专题04 圆（期中真题汇编，天津专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦圆的5大高频考点，汇编天津多所中学期中真题，题型涵盖选择、填空、解答，注重基础概念辨析与综合几何应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20题|圆的概念、点与圆位置关系、圆周角定理|如直径与弦关系辨析（考点01第1-2题），内接四边形性质应用（考点04第3题）| |填空|约10题|垂径定理、圆心角与弧关系、弧长计算|如平行弦距离计算（考点02第7题），网格中圆与格点位置（考点04第16题）| |解答|约15题|垂径定理应用、圆周角推理、动态几何|如圆柱形容器水面深度计算（考点02第10题），多结论几何证明（考点04第12题）|

专题04 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．【答案】100° d度 【分析】 先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数． 【详解】 解：∵， ∴∠OCA=∠BOC=40°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=40°， ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°， 故答案为：100°． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 7．【答案】 【分析】 此题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质、三角形外角性质，熟记等腰三角形的性质、三角形外角性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求得，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据正方形以及旋转的性质得到，，过点作轴于点，可得到为等腰直角三角形，，再由勾股定理即可求解； （2）由旋转 ，过作纵轴的平行线交横轴于点，过作横轴平行线交于点，交轴于点，则，，而，则四边形是矩形，那么，，，可得，以及，再根据角直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （3）连接，相交于点，由勾股定理，进而得，由三角形的中位线性质得，确定出在以为圆心，为半径的圆上运动，再根据三角形三边关系求解最值即可． (1) 小问详解： 解：过点作轴于点， ∵点、点，若正方形绕点顺时针旋转，得正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由旋转 ， 过作纵轴的平行线交横轴于点，过作横轴平行线交于点，交轴于点，如图，则，，而， ∴四边形是矩形， ∴，，， ， ， ∴， ∵正方形中，，， ，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴同理可求，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，连接，相交于点，连接， 在正方形与正方形中，边长为， ∴，，是的中点， ∴对角线， ∴， 为线段的中点， ， 在以为圆心，为半径的圆上运动， ， ∴，， 最大值为，的最小值为， 长的取值范围为 【点睛】 本题主要考查了圆的定义，旋转的性质，三角形中位线的判定及性质，角直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定及性质，熟练掌握三角形中位线的判定及性质，勾股定理，正方形的性质是解题的关键． 考点02 垂直于弦的直径 1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．【答案】（1） 证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴；     （2）的半径是      【分析】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，    ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 7．【答案】或或1 【分析】 如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】 解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】 本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 8．【答案】2 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】 解：由题意，， ∵是的半径，弦于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 9．【答案】（1） 证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由，四边形的面积为，得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接， ，四边形的面积为， ， ， ， ，则， 在中，， ． 10．【答案】16 【分析】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．连接，过点作于点，交于点，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】 解：连接，过点作于点，交于点，如下图， ∵， ∴， ∵的半径为26， ∴， 在中，， ∴． 11．【答案】（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵AE=BE，CE=DE， ∴BE﹣DE=AE﹣CE， 即AC=BD （2）8﹣ 【分析】 （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 【详解】 解：（1）略 （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD， 连接OC，OA， ∵OA=10，OC=8，OE=6， ∴. ∴AC=AE﹣CE=8﹣． 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 12．【答案】2或14 【分析】 本题考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑两条平行弦相对于圆心的位置关系（同侧或异侧），避免漏解． 过圆心作平行弦中一条弦的垂线，由平行性质可知该垂线垂直于另一条弦；利用垂径定理求出两条弦的一半长度；结合勾股定理分别计算圆心到两条弦的距离；最后分同侧和异侧两种情况计算两弦的距离． 【详解】 解：过作于，交CD于， ∵ ， ∴ ， 由垂径定理得，， 在中，， 在中，， 当AB与CD在圆心同侧时，距离为（图1）， 当AB与CD在圆心异侧时，距离为（图2），                 故答案为：或14． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理和垂径定理的应用，过作于,根据垂径定理求出、,根据勾股定理求出,根据勾股定理求出即可，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键， 【详解】 解：过作于,则， ，过， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 考点03 圆心角 1．【答案】H度 【分析】 本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 考点04 圆周角 1．B 2．C 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．C 12．D 13．【答案】110 【分析】 本题考查了圆的半径性质、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是通过连接辅助线，利用等腰三角形求出相关角的度数，再借助圆内接四边形对角互补推导结果． 连接，由（圆的半径相等）可知为等腰三角形，结合的度数求出；再根据圆内接四边形对角互补的性质，结合与的关系求出． 【详解】 解：连接， ∵的半径）， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查圆周角的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵，是的直径， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； 故答案为． 15．【答案】>度 【分析】 本题主要考查了圆周角定理、垂径定理的推论，熟练掌握“等弧所对的圆周角相等” “等弧所对的弦的垂直平分线过圆心”是解题的关键．先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】 解：∵，为的直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 16．【答案】①     ② 解：如图，点P即为所求作的点，满足． 作法：根据圆的对称性，作另一条直径，与相交于O，即为圆心，设线段与竖直格线的交点为点M，连接与相交于点N，作射线与交于点P． 【分析】 本题考查了勾股定理、圆的基本性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及无刻度直尺的网格作图，解题的关键是熟练运用勾股定理计算线段长度，结合无刻度直尺的网格作图特征、中位线定理和全等判定构造满足条件的点． （1）根据网格确定A、C两点横向距离为4、纵向距离为1，运用勾股定理计算线段的长度； （2）借助无刻度直尺和网格特征，先确定与竖直格线交点M即为的中点（相似三角形判定与性质）；根据圆的对称性作另一条直径，与相交于圆心O．连接，利用中位线定理可得平行于且N为中点，直径所对为直角，再通过可证，从而，由此作射线与的交点即为P． 【详解】 （1）解：由勾股定理得，， 故答案为：． （2）略 17．【答案】（1），；     （2），；      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得垂直平分，推出得即可求解； （2）根据，，可推出；是等腰三角形，进而得；结合（1）得，推出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴； 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．【答案】（1）的直径为；     （2）．      【分析】 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 (1) 小问详解： 解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 19．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）；     （2）的半径为4      【分析】 此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得； （2）根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理可得方程，再解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 设，则， ∵弦于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中：， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 20．【答案】①     ② 根据以点A和点B为顶点的90°的圆周角所对的弦是直径，可确定圆的两条直径，它们的交点即是圆心O；连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点M，连接MN交CB于点K，连接KO并延长交于点P，连接AP，则AP即为的平分线． 【分析】 本题主要考查了勾股定理、90°的圆周角所对的弦是直径、垂径定理、等弧所对的圆周角相等，熟记相关定理是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）根据90°的圆周角所对的弦为直径，找到两条直径的交点即为圆心O；根据垂径定理和弧、圆周角的关系即可作出的平分线 ． 【详解】 解：（1）， ∴线段 的长度等于； （2）如图，分别以点A和点B为顶点构造和， ∵， ∴和都是的直径， ∴和的交点O是圆心 O ，即为所要求作的点， 如图，连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点M，连接交于点K，连接并延长交于点P，连接， 通过证明三角形全等易得点M为小正方形一边的中点， ， 易证得， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分 ， ∴点P就是所要求作的点． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等． （1）根据垂径定理，可得，根据三角形内角和即可求出，再根据圆周角定理得出，进而求出的度数； （2）如图②，连接，根据，，可得，则，根据，可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而即可求解； (1) 小问详解： 解：∵是直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图②，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）先利用等腰三角形性质和圆周角定理求出、，再结合直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等求解和． （2）连接，先求出相关圆周角和圆心角的度数，再利用切线性质和直角三角形性质求解． (1) 小问详解： 解：∵ ，， ∴ ， ∵ 为的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； (2) 小问详解： 解：连接，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ 是的切线， ∴ ，即， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质、切线的性质，熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角相等、同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）、切线的性质（切线垂直于过切点的半径）是解题的关键． 23．【答案】 【分析】 本题考查了平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，圆周角定理，设的中点为，以为直径画圆，连接交交于点，由题意可得，从而可得，结合三角形内角和定理可得，结合圆周角定理可得点在以为直径的半圆上运动，当点运动到与的交点处时，线段有最小值，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图：设的中点为，以为直径画圆，连接交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴点在以为直径的半圆上运动，当点运动到与的交点处时，线段有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，圆内接四边形的性质，作直径，连接，由圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理可得，，最后解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，作直径，连接， ∵四边形内接于，， ∴， 由圆周角定理可得：，， ∵的半径为5， ∴， ∴， 故答案为：． 25．【答案】①     ② 取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，则点F即为所求作的点 【分析】 本题考查了作图，勾股定理解三角形，圆周角定理，垂径定理，以及直径所对的圆周角为，解决本题的关键是由直径找到圆的圆心． （1）根据勾股定理求解即可； （2）取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，连接，，则点F即为所求作的点． 【详解】 解：（1）根据勾股定理，线段； 故答案为：； （2）根据网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理得：， 即， ∴、为圆的直径， ∴点O为圆心， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； 如图，取格点D，连接并延长，交圆于点F，连接，，则点F即为所求作的点． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，则点F即为所求作的点． 26．【答案】（1）     （2）①；②最大值为，H点坐标为      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的直角三角形性质及利用不等式求面积最值，解题的关键是熟练运用旋转性质构造全等三角形，结合几何图形边角关系及最值定理求解． （1）先根据等腰直角三角形性质得，由旋转性质知；作轴构造直角三角形，利用角的直角三角形边角关系求出和，结合象限符号得出坐标； （2）① 先确定的边角性质，利用旋转性质证，得；构造等腰直角三角形和直角三角形，分别求出和，相加得长度； ② 连接，由全等及四点共圆得出和均为直角三角形；利用不等式分别求两个直角三角形的最大面积，相加得总面积最大值，确定此时旋转角及H点坐标． (1) 小问详解： 解：∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴在x轴负半轴，在y轴正半轴； ∵绕O逆时针旋转得， ∴（旋转性质：对应边相等）； 过作轴于点M，此时为直角三角形， 由旋转方向可知：在第三象限，故从x轴负方向逆时针转，与x轴负方向夹角为； 在中，， ∴（含角的直角三角形，对边为斜边一半）， ； ∵在第三象限，横坐标与纵坐标均为负， ∴的坐标为； 故答案为：. (2) 小问详解： ① 解：连接， ∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴； 由旋转性质得：， ∴，即； 在和中， ， ∴， 故，； 过点O作，垂足为N，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ∴； ② 解：连接， 由① 知， ∴， ∴四点共圆，四点共圆， ∴． 设的两条直角边为a与b，则， 由得，， 设的两条直角边为c与d， 则， 由得，， 当旋转角时，，和面积之和最大，此时H点坐标为， 最大值． ∴和面积之和最大值为，此时H点坐标为． 27．【答案】（1）     （2） 如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 【分析】 （1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得：， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为圆上的直线， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接，可得；连接并延长与相交于点， ∴是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 考点05 弧长和扇形面积 1．A 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 5大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·天津河东·期中）下列说法正确的是（     ） A. 直径是弦，弦是直径 B. 过圆心的线段是直径 C. 直径只有一条 D. 圆中最长的弦是直径 【答案】D 【分析】 本题主要考查了圆的基本概念，掌握直径和弦的关系是解题的关键． 根据圆的相关概念逐项判断即可． 【详解】 解：A由直径是过圆心的弦，且圆中最长的弦是直径； 弦是连接圆上任意两点的线段，但弦不一定是直径（如非直径弦），故A选项错误，不符合题意； B． 过圆心的线段且两端点在圆上的线段是直径，故B选项错误，不符合题意； C．直径有无数条，故C选项错误，不符合题意； D． 圆中最长的弦是直径，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（       ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【分析】 本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个说法进行判断，然后作出选择． 【详解】 解：① 直径是弦，故原说法正确； ② 弦不一定是直径，故原说法错误； ③ 半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④ 在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误； ⑤直径是圆中最长的弦，故原说法正确． 综上所述，正确的说法有① ③ ⑤． 故选：B． 3．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）的半径为6，点P到圆心O的距离为8，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，比较圆心到点的距离与半径的大小进行判断即可． 【详解】 解：∵点P到圆心O的距离为8，的半径为6， ∴圆心到点的距离大于半径， ∴P在圆的外部， 故选：C． 4．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 5．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【分析】 先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余． 【详解】 解：，， ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，是基础知识比较简单． 6．（25-26学年九上·天津河东·期中）如图，在中，弦半径，则的度数为　　　　　　　　　　　　． 【答案】100° d度 【分析】 先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数． 【详解】 解：∵， ∴∠OCA=∠BOC=40°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=40°， ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°， 故答案为：100°． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 7．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 此题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质、三角形外角性质，熟记等腰三角形的性质、三角形外角性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求得，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点、点，若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为： （1）如图①，当时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求点的坐标； （3）若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据正方形以及旋转的性质得到，，过点作轴于点，可得到为等腰直角三角形，，再由勾股定理即可求解； （2）由旋转 ，过作纵轴的平行线交横轴于点，过作横轴平行线交于点，交轴于点，则，，而，则四边形是矩形，那么，，，可得，以及，再根据角直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （3）连接，相交于点，由勾股定理，进而得，由三角形的中位线性质得，确定出在以为圆心，为半径的圆上运动，再根据三角形三边关系求解最值即可． (1) 小问详解： 解：过点作轴于点， ∵点、点，若正方形绕点顺时针旋转，得正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由旋转 ， 过作纵轴的平行线交横轴于点，过作横轴平行线交于点，交轴于点，如图，则，，而， ∴四边形是矩形， ∴，，， ， ， ∴， ∵正方形中，，， ，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴同理可求，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，连接，相交于点，连接， 在正方形与正方形中，边长为， ∴，，是的中点， ∴对角线， ∴， 为线段的中点， ， 在以为圆心，为半径的圆上运动， ， ∴，， 最大值为，的最小值为， 长的取值范围为 【点睛】 本题主要考查了圆的定义，旋转的性质，三角形中位线的判定及性质，角直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定及性质，熟练掌握三角形中位线的判定及性质，勾股定理，正方形的性质是解题的关键． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·河北·期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】C 【分析】 连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可． 【详解】 解：连接OA，则OA=10cm， ∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm， ∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得 OD=cm， ∵OC=10cm， ∴CD=OC-OD=4cm， 故选C． 【点睛】 本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键． 2．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理以及解直角三角形，难度不大，掌握相关性质定理是解题关键．在中，由，解直角三角形求得，然后利用垂径定理解答即可． 【详解】 解：∵于点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，在中，尺规作图的部分作法如下： （1）分别以弦的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点； （2）作直线交于点．    若，则的长等于（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【分析】 ，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】 解：根据作图可得，则， 在中， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题考查了作垂线，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键． 4．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A.  B. 2 C. 2 D. 8 【答案】C 【分析】 作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2． 【详解】 作OH⊥CD于H，连结OC，如图，    ∵OH⊥CD， ∴HC=HD， ∵AP=2，BP=6， ∴AB=8， ∴OA=4， ∴OP=OA﹣AP=2， 在Rt△OPH中，∵∠APC=30°， ∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1， 在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1， ∴CH=， ∴CD=2CH=2． 故选C． 【点睛】 本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键 5．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】 解：∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．（25-26学年九上·天津河东·期中）如图，交于点是半径，且于点F．    （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴；     （2）的半径是      【分析】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，    ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 7．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为　　　　　　　　　　　． 【答案】或或1 【分析】 如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】 解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】 本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 8．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】 解：由题意，， ∵是的半径，弦于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 9．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，为直径，为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由，四边形的面积为，得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接， ，四边形的面积为， ， ， ， ，则， 在中，， ． 10．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）往半径为26的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 【答案】16 【分析】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．连接，过点作于点，交于点，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】 解：连接，过点作于点，交于点，如下图， ∵， ∴， ∵的半径为26， ∴， 在中，， ∴． 11．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）（多选）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 【答案】（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵AE=BE，CE=DE， ∴BE﹣DE=AE﹣CE， 即AC=BD （2）8﹣ 【分析】 （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 【详解】 解：（1）略 （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD， 连接OC，OA， ∵OA=10，OC=8，OE=6， ∴. ∴AC=AE﹣CE=8﹣． 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 12．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为　　　　　　　　　　． 【答案】2或14 【分析】 本题考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑两条平行弦相对于圆心的位置关系（同侧或异侧），避免漏解． 过圆心作平行弦中一条弦的垂线，由平行性质可知该垂线垂直于另一条弦；利用垂径定理求出两条弦的一半长度；结合勾股定理分别计算圆心到两条弦的距离；最后分同侧和异侧两种情况计算两弦的距离． 【详解】 解：过作于，交CD于， ∵ ， ∴ ， 由垂径定理得，， 在中，， 在中，， 当AB与CD在圆心同侧时，距离为（图1）， 当AB与CD在圆心异侧时，距离为（图2），                 故答案为：或14． 13．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，已知的半径为5，弦的长为8，是的延长线上一点，，则等于　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理和垂径定理的应用，过作于,根据垂径定理求出、,根据勾股定理求出,根据勾股定理求出即可，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键， 【详解】 解：过作于,则， ，过， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于　　　　　　． 【答案】H度 【分析】 本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】 解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径所对的角为直角求解即可． 【详解】 解：四边形内接于， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 3．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°，则∠BOD的大小是（        ） A. 50° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】B 【分析】 根据圆内接四边形的性质可求出∠BAD=50°，再根据圆周角定理可求出∠BOD=100°． 【详解】 ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°， ∴∠BAD=180°-∠BCD=50°， ∴∠BOD=2∠BAD=100°． 故选B． 【点睛】 本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 4．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，是的直径，若，，则的长是（       ） A. 4 B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练应用圆周角定理是解此题的关键．根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（        ） A. 50° B. 65° C. 115° D. 130° 【答案】C 【分析】 先根据圆周角定理求出的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质． 6．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，是的直径，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆周角定理可进行求解． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】 本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 7．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】 解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 9．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 题目主要考查垂直平分线的作法，垂径定理的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，确定，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】 解：根据题意得：，故A选项正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在的内接四边形中，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】 解：连接， ， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴．． 故选：C． 11．（25-26学年九上·河北·期中）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】 解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 12．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【分析】 ① 连接，根据作图过程可证得为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；② 根据弦垂直平分半径可得，根据垂径定理可判断；③ 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可判断． 【详解】 解：连接， ∵弦垂直平分半径， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知， ∴， ∴，① 正确； ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知，，，② 正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴，③ 正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键． 13．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，是的直径，，在上，若，则的度数为　　　　　　　　　　　（度）． 【答案】110 【分析】 本题考查了圆的半径性质、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是通过连接辅助线，利用等腰三角形求出相关角的度数，再借助圆内接四边形对角互补推导结果． 连接，由（圆的半径相等）可知为等腰三角形，结合的度数求出；再根据圆内接四边形对角互补的性质，结合与的关系求出． 【详解】 解：连接， ∵的半径）， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·河北·期中）如图，是的外接圆，直径，，则长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查圆周角的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵，是的直径， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； 故答案为． 15．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，为的直径，，则的度数为　　　　　　． 【答案】>度 【分析】 本题主要考查了圆周角定理、垂径定理的推论，熟练掌握“等弧所对的圆周角相等” “等弧所对的弦的垂直平分线过圆心”是解题的关键．先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】 解：∵，为的直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，点在网格线上． （1）线段的长等于　　　　　　　　　　　； （2）以为直径作圆，在线段上有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　　　　　　 【答案】①     ② 解：如图，点P即为所求作的点，满足． 作法：根据圆的对称性，作另一条直径，与相交于O，即为圆心，设线段与竖直格线的交点为点M，连接与相交于点N，作射线与交于点P． 【分析】 本题考查了勾股定理、圆的基本性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及无刻度直尺的网格作图，解题的关键是熟练运用勾股定理计算线段长度，结合无刻度直尺的网格作图特征、中位线定理和全等判定构造满足条件的点． （1）根据网格确定A、C两点横向距离为4、纵向距离为1，运用勾股定理计算线段的长度； （2）借助无刻度直尺和网格特征，先确定与竖直格线交点M即为的中点（相似三角形判定与性质）；根据圆的对称性作另一条直径，与相交于圆心O．连接，利用中位线定理可得平行于且N为中点，直径所对为直角，再通过可证，从而，由此作射线与的交点即为P． 【详解】 （1）解：由勾股定理得，， 故答案为：． （2）略 17．（25-26学年九上·天津和平·期中）已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，求和的大小． 【答案】（1），；     （2），；      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得垂直平分，推出得即可求解； （2）根据，，可推出；是等腰三角形，进而得；结合（1）得，推出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴； 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（25-26学年九上·河北·期中）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的直径为；     （2）．      【分析】 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 (1) 小问详解： 解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 19．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）；     （2）的半径为4      【分析】 此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得； （2）根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理可得方程，再解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 设，则， ∵弦于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中：， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 20．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长度等于　　　　　　； （2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的．　　　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 根据以点A和点B为顶点的90°的圆周角所对的弦是直径，可确定圆的两条直径，它们的交点即是圆心O；连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点M，连接MN交CB于点K，连接KO并延长交于点P，连接AP，则AP即为的平分线． 【分析】 本题主要考查了勾股定理、90°的圆周角所对的弦是直径、垂径定理、等弧所对的圆周角相等，熟记相关定理是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）根据90°的圆周角所对的弦为直径，找到两条直径的交点即为圆心O；根据垂径定理和弧、圆周角的关系即可作出的平分线 ． 【详解】 解：（1）， ∴线段 的长度等于； （2）如图，分别以点A和点B为顶点构造和， ∵， ∴和都是的直径， ∴和的交点O是圆心 O ，即为所要求作的点， 如图，连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点M，连接交于点K，连接并延长交于点P，连接， 通过证明三角形全等易得点M为小正方形一边的中点， ， 易证得， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分 ， ∴点P就是所要求作的点． 21．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知是的直径，，E是上一点，延长交于点D． （1）如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； （2）如图②，当时，求的大小． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等． （1）根据垂径定理，可得，根据三角形内角和即可求出，再根据圆周角定理得出，进而求出的度数； （2）如图②，连接，根据，，可得，则，根据，可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而即可求解； (1) 小问详解： 解：∵是直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图②，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）已知内接于，，，点是上一点． （1）如图①，若为的直径，连接，求和的大小； （2）如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）先利用等腰三角形性质和圆周角定理求出、，再结合直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等求解和． （2）连接，先求出相关圆周角和圆心角的度数，再利用切线性质和直角三角形性质求解． (1) 小问详解： 解：∵ ，， ∴ ， ∵ 为的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； (2) 小问详解： 解：连接，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ 是的切线， ∴ ，即， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质、切线的性质，熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角相等、同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）、切线的性质（切线垂直于过切点的半径）是解题的关键． 23．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在直线上，，则线段的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，圆周角定理，设的中点为，以为直径画圆，连接交交于点，由题意可得，从而可得，结合三角形内角和定理可得，结合圆周角定理可得点在以为直径的半圆上运动，当点运动到与的交点处时，线段有最小值，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图：设的中点为，以为直径画圆，连接交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴点在以为直径的半圆上运动，当点运动到与的交点处时，线段有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，四边形内接于，，的半径为5，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，圆内接四边形的性质，作直径，连接，由圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理可得，，最后解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，作直径，连接， ∵四边形内接于，， ∴， 由圆周角定理可得：，， ∵的半径为5， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点． （1）线段的长为　　　　　　　　　　　； （2）在弧上画点，使，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，则点F即为所求作的点 【分析】 本题考查了作图，勾股定理解三角形，圆周角定理，垂径定理，以及直径所对的圆周角为，解决本题的关键是由直径找到圆的圆心． （1）根据勾股定理求解即可； （2）取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，连接，，则点F即为所求作的点． 【详解】 解：（1）根据勾股定理，线段； 故答案为：； （2）根据网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理得：， 即， ∴、为圆的直径， ∴点O为圆心， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； 如图，取格点D，连接并延长，交圆于点F，连接，，则点F即为所求作的点． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：取格点E、F，连接，，则与圆交于点L，与圆交于点K，连接，，则与交于点O，取与格线的交点N，连接并延长，交与点M，则点M即为所求作的点；取格点D，连接并延长，交圆于点F，则点F即为所求作的点． 26．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，和都为等腰直角三角形，且，，把绕点O逆时针旋转得，旋转角为． （1）如图2，当时，求点的坐标； （2）在绕点O逆时针旋转过程中： ①如图3，当点恰好落在线段上时，求的长； ②设线段与线段的交点为H，求出和面积之和的最大值，并求出此时H点的坐标．（直接写结果） 【答案】（1）     （2）①；②最大值为，H点坐标为      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的直角三角形性质及利用不等式求面积最值，解题的关键是熟练运用旋转性质构造全等三角形，结合几何图形边角关系及最值定理求解． （1）先根据等腰直角三角形性质得，由旋转性质知；作轴构造直角三角形，利用角的直角三角形边角关系求出和，结合象限符号得出坐标； （2）① 先确定的边角性质，利用旋转性质证，得；构造等腰直角三角形和直角三角形，分别求出和，相加得长度； ② 连接，由全等及四点共圆得出和均为直角三角形；利用不等式分别求两个直角三角形的最大面积，相加得总面积最大值，确定此时旋转角及H点坐标． (1) 小问详解： 解：∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴在x轴负半轴，在y轴正半轴； ∵绕O逆时针旋转得， ∴（旋转性质：对应边相等）； 过作轴于点M，此时为直角三角形， 由旋转方向可知：在第三象限，故从x轴负方向逆时针转，与x轴负方向夹角为； 在中，， ∴（含角的直角三角形，对边为斜边一半）， ； ∵在第三象限，横坐标与纵坐标均为负， ∴的坐标为； 故答案为：. (2) 小问详解： ① 解：连接， ∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴； 由旋转性质得：， ∴，即； 在和中， ， ∴， 故，； 过点O作，垂足为N，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ∴； ② 解：连接， 由① 知， ∴， ∴四点共圆，四点共圆， ∴． 设的两条直角边为a与b，则， 由得，， 设的两条直角边为c与d， 则， 由得，， 当旋转角时，，和面积之和最大，此时H点坐标为， 最大值． ∴和面积之和最大值为，此时H点坐标为． 27．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点，均在格点上，顶点是圆与网格线的交点． （1）线段的长为                 ． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心及上的一点，使得，并简要说明圆心和点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）     （2） 如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 【分析】 （1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得：， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为圆上的直线， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接，可得；连接并延长与相交于点， ∴是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（　　） A. 40° B. 45° C. 60° D. 80° 【答案】A 【详解】试题分析：∵弧长，∴圆心角．故选A． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 5大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·天津河东·期中）下列说法正确的是（     ） A. 直径是弦，弦是直径 B. 过圆心的线段是直径 C. 直径只有一条 D. 圆中最长的弦是直径 2．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（       ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 3．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）的半径为6，点P到圆心O的距离为8，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 不能确定 4．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 6．（25-26学年九上·天津河东·期中）如图，在中，弦半径，则的度数为　　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是　　　　　　　　°． 8．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点、点，若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为： （1）如图①，当时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求点的坐标； （3）若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可）． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·河北·期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 2．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，在中，尺规作图的部分作法如下： （1）分别以弦的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点； （2）作直线交于点．    若，则的长等于（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A.  B. 2 C. 2 D. 8 5．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 6．（25-26学年九上·天津河东·期中）如图，交于点是半径，且于点F．    （1）求证：； （2）若，求的半径． 7．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，为直径，为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为，求的长． 10．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）往半径为26的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 11．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）（多选）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 12．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，已知的半径为5，弦的长为8，是的延长线上一点，，则等于　　　　　　　． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于　　　　　　． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°，则∠BOD的大小是（        ） A. 50° B. 100° C. 110° D. 120° 4．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，是的直径，若，，则的长是（       ） A. 4 B. 3 C.  D.  5．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（        ） A. 50° B. 65° C. 115° D. 130° 6．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，是的直径，，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在的内接四边形中，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·河北·期中）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 13．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，是的直径，，在上，若，则的度数为　　　　　　　　　　　（度）． 14．（25-26学年九上·河北·期中）如图，是的外接圆，直径，，则长为　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，为的直径，，则的度数为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，点在网格线上． （1）线段的长等于　　　　　　　　　　　； （2）以为直径作圆，在线段上有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　　　　　　 17．（25-26学年九上·天津和平·期中）已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，求和的大小． 18．（25-26学年九上·河北·期中）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 19．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长度等于　　　　　　； （2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的．　　　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知是的直径，，E是上一点，延长交于点D． （1）如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； （2）如图②，当时，求的大小． 22．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）已知内接于，，，点是上一点． （1）如图①，若为的直径，连接，求和的大小； （2）如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 23．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在直线上，，则线段的最小值为　　　　　　． 24．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，四边形内接于，，的半径为5，则的长为　　　　　　． 25．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点． （1）线段的长为　　　　　　　　　　　； （2）在弧上画点，使，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，和都为等腰直角三角形，且，，把绕点O逆时针旋转得，旋转角为． （1）如图2，当时，求点的坐标； （2）在绕点O逆时针旋转过程中： ①如图3，当点恰好落在线段上时，求的长； ②设线段与线段的交点为H，求出和面积之和的最大值，并求出此时H点的坐标．（直接写结果） 27．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点，均在格点上，顶点是圆与网格线的交点． （1）线段的长为                 ． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心及上的一点，使得，并简要说明圆心和点的位置是如何找到的（不要求证明）． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（　　） A. 40° B. 45° C. 60° D. 80° 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $