专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 考点预览 考点一 一元二次不等式的解法（不含参） 考点二 含参数的一元二次不等式 考点三 一元二次不等式恒成立问题 考点四 由解集确定参数与二次式的简单应用 考点五 一元二次不等式的实际应用 一、知识填空 1．一元二次不等式的一般形式与解法 （1）一般形式： 或 ，其中 。 （2）解一元二次不等式的一般步骤：先把二次项系数化为 ，再求出对应方程的 ，最后按图象写出解集。 （3）当 且方程有两根 时， 的解集是 ， 的解集是 （填“两边”或“中间”）。 2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 （1）不等式 的解集，就是二次函数 的图象在 轴 （填“上方”或“下方”）时对应的 的取值范围。 （2） 时方程有 个不等实根； 时有 个相等实根； 时 实根。 （3）当 且 时， 的解集为 ， 的解集为 。 3．一元二次不等式恒成立的条件 （1） 对任意实数 恒成立，等价于 且 。 （2） 对任意实数 恒成立，等价于 且 。 （3）当二次项系数含有参数时，必须先讨论它是否等于 ，退化成一次不等式的情况单独处理。 4．由一元二次不等式的解集确定参数 （1）若 ax2+bx+c>0 的解集为 {x｜ m<x<n}（m<n），则 m，n 是方程 ax2+bx+c=0 的 ，且 a 0。 （2）若 ax2+bx+c>0 的解集为 {x｜ x<m 或 x>n}（m<n），则 m，n 是方程 ax2+bx+c=0 的 ，且 a 0。 （3）已知解集求参数时，把解集的端点代入相应的 ，即可求出参数。 5．简单分式不等式的解法 （1） 等价于 与 同号，可化为整式不等式 。 （2）解分式不等式时，分母不能为 ，解集中必须把这个值 。 二、考点专练 考点一 一元二次不等式的解法（不含参） 方法与技巧： 1. 解题固定三步：先把二次项系数化为正数（两边同乘 记得变号），再求对应方程的根，最后按图象写解集。 1. 口诀要配合开囗方向记：、两根为 时， 的解集是“大于取两边” 或 ， 的解集是“小于取中间” 。 1. 且开口向上时整条抛物线都在 轴上方，此时 的解集为 、 的解集为 ，不要再去找根。 【例题精讲】 1．解不等式 。 2．解不等式 。 【变式训练】 1．解不等式 。 2．解不等式 。 3．解不等式 。 【巩固练习】 1．不等式 的解集为 。 2．不等式 的解集为 。 3．不等式 的解集为 。 4．不等式 的解集为 。 5．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 6．不等式 的解集为 。 7．不等式 的解集为 。 8．不等式 的解集为 。 考点二 含参数的一元二次不等式 方法与技巧： 1. 讨论顺序放第一位的永远是二次项系数是否为 ，退化成一次不等式时必须单独求值验证。 1. 能因式分解成 型的，全部难点就是比较 与 的大小，按 、、 三类写出解集， 时往往是空集。 1. 由解集反求系数时，抓住“解集端点就是方程的根”，再代入或对照因式分解式即可。 【例题精讲】 1．解关于 的不等式 。 2．解关于 的不等式 。 【变式训练】 1．解关于 的不等式 。 2．解关于 的不等式 。 3．已知不等式 的解集为 ，求实数 ， 的值。 【巩固练习】 1．不等式 的解集为 （按 与 的大小讨论）。 2．不等式 的解集为 。 3．已知不等式 的解集为 ，则 ， 的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．不等式 的解集为 。 5．若不等式 无解，则实数 的取值范围是（　　） A．−2≤a≤2 B．−2<a<2 C．a<−2 或 a>2 D． 6．若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 。 7．已知不等式 的解集为 或 ，则 ， 的值为 。 8．关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．−2<a≤2 B．−2<a<2 C．a<−2 D．a≥2 考点三 一元二次不等式恒成立问题 方法与技巧： 1. 到 上恒成立的标准结论： 恒成立 且 （若是 则取 ）。 1. 最容易被漏掉的是 的情形：二次项系数含参数时，必须单独讨论退化成一次（或常数）不等式时是否成立。 1. 在给定的 x 的取值范围内恒成立，优先考虑分离参数——“ 大于 恒成立”等价于 的最大值。 【例题精讲】 1．若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 2．若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 【变式训练】 1．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 2．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 3．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【巩固练习】 1．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 2．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 3．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．0≤a<4 B．0<a<4 C．−4<a<0 D． 4．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 5．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 6．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 。 8．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 考点四 由解集确定参数与二次式的简单应用 方法与技巧： 1. 由解集反推参数：解集的端点就是对应方程的两根，把端点代入方程即可求出待定参数。 1. 判断两根的位置可用图象：设 f(x)=ax2+bx+c（a>0），两根分居 k 的两侧等价于 f(k)<0。 1. 易错点：忘了先判断二次项系数的符号；把"解集为 R"与"解集为空集"的条件弄反；端点取不取到要看清是 > 还是 ≥。 【例题精讲】 1．解方程 x2-3x+1=0，并求两根之和、两根之积与两根的平方和。 2．若不等式 x2+(k-2)x+1>0 的解集为 R，求实数 k 的取值范围。 【变式训练】 1．解方程 2x2-3x-1=0，并求两根之和、两根之积与两根的平方和。 2．若方程 x2-2x+m=0 的一个根为 3，求实数 m 的值与另一个根。 3．若方程 x2-6x+k=0 的一个根为 2，求实数 k 的值与另一个根。 【巩固练习】 1．方程 的两根之和为 ，两根之积为 。 2．方程 的两根为 ，，则 。 3．方程 的一个根为 ，则 ，另一个根为 。 4．方程 的两根为 ，，则两根之和为 ，两根之积为 。 5．若方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若关于 的方程 的一个根大于 ，另一个根小于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若不等式 的解集非空，则实数 的取值范围是 。 8．若不等式 x2-2ax+a+2>0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点五 一元二次不等式的实际应用 方法与技巧： 1. 应用题的标准流程：设未知量 列二次不等式（或函数） 解不等式 结合题意取舍。"不少于""不低于"是 ，"超过""多于"是 。 1. 面积类问题最常用的设法是"一边的长度 "，另一边用总长或总面积表示，最终都化归为 的二次不等式。 1. 解得的范围一定要与实际约束（边长为正、件数为整数、售价有意义）取交集，这一步省略就会被扣分。 【例题精讲】 1．某商品进价为每件 元，售价为每件 元时每月可售 件。市场调查表明：售价每提高 元，月销售量就减少 件。若要使月利润不低于 元，售价应在什么范围内？ 2．用一根长为 m 的材料围一块矩形场地，要求面积大于 m，求矩形一边长的取值范围。 【变式训练】 1．某种商品每件成本 元，售价为 元时每月售出 件；售价每提高 元，月销量减少 件。要使月利润不低于 元，售价应定为多少？ 2．一个矩形的长比宽多 m，若面积小于 m，求宽的取值范围。 3．某农场要建一块面积为 m 的矩形菜地，一边靠墙（墙长 m），另外三边用篱笆围起来。若篱笆总长不超过 m，求靠墙一边的长度范围。 【巩固练习】 1．矩形的长比宽多 ，面积小于 ，则宽的取值范围是 。 2．要建一个面积为 m 的矩形场地，一边靠墙，另外三边用总长为 m 的篱笆围成，则垂直于墙的边长为（　　） A． m B． m C． m 或 m D． m 3．某种商品每件成本 元，售价为 元时每月销售量为 件。要使月利润不少于 元，则售价的取值范围是（　　） A．30≤x≤50 B．20≤x≤40 C．35≤x≤45 D．25≤x≤45 4．一个矩形周长为 20，则它的对角线长的平方的最小值为（　　） A．50 B．100 C．25 D．40 5．要设计一块面积为 m 的矩形场地，一边靠墙，另外三边用长为 m 的篱笆围成，则垂直于墙的边长为（　　） A． m B． m C． m 或 m D．无法围成 6．某种药品每盒成本 元，售价为 元时每月销售 盒。要使月利润不少于 元，则售价的取值范围是（　　） A．50≤x≤70 B．40≤x≤80 C．45≤x≤75 D．55≤x≤65 7．一间长方形会议室的长比宽多 m，要求面积大于 m 且小于 m，则宽的取值范围是（　　） A．10<x<15 B．5<x<20 C．10<x<20 D．12<x<15 8．某种商品每件进价 元，售价为 元时月销量为 件。要使月利润不低于 元，则售价的取值范围是（　　） A．35≤x≤50 B．30≤x≤55 C．40≤x≤45 D．32≤x≤48 三、达标检测 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． 或 D． 或 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 3．若不等式 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若方程 的两根为 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．若关于 的不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 7．若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．−2<a<2 B．−2≤a≤2 C．a<−2 或 a>2 D． 8．不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 9．已知 ，则 的取值范围是（　　） A．1<x<2 B．0<x<3 C．x<1 或 x>2 D．1≤x≤2 10．若关于 的方程 有两个负实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．某商品每件进价 元，售价 元时月销量为 件，月利润不少于 元时售价的范围是（　　） A．40≤x≤80 B．50≤x≤70 C．35≤x≤75 D．45≤x≤65 12．若不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 考点预览 考点一 一元二次不等式的解法（不含参） 考点二 含参数的一元二次不等式 考点三 一元二次不等式恒成立问题 考点四 由解集确定参数与二次式的简单应用 考点五 一元二次不等式的实际应用 一、知识填空 1．一元二次不等式的一般形式与解法 （1）一般形式： 或 ，其中 。 （2）解一元二次不等式的一般步骤：先把二次项系数化为 ，再求出对应方程的 ，最后按图象写出解集。 （3）当 且方程有两根 时， 的解集是 ， 的解集是 （填“两边”或“中间”）。 2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 （1）不等式 的解集，就是二次函数 的图象在 轴 （填“上方”或“下方”）时对应的 的取值范围。 （2） 时方程有 个不等实根； 时有 个相等实根； 时 实根。 （3）当 且 时， 的解集为 ， 的解集为 。 3．一元二次不等式恒成立的条件 （1） 对任意实数 恒成立，等价于 且 。 （2） 对任意实数 恒成立，等价于 且 。 （3）当二次项系数含有参数时，必须先讨论它是否等于 ，退化成一次不等式的情况单独处理。 4．由一元二次不等式的解集确定参数 （1）若 ax2+bx+c>0 的解集为 {x｜ m<x<n}（m<n），则 m，n 是方程 ax2+bx+c=0 的 ，且 a 0。 （2）若 ax2+bx+c>0 的解集为 {x｜ x<m 或 x>n}（m<n），则 m，n 是方程 ax2+bx+c=0 的 ，且 a 0。 （3）已知解集求参数时，把解集的端点代入相应的 ，即可求出参数。 5．简单分式不等式的解法 （1） 等价于 与 同号，可化为整式不等式 。 （2）解分式不等式时，分母不能为 ，解集中必须把这个值 。 自检自纠： 1．（1） （2）正数；根 （3）两边；中间 2．（1）上方 （2）两；两；无 （3）； 3．（1）； （2）； （3） 4．（1）两根；< （2）两根；> （3）方程 5．（1）分子；分母； （2）；排除 二、考点专练 考点一 一元二次不等式的解法（不含参） 方法与技巧： 1. 解题固定三步：先把二次项系数化为正数（两边同乘 记得变号），再求对应方程的根，最后按图象写解集。 1. 口诀要配合开囗方向记：、两根为 时， 的解集是“大于取两边” 或 ， 的解集是“小于取中间” 。 1. 且开口向上时整条抛物线都在 轴上方，此时 的解集为 、 的解集为 ，不要再去找根。 【例题精讲】 1．解不等式 。 【答案】 或 【详解】因式分解得 ，对应方程的两根为 ，。 由二次项系数 ，开口向上，“大于取两边”，得解集为 或 。 2．解不等式 。 【答案】 【详解】两边同乘 ，不等号变号，化为 。 因式分解得 ，两根为 ，。 开口向上，“小于取中间”，得解集为 。 【变式训练】 1．解不等式 。 【答案】 【详解】因式分解得 ，对应方程两根为 ，。 开口向上取中间，解集为 。 2．解不等式 。 【答案】 【详解】因式分解得 。 由 且仅在 时取 ，故只需 ，解集为 。 3．解不等式 。 【答案】 【详解】，方程 无实根。 又二次项系数 ，抛物线开口向上且整个在 轴上方，故对任意实数 不等式都成立，解集为 。 【巩固练习】 1．不等式 的解集为 。 【答案】 【详解】，两根为 ，，取中间，解集为 。 2．不等式 的解集为 。 【答案】 【详解】化为 ，即 ，两根为 ，，解集为 。 3．不等式 的解集为 。 【答案】 【详解】，由平方非负知只能 ，得 ，解集为 。 4．不等式 的解集为 。 【答案】 【详解】，只需 ，故解集为 。 5．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，且二次项系数 ，故 恒成立，原不等式无解，解集为 。故选 B。 6．不等式 的解集为 。 【答案】 【详解】，两根为 ，，解集为 。 7．不等式 的解集为 。 【答案】 或 【详解】，两根为 ，，取两边，解集为 或 。 8．不等式 的解集为 。 【答案】 【详解】化为 ，，方程无实根且开口向上，故 恒成立，原不等式解集为 。 考点二 含参数的一元二次不等式 方法与技巧： 1. 讨论顺序放第一位的永远是二次项系数是否为 ，退化成一次不等式时必须单独求值验证。 1. 能因式分解成 型的，全部难点就是比较 与 的大小，按 、、 三类写出解集， 时往往是空集。 1. 由解集反求系数时，抓住“解集端点就是方程的根”，再代入或对照因式分解式即可。 【例题精讲】 1．解关于 的不等式 。 【答案】当 时解集为 ；当 时为 ；当 时为 【详解】因式分解得 ，两根为 与 ，需比较二者大小。 当 时，取中间得 ； 当 时，不等式为 ，无解； 当 时，取中间得 。 2．解关于 的不等式 。 【答案】当 时解集为 或 ；当 时为 ；当 时为 或 【详解】对应方程两根为 与 ，按二者大小分类。 当 时，“大于取两边”得 或 ； 当 时，不等式为 ，得 ； 当 时，得 或 。 【变式训练】 1．解关于 的不等式 。 【答案】 【详解】因式分解得 。 由 恒成立，无需分类讨论，直接取中间得 。 2．解关于 的不等式 。 【答案】当 时解集为 ；当 时为 ；当 时为 【详解】因式分解得 ，两根为 与 。 由 ，当 时 ，解集为 ； 当 时，不等式为 ，无解； 当 时 ，解集为 。 3．已知不等式 的解集为 ，求实数 ， 的值。 【答案】， 【详解】由解集端点知方程 的两根为 与 。 于是 ，对照系数得 ，。 【巩固练习】 1．不等式 的解集为 （按 与 的大小讨论）。 【答案】当 时为 ；当 时为 ；当 时为 【详解】因式分解得 ，两根为 与 。 当 时解集为 ；当 时无解；当 时解集为 。 2．不等式 的解集为 。 【答案】当 时为 ；当 时为 ；当 时为 【详解】因式分解得 ，两根为 与 。 当 时 ，解集为 ； 当 时不等式为 ，无解； 当 时 ，解集为 。 3．已知不等式 的解集为 ，则 ， 的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】方程 的两根为 与 ， 故 ，对照系数得 ，。故选 A。 4．不等式 的解集为 。 【答案】当 时为 ；当 时为 ；当 时为 【详解】因式分解得 ，两根为 与 。 当 时 ，解集为 ； 当 时不等式为 ，无解； 当 时 ，解集为 。 5．若不等式 无解，则实数 的取值范围是（　　） A．-2≤a≤2 B．-2<a<2 C．a<-2 或 a>2 D． 【答案】A 【详解】不等式无解意味着开口向上的抛物线恒不在 轴下方，即 恒成立，需 ，解得 。故选 A。 6．若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 。 【答案】 【详解】二次项系数 已满足，还需 ，即 ，解得 。 7．已知不等式 的解集为 或 ，则 ， 的值为 。 【答案】， 【详解】方程 的两根为 与 ， 故 ，对照系数得 ，。 8．关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．-2<a≤2 B．-2<a<2 C．a<-2 D．a≥2 【答案】A 【详解】当 ，即 时，不等式化为 ，恒成立。 当 时，需 且 。 由 得 ，此时 自动满足。 综上，。故选 A。 考点三 一元二次不等式恒成立问题 方法与技巧： 1. 到 上恒成立的标准结论： 恒成立 且 （若是 则取 ）。 1. 最容易被漏掉的是 的情形：二次项系数含参数时，必须单独讨论退化成一次（或常数）不等式时是否成立。 1. 在给定的 x 的取值范围内恒成立，优先考虑分离参数——“ 大于 恒成立”等价于 的最大值。 【例题精讲】 1．若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】 【详解】二次项系数 ，抛物线开口向上。 要恒大于 ，只需抛物线与 轴无交点，即 ，解得 。 2．若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】 【详解】当 时，不等式化为 ，恒成立，符合题意。 当 时，需 且 ，解得 。 综上，。 【变式训练】 1．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】 【详解】二次项系数 ，需 ，解得 。 2．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】 【详解】当 时，不等式化为 ，不能对任意实数成立。 当 时，需 且 。 由 得 ，此时 自动满足。 综上，。 3．若不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】 【详解】配方得 ，当 时取最小值 。 要恒成立，只需 不超过这个最小值，故 。 【巩固练习】 1．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 【答案】 【详解】需 ，解得 。 2．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 【答案】 【详解】需 ，解得 。 3．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．0≤a<4 B．0<a<4 C．-4<a<0 D． 【答案】A 【详解】当 时化为 ，成立。 当 时，需 且 ，得 。 综上，。故选 A。 4．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 【答案】 【详解】 的最小值为 。 故需 。 5．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 【答案】 【详解】需 ，解得 。 6．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 知 ，不等式等价于 对任意 成立。 由 ，当 时取等号，故右侧最小值为 。 于是 ，即 。故选 A。 7．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 。 【答案】 【详解】分离参数得 对任意 成立。 当 时，，故 ，其最大值为 （当 时取得）。 于是 。 8．若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 【答案】 【详解】需 ，即 ，解得 。 考点四 由解集确定参数与二次式的简单应用 方法与技巧： 1. 由解集反推参数：解集的端点就是对应方程的两根，把端点代入方程即可求出待定参数。 1. 判断两根的位置可用图象：设 f(x)=ax2+bx+c（a>0），两根分居 k 的两侧等价于 f(k)<0。 1. 易错点：忘了先判断二次项系数的符号；把"解集为 R"与"解集为空集"的条件弄反；端点取不取到要看清是 > 还是 ≥。 【例题精讲】 1．解方程 x2-3x+1=0，并求两根之和、两根之积与两根的平方和。 【答案】，， 【详解】由求根公式得 x=3±52，故两根之和为 3，两根之积为 1。 于是两根的平方和为 32-2× 1=7。 于是 。 2．若不等式 x2+(k-2)x+1>0 的解集为 R，求实数 k 的取值范围。 【答案】0<k<4 【详解】解集为 R 需 Δ=(k-2)2-4<0，即 (k-2)2<4，解得 0<k<4。 【变式训练】 1．解方程 2x2-3x-1=0，并求两根之和、两根之积与两根的平方和。 【答案】两根之和为 32，两根之积为 -12，平方和为 134 【详解】由求根公式得 x=3±174，故两根之和为 32，两根之积为 -12。 于是两根的平方和为 (32)2-2×(-12)=94+1=134。 2．若方程 x2-2x+m=0 的一个根为 3，求实数 m 的值与另一个根。 【答案】m=-3；另一根为 -1 此时方程为 x2-2x-3=0，即 (x-3)(x+1)=0，另一根为 -1。 3．若方程 x2-6x+k=0 的一个根为 2，求实数 k 的值与另一个根。 【答案】k=8；另一根为 4；另一根为 4 【详解】把 x=2 代入得 4-12+k=0，解得 k=8。 此时方程为 x2-6x+8=0，即 (x-2)(x-4)=0，另一根为 4。 【巩固练习】 1．方程 的两根之和为 ，两根之积为 。 【答案】； 【详解】因式分解得 (x-2)(x-3)=0，两根为 2 与 3，故两根之和为 5，两根之积为 6。 2．方程 的两根为 ，，则 。 【答案】 【详解】因式分解得 (x-1)(x+3)=0，两根为 1 与 -3， 故 |x1-x2|=4。 3．方程 的一个根为 ，则 ，另一个根为 。 【答案】；另一根为 【详解】把 代入得 ，解得 。 此时方程为 ，即 ，另一根为 。 4．方程 的两根为 ，，则两根之和为 ，两根之积为 。 【答案】12；-32 【详解】因式分解得 (x+1)(2x-3)=0，两根为 -1 与 32， 故两根之和为 12，两根之积为 -32。 5．若方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，解得 。故选 A。 6．若关于 的方程 的一个根大于 ，另一个根小于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，其图象开口向上。 两根分居 的两侧等价于 ，即 ，解得 。故选 A。 7．若不等式 的解集非空，则实数 的取值范围是 。 【答案】 或 【详解】解集非空等价于开口向上的抛物线与 轴有两个交点，即 ，解得 或 。 8．若不等式 x2-2ax+a+2>0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解集为 R 需 Δ=4a2-4(a+2)<0，即 a2-a-2<0，解得 -1<a<2。故选 A。 考点五 一元二次不等式的实际应用 方法与技巧： 1. 应用题的标准流程：设未知量 列二次不等式（或函数） 解不等式 结合题意取舍。"不少于""不低于"是 ，"超过""多于"是 。 1. 面积类问题最常用的设法是"一边的长度 "，另一边用总长或总面积表示，最终都化归为 的二次不等式。 1. 解得的范围一定要与实际约束（边长为正、件数为整数、售价有意义）取交集，这一步省略就会被扣分。 【例题精讲】 1．某商品进价为每件 元，售价为每件 元时每月可售 件。市场调查表明：售价每提高 元，月销售量就减少 件。若要使月利润不低于 元，售价应在什么范围内？ 【答案】售价在 元到 元之间（含端点） 【详解】设售价提高 元（），则每件利润为 元，月销售量为 件。由题意 ，展开得 ，即 ，化为 。解得 。故售价应在 元至 元之间（含 元与 元）。 2．用一根长为 m 的材料围一块矩形场地，要求面积大于 m，求矩形一边长的取值范围。 【答案】一边长在 m 到 m 之间 【详解】设矩形的一边长为 m，则另一边长为 m。 由面积大于 得 ，即 ，化为 。 因式分解得 ，解得 。 故这一边的长应在 m 到 m 之间。 【变式训练】 1．某种商品每件成本 元，售价为 元时每月售出 件；售价每提高 元，月销量减少 件。要使月利润不低于 元，售价应定为多少？ 【答案】售价应定为 元 【详解】设售价提高 元，则每件利润为 元，月销量为 件。 由题意 ，展开得 ，即 ，化为 。 故 ，售价应定为 元。 2．一个矩形的长比宽多 m，若面积小于 m，求宽的取值范围。 【答案】宽在 m 到 m 之间 【详解】设宽为 m（），则长为 m。 由面积小于 得 ，即 ，因式分解得 。 解得 ，与 取交集得 。 3．某农场要建一块面积为 m 的矩形菜地，一边靠墙（墙长 m），另外三边用篱笆围起来。若篱笆总长不超过 m，求靠墙一边的长度范围。 【答案】靠墙一边的长在 m 到 m 之间（含端点） 【详解】设靠墙的一边长为 m，则另一边长为 m。 篱笆长为 ，由题意 。 又 ，两边同乘 得 ，因式分解得 ，解得 。 再与墙长限制 取交集，得 。 【巩固练习】 1．矩形的长比宽多 ，面积小于 ，则宽的取值范围是 。 【答案】 【详解】设宽为 （），则 ，即 ，分解为 。 解得 ，与 取交集得 。 2．要建一个面积为 m 的矩形场地，一边靠墙，另外三边用总长为 m 的篱笆围成，则垂直于墙的边长为（　　） A． m B． m C． m 或 m D． m 【答案】C 【详解】设垂直于墙的边长为 m，则靠墙边长为 m。 由面积得 ，即 ，化为 ，分解为 。 解得 或 （均满足 ）。故选 C。 3．某种商品每件成本 元，售价为 元时每月销售量为 件。要使月利润不少于 元，则售价的取值范围是（　　） A．30≤x≤50 B．20≤x≤40 C．35≤x≤45 D．25≤x≤45 【答案】A 【详解】月利润为 ，由 展开整理得 ， 即 ，分解为 。 解得 。故选 A。 4．一个矩形周长为 20，则它的对角线长的平方的最小值为（　　） A．50 B．100 C．25 D．40 【答案】A 【详解】设一边长为 ，则另一边长为 。 对角线长的平方为 x2+(10-x)2=2x2-20x+100=2(x-5)2+50≥ 50， 当且仅当 x=5 时取等号，故对角线长的平方的最小值为 50。故选 A。 5．要设计一块面积为 m 的矩形场地，一边靠墙，另外三边用长为 m 的篱笆围成，则垂直于墙的边长为（　　） A． m B． m C． m 或 m D．无法围成 【答案】C 【详解】设垂直于墙的边长为 m，则靠墙边长为 m。 由面积得 ，即 ，分解为 。 解得 或 ，均在 0<x<15 内，可以围成。故选 C。 6．某种药品每盒成本 元，售价为 元时每月销售 盒。要使月利润不少于 元，则售价的取值范围是（　　） A．50≤x≤70 B．40≤x≤80 C．45≤x≤75 D．55≤x≤65 【答案】A 【详解】由 展开整理得 ， 即 ，分解为 。 解得 。故选 A。 7．一间长方形会议室的长比宽多 m，要求面积大于 m 且小于 m，则宽的取值范围是（　　） A．10<x<15 B．5<x<20 C．10<x<20 D．12<x<15 【答案】A 【详解】设宽为 m（），则长为 m，由 得两个不等式。 由 得 ，即 ； 由 得 ，即 。 取交集得 。故选 A。 8．某种商品每件进价 元，售价为 元时月销量为 件。要使月利润不低于 元，则售价的取值范围是（　　） A．35≤x≤50 B．30≤x≤55 C．40≤x≤45 D．32≤x≤48 【答案】A 【详解】由 展开整理得 ， 即 。 方程 的判别式 ，两根为 ，即 与 。 故 。故选 A。 三、达标检测 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】，两根为 ，，取中间得 。故选 A。 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两根为 与 ，取两边得 或 。故选 A。 3．若不等式 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 ，解得 。故选 A。 4．若方程 的两根为 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故 。故选 B。 5．若关于 的不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化为 ，其解集为 （当 时），与已知对照得 。故选 C。 6．不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】A 【详解】等价于 且 ，两根为 ，，取中间得 。故选 A。 7．若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．-2<a<2 B．-2≤a≤2 C．a<-2 或 a>2 D． 【答案】A 【详解】需 ，解得 。故选 A。 8．不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】A 【详解】化为 ，即 ，解得 。故选 A。 9．已知 ，则 的取值范围是（　　） A．1<x<2 B．0<x<3 C．x<1 或 x>2 D．1≤x≤2 【答案】A 【详解】，解得 。故选 A。 10．若关于 的方程 有两个负实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设两根为 ，，需 ，，。 11．某商品每件进价 元，售价 元时月销量为 件，月利润不少于 元时售价的范围是（　　） A．40≤x≤80 B．50≤x≤70 C．35≤x≤75 D．45≤x≤65 【答案】A 【详解】由 得 ， 即 。 方程 的判别式为 ，两根为 ，即 与 。 故 。故选 A。 12．若不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】“大于零的解集取中间”只有在开口向下（）时才可能，故 ；其余符号无法由解集唯一确定。故选 B。 学科网（北京）股份有限公司 $