专题02 圆锥曲线小题（九大题型）（高效培优期中专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 圆锥曲线小题（九大题型） 考点归纳 考点01圆锥曲线定义型 考点02焦点弦与焦半径型 考点03定比分点 考点04离心率综合 考点05双曲线渐进线型 考点06抛物线中的设点计算型 考点07切线型 考点08切点弦型 考点09轨迹问题 考点专练 考点01圆锥曲线定义型 一、单选题 1.下列说法正确的是 A.若定点E,F满足FE引=8，动点P满足PF+PF=8,则动点P的轨迹是椭圆 B.若定点F,F满足F=9,动点M满足MF+MF=8,则动点M的轨迹是椭圆 C,当1<k<4时，方程4k十白1表示椭圆 D.若动点M的轨迹方程为4+2=山，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为（±2,0） x2,y2 2.己知F,F是椭圆c:9+25=1的两个焦点，点M在Cc上，则MEME的最大值为() A.9 B.12 C.16 D.25 3.已海F:F分别足双面线c:号分1的左、右比点刘无双准线C上点，石W听=8：则M 的值为() A.2 B.16 C.2或14 D.14 1/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.过抛物线y=2px(p>0)的焦点F作直线1，直线1交该抛物线于A,B两点(B在第一象限)，且 BF=V2AF,若直线1的倾斜角为a,则cosa=() A.3-2√2 B.4-15 C.V2-1 D.2-V5 二、多选题 5.细图：月乃是双数G:-号=1与回C:号若-1.0办0的会共点，点4足 C,C2在第一象限的公共点，则() A.a2+b2=4 B.△4FF的内切圆与x轴相切于点(1,0) 5 C.若EE=|E4,则C,的离心率为 3 D.苦A上·期紧四方程为号苦1 6,已知点4，，椭圆c:+上 )+51的左、右焦点分别为F,F:p是C上的动点，则() A.C的离心率为3 B.AF+AF <6 C,△PFF可能为直角三角形 D.PA+PF<6+V2 7.已知双曲线C:? :4=1b>0)的左、右焦点分别为F,B,FE=4W3,点p为C的右支上任意一点， 点M(V5,23),则() A.b2=2V2 2/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.双曲线C的渐近线方程为y=±V2x C.过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有3条 D.PM+PF的最小值为5+4 8.已知函数f(x)=V2x-18xr2+12x+68+x2-x+1,则() A.f(x)的最小值为8 B.f(x)的最小值为9 C.f(x)有2个最小值点 D.f(x)仅有1个最小值点 三、填空题 x2.y2 9.已知p为椭圆c:京+存=1(a>b>0)上一点，F,5分别为C的左、右焦点，4：4分别为c的 左、右顶点，B为C的上顶点.若PF作3PF,A4·AB=18,则PRHPF.的值为一 10.设F,E,是椭圆49+24=1的两个焦点，p是椭圆上的点，且1 PRHPE4:3,则△FPF的面积为 考点02焦点弦与焦半径型 一、单选题 國。+上一点φ到遐椭的一个焦点的距离为6，则点p到另一个焦点的距离 A.2 B.3 C.4 D.5 2.己知椭圆c:4+3=l,F是右焦点.设p为椭圆上任意一点，以PF为直径的圆记为E:则E恒 与下列哪个圆相切() A.x2+y2=1 B.x2+y2=3 C.x2+y2=4 D.x2+y2=5 E已题是C5上点，尼20B20若P42PBp过直作PR垂我 垂足为H,则|AHF() A.2V5 B.3v2 C.4 D.V15 4.已知椭圆C:三+兰=1>m≥0)的两焦点分别为F,F,P是C上任意一点，则PRPE的最大值 m n () A.只与m有关 B.只与n有关 3/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.与m和n都有关 D.与m,n都无关 5记F0,点p在稀圆号+发上，点O在胸r+16上，则PFP四的录大值为（了 A.1 B.2 C.3 D.4 x2 6.设椭圆。+京=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,斜率为正的直线，经过R且与椭圆相交于p, Q两点，若PO=PF引，lOF=2PF=5.则点P的坐标为() 7.设抛物线C:y2=8x的焦点为F,斜率不为1的直线1过点A(4,2),过点F作直线1的垂线，垂足为 H,P是抛物线C上的一个动点，则PF+PH的最小值为() 13 11 A.2 B.2 C.6-2 D.5-2 二、多选题 8A,分别为福国C号+号=1和双肩线C 3=1上的点，F(2,0),P(2,1),则() A.PA+AF≥6+V17 B.PA+AF≤6+I7 C.PB+BF≥V17-2 D.PB+BF≤V17-2 三、填空题 9.已知6为桶圆C号+广=1的右焦点，p为c上一点，Q为国M:f+0-引=1止点，则 PO+PF的最大值为一， 10在双线5若-1的-支上有不阴的三点，小o小c,小A与点F@浅起 AF+CF=2BF,则+的值为 考点03定比分点 一、单选题 x2 y2 1.已知双曲线c:京京=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为R,F,过R的直线与c的左支交于AB 两点，AF:BF:BE引=1：4：6，则C的离心率为() 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.65 C.10 0 5 p.2 2己知椭圆C: +方=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、B,过F且斜率不为0的直线与椭圆C交于 MN两点，若2Sws=5SN5,且∠FFN=∠F,N5,则椭圆C的离心率为（) A司 3 c 0.5 3.椭圆C:京+F1（a>b>0)的左右焦点分别为R,F,p是C上一点且∠RP5=60:,是 △PF5内心，连接PI的直线交x轴于M.若FM=3ME,则该椭圆的离心率为() A. 83 2 3 4 .2 4.已知万，5分别是椭圆C:￡+广 。+存=1(a>b>0)的左，右焦点，过点乃的直线与椭圆c交于点A'与y轴 交于点g若0os∠4B-日所-2，则耀圆c的离心率。（） A 8② c.4 2 7 5己知椭圆C:女 y +=1(a>h>0)的焦点分别为R,F,过F的直线与椭圆c交于p'Q两点，若 PF=3l№F,Pg=QF,则椭圆C的离心率为() 0.0 5 x2.y2 6.如图，点F,,分别是椭圆c:a京+存=1(a>b>0)的左、右焦点，过F的直线交椭圆c于AB两点， 副F4非21F8,∠R=,则C的离心率为() 0 F 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 A.5 5 c.9 .3 x2 亿卫知话圆。十@>h>0的一条弦所在的直线方程是2x一y490:弦的中点坐标是M4, 椭圆的离心率是() A.月 √2 B.2 C. 5 5 2 D.5 二、填空题 y2,x2 8.已知F、F为椭圆京+存1(a>b>0)的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于pQ两点且p~Q 不与椭圆长轴顶点重合，若Pg=FF引，四边形PFQF,的面积为8，则b= x2,y2 9.己知F,F分别是椭圆c:京+F=1（a>b>0)的左、右焦点，p是c上-点，若P5小Pg( s2),且2 3,则c的离心率的取值范围为。 10.过抛物线C:y=4x的焦点F作直线I交抛物线C于A、B两点，以A、B两点为切点作抛物线的切 PA 线，两条切线交于 p·当P =2时，直线，的方程为 考点04离心率综合 一、单选题 1已知椭圆C:+ +F1（a>b>0)的左、右焦点分别为E(-c,0,E(c,0).若椭圆C上存在点卫， 9 使得△P℉E,的外接圆半径是其内切圆半径的4倍，则椭圆的离心率的取值范围是() 33 乳 2,古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆C: ，2 Fa+京=1(a>b>0)的-个焦点F 发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线I垂直于 ∠FPF的平分线.若坐标原点o到切线，的距离为2，且PRPE=ab,则c的离心率为() V15 .4 C. √7 A 4 D.8 6/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2,y2 3.已知R,R是椭圆。+=1(a>b>0)的左、右焦点，p是椭圆上任意一点，过点F引∠FP5,的外角 平分线的垂线，垂足为Q,且点Q与短轴项点的最短距离为2，则椭圆的离心率为() 2 5 4 A. B.4 c.5 D.6 标原点为)：椭圆E+,@>b>0】的左，石焦点分别为上.E:线段O5的垂直平 在第一象限交于点M,M交y轴于点N若NE1M,则E的离心率的平方为() A.7-210 B.15-102 35-20W3 4 4 4 D.7-35 x2 y2 5.设FB分别为双曲线c:京厅1（a>0:b>0)的左、右焦点，4为双曲线的左顶点，以F5 为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为M,且满足∠MAE,=30°，则该双曲线的离心率为() v19 A. 8.V20 C②1 3 3 3 。 二、多选题 6.已知行5足相国C:号+分1的两个生点，这的直战与描圆交于A”B两点·0为标限点 则下列说法正确的是( 3 A.椭圆c的离心率为5 B.存在点A使得AE⊥AF C.若AE+BF=8,则lAB=12 D.△AEF2面积的最大值为12 三、填空题 x2,y2 7.已知椭圆C:+左=1(>b>0)的右焦点为F(c,0),左、右顶点分别为AB'点M是C上第一象 MA 限内的一点，w与到直线x的距离比是且BA:2AR则 x2y2 8.在平面直角坐标系x0y中，若椭圆c:+京=1（a>b>0)上存在两点A?B'使得0A1OB'且 7/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1O4=V2OB,则C的离心率的取值范围是 9.已知函数y= x+x,x∈(-0,0U(0,+∞)的图象是双曲线，那么这个双曲线的离心率是 3 x2 y2 10.已知双曲线京京=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A'B'F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线 I交双曲线于M,N两点，P为直线I上一点，当∠APB最大时，点P恰好在M或N处，则该双曲线的离 心率为 考点05双曲线渐进线型 一、单选题 1.已知双曲线c:。左=1(a>0>0)的新近线方程为y=± x2 y2 6x,A'B分别为c的左、右顶点，P cos2f+2-() 为C上位于第一象限的动点，设∠PBA=B,∠APB=y,则cOs7 A.7 B.7 ≥ c. J D.6 2.己知曲线C:x+y=1+y,则下列关于曲线C的说法中错误的是() A.曲线C关于坐标轴和原点对称 B.曲线C关于等轴双曲线的渐近线对称 C.曲线C上不存在两点横坐标之和大于2 D.曲线C上不存在点在以原点为圆心，√2为半径的圆外 x2 y2 3.已知双曲线C:a~6=1（a>b>0)的实轴长为2，且两条渐近线夹角为60°，则该双曲线的焦距 为() 4V5 .8v3 3 6.8 4v3 C.4或 D.8或3 x2y2 4。已知圆锥曲线C2m>0)和C「以 一十 :8m=1(m>0)均经过点(3,1），则C的焦点与C,的渐近线 之间的距离为() A.2N2-2 B.2 C.2v2 D.2W2+2 x2y2 5.己知双曲线。一=1（a>0:b>0)的两条渐近线夹角为60，离心率∈(1,2)，则该双曲线的标准 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程可能是()· A. 1 1 412 6.x2-y2 4 c号若1 x2 y2 0.93 =1 二、多选题 6.已知点A,B分别为双曲线T:-y2=22(几>0)的左，右顶点，点P为T上异于A,B的动点， 直线PA,PB与'轴的两个交点分别为C,D,下列结论正确的是() A.双曲线「的渐近线方程为y=±x B.直线PA,PB的斜率之积为I C.△PAD是直角三角形 D.CD的取值范围是(，+o) 已F,E为双曲线：？一y>0)的两个焦点，p为C上任意一点，则下列说法正确的 () A.PFI-PF=2V3 B,C的渐近线方程为y=± 3 2W5 c.c的离心率为 D.若=1'则P所+P≥25 三、填空题 x2 y2 8.已知双曲线，~示=1（a>0'b>0),0为坐标原点，F为右焦点，过右焦点F作倾斜角为135的 直线与双自线在第一象展的近线及，转分列校于点WN·且满足N,Q山，剥凌双由线的病 心率为 知6为双曲线C:名6>0的上焦点，以E为圆心，0为半径的圆与双曲线C的一爱 线交于A,B两点.若OB=4OA(O为坐标原点)，则△FAB的面积为 2 3 1 10.已知抛物线y=2xp>0)与双曲线。-少= ≤a< 2 在第四象限的交点为G(,)点G到抛 物线的准线的距离d=P}十口，则当p取得最小伯时，抛物线的焦点6到风曲线的渐近线的距离为 考点06抛物线中的设点计算型 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.已知椭圆C:+y :京+F=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,R,离心率e=2,且过点M(2,3),则aMR5 的周长为() A.8 B.10 C.12 D.14 之已知腊圈c:+方1(a>0:方>0的左右焦点分别为厅，5：离心年e= x2,y2 ,且椭圆过点 过点5的直线，与椭园c交于Ag两点（A在，轴上方)，且满足派=2B,则RAB的 面积为() 5v14 5v14 c.3i4 3W14 D 4 8 4 8 3.已知0为坐标原点，点A'B'p 11 Q)部在椭回c:三+茶=1a>60上，书+丽-20 且直线PA'PB的斜率之积为4，则c的长轴长是（） 5 A.5 B.25 c.5 p.2 圆C:X+>6>O的焦距为4，上顶点为4点P.O均在c上且关于釉对称 3 AP,AQ的斜率之积为4，则c的方程为() B.128 c后 0.2016 2.y2 5.己知椭圆 +=1(a>b>0)的右项点为A,M,N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A),直 1 线AM,AW的斜率之积为4，则椭圆的离心率为() B.2 1 C.4 6,已知0为坐标限点，直线与稀圆E若+长=16>6>0交于4B两点，OH148:垂足为H若 10/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 OA⊥OB'( H=V2,则京+京的值为() A B.2 D.2 已知椭圆。+二=1，直线v=你(0)与椭圆交于A,B两点，E,E分别为椭圆的左、右两 焦点，直线AF与椭圆交于另一个点D,则直线AD与BD的斜率乘积为() 4 A.-9 5 B.-9 C.-3 3 0.-3 9 8,己知双曲线C:Xy 3 日-1Q>0,b>0,左、右焦点分别为K,、过5的直线的斜率为号，直线1 PR 交双曲线右支于点R点p在双曲线左支上，且R5⊥RP:若双曲线离心率e=V5:则比值R阿为( 2 A 3 B 2 C.1 D.3 9。已知y是双自线C:号广=1的图象上一点，ⅡM位丁第象限过M向该双曲线的两条清近找作垂 线，垂足分别为A,B,若M4+MB=2,则AB=() A. 3 2 c.4 2 11 10.直线，过抛物线C:y=4x的焦点F,交抛物线c于A'B两点，则ABF的取值范围为（） 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.{码 B.(0,1] C.1,+o) 别 考点07切线型 一、单选题 )+兰=1上的点4亿，-)作辅圆的切线L,则过4点且与直线垂直的直线方程为（） x 1.过椭圆124 A.x-y-3=0 B.x+y-2=0 C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0 2.已知实数x,y满足xx+山，则5x+y-81的取值范国是《） 3 A.[8-6,8) 8.46 C.8-6,6) 0a-°g 3.简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭 x2,y2 圆，由外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD·设内层椭圆方程为。+行-1a>b>0),则外层椭圆方 程可设为ma+mah>0m>》.若直线4C与BD的斜率之积为名，则稀圆的离心率为 () B D A A. 4 C.v6 4 x 4.已知椭圆。+，上任意一息G处的切线方程为+1过点P2作椭圆c3 a2 b2 号号-1的内系切线与C分别相切于B内点，设0为坐标京点则，O4B外接质前方纪为()） A.x+y2-2x-6=0 8.+y2-5x-2y=0 6 12/18 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C+-3=0 D.2+y2-4」 x-3y=0 5 5.过点P(←-1,0)向曲线C:y=±)4r-2 2 (为正整数)引斜率为飞，（飞，>0)的切线1n,切点为 P(xn,yn),则下列结论正确的是（) n 2025 A.kn=- B >In x,In 2026 √2n+1 i=l C.数列 的前n项和为。 D.2y >1 .=n+n +x. 6.已知点A,B在曲线C:x-y=1(x>0)上，以点A,B为切点的关于曲线C的切线交于点P(P在第一 象限），作PH1AB垂足为L,0为坐标原点若B丽-3且∠PH 4,则直线OP的斜率为() A2-1 8.3-1 2 2 C.2-1 D.5-1 已知E,E分别是双曲线C:2-=I@>0,b>0)的左、右焦点，双曲线。右支上任意一点p处 线为1，过E作切线I的垂线，垂足为M,O为坐标原点，若OM=b,则双曲线C的离心率为() 5 A.2 B.2 C.5 D.2 8.己知抛物线C:x=4y的焦点为F,点P在C上，过点P作C在该点处的切线的垂线，交直线y=1于 点0.若Pg=22,则PF=() A.4 B.3 C.2 D.1 9.已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,准线为1.过点F作直线交C于A,B两点，分别过A, B作C的切线，两切线交于点M.若MF<V2p,则直线AB的斜率的取值范围是() A.（-o,-V5U(5,+∞ B.（-o,-1)U(1,+0) c.（5,v5 D.（-1,1) 二、填空题 0知闲，效号苦上点p作特版的切戏分到交于点人P2·则P四一字 13/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PK)在痛回后+长=0)上，则p处的切线方程为答+学-1) B 考点08切点弦型 一、单选题 1,已知椭圆C:+1a>0,b>0,a≠b)的上顶点，左顶点，下顶点，右项点分别是4B.CD’直线 AB,BCCD,D4均与椭圆C,:x+一=1相切，则菱形4BCD周长的取值范围是() 4 A.4V5,+0） B.[16,+oo) c.[85,+o） D.[12,+o) 2.如图。在平面直角华标系中，已知与双击线C:善号1的新近线不平行的直线，与C有且仅有 PAiPBl=() 个公共点T(4,3沙直线1,0r且与C交于A,B两点，1与2，交于点B则P7 A .6 25 C.1 0.24 二、多选题 3。己知0为坐标原点，椭圆E:+广 1 :京+F=1a>b>0)的焦点分别为F(-1,0),FL,0),且离心率e=2 P为E上一动点，过P作E的切线I,过F,分别作I的垂线，垂足分别为A,B,则() A.a=4,b=3 B.O4OB =4 C.PF-PF2∈[2,3] D.AFBF=3 三、填空题 14/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4,在平面直角坐标系O中，椭圆C子+@>6>0的上下两顶点分别为4小B'右集点为F:。 为坐标原点，直线BF与椭圆C交于另一点P若过A,O,P三点的圆在点P处的切线与y轴平行，则椭 圆的离心率为 5.如园，0为标尽点，5,5为椭圆C:号+广=1的两个焦点，过F,片分别作箱圆C的切线的垂线， 垂足分别为H,H,.当OH11OH2时，△OH,的面积为 √2 6在乎面直角坐标O中，已知椭圆C:二+@>6>0的离心率为，·左、右焦点分别为E,月 点P(2,V2)为C上一点，记C在点P处的切线1，过点F作1⊥1于点M,则PM的长为一 7,已知锅质C:手+号1，F5分别足新丽c的左、右焦点，点p足排圆C上的任意-一点，记，为p 在椭圆C上的切线，过作直线FH11,垂足为H,则△HE面积的最大值为 8,设么B为双曲线m:兰兰 行厅=1与实轴的交点，PQ,1)为双曲线外一点，PMPB分别交双曲线于另一 个点一，过一的切线相交于。若公OCD是一个正三角形，且面积为27，则 则双曲线W的方程 为一 9,已知F:5分别为双曲线C:上 :45=1的左、右焦点，过点B的直线，与双曲线C的右支 交于不同的两点A,B.若双曲线C在A,B两点处的切线相交于点P,直线MP/Ix轴与双曲线 MP C的右支交于点 M' 则 的最小值为。 四、解答题 10,如图所示，已知椭圆C:+ :京+F=1(a>h>0)及上面一点M(,),求曲线C在点M处的切线方程 15/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y F F M 考点09轨迹问题 一、单选题 1.已知圆C:(x-3}+y-5}=36,AB是圆C的一条动弦，AB=6N5,则AB的中点M的轨迹方程为 () A.(x-3)2+y-5)2=3 B.(x-3)2+0y-5)2=9 C.(x+3)2+y+5)2=36 D.(x+3)2+(y+5)2=9 x2 2.椭圆4+y=1,直线y=x+m与椭圆交于么B两点，则() A.-5<m<V5 1 B.4B中点轨迹为y=-4 C者0110g:则m2=16 Γ5 D.AB最大值为2 3.已知点Q是椭圆E:4+y=1上的动点，点p满足gP=cosa,cos):其中cos°a+cos'B=1记点 P的轨迹形成的区域为Q,则2边界上的点到直线1：V3x+y-8=0的距离的最大值为() A.4+3 8.5-3 2 C.5+3 2 0.6+3 2 4.已知点P(xy)满足方程Vx+2+y2+Vx-2+y=8,A(2,0),设点P的轨迹为曲线C,过原点的 直线与曲线C交于M,N两点，则△MAN面积的最大值为() A.43 B.4 C.85 D.8 5.已知△ABC中，A=60°，△ABC的面积为3W5,P为BC中点，则点P的轨迹为()的一部分， 16/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 6.已知A(-7,0),B7,0),若BC-AC上10，则点C的轨迹方程为() A526 x_y=1x25) B.2524 c5-s26 o.云s 7.平面上有一条固定的线段AB和一条动直线I,I⊥AB且与AB无公共点.点P∈I且使得∠APB最大， 则P的轨迹落在() A.双曲线，其焦点在直线AB上 B.双曲线，其焦点在直线AB的中垂线上 C,两条抛物线，其焦点在直线AB上 D.两条抛物线，其焦点在直线AB的中垂线上 8.己知M是圆x2+y=1上的一动点，点M在y轴上的投影为点N,若NM=2MP,则点P的轨迹方程 为() A+ 4x2 4 9+y2=1 C. -+x2=1 9.己知A(-m,O),B(m,O),m>0,连接动点P与A、B形成的直线斜率记为k4P、k即，且满足 kAP+kP=2.设点P的轨迹为曲线C.有以下命题： ①曲线C关于原点中心对称： ②曲线C与直线y=x+1恒有交点： ③曲线C上的点到原点的距离的最小值为2m; ④存在直线与曲线C有且仅有一个交点. 其中正确的命题序号为() A.①② B.①③ C.①④ D.③④ PA 1 10.己知在平面直角坐标系xO中，4(-1,0)B(2,0)·点p满足P82,设点p所构成的曲线为c: 下列结论不正确的是() A.C的方程为(x+2)+y2=4 B.在C上存在点D,使得D到点(L,)的距离为3 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.在C上不存在点M,使得MO=2MA D.C上的点到直线3x-4y-13=0的最小距离为1 18/18 专题02 圆锥曲线小题（九大题型） 考点01 圆锥曲线定义型 考点02 焦点弦与焦半径型 考点03 定比分点 考点04 离心率综合 考点05 双曲线渐进线型 考点06 抛物线中的设点计算型 考点07 切线型 考点08 切点弦型 考点09 轨迹问题 考点01 圆锥曲线定义型 一、单选题 1．下列说法正确的是 A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】D 【详解】平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹是椭圆， 对于A，； 对于B，，故AB均错； 对于C，方程表示椭圆，则有，故C错误； 若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且，，故焦点坐标为，故D正确. 2．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上， ，即， 根据椭圆的定义，点在椭圆上，有， 设，则，， 由基本不等式，代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 3．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 【答案】D 【详解】双曲线：，则， 由双曲线定义可知，解得或， 因为，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以. 4．过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为准线方程为， 过点分别作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义：抛物线上任一点到焦点距离等于到准线距离， ， 设直线的倾斜角为， ，， ，， ，， 由题意得，，代入得：， ，两边约去：， ，，， ， 故. 二、多选题 5．如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，根据双曲线求得焦点坐标及焦距，根据椭圆的标准方程判断即可；对于B，根据切线长定理及双曲线、椭圆的定义求解即可；对于C，根据椭圆的定义求出，进而求离心率即可；对于D，根据双曲线、椭圆的定义及完全平方公式求解即可. 【详解】对于A，双曲线：，，所以，则. 故焦点，.则，A错误. 对于B，设的内切圆切轴于点，切于点，切于点. 则，，， 由双曲线定义得， （*）， 又，，代入（*）解得，故切点为，B正确. 对于C，若，则. 双曲线：，所以. 椭圆：，则，所以. 故椭圆的离心率为，C错误. 对于D，若，则. 又，则， 所以，则， 即，则，， 故椭圆方程为，D正确. 6．已知点，椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（    ） A．的离心率为 B． C．可能为直角三角形 D． 【答案】ABC 【分析】根据离心率公式计算可判断A；求出焦点坐标，利用两点间的距离公式求解可判断B；结合椭圆的定义及勾股定理可判断C；结合椭圆定义，利用数形结合法，根据三角形的两边关系列式求解可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，所以，所以， ， 所以，故B正确； 对于C：当或时，为直角三角形，故C正确； 对于D：，故D错误. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（ ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】由焦距求出半焦距，利用双曲线中求解参数，即可得到渐近线方程，判断A、B；再结合直线与双曲线仅有一个公共点的两类情况（与双曲线相切、与渐近线平行），结合点的位置判断C；最后利用双曲线的定义转化所求距离和，结合两点之间线段最短求最值，判断D. 【详解】由知，半焦距，则，故A错误； 双曲线的渐近线方程为，故B正确； C：易知不在双曲线及其渐近线上， 当过的直线与双曲线相切时，两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过的直线与渐近线平行时，两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； D：，， 因为在双曲线渐近线的上方， 则， 当且仅当在线段上时，取得等号，故D正确. 8．已知函数，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有2个最小值点 D．仅有1个最小值点 【答案】BC 【分析】先将表达式转化为几何距离，即抛物线上点到的距离与到直线的距离之和的倍，从而求出的最小值. 【详解】， 的几何意义为： 抛物线上点到的距离与到直线的距离之和， 如图：显然当时距离之和最小，最小值为， 这样的有两个，故最小值为， 即的最小值为9. 三、填空题 9．已知为椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据椭圆性质写出顶点坐标，算出向量，由，求出；由椭圆的定义可知椭圆上任意一点满足，结合条件求解即可． 【详解】由椭圆性质可知，，，则，， 所以，解得， 联立，解得，所以． 10．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为______. 【答案】 【分析】由椭圆的定义有，结合可得，，又，则三角形面积可求. 【详解】由椭圆，有. 由椭圆的定义有，又， 所以，，又. 在中，， 所以为直角三角形， 的面积为 . 考点02 焦点弦与焦半径型 一、单选题 1．已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由椭圆，得， 而椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6， 则点到另一个焦点的距离为. 2．已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标计算，求出以为直径的圆的圆心和半径，发现以为直径的圆的圆心到原点的距离与半径之和为定值2，从而可以判断其与圆内切. 【详解】设，显然，右焦点，记左焦点为， 则， 则圆的圆心 ，半径， 此时 ， 即，因此圆与以原点为圆心、半径为 的圆内切， 因此恒与圆相切(内切). 3．已知是曲线上一点，点，若，过点作的垂线，垂足为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将曲线的方程变形为，再结合椭圆的定义可得是一个等腰三角形，从而可求其底边上的高. 【详解】由，得，则为椭圆的右半部分． 椭圆的长半轴，短半轴分别为，所以椭圆的半焦距为. 所以分别为该椭圆的左、右焦点，所以， 又因为，所以，又因， 由题意，是等腰三角形底边上的高， 故． 4．已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 【答案】B 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，且， 则，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值只与有关. 5．记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】记，由椭圆第一定义得， 在中，有（当且仅当，，共线且在线段上时取等号）， 圆的圆心，半径，则, . 6．设椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，若，.则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、两点间距离公式进行求解即可. 【详解】， 因为，所以， 由椭圆的定义，， ， 因为，又因为斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点， 所以点是椭圆的上顶点，且点在第三象限，设坐标为， 由余弦定理可知： ， ， 所以， 因此椭圆的方程为， 因为点在该椭圆上，所以， 因为，， 所以， ，代入中， 得， 解得，或舍去， 把代入中，得，或舍去， 所以点的坐标为. 故选：D    7．设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为. 直线过定点，且，即. 根据直角三角形的性质可得直角顶点的轨迹是以线段为直径的圆（除外）， 圆心为中点，半径. 根据抛物线的定义可得抛物线上任意动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即（为到直线的距离）. . 根据几何性质，对固定的，的最小值是到上述圆心的距离减去半径； 所以， 又的最小值是圆心到准线的距离，圆心到准线的距离为， 因此的最小值为. 二、多选题 8．分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 三、填空题 9．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【答案】 【详解】由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则. 10．在双曲线的一支上有不同的三点，，，且与焦点满足，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意，由双曲线第二定义，可得，，，再结合即可求解. 【详解】已知双曲线方程，则，，， 根据双曲线的第二定义得，即， 同理，，， 因为，所以，解得． 考点03 定比分点 一、单选题 1．已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线定义求出各线段长度，借助公共角的余弦值相等建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】因为点在双曲线的左支上，故， 设，由得，， 代入得，即， 因此，，， 又点A在双曲线C的左支上，则，解得， ， 在中，由余弦定理，， 在中，， 由两式相等得，化简得：， 即，整理得，即， 因此离心率. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积比得到线段比例关系，结合等腰三角形性质和椭圆定义，利用余弦定理建立的关系求解离心率即可. 【详解】由，得. 因在线段上，，所以. 由，得. 根据椭圆定义，，故， 因此； 则. 因共线，，故. 在等腰中由余弦定理得： . 在中由余弦定理： . 即. 整理得，即，解得或. 又，所以. 3．椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心，是的角平分线，. 又，. 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，. ，，. 由椭圆的定义得，，，. 在中，由余弦定理得, ，化简得. 该椭圆的离心率为. 4．已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量条件得到线段长度比例，设，结合椭圆定义写出，再在中使用余弦定理，求解关于的表达式；接着在中由余弦定理求出，再对再次使用余弦定理，建立关系式，进而求出离心率. 【详解】依题意，设，则. 在中，， 化简，得，故，或（舍去）. ， ， 在中，， 整理得. 5．已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为. 6．如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义写出各焦半径，用勾股定理求出m与a的关系，进而得到a,c关系式求出离心率. 【详解】 连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率. 7．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法可得出的值，再利用求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 二、填空题 8．已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 【答案】 【分析】根据对称可得四边形为矩形，进而根据垂直关系以及椭圆定义求解，利用面积为即可求解. 【详解】由于，且、在原点处互相平分，因此四边形为矩形， 因此，即， 又，因此，故， 又四边形的面积为，因此，故，即. 9．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，则，由椭圆定义可得即，由余弦定理可得，两式相除可得，再根据对勾函数的性质可得的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围. 【详解】设，由椭圆定义可得， 设，则，所以，即， 因为，所以， 即， 两式相除得：， 所以，因为，所以， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以、两点为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．当时，直线的方程为__________． 【答案】或 【分析】设的方程为，，，利用切线方程联立即可求出，根据弦长公式求、，再根据，将代入即可求出结果. 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 若直线的斜率为，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾， 所以可设的方程为，、， 联立，化简可得， 方程的判别式，故， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立，化简可得， 由已知方程的判别式， 所以，即，所以， 抛物线在点处的切线方程为， 同理可得，抛物线在点处的切线方程为， 联立，即点. 根据弦长公式可得， 同理可得：， 所以， 又因为，所以解得，所以， 当时，，此时，直线的方程为， 当时，，此时，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 考点04 离心率综合 一、单选题 1．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由正弦定理表示出的外接圆半径，由三角形面积公式、余弦定理、正弦面积公式表示出的内切圆半径， 根据同时结合倍角公式化简整理得到，再根据范围得到的最大值，即可列不等式求解. 【详解】设，的外接圆半径和内切圆半径分别为，, 由椭圆定义得； 由正弦定理， 由得， 由正弦面积公式得，所以 在中，由余弦定理得， 即， 所以，代入得； 又，即，则， 又因为，代入上式得 ， 又因为当为椭圆的上下顶点时，取最大值，即取最大值，所以此时取最大值， ，因此； 所以， 因为，所以，不等式整理得，解得. 2．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆光学性质以及梯形中位线定理确定焦点三角形中的大小，结合椭圆定义与余弦定理建立的等量关系，最终求出椭圆离心率. 【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则. 设，则，所以根据椭圆光学性质， 点处切线与、的夹角均为，即. 过点作，过点作，过点作，则， 点、到切线的距离分别为， . 因为为的中点，，由梯形中位线性质得， 原点到切线的距离为：. 由题知，解得，即，故. 在中，由余弦定理得： ， 结合椭圆定义，将右边变形为： ， 代入，，得，整理得，即. 椭圆离心率. 3．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过点引的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交的延长线于点，连接， 由题意知:， 所以，则点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以，则. 4．记坐标原点为，椭圆的左，右焦点分别为，线段的垂直平分线与在第一象限交于点交轴于点.若，则的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由垂直平分线确定的横坐标，利用与焦点对称性判定为等腰直角三角形，求出坐标；再代入椭圆方程，整理得到离心率的方程，结合离心率范围取舍根，求得结果即可. 【详解】∵，∴， 又∵在轴上，关于轴对称， ∴，为等腰直角三角形， 设的半焦距为，则， 设，由，得，即， 设的离心率为，则， ， 由得 . 5．设、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的坐标，再利用余弦定理求出之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意得圆的方程为，由题意得双曲线的渐近线为． 由解得或， 因为点在第一象限，所以. 又，所以， 在中，，由余弦定理得， 即，化简得， 所以，则离心率. 二、多选题 6．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为 【答案】BD 【分析】A：由椭圆方程求得，，即可求解离心率；B：根据垂直条件得向量数量积为0，与椭圆方程联立，求得得纵坐标在椭圆取值区间内，即可判断；C：结合椭圆定义计算得到，结合椭圆焦点弦的最大值为长轴长，即可判断；D：焦点三角形以为底，高为点横坐标的绝对值，根据椭圆点的坐标范围可算出面积最值. 【详解】由椭圆，可知焦点在轴上，，，， 焦点，. 选项A：椭圆离心率，A错误； 选项B：设，则，， 若，则，又在椭圆上， 即，联立解得，满足， 故存在满足条件的点，B正确； 选项C：根据椭圆定义，，， 两式相加得，即， 由，可得， 同时过焦点的弦的最大值为，所以不可能等于12，C错误； 选项D：的底，高为点横坐标的绝对值，最大值为， 故面积最大值为，D正确. 三、填空题 7．已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，点是上第一象限内的一点，与到直线的距离比是，且，则__________． 【答案】 【分析】与到准线的距离之比就是离心率，由第二定义直接读出，从而定出与的关系；剩下的核心是把翻译成斜率方程，其中利用椭圆的第三定义简化计算，解出直线的斜率即可算比值. 【详解】设点，则. 则与到直线的距离比为. 不妨设椭圆：，则. 又， 由得，代入，化简得. . 8．在平面直角坐标系中，若椭圆：（）上存在两点，，使得，且，则的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据椭圆性质得到范围，再根据得到范围即可求离心率范围. 【详解】由椭圆的性质可知，椭圆上点到原点的最大距离为，最小距离为，所以； 因为若椭圆上存在两点，，使得，且， 所以有解，即，所以，即； 所以离心率，当为椭圆左右顶点，为椭圆上下顶点时取等； 又因为，所以. 9．已知函数，的图象是双曲线，那么这个双曲线的离心率是________． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得双曲线的渐近线方程分别为和即可求双曲线的离心率.. 【详解】 函数为双勾函数，且其渐近线为直线及直线， 直线的倾斜角为. 由题设，该图象为双曲线，故其实轴与渐近线的夹角为， 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则， 故离心率为. 10．已知双曲线的左右顶点分别为，，为右焦点，过且垂直于轴的直线交双曲线于，两点，为直线上一点，当最大时，点恰好在或处，则该双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】先求出最大时点坐标，而此坐标与点或点重合，可求得与的数量关系，进而求得离心率. 【详解】设双曲线的右焦点，则过点且垂直于轴的直线， 直线与双曲线相交，即，解得，不妨设，， 点在直线上，设点，若，则，显然不是该角的最大值， 由于图形的对称性，不妨设，此时点与点重合时，有最大值， 设，，则，， 则，因此是锐角， 根据正切函数的单调性，当最大时，也取最大值， 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 即当时，最大， 而点与点重合时，最大，因此，解得， 则该双曲线的离心率为 考点05 双曲线渐进线型 一、单选题 1．已知双曲线：的渐近线方程为，，分别为的左、右顶点，为上位于第一象限的动点，设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在 中利用内角和 ，将所求角 转化为 与 的组合角，从而弦化切；由双曲线方程导出两顶点处角的正切之积为定值 ，代入和角公式即得结果. 【详解】双曲线：的渐近线方程为， 则 设，则，即. 设，则，， ， 故. 【点睛】双曲线上任一点与左、右顶点连线斜率之积恒为 ，本题正是这一隐藏性质的三角化考查；角度变换的关键是用三角形内角和消去 ，把三元问题化为二元. 2．已知曲线 ，则下列关于曲线的说法中错误的是（   ） A．曲线关于坐标轴和原点对称 B．曲线关于等轴双曲线的渐近线对称 C．曲线上不存在两点横坐标之和大于 D．曲线上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 【答案】C 【分析】利用曲线方程的代换法判断对称性，借助一元二次方程判别式求解变量取值范围，结合基本不等式研究曲线上点到原点距离；通过举反例判断命题真假，综合运用代数推理，逐项甄别四个选项，找出错误命题即可. 【详解】选项A：将 ， 方程：，不变，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于原点对称，A 正确； 选项B：等轴双曲线渐近线：、， 将、互换，方程变为，与原方程相同，曲线关于对称； 同理可验证曲线关于对称，B正确； 选项C：设，，方程化为：，则， 所以关于的方程有实根，则， 所以，可得，此时， 取两点横坐标都取最大值为，所以， 存在两点横坐标之和大于，故C错误； 选项D：设曲线上点，到原点距离平方， 由基本不等式：， 所以，即，可得， 曲线上所有点到原点距离不超过，没有点在圆外，故D正确. 3．已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由实轴长为2，得，所以． 双曲线的渐近线方程为． 两条渐近线的锐角夹角为， 所以渐近线方程为的倾斜角为， 所以，所以． 由双曲线关系，得，从而． 双曲线的焦距为． 4．已知圆锥曲线和均经过点，则的焦点与的渐近线之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以的焦点为. 由，所以的渐近线方程为. 所以的焦点与的渐近线之间的距离为. 5．已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据渐近线夹角求出的两种可能，由离心率范围舍去一种，再验证各选项中 的比值得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 两条渐近线夹角为，则渐近线与轴的夹角为或， 因此或. 由离心率定义，结合，得. 已知，故，即. 若，则，，不符合的要求，故舍去，仅保留，即. 验证选项： 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，此时，满足所有条件. 二、多选题 6．已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．直线，的斜率之积为 C．是直角三角形 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对于A：根据双曲线方程求渐近线即可；对于B：设，结合双曲线方程分析证明；对于C：求点的坐标，结合斜率公式证明线线垂直；对于D：求点的坐标，可得，进而分析求解. 【详解】根据题意，如图所示： 对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，所以渐近线方程为，故A正确； 对于B，设，满足，，，则，故B正确； 对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率， ，故，故C正确； 对于D，直线的方程为，令得， 则， 由得，故，即，取值范围为，D错误. 7．已知，为双曲线：的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】化简双曲线的方程为，求得，结合选项，利用双曲线的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得，其中 则，所以，可得， 对于A，由双曲线的定义，可得， 当时，；当时，，所以A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，所以B正确； 对于C，由双曲线的离心率为，所以C正确； 对于D，设坐标原点为， 根据向量的运算法则，可得，所以， 当时，双曲线，此时，可得， 所以，所以D正确. 三、填空题 8．已知双曲线（，），为坐标原点，为右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线与双曲线在第一象限的渐近线及轴分别交于点，，且满足，则该双曲线的离心率为________． 【答案】或 【分析】设过点的直线方程为，联立方程，解得，求得，根据，化简得或，即可求解. 【详解】由题可设过点且倾角为的直线方程为， 联立方程，解得，所以， 从而， 又，所以由，得，即， 化简得，或，所以或. 9．已知为双曲线的上焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若（为坐标原点），则的面积为______． 【答案】 【分析】设设圆与轴交于点两点，利用双曲线的性质可知焦点到渐近线的距离为，由垂径定理可知，再结合圆的切割定理可知 即,求解出，再代入双曲线方程中利用圆的性质求的面积. 【详解】双曲线的渐近线方程为即， 设，则，点到渐近线的距离为， 所以，由于，所以点位于轴上方， 如图所示，设圆与轴交于点两点，根据圆的切割定理可知， 即, 即 又， 所以，故，解得（负值舍去）， 所以双曲线方程为，，. 10．已知抛物线与双曲线在第四象限的交点为，点到抛物线的准线的距离，则当取得最小值时，抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为________． 【答案】/ 【分析】先将抛物线方程和双曲线方程联立求得点横坐标,进一步得到点到抛物线的准线的距离,再结合题干条件将表示成关于的表达式后根据的取值范围求出的最小值以及取最小值时的,即可得到抛物线焦点和双曲线的渐近线方程,再利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】联立两曲线方程，得可得，即， 解得或(舍去)，故． 因为抛物线的准线方程为，所以点到抛物线的准线的距离， 即，可得，故． 又，所以当时，，此时取得最小值2． 此时抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为． 考点06 抛物线中的设点计算型 一、单选题 1．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先求，进而利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由，所以，所以， 所以椭圆的方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以， 又， 所以的周长为：. 2．已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件确定椭圆方程，再设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由离心率 ，故 ，得 ， 椭圆方程可写为：， 将点 代入得 ， 解得 ，， 因此椭圆方程为，则，，， 由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为 ，设 ，由题意， 因, 由 可得 ​，即 ， 由，消去并化简得， 则①，②， 又③， 由①②③可得，则, 解得，则，所以， 所以. 3．已知为坐标原点，点，，，都在椭圆：上，若，且直线，的斜率之积为，则的长轴长是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据已知条件列出等式并化简，即可求得. 【详解】因为，所以为中点， 设，，则，， 所以， 直线，的斜率之积为， 所以，由点在上得， 所以，所以，故的长轴长. 故选：C.    4．椭圆的焦距为4，上顶点为，点均在上且关于轴对称.若直线的斜率之积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合，可得，再结合焦距为4即可求解． 【详解】已知，设，则， ，， 故①， ∵，即②， ②代入①整理得：，即， 又焦距为4，所以，解得， ，解得，， 则的方程为． 故选：C． 5．已知椭圆的右顶点为A，M，N为椭圆上关于y轴对称的两点（不同于点A），直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，由直线，的斜率之积为，结合椭圆方程求得的关系，即，由和求得椭圆的离心率. 【详解】由题可知，，设， 则， 所以， 即．由， 得，所以， 所以． 故选：B． 6．已知为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，，垂足为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：利用特值法可得解；方法二：联立直线方程与椭圆方程，可得，结合可得解. 【详解】方法一：当点在轴正半轴上时， 由，，结合椭圆的对称性可知为等腰直角三角形， 则点，且点在椭圆上，所以，所以； 方法二：ⅰ）当存在时，设直线为，，， 联立直线与椭圆，得到， 则， 根据韦达定理可得：，， 由，即，即， ，， ， ，即，， 即， 等式两边同时除以， 可得，即. ⅱ）当不存在时，如方法一； 故选：C. 7．已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点连线斜率公式可表示出，根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果. 【详解】 直线过原点，可设，则，； ，， ，. 故选：B. 8．已知双曲线左、右焦点分别为，．过的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点．点在双曲线左支上，且．若双曲线离心率，则比值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由离心率求出与关于的关系，再把过左焦点且斜率已知的直线与双曲线联立，求出点的坐标．由得为水平线，进而求出点的坐标和所求比值． 【详解】设双曲线的半焦距为． 由得 又，所以 于是 直线的方程为 联立，消去，得 因为在双曲线右支上，所以其横坐标为. 代入直线方程得，故. 因为，所以垂直于轴． 又，故平行于轴，即点的纵坐标也为． 将代入双曲线方程，得所以 由于在左支上，故 因此，从而 9．已知是双曲线的图象上一点，且位于第一象限.过向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析几何思想，借助点到直线的距离公式来求出点，然后再继续求出交点的坐标，最后可求距离. 【详解】 设双曲线上第一象限的点， 则由双曲线可得渐近线方程为，即 所以由点到直线的距离公式可得： 由， 由双曲线上第一象限的点可知，所以上式可变形得， 即，则代入双曲线得：， 则过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 所以. 10．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：设直线，与抛物线方程联立利用韦达定理运算求解即可；解法二：利用结论，，代入运算求解即可. 【详解】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 考点07 切线型 一、单选题 1．过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求出斜率，进而求出所求直线方程. 【详解】显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为， 由消去得， 由直线与椭圆相切，得， 整理得，解得， 所以过A点且与直线l垂直的直线方程为，即． 2．已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段探讨方程表示的曲线特征并作出图形，确定目标函数的几何意义，借助平行线间距离公式数形结合求出范围. 【详解】当时，，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆的一部分， 当时，，方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线的一部分，其渐近线为， 当时，，方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线的一部分，其渐近线为， 当时，，方程表示的曲线不存在， 作出方程表示的曲线，如图： 曲线上任意点到直线的距离， 则表示曲线上任意点到直线距离的2倍， 显然曲线的渐近线平行于直线，直线的距离， 令平行于直线且与曲线在第一象限部分相切的直线为， 由，消去得，则， 解得，即直线，直线的距离， 观察图形，得，即，解得， 所以的取值范围是. 3．简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，由外层椭圆顶点向内层椭圆引切线．设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解椭圆上一点处的切线方程为，进而可得切线与的方程，即可求解两直线的斜率，以及切点坐标，即可根据斜率之积列方程，从而可求得离心率的值. 【详解】先证明：椭圆上一点，的切线方程为． 由椭圆，可得，， 当时，，求导可得：， 当时，， 切线方程为， 整理为：， 两边同时除以得：． 同理可证：时，切线方程也为． 当时，切线方程为满足． 综上，过椭圆上一点,的切线方程为． 设，则切线与的方程分别为， 则， 将分别代入与的方程中得，解得， 将代入椭圆中，得， 结合图形可得，故，， 由于椭圆在运动变化过程中，直线与的斜率之积为常数， ， 故，即，故可得． 故选：A． 4．已知椭圆上任意一点处的切线方程为.过点作椭圆：的两条切线与分别相切于，两点，设为坐标原点，则外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设，，根据题意求出直线的方程为，进而再求，，再用待定系数法求出三角形的外接圆方程. 【详解】设，，则在点处的切线方程为，点处的切线方程为 ，由于切线，均过点，则，，故直线的方程为. 将直线与联立，消去得，解得，， 代入直线的方程为，，，所以得，. 设的外接圆方程为，将点代入可得， 故，将，代入得， 解得，，故的外接圆方程为. 故选：A. 5．过点向曲线：（n为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．数列的前n项和为 D． 【答案】D 【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D. 【详解】对于A，由可得：， 设直线，联立， 得， 则由，即， 解得：（负值舍去），故A错误； 对于B，由韦达定理可得：，， 所以，故B错误； 对于C，因为，则，故C错误； 因为，， 所以， 设，则，可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故D正确. 故选：D. 6．已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点.若且，则直线OP的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据切线分析可知直线，与曲线C方程联立可得韦达定理，设线段的中点为，可知三点共线，可得，，结合长度关系运算求解即可. 【详解】设，，，，， 因为直线OP的斜率为，即， 又因为点在曲线外，则， 由题意可知：曲线在点A处的切线斜率不为0，可设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，且，解得， 则切线方程为， 因为点在曲线上，则， 所以曲线在点A处的切线方程为，即， 同理可得：曲线在点B处的切线方程为， 又因为两条切线均过点，则，可得直线， 则点到直线的距离为， 因为，，， 则，， 联立方程，消去x可得， 则，， 则， 即，整理可得， 即，整理可得， 设线段的中点为，则， 且，可得，即， 因为直线的斜率为，可知三点共线， 且，即，即， 可知，则， 即，整理可得， 则，即，解得， 即，所以直线OP的斜率为. 7．已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线右支上任意一点处的切线为，过作切线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求双曲线的离心率即找三者之间的关系，题干中已知右支上一点，根据双曲线定义可知；且根据双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线，经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线必过另一个焦点；即双曲线上一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角；所以，点处的切线为，是的角平分线；因此想到构造对称点和中位线，结合已知条件求出离心率． 【详解】设，则； 双曲线在点处的切线的方程为， 设切线与轴的交点， 双曲线右焦点，其中：； ； ； ，所以，， 则，故或（舍去）， 所以切线与的平分线重合． 如图，延长交于点， 则，故，且为的中点， 则．在中，中位线．又， 则，所以离心率． 8．已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，先求切线的斜率，进而得垂线的斜率，再求垂线的方程，进而得点的坐标，利用两点的距离公式得，解出，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，又，所以切线的斜率为， 所以过点的切线垂线的斜率为， 所以垂线的方程为，令，解得， 所以，所以， 所以，即， 解得，解得， 所以，所以. 9．已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过，点的切线方程，分别与抛物线联立，求得切线方程，将切线方程联立，可求得．又，，即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 二、填空题 10．如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 【答案】3 【分析】设，根据切线方程求出，利用求出即可. 【详解】设，且且， 则处的切线方程为，则， 故， ， 因为，所以，得（舍）或， 则，故. 考点08 切点弦型 一、单选题 1．已知椭圆的上顶点，左顶点，下顶点，右顶点分别是，直线均与椭圆相切，则菱形周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆对称性，讨论与相切在第一象限情况.设与相切于，得到切线方程，求出，结合和基本不等式得到，进而得到菱形周长的取值范围. 【详解】椭圆具有对称性，不妨讨论与相切在第一象限情况. 设与相切于，切线方程：. ，又， ， ，当，即，时取等号， 菱形周长的取值范围是. 故选：D. 2．如图，在平面直角坐标系中，已知与双曲线的渐近线不平行的直线与C有且仅有一个公共点，直线且与C交于A，B两点，与交于点P，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先由得直线的斜率，再设的方程结合根与系数关系求出.再设中点为，进而可得四边形为平行四边形，得，再结合中点计算可得. 【详解】直线的斜率为，由直线，设直线的方程为， 由消去并整理得，设， 则，， ， 取中点，则，连接，如图： 直线的斜率. 设直线的方程为，由消去， 并整理得， 则，整理得， 又因为点在直线上，所以， 即， 代入上式得，解得. 因此直线，四边形为平行四边形，于是， ， ，所以. 故选：D 二、多选题 3．已知为坐标原点，椭圆的焦点分别为，，且离心率，为上一动点，过作的切线，过，分别作的垂线，垂足分别为，．则（   ） A．， B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，确定的值即可判断A；设，进而可得即可判断C；求出切线方程为，利用点到直线的距离公式求出即可判断D；设中点为，连接，可得，再设，根据进行计算即可判断B． 【详解】解：根据题意，，，解得， 椭圆，故A错误； 设，则，， ， ，，，故C正确； 又过的切线方程为，即， ， ，故D正确； 设中点为，连接，又为中点， ，， 设，则， ， ， ，故B正确． 三、填空题 4．在平面直角坐标系中，椭圆的上下两顶点分别为、，右焦点为，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点.若过，，三点的圆在点处的切线与轴平行，则椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【分析】设，直线，根据题设可得，再联立直线与椭圆方程，得，再由点在椭圆上，即可求解. 【详解】由题知，设， 易知过，，三点的圆的圆心在直线上， 又过，，三点的圆在点处的切线与轴平行， 所以切线方程为，且圆心在直线上，所以， 又直线，由，得到， 整理得到，又，所以，则点， 所以，整理得到，所以， 解得或， 又，所以. 5．如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 【答案】2 【分析】切线，与椭圆方程联立，由得，求出直线方程，进而求得坐标，计算，得解. 【详解】方法一：由题意可知直线的斜率存在，设切线， 联立，消去整理得， ，化简得； 因为，且，则直线， 联立，解得，所以， 同理，可得， ， 同理，可得， 又，所以. 方法二： 设切点为,延长交于, 由光学性质可得关于切线对称， , 同理， 6．在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为______． 【答案】 【分析】首先求切线的方程，再求直线的方程，即可求交点的坐标，即可求解. 【详解】由条件可知，，解得：，， 所以椭圆，所以在点处的切线方程为，即， 因为，所以直线， 联立，解得：，，即，且 所以. 故答案为： 7．已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，记为在椭圆上的切线，过作直线，垂足为，则面积的最大值为________ 【答案】 【分析】证明出直线的方程为，求出点的纵坐标，设直线与直线的交点为，求出点的纵坐标以及的值，结合中位线的性质可得出，由此可知在以点为圆心，半径为的圆上运动，可得出点到轴距离的最大值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】设点，其中，先证明出直线的方程为， 联立可得，则， 所以，直线的方程为，即， 在椭圆中，，，则，可得、， 因为，则直线的方程为，即， 联立，解得，即 易知直线的方程为，设直线与直线的交点为， 联立可得，即， 因为 ， 故点为线段的中点， 因为，由中垂线的性质可得， 所以，， 连接，因为为的中点，则， 即点在以点为圆心，半径为的圆上运动，故点到轴距离的最大值为， 因此，面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点为的中点，结合中位线的性质得出点的轨迹，进而求解. 8．设为双曲线与实轴的交点，为双曲线外一点，分别交双曲线于另一个点，过的切线相交于．若是一个正三角形，且面积为，则双曲线的方程为_____． 【答案】 【分析】利用面积求出点D的坐标，由正三角形的性质得，即可利用列方程得关于的一个方程，然后将点D的坐标代入双曲线方程可得关于的另一个方程，两方程联立求解，即可求得双曲线方程. 【详解】 又，所以， 因为是一个正三角形，所以， 双曲线在点处的切线方程为， ，， 将点的坐标代入双曲线方程得， 则有 ，或， 当时，，不符合条件，舍去； 当时，，双曲线的方程为. 故答案为： 9．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 ，.若双曲线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，直线 轴与双曲线 的右支交于点 ，则 的最小值为________ 【答案】 【分析】设，，先列出双曲线在点，处的切线方程，然后求出直线l的方程，将其与双曲线方程联立，结合韦达定理将所求表达式进行化简，根据二次函数的性质求出最值即可. 【详解】由题意得，，设，（，）， 则双曲线在点，处的切线方程分别为，. 设，则，， 所以点A，B都在直线上. 因为点在直线AB上，所以，即， 直线l的方程为，即. 由题意知，直线l的倾斜角不为0，则直线l的方程可设为，所以，即. 联立直线l和双曲线C的方程，化简得. 恒成立，由，得，则. 设，则，，所以， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：.    四、解答题 10．如图所示，已知椭圆及上面一点，求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【分析】法一：当时，设切线方程为，代入椭圆方程，利用判别式法可得，结合点在椭圆上可得结论，当时，可得成立.法二：若，则考虑上半椭圆的方程，利用导数可求切线方程，同理可得时，切线方程也为.法三：过的点的方程为，与椭圆方程相减，结合，，可得结论. 【详解】法一：当时，切线的斜率存在， 设切线方程为. 代入椭圆的方程得. 由， 得. 又点在椭圆上，所以， 从而，， 所以， 即，所以， 所以所求切线方程， 即. 另外当时，切线方程为也满足上式. 综上，以椭圆上一点为切点的切线方程为. 法二：若，则考虑上半椭圆的方程， 所以， 所以在点处的切线斜率为， 可得所求切线方程为. 若，可用同样的方法得切线方程为. 对于，则与解法一的方法一样，得切线方程也满足. 法三：设椭圆的方程为， 过的点的方程为， 两式相减得， 即， 所以. 又，，所以，即得所求切线方程. 考点09 轨迹问题 一、单选题 1．已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用垂径定理结合条件求出，即得点的轨迹为圆，写出其轨迹方程即可. 【详解】如图，连接，则，且， 在中，，因， 故的中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 其方程为. 2．椭圆，直线与椭圆交于两点，则（   ） A． B．中点轨迹为 C．若，则 D．最大值为 【答案】A 【详解】设，由可得， 故且， 故，故A正确. 又， 故中点的坐标为，故中点轨迹为， 其中，故B错误. 因为，故，故， 整理得，所以， 解得，故C错误. ，当且仅当时等号成立， 故，故D错误. 3．已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量条件可知点可由椭圆上点叠加模长为的向量得到，区域为椭圆与单位圆盘的闵可夫斯基和，先利用椭圆参数方程结合辅助角公式求出椭圆上动点到已知直线的最大距离，再增加单位长度，即可得到边界上点到直线距离的最大值． 【详解】 设，，， 所以， 由，且在椭圆上， 而在以为圆心，半径为1的圆上， 对于椭圆，，， 设， 则椭圆上点到直线：的距离， 的振幅为，， ， 当时，取最大值， 所以边界上的点到直线：的距离的最大值． 4．已知点满足方程，，设点的轨迹为曲线，过原点的直线与曲线交于，两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，即到两定点距离之和为8， 是椭圆，其中，，， 椭圆方程为， 已知过原点的直线与曲线交于，两点，则，关于原点对称， ， 已知，则，， 因为，则， 位于椭圆上，则，解得， 故． 5．已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用三角形面积公式得，设，根据条件，用表示出的坐标，进而可得与间的关系，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 记，由题知，得到， 不妨设在第一象限，因为，则， 设，则，得到，， 所以，整理得到， 所以点的轨迹为双曲线的一部分    6．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 7．平面上有一条固定的线段和一条动直线，且与无公共点．点且使得最大，则的轨迹落在（     ） A．双曲线，其焦点在直线上 B．双曲线，其焦点在直线的中垂线上 C．两条抛物线，其焦点在直线上 D．两条抛物线，其焦点在直线的中垂线上 【答案】A 【分析】以线段为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，设出点的坐标，从而得到各线段长度，利用，利用正切关系列出关系式，即可得到最大时，点的坐标的方程. 【详解】如图，以线段为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系. 设，则.设直线方程为，则或.则. 设直线与轴交点为，，则. 若点在轴上，则，不满足最大，所以. 又， 所以. 则. 因为或，所以. 所以，当且仅当时等号成立. 所以当最大时，即. 又，即点在曲线上，. 所以的轨迹落在双曲线，其焦点在直线上. 8．已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 9．已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线与直线恒有交点； ③曲线上的点到原点的距离的最小值为； ④存在直线与曲线有且仅有一个交点． 其中正确的命题序号为（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】设出点的坐标，根据题意可求出点的轨迹方程，将分别替换为看曲线方程是否仍成立可判断①；联立与曲线方程得到方程组，根据方程组解的情况可判断②；曲线上的点到原点的距离，消参后由基本不等式可得距离的最小值，从而可判断③；直线与曲线只有一个交点，从而可判断④． 【详解】由题意知直线的斜率均存在，故可设， 由得，去分母后可得， 即点的轨迹（曲线）方程为. 对于①，将分别替换为得，方程不变， 故曲线关于原点中心对称，①正确. 对于②，联立与得， 解得，但需满足，即， 由得， 所以当时，曲线与直线有交点； 当时，曲线与直线没有交点， 故②错误. 对于③，曲线上的点到原点的距离， 由得，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，此时，即曲线上的点到原点的距离的最小值不是，所以③错误. 对于④，因为曲线的方程可转化为， 取直线，将代入得， 即存在直线与曲线有且仅有一个交点，故④正确． 10．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $