2.3 二次函数与一元二次方程、不等式专题（六大题型）训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式专题（六大题型） 目录 核心知识点梳理 1 1.三个“二次”内在联系 1 2.恒成立与能成立（有解）问题 1 3.韦达定理（根与系数的关系） 2 4.简单分式不等式（教材拓展，不引入高次穿根法） 2 5.易错提醒 2 题型模块（例题+举一反三） 2 题型1：求解一元二次与简单分式不等式（不含参数） 2 题型2：含参数一元二次不等式求解（分类讨论，必修难度，不出现复杂分式参数） 3 题型3：由不等式解集、方程根条件求参数（韦达+判别式综合） 4 题型4：对全体实数恒成立问题（必须讨论二次项系数为0） 5 题型5：闭区间上恒成立、能成立（存在性）问题 5 题型6：一元二次不等式实际应用 6 课后练习（基础+中档提升） 7 一、单选题 7 二、多选题 8 三、填空题 8 四、解答题 9 课后练习答案与详细解析 9 核心知识点梳理 1.三个“二次”内在联系 一元二次函数 ，一元二次方程 ，一元二次不等式 ，判别式 。 ​ ​ ​ ​ ​ 两不等实根 二重实根 无实数根 图像 抛物线与轴交于两点 抛物线与轴相切 抛物线全部在轴上方 解集 ​ ​ ​ 解集 ​ ​ ​ 解题规范：解一元二次不等式，先将二次项系数化为正数，计算判别式，求解对应方程的根，结合抛物线开口方向写出解集，结果写成集合形式。 2.恒成立与能成立（有解）问题 1. ，恒成立： · 务必讨论 ，没有指明是二次，则一次也要考虑。 1. ，恒成立： 1. 给定区间 上恒成立： · 参变分离： 恒成立； 恒成立。 · 数形结合：讨论二次函数对称轴与给定区间的位置关系，求区间最值。 1. 区间能成立（，存在解）： · 有解 ； · 有解 。 3.韦达定理（根与系数的关系） 若是方程 的两个实根，则 由不等式解集反求参数：解集为开区间，说明二次项系数，区间端点就是对应方程的两根。 4.简单分式不等式（教材拓展，不引入高次穿根法） 5.易错提醒 · 含参数二次不等式，要比较根的大小，做好分类讨论； · 区分“任意（恒成立）”与“存在（能成立）”，二者对应最值不一样； · 二次函数在闭区间上求最值，重点看对称轴是否落在区间内部； · 实际问题，不等式解要符合现实约束。 题型模块（例题+举一反三） 题型1：求解一元二次与简单分式不等式（不含参数） 例1(2025·雅礼中学高一月考)解不等式 。 解析：分式不等式等价转化为不等式组 解得 。 解集：。 举一反三 1. (2026·华师一附中高一期中)解不等式 。 1. (2024·金陵中学高一期末)解不等式 。 1. (2025·成都七中秋考)解不等式 。 1. (2026·石家庄二中)解不等式 。 1. (2024·杭州学军)解不等式 。 举一反三解析 1. ，解集。 2. ，解集。 3. ，解集。 4.，解集。 5.，解集。 题型2：含参数一元二次不等式求解（分类讨论，必修难度，不出现复杂分式参数） 例2(2025·郑州外国语高一期中)解关于的不等式 ，。 解析：方程两根 。 · 当，解集； · 当，，解集； · 当，解集。 举一反三 1. (2026·福州一中秋考)解关于的不等式 ，。 1. (2024·济南历城二中期末)解不等式 ，。 1. (2025·南昌二中月考)解不等式 。 1. (2026·太原五中)解关于不等式 。 1. (2024·武汉二中)解不等式 。 举一反三解析 1.比较和大小；：；：；：。 2.：无解；：解集；：解集。 3.；解集；：；解集。 4.根 ，，分 ；；分类写解集。 5.，比较与，分讨论。 题型3：由不等式解集、方程根条件求参数（韦达+判别式综合） 例3(2025·长沙雅礼月考)已知一元二次不等式 的解集是 ，求的值。 解析：解集是两根之间，说明 ， 是方程 的两根。 得 ，与矛盾，检查：原式解集为区间，则二次项系数为负，方程：，韦达：，，说明原不等式应为 ， 修正题意逻辑：不等式 解集，则，，。 。 举一反三 1. (2026·华师一附中)不等式 解集，求的值。 1. (2024·南京金陵中学)已知不等式 解集，求的值。 1. (2025·成都七中)已知方程 的两个根一个大于，一个小于，求实数的取值范围。 1. (2026·石家庄二中)已知一元二次不等式 解集为，求的值。 1. (2024·杭州学军)已知不等式 解集为，求参数取值。 举一反三解析 1.根；；；。 2.，根，韦达，，。 3.令，二次开口向上，一根大于2一根小于2等价，解得。 4.，根；韦达，；得，。 5.，。 题型4：对全体实数恒成立问题（必须讨论二次项系数为0） 例4(2025·郑州外国语期中)若对任意实数，不等式 恒成立，求实数的取值范围。 解析： · 当，即，不等式化简为恒成立，满足条件； · 当，则要求 · ，解得 。 综合：。 举一反三 1. (2026·福州一中月考)不等式 对任意恒成立，求的取值范围。 1. (2024·济南历城二中)若 的解集是，求的取值范围。 1. (2025·南昌二中)若对于任意实数，恒成立，求的取值范围。 1. (2026·太原五中)不等式 对全部实数恒成立，求的取值范围。 1. (2024·武汉二中)若解集为，求的取值范围。 举一反三解析 1.成立；得；综上。 2.，成立；，，得。 3.。 4.，不能恒成立；，。 5.，解得。 题型5：闭区间上恒成立、能成立（存在性）问题 例5(2025·雅礼中学月考)对，恒成立，求实数取值范围。 解析：，参变分离： 令，由基本不等式，当取最小值。 要恒成立，则。 举一反三 1. (2026·华师一附中) ，恒成立，求的取值范围。 1. (2024·金陵中学) ，有解，求的取值范围。 1. (2025·成都七中) 对，恒成立，求的取值范围。 1. (2026·石家庄二中) ，能成立，求的取值范围。 1. (2024·杭州学军)若，恒成立，求的取值范围。 举一反三解析 1.，在最小值；。 2.有解；在最大值；。 3.不等式恒成立；，，在递减，最小值；。 4.参变分离，存在使得；在最小值为；。 5.，，最大值；。 题型6：一元二次不等式实际应用 例6(2025·郑州外国语期中)某商店销售文具，每件进价元，售价元，销量为件，单件利润大于0；若总利润不低于元，求售价的取值。 解析：单件利润。 总利润 方程根 。 综上售价：，同时。 举一反三 1. (2026·福州一中月考)用总长篱笆围矩形场地，一边靠墙，垂直墙边长，要求面积大于，求范围。 1. (2024·济南历城二中)商品每件成本元，售价元，销量件，总利润超过元，求售价。 1. (2025·南昌二中)长方形周长，长为，面积不小于，求长取值。 1. (2026·太原五中)日销售每件利润元，日销量件，总利润不低于，求整数。 1. (2024·武汉二中)直角三角形一直角边为，另一直角边，面积大于，求范围。 举一反三解析 1.平行墙边长，，解得。 2.，整理，根，。 3.宽，，解得。 4.，化简，求整数解。 5.，。 课后练习（基础+中档提升） 一、单选题 1.(2026·深圳高级中学高一)不等式 的解集是( ) A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 2.(2026·郑州一中高一)已知不等式解集，则 A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 3.(2025·青岛二中高一)不等式 的解集是( ) A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 4.若不等式 解集为，则实数取值范围( ) A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 5.，恒成立，则的最小值为( ) A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 二、多选题 6.(2026·宁波中学高一)下列不等式解集正确的是( ) A. 解集为 B. 解集是 C. 解集 D. 解集 7.关于的不等式，下列说法正确的是( ) A. 解集 B. 解集为空集 C. 解集 D. 无论取何实数，解集不可能是 三、填空题 8.(2026·华师一附中高一)不等式 的解集是 。 9.若不等式 对一切实数恒成立，则实数取值范围 。 10.，有解，则取值范围是 。 四、解答题 11.解下列不等式： （1）； （2）。 12.(2026·长郡中学高一月考)已知不等式解集为。 （1）求实数的值； （2）解不等式 。 13.已知，不等式 恒成立，求实数的取值范围。 14.某农场建矩形围栏，围栏总长，一边利用旧墙，垂直旧墙边长米，要求矩形面积大于，求的取值范围。 课后练习答案与详细解析 1、 单选题 1.A。解析：，小于取中间，。 2.A。解析：，根，韦达：，；，。 3.B。解析：，开口向上，解集。 4.A。解析：，恒成立；时得，合并 。 5.A。解析：，，在区间最大值，，。 2、 多选题 6.ABC。D：无解。 7.ABCD。因式分解，开口向上，不可能全体实数小于0。 三、填空题 8.。解析等价。 9.。解析。 10.。解析：有解，在最大值，。 四、解答题 11.解： (1)，，解集。 (2)，解集。 12.解： (1)解集，，根，韦达定理： 得 。 (2)代入，不等式 ； 两根；解集。 13.解：，。 当，左边恒成立； ，，换元， ，故。 14.解：垂直旧墙，平行旧墙长。 面积 ，整理，。 综上取值范围：。 学科网（北京）股份有限公司 $