第1-2章阶段巩固卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版

第1-2章阶段巩固卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 3．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（     ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 4．下列函数中，当时，变量随变量的增大而减小的是（） A． B． C．（） D． 5．用表示自变量，表示的函数，下列选项中，是的反比例函数的是（     ） A．长方形的周长是2，长为，宽为 B．正方形的边长为，面积为 C．荣荣以的速度行走，行走的时间为 ，行走的路程为 D．恒恒以的速度用爬完长为的楼梯 6．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 7．正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少（    ）．（精确到，参考数据：） A．15 B．14 C．11 D．10 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 9．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（     ） A． B． C． D． 10．如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，是一元二次方程的两根，则的值为___________． 12．设方程的正根介于整数与之间，则____________． 13．已知A是方程的一个根，试求的值_______． 14．已知反比例函数的图象经过点，当时，取值范围是______． 15．如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，则___________秒后的面积为． 16．如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 三、解答题 17．用适当的方法解方程： (1) (2) 18．关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个根分别为，，若，求的值． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求的面积； (2)若为线段上一点，且，求点的坐标． 20．小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ 21．综合与实践：九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象：如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中_________． x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你画出函数图象． (2)观察图象并分析表格；回答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度而得到． ②函数的图象关于点________成中心对称．（填点的坐标） ③当时，则y的取值范围为_________． 22．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于、两点，与直线交于点E． (1)求的表达式； (2)点P在反比例函数图象上，且在直线下方，若求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且点P在第一象限，如图2所示，将点P沿射线方向平移个单位得到点，点F在反比例函数图象上，且满足，请直接写出点F的坐标． 23．阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数，满足，，且，则可将，看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则 ； (2)已知实数，满足，，求的值； (3)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1-2章阶段巩固卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A D A A C B D 1．B 【分析】依据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2）逐一判断各选项． 【详解】解：A、将方程右边展开得，移项合并同类项得，是一元一次方程，不符合； B、方程移项整理为，满足一元二次方程的定义，符合； C、方程的分母含未知数，不是整式方程，不符合； D、方程未限定，当时不是二次方程，不符合． 2．C 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误． 3．C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴，． 4．A 【详解】解：A选项，，，当时，随的增大而减小，符合题意． B选项，，当时，随的增大而增大，不符合题意； C选项，时，，，当时，随的增大而增大，不符合题意； D选项，，，当时，随的增大而增大，不符合题意． 5．D 【详解】解：A选项中，，可得，不是的反比例函数，不符合题意； B选项中，，不是的反比例函数，不符合题意； C选项中，，不是的反比例函数，不符合题意； D选项中，，是的反比例函数，符合题意． 6．A 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 7．A 【分析】正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ， 设， 解得， 正方形边长为， 要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折， 正方形画框的内边长至少为． 8．C 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限，没有符合条件的选项． ②当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限，故C选项的图象符合条件． 9．B 【分析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：． 10．D 【分析】根据反比例函数的解析式可得：，根据平行四边形的性质可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点 在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， ，， ， 点在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， ． 11． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 其中，，，， ，， ， ． 12．1 【分析】先求出方程的正根，再通过夹逼法估算正根的大小范围，即可得到整数的值. 【详解】解：， 移项得， 配方得，即 ， 解得，， ∵， ∴，即 ， ∴， 则正根介于整数与之间， 故. 13．2029 【分析】由A是方程的一个根，将代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】解：∵A是方程的一个根， ∴，即，， 则 ． 14． 【分析】先代入已知点求出反比例系数，再根据反比例函数的增减性，结合的范围计算得到的取值范围． 【详解】解：把点代入， 可得：， 反比例函数的解析式为， ， 反比例函数的图象经过二、四象限， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ， ． 15．1或5 【分析】设运动x秒钟后的面积为，根据列出方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动x秒钟后的面积为，则， ， 解得． 故运动1秒或5秒后的面积为． 16． 【分析】连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得； （2）解： 或 解得． 18．(1)证明：在方程中， ，，， ∴ . ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】（1）利用根的判别式证明即可； （2）由根与系数的关系可得，又，再代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个根分别为，， ， ， 即， ， 或， 解得或． 19．(1)的面积为 (2) 【分析】（1）先求解点，点坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式，设直线与轴的交点为， 根据列式计算即可； （2）根据，求得点的横坐标，再根据一次函数解析式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，， ∴，， ∴，， ∵一次函数的图象过点、点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式， 如图，设直线与轴的交点为， 对于，令，得， ∴， ∴； （2）解：如图，∵， ∴， ∴， ∴， 即，解得， ∵为线段上一点， ∴， ∴． 20．金色纸边的宽应是1分米． 【分析】设金色纸边的宽应是x分米，根据整个挂图的面积是80平方分米列方程求解． 【详解】解：设金色纸边的宽应是x分米， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去） 答：金色纸边的宽应是1分米． 21．(1)0； (2)①下，1 ② ③或 【分析】（1）将代入中计算即可求出m的值；根据各点坐标描点，再用平滑曲线连接，注意x不能取0，图象分为两支，分布在y轴两侧． （2）①需将函数表达式变形为反比例函数平移形式，根据平移规律判断方向和单位． ②根据反比例函数对称中心及平移规律确定对称点坐标． ③分和两种情况，结合函数增减性求y的取值范围． 【详解】（1）解：表格中函数值m对应的x值为2，将代入中得，所以，m的值为0． （2）①∵， ∴函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到． ②∵函数的图象关于原点对称， ∴函数的图象关于点对称． ③当时，分两种情况： 当时，y随x的增大而减小， 当时，，当x趋近于正无穷时，y趋近于， 因此，当时，； 当时，y随x的增大而减小， 当时，，当x趋近于负无穷时，y趋近于， 因此，当时，； 综上，y的取值范围为或． 22．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，则，求解即可； （3）根据平移求出，当F点在第三象限时，过作轴交于G点，根据所给条件推导出，则直线与反比例函数图象的交点为F点；当F点在第一象限时，过作轴，且，过H点作，且，连接，可得，则直线与反比例函数图象的交点为F点． 【详解】（1）解：将代入中， ∴， ∴， 将代入， ∴， ∴， 将，代入中， ∴， 解得， ∴的表达式为； （2）解：过点P作轴交于点Q， 当时，解得， ∴， 设，则， ∴， 解得， 经检验，均为原分式方程的解， ∵ ∴或； （3）解：∵点P在第一象限， ∴， ∵点P沿射线方向平移个单位， ∴P点向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴， 当F点在第三象限时，过作轴交于G点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ∴； 当F点在第一象限时，当时，， 即， 过作轴，且，过H点作，且，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在线段上， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ， ∴； 综上所述：F点坐标为或． 23．(1) (2) 或 (3) 的最大值为 【分析】（1）直接利用根与系数的关系计算两根之积； （2）分和两种情况，时构造一元二次方程，结合根与系数的关系化简求值； （3）根据与的表达式构造以、为根的一元二次方程，利用判别式非负列不等式求解的最大值 【详解】（1）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系得 ； （2）解：分两种情况讨论： ① 当时， ∵实数，满足，， ∴，可看作方程的两个不相等实数根， 由根与系数的关系得，， ∴； ②当时，； 综上所述，的值为或； （3）解：∵，， ∴可将，看作方程的两个实数根， ∵，为实数， ∴， 整理得， ∵， ∴， 不等式两边同时乘，得， 即， 两边开立方得， 解得， 当时，方程为，有两个相等实数根，符合题意， ∴的最大值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $