专题2.2 基本不等式专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.2 基本不等式（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型·1··由基本不等式比较大小 1 题型·2·利用基本不等式证明不等式 1 题型·3·利用基本不等式求最值 3 题型·4··基本不等式“1”的妙用求最值 3 题型·5·基本不等式的实际应用】 4 题型·1··由基本不等式比较大小 1．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 3．已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 4．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 题型·2·利用基本不等式证明不等式 5．（1）已知，求证：； （2）已知，．求证：． 6．（1）已知，，求证：； （2）已知，，，求证：． 7．对任意实数，.求证： 8．已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 9．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 题型·3·利用基本不等式求最值 10．已知一个直角三角形的斜边长为6，则其面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 11．已知，，，，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 12．已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 13．若的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 14．已知，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．2 15．若正数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 题型·4··基本不等式“1”的妙用求最值 16．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C． D． 17．已知实数，，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C．5 D．6 19．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 20．已知正实数x，y满足，则的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 21．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型·5·基本不等式的实际应用】 22．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为40米， （i），为何值时，菜园面积最大； （ii），为何值时，有最小值，最小值是多少． 23．某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方体房屋，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，房顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为. (1)设房屋总造价为元，请写出与之间的函数关系式； (2)怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少? 24．某厂家拟2027年举行某产品的促销活动．经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． (1)求的值； (2)将2027年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)问该厂家2027年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？求出利润的最大值． 25．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：设每月土地占地费为万元，仓库到车站的距离为千米，每月库存货物费为万元，已知与成反比，与成正比；若在距离车站12千米处建仓库，则，分别为3和9． (1)若在距离车站4千米处建仓库，求，． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使最小？最小值为多少？ 26．徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型·1··由基本不等式比较大小 1 题型·2·利用基本不等式证明不等式 3 题型·3·利用基本不等式求最值 6 题型·4··基本不等式“1”的妙用求最值 8 题型·5·基本不等式的实际应用】 11 题型·1··由基本不等式比较大小 1．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误， 对于B，，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，当时，不成立，故C错误， 对于D，当时，不成立，故D错误. 2．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 3．已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 4．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 题型·2·利用基本不等式证明不等式 5．（1）已知，求证：； （2）已知，．求证：． 【答案】（1）见详解； （2）见详解. 【分析】（1）先观察待证不等式的结构，已知，满足基本不等式的使用条件；然后对 ， 分别配凑常数项和，构造出可以运用基本不等式的形式；再写出两个不等式并将它们相加；最后通过移项整理，得到所要证明的结论，并验证等号成立的条件； （2）先对已知条件变形，将等式两边同时除以，得到两个数的倒数之和等于1；再展开需要证明的代数式，代入倒数和的关系进行化简，把证明问题转化为求的取值范围；接着利用基本不等式得到大于等于4，依据正数范围内分式的变化规律，推出的倒数不大于四分之一，最后完成不等式证明并确定等号成立的条件. 【详解】（1）因为，由基本不等式可得： ，， 将两式相加得：， 两边同时减去 得：， 当且仅当时等号成立，原不等式得证. （2）∵，等式两边同除以：， 则， 由基本不等式：， ，，当且仅当 ，即 时取等号， ，， ， 当且仅当 时，等号成立. 6．（1）已知，，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）因为，，则，， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以； （2）因为，，，则， 可得， 又因为，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 【详解】（1）略 （2）略 7．对任意实数，.求证： 【答案】 证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】略 8．已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之. 【详解】（1） 由知，因此. （2）略. 9．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1) 因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． (2) 因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）略 （2）略 题型·3·利用基本不等式求最值 10．已知一个直角三角形的斜边长为6，则其面积的最大值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【详解】设直角三角形的两直角边长分别为，则； 三角形面积，当且仅当时取等，所以三角形面积的最大值为. 11．已知，，，，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，，且， 所以（当且仅当时取等）． 12．已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 即，所以，当且仅当时，等号成立． 因此的最大值为. 13．若的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取等号. 14．已知，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】原等式变形为，再由基本不等式求解即可． 【详解】由得，得， 则， 等号成立时，，即， 故的最小值为． 15．若正数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，且，消去y，得到，由基本不等式求得最小值即可. 【详解】由，可得， 不等式变形得，结合，解得. , 当且仅当，即时取等号. 题型·4··基本不等式“1”的妙用求最值 16．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，，， 所以 当且仅当 ，即 时取等号； 即，时，的最小值为8. 选项A正确. 17．已知实数，，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正实数且，得. 令，，，则， 原问题转化为求的最小值. 由，得， 所以 ， 由基本不等式，对任意正实数有， 所以，，， 代入得， 当且仅当，，，即， 也就是时，等号成立，因此原式最小值为. 18．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由“1”的代换，转化为基本不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号，结合可得此时. 所以的最小值为. 19．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用得出，再利用“1”的妙用构造基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 20．已知正实数x，y满足，则的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为6. 21．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 当且仅当时取等，由解得， 即当时，的最小值是. 题型·5·基本不等式的实际应用】 22．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为40米， （i），为何值时，菜园面积最大； （ii），为何值时，有最小值，最小值是多少． 【答案】(1)， (2)（i），（ii）， 【详解】（1）由题意可得：菜园面积 ，篱笆总长 . 因为， 由基本不等式： ， 等号成立条件：当且仅当，即， 当米，米时，篱笆总长最小. （2）（i）由基本不等式， 得， 两边平方得：.等号条件：， 联立，解得， 所以，当米，米时，菜园面积最大. （ii）设 已知 ，所以 . 所以 ， ，由基本不等式得：， 所以，当且仅当，等号条件. 联立，解得， 所以当米，米时，最小值为. 23．某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方体房屋，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，房顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为. (1)设房屋总造价为元，请写出与之间的函数关系式； (2)怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少? 【答案】(1)，其中 (2)当房屋正面长为、侧面宽为时总造价最低，最低总造价为元 【分析】（1）求出房屋的宽，再结合题意可得出与之间的函数关系式以及的取值范围； （2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为房屋的地面面积为，其中房屋的长为，则房屋的宽为， 由题意可知，其中. （2）由基本不等式得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以房屋正面长为、侧面宽为时总造价最低，最低总造价为元. 24．某厂家拟2027年举行某产品的促销活动．经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． (1)求的值； (2)将2027年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)问该厂家2027年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？求出利润的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)投入3万元时，厂家的利润最大，利润最大为29万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售收入减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2027年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2027年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 25．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：设每月土地占地费为万元，仓库到车站的距离为千米，每月库存货物费为万元，已知与成反比，与成正比；若在距离车站12千米处建仓库，则，分别为3和9． (1)若在距离车站4千米处建仓库，求，． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使最小？最小值为多少？ 【答案】(1)万元，万元． (2)仓库应建在距离车站千米处，此时的最小值为万元． 【详解】（1）由题意，设，，其中． 当时，，，所以，．因此，． 当时，（万元），（万元）． （2）由小问1得，当时，． 当且仅当，即时取等号；又，故． 因此，仓库应建在距离车站千米处，总费用的最小值为万元． 26．徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 【答案】(1)最小值为，，. (2)(i)60，(ii)的最小值为，，. 【分析】根据题意列出关系式，利用不等式与“1”的代换进行求解。 【详解】（1）由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元， 云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元，且 ， 因为为正整数，故， 当时，成立， 故的最小值为，此时，. （2）(i)由于，， 则，整理得， 当且仅当，时等号成立. 因此的最小值为60. (ii)， 因为为正整数，故， 当时，成立且， 故的最小值为 ， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $