高二数学上学期期中模拟卷01（范围：直线、圆、圆锥曲线）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第3章。 5．整体难度：适中。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 3．双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 5．地球运行的轨道是长半轴长为 km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最近距离（   ） A． km B． km C． km D． km 6．设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．5 7．已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（    ） A．点关于直线的对称点为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 D．直线经过定点 10．设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （   ） A． B．的面积是 C．直线与以为直径的圆相切 D．是直角三角形 11．已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆与圆的公共弦所在的直线方程为______. 13．椭圆的一个焦点坐标为，短轴长为2，则椭圆的离心率为____________. 14．已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 16．（15分） 已知圆经过和两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 17．（15分） 若椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求的面积； (3)已知点，延长交椭圆于点，求点的坐标． 18．（17分） 已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. (1)若的面积为，求l的斜率； (2)用，表示直线的方程； (3)设的面积为，求的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第3章。 5．整体难度：适中。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 3．双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 5．地球运行的轨道是长半轴长为 km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最近距离（   ） A． km B． km C． km D． km 6．设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．5 7．已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（    ） A．点关于直线的对称点为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 D．直线经过定点 10．设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （   ） A． B．的面积是 C．直线与以为直径的圆相切 D．是直角三角形 11．已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆与圆的公共弦所在的直线方程为______. 13．椭圆的一个焦点坐标为，短轴长为2，则椭圆的离心率为____________. 14．已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 16．（15分） 已知圆经过和两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 17．（15分） 若椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求的面积； (3)已知点，延长交椭圆于点，求点的坐标． 18．（17分） 已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. (1)若的面积为，求l的斜率； (2)用，表示直线的方程； (3)设的面积为，求的最大值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 2．设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式，根据直线与圆相交，推得，再利用两点间距离公式理解点的运动轨迹，即可判断结论. 【详解】因直线与圆相交， 则圆心到的距离，化简得， 即动点的轨迹为以原点为圆心，半径为2的圆的外部（不含圆弧）， 故点在圆的外面. 故选：B. 3．双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积. 【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点， 由，又有，所以． 由，为等腰三角形，则底边上的高， . 故选：B 4．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质，结合充分性、必要性进行判断即可. 【详解】直线与直线平行， 所以且，解得， 所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件， 故选：D 5．地球运行的轨道是长半轴长为 km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最近距离（   ） A． km B． km C． km D． km 【答案】A 【分析】由题意求出，得到，得到答案. 【详解】由题意得，由离心率可得， 所以，则地球到太阳的最近距离为 km. 故选：A 6．设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【详解】由题意知是的中位线，∵，∴，又，∴，故选A. 7．已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线l与圆C相离，可得m的范围，根据点关于直线的对称点的求法，可求得圆心C的对称点的坐标，根据题意，结合弦长公式，计算求解，讨论分析，即可得答案. 【详解】由题意，圆C的圆心为，半径， 因为直线l与圆C相离， 所以圆心C到直线l的距离，即， 解得或， 设圆心C关于直线l的对称点坐标为， 则，解得，即对称点坐标为， 因为关于对称的圆被轴截得的弦长为2， 且对称的圆心到x轴的距离为，对称圆的半径为， 所以，解得，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意. 所以实数的值是. 故选：C 8．已知为坐标原点，椭圆的下顶点为，动点满足，是上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出点的轨迹方程，确定点的轨迹是圆，再结合椭圆的性质，求出圆心到椭圆上的点的最大距离，即可得到的最大值. 【详解】设点，由题意可知. 因为，所以， 将式子展开可得， 即，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 设椭圆上动点，则有，即. 点到圆心的距离 . 对于二次函数，其图象开口向下，对称轴， 所以当时，取到最大值，， 所以. 因为的最大值为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径， 所以的最大值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法中，正确的是（    ） A．点关于直线的对称点为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 D．直线经过定点 【答案】ABD 【分析】通过对称性判断A；将直线与坐标轴的交点求出，利用三角形面积公式即可判断B；注意截距为的直线也符合要求，可判断C；令即可判断D. 【详解】对于A  ，点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直， 所以点关于直线的对称点为，故A正确； 对于B，直线与两坐标轴交于，， 所以围成的三角形面积为，故B正确； 对于C，若直线经过原点，直线在轴和轴上的截距均为，满足题意，此时的直线方程为，故C错误； 对于D，令，解得， 可得直线经过定点，故D正确. 故选：ABD. 10．设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （   ） A． B．的面积是 C．直线与以为直径的圆相切 D．是直角三角形 【答案】BCD 【分析】将直线的方程与抛物线方程联立，求出点、的坐标，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用直线与圆的位置关系可判断C选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线的方程为， 设点、，易知直线的方程为， 对于A选项，联立可得，解得或， 所以，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，设线段的中点为，则，则，， 点到直线的距离为，故直线与以为直径的圆相切，C对； 对于D选项，记点、，则点、， ，，所以，即， 即是直角三角形，D对. 故选：BCD. 11．已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【分析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B； 为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点. 【详解】因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆与圆的公共弦所在的直线方程为______. 【答案】 【分析】将两圆方程作差可得出两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】将两圆方程作差得，即. 故两圆公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 13．椭圆的一个焦点坐标为，短轴长为2，则椭圆的离心率为____________. 【答案】/ 【分析】由题意可求出，然后再求出，最后由离心率公式即可求解. 【详解】由题意可知，，所以，离心率. 故答案为： 14．已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.    【答案】 【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上． 设左焦点为，根据椭圆定义：|AF|+|A|=2a 又∵|BF|=|A|   ∴|AF|+|BF|=2a  ……① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα   ……② |BF|=2ccosα    ……③ 将②③代入①  2csinα+2ccosα=2a ∴，即， ∵， ∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. （2）因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 16．（15分） 已知圆经过和两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设圆心，半径为，根据可求圆心和半径； （2）先求出圆心到直线的距离，再分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论. 【详解】（1）由题意设，圆心，半径为， 则，即， 解得，，即圆心， 故圆的方程为； （2）因弦长，则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则，符合题意； 若直线的斜率存在，则设，即， 则，解得，则， 故直线的方程为或. 17．（15分） 若椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求的面积； (3)已知点，延长交椭圆于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）根据题意得，结合离心率即可求解； （2）根据题意，，解出即可求解； （3）直线的方程为，再联立求解即可． 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的左右焦点分别为，，则， 因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以椭圆的方程是； （2）因为点在椭圆上，， 所以， 因为，所以， 所以，所以的面积为； （3）因为，， 所以直线的方程为，即， 由得， 所以，所以， 所以，所以． 18．（17分） 已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) ① 因为为双曲线右焦点，所以，，， 设过直线的方程为，，， 所以，联立可得， 由韦达定理可得， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 设，所以， 将，，所以， 整理可得 ， 因为， ，所以， 所以， ，解得， 所以点在定直线上. ②或. 【分析】（1）由双曲线的实轴长为，所以，再通过离心率以及即可求解. （2）①设直线的方程为，，，直线与双曲线方程联立，通过韦达定理得到，的关系，求出直线与直线的方程，两式联立求解交点，再根据代入求解即可.②由，得到，再由三点共线，可得到向量共线，即可得到线段比，代入求解即可. 【详解】（1）因为双曲线实轴长为，所以，即， 又因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以双曲线：. （2）①略 ②设，因为在直线，，如图所示： ， 因为，，三点共线，所以，即， ，，所以， 同理，即，，， 所以， 所以，因为， 所以， 所以 ， ，， 因为， 所以， ， 所以， 解得，即，所以直线的方程为或. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，抛物线，直线，且l与C交于P，Q两点.构造点列如下：设的坐标为，直线，与C的另一个交点分别为，，直线与x轴的交点为.设点的坐标为. (1)若的面积为，求l的斜率； (2)用，表示直线的方程； (3)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，再求点到直线的距离，由列方程，由此求得直线的斜率； （2）设直线上的任意一点为，再求，，即可表示出直线的方程，再利用化简即可； （3）联立直线与抛物线方程，求出的坐标，再结合第（2）问化简直线的方程，求出和坐标，再通过构造等比数列求出的通项公式以及利用面积公式求出并化简，最后利用的范围即可求出的最大值. 【详解】（1）设，联立，得， 则， 则 ， 又点到直线的距离， 则， 解得，满足，所以直线的斜率. （2）因，在抛物线上，则， 设直线上的任意一点为， 则，， 则直线的方程为， 则， 则，即， 故直线的方程为. （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，则，同理可得， 则，， 则由（2）可得，直线的方程为， ， 又点到直线的距离为， 则 又直线与轴的交点为，则，则， 因及以上递推关系可知，，则， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 则， 故， 因，则当时，有最大值. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B D A A C C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1) (2) 【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. （2）因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 16．（15分） (1) (2)或. 【分析】（1）设圆心，半径为，根据可求圆心和半径； （2）先求出圆心到直线的距离，再分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论. 【详解】（1）由题意设，圆心，半径为， 则，即， 解得，，即圆心， 故圆的方程为； （2）因弦长，则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则，符合题意； 若直线的斜率存在，则设，即， 则，解得，则， 故直线的方程为或. 17．（15分） (1) (2)9 (3) 【分析】（1）根据题意得，结合离心率即可求解； （2）根据题意，，解出即可求解； （3）直线的方程为，再联立求解即可． 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的左右焦点分别为，，则， 因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以椭圆的方程是； （2）因为点在椭圆上，， 所以， 因为，所以， 所以，所以的面积为； （3）因为，， 所以直线的方程为，即， 由得， 所以，所以， 所以，所以． 18．（17分） (1) (2) ① 因为为双曲线右焦点，所以，，， 设过直线的方程为，，， 所以，联立可得， 由韦达定理可得， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 设，所以， 将，，所以， 整理可得 ， 因为， ，所以， 所以， ，解得， 所以点在定直线上. ②或. 【分析】（1）由双曲线的实轴长为，所以，再通过离心率以及即可求解. （2）①设直线的方程为，，，直线与双曲线方程联立，通过韦达定理得到，的关系，求出直线与直线的方程，两式联立求解交点，再根据代入求解即可.②由，得到，再由三点共线，可得到向量共线，即可得到线段比，代入求解即可. 【详解】（1）因为双曲线实轴长为，所以，即， 又因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以双曲线：. （2）①略 ②设，因为在直线，，如图所示： ， 因为，，三点共线，所以，即， ，，所以， 同理，即，，， 所以， 所以，因为， 所以， 所以 ， ，， 因为， 所以， ， 所以， 解得，即，所以直线的方程为或. 19．（17分） (1) (2) (3) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，再求点到直线的距离，由列方程，由此求得直线的斜率； （2）设直线上的任意一点为，再求，，即可表示出直线的方程，再利用化简即可； （3）联立直线与抛物线方程，求出的坐标，再结合第（2）问化简直线的方程，求出和坐标，再通过构造等比数列求出的通项公式以及利用面积公式求出并化简，最后利用的范围即可求出的最大值. 【详解】（1）设，联立，得， 则， 则 ， 又点到直线的距离， 则， 解得，满足，所以直线的斜率. （2）因，在抛物线上，则， 设直线上的任意一点为， 则，， 则直线的方程为， 则， 则，即， 故直线的方程为. （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，则，同理可得， 则，， 则由（2）可得，直线的方程为， ， 又点到直线的距离为， 则 又直线与轴的交点为，则，则， 因及以上递推关系可知，，则， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 则， 故， 因，则当时，有最大值. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $