②当时，求函数y的取值范围 ． 23．某琴行销售一种笛子，每支进价为56元．当售价每支为80元时，月平均销售量为60支．为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下)．经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支． (1)若设销售单价为元/支，则销售量为____________支（用含的代数式表示）； (2)求月平均销售利润(单位：元)关于销售单价(单位：元/支)的函数表达式； (3)当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？ 24．将一个直角三角放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，将绕点顺时针方向旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E． (1)如图①，求点的坐标为___________； (2)如图②，当时，与轴交于点，求旋转角的大小和点的坐标； (3)点不变，当时，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25．已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $