专题05 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，天津专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系三大高频考点，汇编天津河北多校期中试题，基础判断与综合应用梯度分布，适配九年级期中复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|6题|直线与圆位置关系判断（半径6距离5判位置）、切线半径计算（Rt△中相切半径）、内心识别（尺规作图痕迹）|结合几何图形直观（如线段中点作圆判断点与圆位置）| |填空|3题|直线与圆位置关系（圆心到直线点距离判位置）、切线角度计算（切线夹角求圆周角）、切线长计算（矩形中圆的切线长）|动态问题设计（直径上动点最小值）| |解答|3题|切线性质与判定（直径切线求长度、切线证明）、综合计算（切线与弦相交求长度）|多图形综合（圆与矩形、三角形结合）|

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05直线与圆的位置关系 考点01直线与圆相离、相切、相交 考点02圆的切线 考点3三角形的内切圆 》 考点01直线与圆相离、相切、相交 1.C 2.【答案】相交或相切 【分析】 本题考查了直线和圆的位置关系.设圆心到直线的距离为d,圆的半径为”.当d>r时，直线与圆相离；当 d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交.反之亦然.熟练掌握是解题的关键 圆心到直线上某一点的距离为6.5cm,表明圆心到直线的距离可能小于或等于6.5cm,结合圆的半径，判 断直线与圆的位置关系. 【详解】 ,圆的半径r=6.5cm,圆心到直线上某一点的距离为6.5cm, ∴.圆心到直线的距离d满足d≤6.5cm, …d≤r 直线和圆的位置关系是相交或相切. 故答案为：相交或相切。 》 考点02圆的切线 1.C 2.B 3.A 4.B 5.【答案】(1)10 (2)AF=4,AB=13: 【分析】 本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键。： (1)由题意得∠BAT=90;推出∠ABT=45=∠ATB即可求解： (2)连接OD,同理可得AC=AT=10;根据DEAT,推出AB⊥DE,即∠CFD=90°；进而得 DF=1DE=6=CF,设半径为r,则OF=r-4,根据OF2+DF2=OD,即可求解： 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)小问详解： 解：，AT是⊙O的切线， AB1AT:即∠BAT=90 “∠ATB=45 ∠ABT=45 AB=AT=10 (2)小问详解： 解：连接OD,如图所示： F 7 y 图② ,∠ATC=45,∠BAT=90: ∠ACT=45=∠ATC AC=AT=10 ·DE‖AT' AB⊥DE即∠CFD=90: ∠ACT=45” ∠CDF=45=∠ACT' CF=DF' 218 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “AB是OO的直径，AB⊥DE :.DF=1DE=6=CF, ·AF=AC-CF=4 设半径为r,则OF=r-4, ‘0F2+DF2=0D2” r-4+62=2,解得：r=13, 2 AB=2r=13 6.【答案】50 【分析】 本题考查切线的性质，圆周角定理，连接OA,OB,根据切线的性质，四边形的内角和，求出∠AOB的 度数，再根据圆周角定理，求出∠ACB的度数即可. 【详解】 解：连接OA,OB, y ,PA、PB分别与圆O相切于A、B两点， ∠OAP=∠OBP=90' ∠A0B=360°-∠0AP-∠0BP-∠P=100, ∠ACB=2<A0B=50: 故答案为：50° 7.【答案】(1)72 (2)CE=5,CG=5V▣ 318 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 本题考查了圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，属于圆的综合题型，解 题的关键是掌握这些知识点， (1)连接OC,由于AB为⊙O的切线，C为切点，推出OC⊥AB,∠OCB=90,然后可得 OC‖DF,再根据∠EOC=2∠D=72,最后可求解： (2)连接OC,根据∠COE=2∠CGE,∠DOE=2∠CGE,可推出OC‖DF,然后可得 △ODE是等边三角形，最后可得∠GCE=90,在Rt△GCE中，求解即可. (1)小问详解： 解：如图，连接OC A E D ,AB为⊙O的切线，C为切点， 0C1AB'∠0CB=90 DF⊥AB ∠DFB=90=∠OCB OC‖DF .∠DEO=∠EOC ∠CDF=36 ∴.∠EOC=2∠CDF=72 ∠DE0=72 (2)小问详解： 连接OC,如图所示： 418 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F D :∠COE=2∠CGE,∠DOE=2∠CGE, ∴∠COE=∠D0E 与(1)同理，得OCDF, ∴∠C0E=∠0ED' ∠DOE=∠OED' OD=DE' “0D=0E △ODE是等边三角形. ∠D0E=60 ∠CGE=30 “00的半径为5， EG=10 “EG是O0的直径， ·∠GCE=90 ∴在Rt△GCE中，CE=GE=5,CG=5口. 518 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.【答案】(1) 证明：.CD与⊙O相切于点D, ∴.∠0DE=90 .OE‖AD ∴.∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠BOE' .OD=OA' ..∠ADO=∠DAO' ∴.∠DOE=∠BOE' OD=OB,OE=OE' 在△DOE和△BOE中， OD=OB ∠DOE=∠BOE, OE=OE ∴.△DOE≌△BOE(SAS)’ ∴.∠OBE=∠ODE=90, .∴.OB⊥BE 0B为⊙0的半径， ∴直线BE是⊙O的切线： (2)r=3,DE=6 【分析】 本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性 质以及勾股定理是解题的关键 (1)由切线的性质可得∠ODE=90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平方∠DOB,从 而可得∠DOE=∠BOE,进而可证△DOE≌△BOE,最后利用全等三角形的性质即可解答： 618 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设⊙O的半径为r,在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用(1)的结论可得DE=BE, 最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 解：设⊙O的半径为r, .0D+DC2=0C2 .r2+42=r+22 ∴r=3 ∴.AB=2r=6 .∴.BC=AC+AB=8' 由(1)得△DOE≌△BOE, ∴.DE=BE .BC2+BE2=CE2 .82+DE2=4+DE2 解得DE=6. 9.【答案】3 3 【分析】 连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4,由于AD,AB,BC分别与 ⊙O相切于E,F,G三点，得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE,FBGO是正方形， 得到AF=BF=AE-BG=2,由勾股定理列方程即可求出结果. 【详解】 解：连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中，，∠A=∠B=90°，CD=AB=4. AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点，.∠AEO=LAFO=∠OFB=∠BGO=90°，.四边形 AFOE,FBGO是正方形，∴.AF=BF=AE=BG-2,∴.DE=3. 7/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DM是⊙O的切线，∴.DN=DE=3,MN=MG,.CM=5-2-MN=3-MN.在Rt△DMC中， DM=CD2+C,·(3+NM)2=(3-NM)2+4,NM=4 3,DM3+ 413 33 故答案为3 3 E GM 【点睛】 本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 D考点03三角形的内切圆 1.B 818函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01直线与圆相离、相切、相交 考点02圆的切线 考点3三角形的内切圆 》 考点01直线与圆相离、相切、相交 1.(25-26学年·天津经济技术开发区第一中学)已知⊙0的半径是6，点0到直线1的距离为5，则直线1 与⊙0的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 2.(25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中)圆的半径是6.5cm,如果圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm,那么该直线和圆的位置关系是 》 考点02圆的切线 1.(25-26学年九上·天津和平.期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以点C为 圆心，r为半径作圆与AB相切，则r的值为( 月 A.2cm B.2.2cm C.2.4cm D.2.6cm 2.(25-26学年九上·河北期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,内切圆半径为1，则三角形的周长为 () A.15 B.12 C.13 D.14 3.(25-26学年九上·天津南开期中)如图，点A1,0,B0,2,O0,0,点M为线段AB的中点，以 点0为圆心， 2口为半径作⊙0，则下列结论中正确的是（） 珠 B A A.AB与⊙O相切 B.点A在⊙O上 1/4 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.点B在⊙O上 D.点M在⊙O上 4.(25-26学年·天津经济技术开发区第一中学)如图，MN是⊙O的直径，MN=6,∠AMN=40°， 点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为( A B M P A.6 B.3V▣ C.3V▣ D.2V▣ 5.(25-26学年九上·天津和平.期中)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，AT=10. 的 A A 图① 图② (1)如图①，若∠ATB=45,求直径AB的长： (2)如图②，点C是OB上一点，若∠ATC=45°，TC与⊙O相交于点D,过点D作弦DE‖AT,与 AB相交于点F,DE=12,求AF和直径AB的长. 6.(25-26学年九上·天津南开·期中)如图，PA、PB分别与圆0相切于A、B两点，点C为圆0上一 点，连AC、BC,若∠P=80°，则∠ACB的度数为 A C O B 7.(25-26学年九上·天津南开期中)如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作 DF⊥AB于点F,DF交⊙O于点E,连接OE. 214 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G O E E 图1 图2 (1)如图1，连接CD,若∠CDF=36,求∠OED的大小： (2)如图2，延长EO交⊙O于点G,连接CG,OD,CE,若∠DOE=2∠G,⊙O的半径为5，求 CE和CG的长 8.(25-26学年九上·河北·期中)如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延 长线于点C,过点O作OE‖AD交CD于点E,连接BE. D B (1)求证：直线BE是⊙O的切线； (2)若CA=2,CD=4,求⊙O的半径及DE的长. 9.(25-26学年·天津经济技术开发区第一中学)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB, BC分别与⊙O相切于E,F,G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为」 B G M 》 考点03三角形的内切圆 1.(25-26学年·天津经济技术开发区第一中学)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36,根据 尺规作图的痕迹连接BE交AD于点H,则点H为( ). 314 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D A.△ABC的外心 B.△ABC的内心 C.△BCE的外心 D.△ABE的内心 4/4 专题05 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】C 【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：① 直线l和⊙O相交，则d＜r；② 直线l和⊙O相切，则d=r；③ 直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此， ∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5， ∴6＞5，即：d＜r． ∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C． 2．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是　　　　　　　． 【答案】相交或相切 【分析】 本题考查了直线和圆的位置关系．设圆心到直线的距离为，圆的半径为．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．反之亦然．熟练掌握是解题的关键． 圆心到直线上某一点的距离为，表明圆心到直线的距离可能小于或等于，结合圆的半径，判断直线与圆的位置关系． 【详解】 ∵圆的半径，圆心到直线上某一点的距离为， ∴圆心到直线的距离d满足， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相交或相切． 故答案为：相交或相切． 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·天津和平·期中）在中，，，以点为圆心，为半径作圆与相切，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查切线的性质，理解切线的性质以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出即可． 【详解】 解：∵， ∴， 由勾股定理可得， ， 如图，当与相切于点时，， 由三角形的面积公式可得， ， 即， ∴， 即半径为， 故选：． 2．（25-26学年九上·河北·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ） A. 15 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【分析】 作出图形，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF，根据切线长定理可得AD=AF，BD=BE，从而得到AF+BE=AB，再根据三角形的周长的定义解答即可． 【详解】 解：如图，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF， ∵∠C=90°， ∴四边形OECF是正方形， ∴CE=CF=1， 由切线长定理得，AD=AF，BD=BE， ∴AF+BE=AD+BD=AB=5， ∴三角形的周长=5+5+1+1=12． 故选:B. 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观． 3．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（   ） A. 与⊙相切 B. 点在⊙上 C. 点在⊙上 D. 点在⊙上 【答案】A 【分析】 本题考查点、直线与圆的位置关系，熟练掌握点、直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 根据两点间距离公式计算出、、的距离，分别与半径相比较，得出点是否在圆上；根据圆心到直线的距离等于半径，判断直线与相切即可． 【详解】 解：由于点，，点为线段的中点， 那么点的坐标为，直线方程为：， 选项A、过点作于点，由题意得，，设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， ，即长等于半径， 则与相切，故结论正确； 选项B、，则点在外，故结论错误； 选项C、，则点在外，故结论错误； 选项D、，则点在外，故结论错误； 故选：A． 4．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（     ） A. 6 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 过A作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值； 【详解】 解：过A作关于直线的对称点，连接，， ∵关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 过O作于Q，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查圆的性质、特殊三角函数，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键. 5．（25-26学年九上·天津和平·期中）已知是的直径，是的切线，． （1）如图①，若，求直径的长； （2）如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 【答案】（1）     （2），；      【分析】 本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．； （1）由题意得；推出即可求解； （2）连接，同理可得；根据，推出，即；进而得，设半径为，则，根据，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵是的切线， ∴，即； ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：连接，如图所示： ∵，； ∴， ∴； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴； 设半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴； 6．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连，若，则的度数为　　　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】 解：连接，    ∵分别与圆O相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图1，连接，若，求的大小； （2）如图2，延长交于点G，连接，若，的半径为5，求和的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，属于圆的综合题型，解题的关键是掌握这些知识点． （1）连接，由于为的切线，为切点，推出，，然后可得，再根据，最后可求解； （2）连接，根据，，可推出，然后可得是等边三角形，最后可得，在中，求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，连接． ∵为的切线，为切点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴； (2) 小问详解： 连接，如图所示： ∵，， ∴． 与（1）同理，得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． ∵的半径为5， ∴． ∵是⊙O的直径， ∴， ∴在中，． 8．（25-26学年九上·河北·期中）如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的半径及的长． 【答案】（1） 证明：与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． （1）由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平方，从而可得，进而可证，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为r， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， 解得． 9．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，在矩形中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果． 【详解】 解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4． ∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3． ∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN．在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，∴NM=，∴DM=3+=． 故答案为． 【点睛】 本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 考点03 三角形的内切圆 1．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹连接交于点，则点为（       ）． A. 的外心 B. 的内心 C. 的外心 D. 的内心 【答案】B 【分析】 根据AB=AC，∠BAC=36°，可得∠ABC=72°，由AE=BE，∠ABE=∠CBE=36°，可得点H是三角形角平分线的交点，进而可以判断点H是△ABC的内心． 【详解】 解：∵AB=AC，∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°， 由作法知AD是∠BAC的角平分线，EF是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠EAB=∠EBA=36°， ∴∠EBC=72°-36°=36°， ∴∠ABE=∠CBE， ∴BE是∠ABC的角平分线， ∵BE、AD交于点H， ∴点H是三角形内角平分线的交点， ∴点H是△ABC的内心． 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是区分三角形的内心与外心． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $