2026-2027学年高二上学期数学湘教版期中模拟练习卷

2026年10月22日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由， 则，， 所以数列的周期为4， 又， ，，， 故． 2．在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】通过累加法求得，进而可求解. 【详解】，，， 即，，则有，， 又时，成立， 所以，， 又，，，整理得， 解得或（舍）， 则. 3．已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由递推关系可得数列是首项为、公差为的等差数列，进而可得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 4．已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（     ） A．54 B．162 C．156 D．180 【答案】B 【详解】因为，当时，； 当时，，则，即， 得，所以，，. 5．若数列的各项均为正数，且，都有，则称数列具有“性质”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列具有“性质” B．若，则数列具有“性质” C．具有“性质”的数列的前项和为 D．具有“性质”的数列的前项和为 【答案】C 【分析】对于C选项，根据数学归纳法求出，求出和立方和即可判断C选项，举出反例即可判断A、B和D选项. 【详解】当时，，所以， 因为，解得，当时， 则，因为， 所以，当时，， 所以，猜想，假设当时成立， 此时， 现证明， 当时，左边为，右边为， 成立，当时，左边为，右边为， 也成立，进一步假设当时成立， 即，则当时， 左边变为， 展开整理可得， 与右边一致，故等式对任意成立， 所以时满足条件，当时， 由递推关系代入和得， 即，因为， 所以，所以， 前项和为，且立方和为， 满足，所以C正确； 取，计算时， ，立方和为，故A错误； ，当时，， 立方和为，故B错误； 选项D前项和为， 当时和为，与矛盾，故D错误. 故选：C. 6．已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线l恒过定点P(1，1)，计算PA、PB的斜率，结合直线与线段AB相交的斜率约束求解m的取值范围. 【详解】将整理为， 令，解得，即直线l恒过定点， ， ， 直线l的斜率为，因直线l与线段AB相交，结合几何关系可知斜率需满足或，即或， 分别解不等式得 或 ，故实数m的取值范围是. 7．已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得直线方程为，设， 则， 当时，，即， 化简得，当时方程有解， 即，解得. 8．已知直线，直线，若，则（     ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴由一般方程满足的条件可得，解得. 二、多选题 9．已知数列满足，则（    ） A． B． C．的前项和为 D．的前项和为 【答案】BCD 【分析】先利用与的关系求得的通项公式，可判断B选项，再令，计算可判断A选项，由的通项公式可知是以为首项，公差的等差数列，利用等差数列的前和公式可得,可判断C选项，先求出的通项公式，然后利用分组求和法计算前10项和，可判断D选项. 【详解】对于B，①， 时，②， 两式相减得，整理得， 时，则，满足， 故，，B选项正确. 对于A，时，，A选项错误. 对于C，，， 是以为首项，公差的等差数列， 其前项和，C选项正确. 对于D，， 的前项和 ，D选项正确. 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合等差数列通项公式直接计算公差判断A；结合等差数列的通项公式，前项和公式计算判断BC；根据等比数列定义判断D. 【详解】对于A，已知等差数列，，，设公差为， 所以，，即，解得 所以，数列的公差，故正确； 对于B，数列的通项公式为：，故正确； 对于C，数列的前项和为：，故错误； 对于D，对于数列，因为，所以为公比等于的等比数列，故正确. 11．下列说法中，正确的有（   ） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线必过定点 C．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是 D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求其解即可判断C；举特例判断D． 【详解】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线，化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线方程整理为斜截式， 直线不经过第二象限的充要条件是斜率非负、轴截距非正，即 解得，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在轴，轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 三、填空题 12．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【分析】利用斜率公式求，数形结合确定直线斜率的范围. 【详解】已知，，， ， ， 过点的直线与线段相交，观察图形： 故斜率的取值范围是. 13．已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 【答案】或 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，再建立方程并求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，所以或. 14．若直线与平行，则______． 【答案】或 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 四、解答题 15．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)对递推式两边同时除以， 可得，即， 又首项，因此数列是以1为首项，2为公差的等差数列. (2) 【分析】（1）通过对递推式两边同除以构造差为定值的形式，用等差数列定义完成证明； （2）先借助第一问的结论求出通项，代入目标数列化简后，用等差数列求和公式计算前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，等差数列的通项为， 因此，所以， 所以，即数列是首项为、公差为的等差数列， 故数列的前n项和为. 16．已知数列满足：，，． (1)求，，的值； (2)求证：为等比数列，并求其通项公式； (3)求的和． 【答案】(1)，，； (2)证明： ， 即，又， 所以数列为公比是，首项是的等比数列； 故； (3) 【分析】（1）结合数列的通项公式代入求解即可. （2）求出，结合等比数列的定义及通项公式求解即可. （3）结合（2）求出，根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）由，， 可得，，. （2）略 （3）由（2）可得， 所以． 17．已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用两点坐标求直线斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角； （2）先求出的斜率，结合图像观察直线绕定点旋转时斜率的变化规律，得到斜率取值范围，再结合倾斜角与斜率的对应关系，分段求出倾斜角范围，注意竖直直线倾斜角存在、斜率不存在的特殊情况． 【详解】（1）由已知得直线的斜率，设直线的倾斜角为，其中， 由斜率和倾斜角的关系，得，因此倾斜角． （2）直线的斜率，直线的斜率， 因为过点的直线与过两点的线段有公共点， 结合图像分析：直线绕点从位置逆时针转到位置的过程中， 斜率从趋向负无穷，经过竖直直线（斜率不存在）后从正无穷连续减小到， 所以直线斜率的取值范围为． 设直线倾斜角为，． 当，即，此时倾斜角； 当，即，此时倾斜角； 竖直直线倾斜角为，也满足题意． 综上合并，倾斜角取值范围：． 18．已知直线，，设为坐标原点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求； (2)若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 【答案】(1)或0． (2)4 【分析】（1）分别讨论经过点和不经过点时的情况，求出截距，由截距相等列式求解即可； （2）根据题意求出的坐标，由三角形的面积公式，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】（1）①当经过点时，两坐标轴上的截距均为0，则，解得. ②当不经过点时，． 令，得；令，得， 由题意，得，解得， 综上所述，或0． （2）易知，即，设，， 则，解得． 此时，， 所以． 不妨设，则，， ．    当且仅当，即时取等号，此时． 故面积的最小值为4． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期湘教版高二数学期中模拟练习卷 （考查范围：湘教版选择性必修1第一章～第二章前三节） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 2．在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 4．已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（     ） A．54 B．162 C．156 D．180 5．若数列的各项均为正数，且，都有，则称数列具有“性质”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列具有“性质” B．若，则数列具有“性质” C．具有“性质”的数列的前项和为 D．具有“性质”的数列的前项和为 6．已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线，直线，若，则（     ） A．或 B．或2 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的。全部选对得6分，部分选对按比例得分，选错或不选得0分。 9．已知数列满足，则（    ） A． B． C．的前项和为 D．的前项和为 10．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 11．下列说法中，正确的有（   ） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线必过定点 C．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是 D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 13．已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 14．若直线与平行，则______． 四、解答题：本题共4小题，满分77分。解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。 15．（16分）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和． 16．（25分）已知数列满足：，，． (1)求，，的值； (2)求证：为等比数列，并求其通项公式； (3)求的和． 17．（18分）已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． 18．（18分）已知直线，，设为坐标原点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求； (2)若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $