专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型·1·解不含参数的一元二次不等式 1 题型·2·解含有参数的一元二次不等式 2 题型·3··由一元二次不等式的解确定参数 2 题型·4·一元二次不等式恒成立问题 3 题型·5··一元二次不等式有解问题 4 题型·6·一元二次不等式的实际应用 4 题型·1·解不含参数的一元二次不等式 1．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 2．解下列不等式（最后答案用集合或区间表示）： (1)； (2)； (3)； (4) 3．求下列不等式的解集 (1)； (2)； (3). 4．写出下列不等式的解集： (1) (2) (3) 5．解关于的不等式： (1)； (2)． 题型·2·解含有参数的一元二次不等式 6．已知关于的不等式． (1)当时，解该不等式； (2)当时，解该不等式． 7．已知不等式的解集为或. (1)求a，b； (2)解关于x的不等式. 8．已知不等式的解集为. (1)求实数、的值； (2)讨论关于的不等式的解集. 题型·3··由一元二次不等式的解确定参数 9．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 10．已知不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 11．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C． D． 12．若不等式的解集是，则的范围是（ ） A． B． C． D． 题型·4·一元二次不等式恒成立问题 13．已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 14．已知． (1)当时，求的解集； (2)当取何值时，对一切实数都成立？ 15．已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数a，b的值； (2)若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 16．已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)且恒成立，求的范围． 17．设函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型·5··一元二次不等式有解问题 18．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 20．已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是__________． 21．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 题型·6·一元二次不等式的实际应用 22．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 23．2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. (1)若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） (2)为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 24．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 25．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 26．某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型·1·解不含参数的一元二次不等式 1 题型·2·解含有参数的一元二次不等式 4 题型·3··由一元二次不等式的解确定参数 6 题型·4·一元二次不等式恒成立问题 8 题型·5··一元二次不等式有解问题 13 题型·6·一元二次不等式的实际应用 14 题型·1·解不含参数的一元二次不等式 1．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）先配方为完全平方式，结合平方的非负性直接求解； （2）将分式大于 0 转化为分子分母同号的两类不等式组，分别求解后取并集； （3）去掉绝对值号，解一元一次不等式即可. 【详解】（1）由得，即，解得， 所以不等式的解集为或； （2）因为，所以或， 解得或， 所以不等式的解集为或； （3），解得， 所以不等式的解集为. 2．解下列不等式（最后答案用集合或区间表示）： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为等价于， 即，解得或， 所以不等式的解集为． （2）因为恒成立， 所以的解集为. （3）因为等价于，整理可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为． （4）因为等价于或，解得或， 故的解集为． 3．求下列不等式的解集 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【详解】（1）不等式化简得，， 所以该不等式解集为. （2）不等式化简得，， 所以该不等式解集为. （3）不等式化简得，， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 4．写出下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1），； 不等式的解集为. （2），，即，解得； 不等式的解集为. （3），，即， 解得； 或. 不等式的解集为或. 5．解关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时解集为，当时解集为 (2)当时解集为；当时解集为； 当时解集为或；当时解集为； 当时解集为或. 【分析】（1）看判别式从而确定的范围，进而求解； （2）根据根的情况以及参数的分类讨论，进而求解。 【详解】（1）对应方程的判别式， 当时，，不等式解集为； 当时，，方程两根为，， 则不等式解集为 （2）原不等式因式分解可得， 当时，不等式为，解得，则解集为； 当时，不等式变形为，解得，则解集为； 当时，不等式变形为， 当时，不等式为，解得，则解集为； 当时，解得或，即解集为或； 当时，解得或，即解集为或.. 综上所述：当时解集为； 当时解集为； 当时解集为或； 当时解集为； 当时解集为或.. 题型·2·解含有参数的一元二次不等式 6．已知关于的不等式． (1)当时，解该不等式； (2)当时，解该不等式． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法，分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为，则， 解得，则不等式的解集为. （2）原不等式可化为， 对应的一元二次方程的根为． ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，，不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 7．已知不等式的解集为或. (1)求a，b； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)， (2)①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为③当时，不等式的解集为. 【分析】（1）小问由韦达定理列出关于和的二元一次方程组，即可； （2）分类讨论，，三种情况，解一元二次不等式 【详解】（1）. 因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根，且. 由根与系数的关系，得，解得； （2）原不等式化为：，即， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为 ③当时，不等式的解集为. 8．已知不等式的解集为. (1)求实数、的值； (2)讨论关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）解不等式得解集，可得出、的值； （2）将所求不等式变形为，对和的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）由得，解得， 所以不等式的解集为， 又因为不等式的解集为，故，. （2）不等式即为，即. ①当时，即当时，解原不等式可得； ②当时，即当时，原不等式即为，解得； ③当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型·3··由一元二次不等式的解确定参数 9．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】关于的不等式的解集为， 所以，且和2是方程的两根， ，得， 所以不等式变为， 又，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. 10．已知不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的解集可判断的正负，并求出方程的根，由韦达定理得出，，的关系，将其代入不等式中即可求解. 【详解】因为不等式的解集是或， 所以且方程的根为或， 由韦达定理得：，， 即，， 将其代入不等式中得： ， 即， 解得或， 所以不等式的解集是或. 11．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，的两根分别为，由韦达定理得， 代入不等式得，因式分解得，解得， 解集为. 12．若不等式的解集是，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接分和两种情况计算，并结合一元二次不等式恒成立条件可得. 【详解】因为不等式的解集是， 当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为； 当，即时，一元二次不等式的解集是， 则，，，解得. 综上所述，的取值范围为． 题型·4·一元二次不等式恒成立问题 13．已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，，即， 或，即的解集为或. （2）对一切实数x恒成立，即对一切实数x恒成立. ①时，不等式为，此时，符合题意. ②时，要使恒成立， 则，即，解得. 综上，实数a的取值范围是. 14．已知． (1)当时，求的解集； (2)当取何值时，对一切实数都成立？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可； （2）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，由， 所以原不等式的解集为； （2）因为对一切实数都成立， 所以不等式的解集为全体实数， 因此有， 所以当时，对一切实数都成立. 15．已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数a，b的值； (2)若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由不等式的解集为，得到和是方程的两个根，结合韦达定理求解； （2）对分，进行分类，利用恒成立的不等式列式求解. 【详解】（1）不等式的解集为，说明和是方程的两个根，且， 由韦达定理得： ，解得； （2）当时，，一次函数不可能对任意都满足，不符合题意； 当时，二次函数对任意恒成立，需满足， 其中判别式， 由得，解得，结合，得， 综上，a的取值范围是. 16．已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)且恒成立，求的范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3). 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）先将不等式化简得到，再对参数分类讨论即可求解； （3）不等式化简得到，进一步转化为对恒成立，然后对变形后利用基本不等式可求出其最大值，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，不等式为，化简得， 解得，因此不等式的解集为. （2）不等式化简得， 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式化为，，解集为； 当时，不等式化为，，解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式化为，，解集为. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）由，得， 即，对恒成立， 因为，所以对恒成立， 令，因为，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以 即的取值范围为. 17．设函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； (3) 【分析】（1）通过，讨论即可求解； （2），，，，，讨论求解即可； （3）分离参数，结合基本不等式求解. 【详解】（1）当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为，则，解得， 综上所述. （2），即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又时，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 题型·5··一元二次不等式有解问题 18．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对不等式分离参数可得，进而求解参数范围即可. 【详解】对于，变形得， 因为，所以不等式等价为， 即存在，使不等式成立， 对于式子，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即，符合条件， 所以在上的最大值为，所以. 19．当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，关于的不等式有解， 即不等式有解，令，则， ， 当时，y的最小值为， ． 20．已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】采用分离参数法，将参数与变量分离，把“不等式有解”转化为求最值问题. 【详解】由，，得， 因为恒成立，所以， 当时，关于的不等式有解，即， 又因为，， 且，当且仅当，即时取等号， 则，所以，即实数的取值范围是. 21．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 题型·6·一元二次不等式的实际应用 22．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】(1)元 (2)当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意求出此定价下的销售量，即可求得现在的销售的总收入，再根据与原收入的关系，解关于的一元二次不等式； （2）根据改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，列出关于，的不等式，问题转化为关于，的不等式有解，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）设每件定价为元，依题意得 ， 整理得 ，解得 ． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． （2）依题意知，当 时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 23．2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. (1)若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） (2)为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】(1) (2)这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. （2）由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 24．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得 ， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 25．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 26．某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $