第二章 专题02 基本不等式专项训练（8大题型48题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题02 基本不等式（8大题型48题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　基本不等式的内容及成立条件（常考点） 题型二　用基本不等式求和的最小值（常考点） 题型三　用基本不等式求积的最大值（常考点） 题型四　“1”的妙用求最值（重点） 题型五　条件等式下的最值与实际应用（重点） 题型六　基本不等式的证明与判断（重点） 题型七　基本不等式求最值（解答）（难点） 题型八　基本不等式的综合与恒成立问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　基本不等式的内容及成立条件（共5小题） 【知识积累】 基本不等式：若 ，，则 ，当且仅当 时取等号。 成立条件：“一正、二定、三相等”——字母为正（或可使化为正）、和或积为定值、等号能取到。 变形：（）；（）。 【典例】 1．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【变式训练】 2．下列说法正确的是（    ）（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） A．已知，的最小值为5 B．已知，，且，则的最小值为 C．若，，，则的最小值是2 D．已知，，且，则的最小值为 3．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·全国·课堂例题） A．对于任意，，均成立 B．若，同号，则 C．若，，则恒成立 D．若，，且，则 4．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·江西赣州·开学考试） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 5．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·河南周口·阶段检测） A．时， B．时， C．时， D．时， 题型二　用基本不等式求和的最小值（共6小题） 【知识积累】 和定积最大、积定和最小：正数 、 的积一定时， 有最小值 。 凑“积为定值”：把所求式配成两项（或多项）之和，使各项之积为常数，再套基本不等式。 检验等号：求出最小值后，检查等号是否能取到；取不到则最小值不成立，需另想办法。 【典例】 6．已知，且，则的最小值为（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A．6 B．8 C． D． 【变式训练】 7．已知，，则的最小值为____________________．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测） 8．已知，则的最小值为______．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测） 9．存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______．（26-27高一上·重庆·阶段检测） 10．已知实数、满足．则的最小值为________；的最小值为________．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） 11．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测） (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 题型三　用基本不等式求积的最大值（共6小题） 【知识积累】 和一定求积的最大：正数 、 满足 （定值）时，。 系数配平： 时，常写成 ，从而得到 的上限。 二次型： 时，由 得 。 【典例】 12．若，，已知，则取得（     ）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） A．最大值为3 B．最小值为3 C．最大值为9 D．最小值为9 【变式训练】 13．的最大值为（    ）（26-27高一上·天津·期中） A． B． C．4 D．8 14．已知正数，满足，则的最大值为（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 15．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________（24-25高一上·福建宁德·阶段检测） 16．已知，则的最大值为______.（26-27高一上·河南安阳·阶段检测） 17．已知，且，则的最大值为________．（26-27高一上·山西运城·开学考试） 题型四　“1”的妙用求最值（共8小题） 【知识积累】 “1”的代换：已知 或 等形式时，用 去乘所求式，再拆项。 常见拆法： 展开后用基本不等式。 注意定义域：拆项后每一项都要为正，且等号条件能同时成立。 【典例】 18．若，则的最小值为（     ）（26-27高一上·江西抚州·阶段检测） A．4 B．2 C． D．1 【变式训练】 19．已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（    ）（26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测） A．1 B． C．15 D．25 20．设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·广西桂林·阶段检测） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．当时， 21．若，则的最小值是（     ）（25-26高一上·山东济宁·阶段检测） A． B． C． D． 22．已知正数满足，则的最小值为（    ）（25-26高一下·陕西西安·开学考试） A．5 B．8 C．9 D．11 23．已知正实数满足，则的最小值为（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A．9 B． C． D．13 24．若，则的最小值为（    ）（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测） A． B． C． D． 25．若，，，则的最小值为（    ）（25-26高一下·贵州毕节·期末） A． B． C． D．2 题型五　条件等式下的最值与实际应用（共6小题） 【知识积累】 条件等式：由 或 先表示一个字母，再代入所求式；或直接配凑。 增长率、道路容量等实际问题：先根据题意列出关系式，化成基本不等式可处理的形式。 多选题：每个选项单独用基本不等式或性质判断，注意等号能否取到。 【典例】 26．已知a，b，c为正实数，且，则（    ）（25-26高一下·山东潍坊·期中） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 【变式训练】 27．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b（，），这两年的平均增长率为x，则（     ）（26-27高一上·重庆永川·阶段检测） A． B． C． D． 28．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路单位时间内通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速．当安全距离取时，该道路的“道路容量”的最大值约为（    ）（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测） A．90 B．96 C．110 D．122 29．已知，，下列说法错误的是（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 30．若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 31．下列结论正确的是（    ）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） A．当时，的最小值是3 B．当时，的最小值是5 C．设，且，则的最小值是 D．设，且，则的最小值为4 题型六　基本不等式的证明与判断（共4小题） 【知识积累】 证明思路：作差法、作商法或直接用基本不等式；有时先配方。 判断正误：看是否满足“一正二定三相等”；等号取不到的“最小值”说法是错的。 由 等条件：把 代入或换成 ，再放大、缩小。 【典例】 32．已知，，则（    ）（26-27高一上·全国·课堂例题） A． B． C． D． 【变式训练】 33．若是正实数且满足，则以下选项中正确的有（ ）（26-27高一上·贵州·期中） A． B． C． D． 34．已知，，则下列说法不正确的有（     ）（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测） A． B．若，则 C．若，则 D． 35．已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 题型七　基本不等式求最值（解答）（共6小题） 【知识积累】 解题步骤：先看定义域（字母为正、分母不为零等），再配凑，最后求等号条件。 分式型：（）的最小值是 ；注意 的范围能否取到等号。 多小问：每问独立完成，书写要有“由基本不等式”“当且仅当”等关键语句。 【典例】 36．(1)已知实数x，y满足，，求的取值范围．（24-25高一上·山东烟台·阶段检测） (2)已知实数，求的最小值． (3)已知x，且，试求的取值范围． 【变式训练】 37．(1)已知，求的最小值；（26-27高一上·宁夏石嘴山·阶段检测） (2)已知，，且，求的最大值； (3)若正数，满足，求的最小值． 38．（1）已知，求的最小值.（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） （2）已知，且，求的最小值； 39．（1）设，求的最大值；（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测） （2）已知实数，且，求的最大值. 40．已知，，且．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） (1)求的最小值； (2)求的最小值． 41．（1）已知，求函数的最小值；（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） （2）已知，，且，求的最小值． 题型八　基本不等式的综合与恒成立问题（共7小题） 【知识积累】 恒成立求参数：先用基本不等式求出左边的最小值（或最大值），再与参数比较。 取值范围：所求式的取值范围写成不等式或集合。 实际建模：设出变量，列出约束（周长、面积等），化为基本不等式问题。 【典例】 42．若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（    ）（24-25高一上·山东烟台·阶段检测） A．5 B．4 C．7 D．9 【变式训练】 43．若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ）（25-26高一下·浙江杭州·期末） A． B． C． D． 44．若，，且满足，则的最小值为_________．（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） 45．（1）若，求的最大值；（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） （2）已知，求的最大值； （3）若正数x，y满足：，求xy的取值范围. 46．回答以下问题：（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测） (1)当时，比较与的大小； (2)已知正数，满足，若恒成立，求的取值范围． 47．某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为x米，平行于墙的一条边长为y米，且．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） (1)已知所用的篱笆长为60米． ①当菜地面积为400平方米时，求x的值． ②设菜地面积为S平方米，当y为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． (2)若要围成面积为128平方米的菜地，需要用的篱笆长最少是多少米？ 48．为正实数，，求的最小值．（2026高一上·全国·专题练习） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题02 基本不等式（8大题型48题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　基本不等式的内容及成立条件（常考点） 题型二　用基本不等式求和的最小值（常考点） 题型三　用基本不等式求积的最大值（常考点） 题型四　“1”的妙用求最值（重点） 题型五　条件等式下的最值与实际应用（重点） 题型六　基本不等式的证明与判断（重点） 题型七　基本不等式求最值（解答）（难点） 题型八　基本不等式的综合与恒成立问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　基本不等式的内容及成立条件（共5小题） 【知识积累】 基本不等式：若 ，，则 ，当且仅当 时取等号。 成立条件：“一正、二定、三相等”——字母为正（或可使化为正）、和或积为定值、等号能取到。 变形：（）；（）。 【典例】 1．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】A 【详解】对于A，当时，，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，当时，，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，当且仅当时等号成立，故D错误. 【变式训练】 2．下列说法正确的是（    ）（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） A．已知，的最小值为5 B．已知，，且，则的最小值为 C．若，，，则的最小值是2 D．已知，，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】本题考查基本不等式的应用，利用配凑法、换元法、“1的代换”转换所求代数式，求解时要注意“一正、二定、三相等”。 【详解】对于A， ， 因为，所以，故 （当且仅当即时取等号），所以,故选项A错误； 对于B，已知，，且，所以， 那么 （当且仅当即时取等号），故选项B正确； 对于C，若，，，则即， 所以，即，，故, 当且仅当即时取等号，故选项C正确； 对于D，已知，，且，那么 ，当且仅当即时取等号， 故选项D正确. 3．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·全国·课堂例题） A．对于任意，，均成立 B．若，同号，则 C．若，，则恒成立 D．若，，且，则 【答案】BD 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，即，所以. 如，，，，此时不成立. 综上，A错误. 对于B，若，同号，则，，所以， 当且仅当即时等号成立，B正确. 对于C，如，，，，此时不成立，C错误. 对于D，若，，则，当且仅当时等号成立. 而，所以等号取不到，所以若，，且，则，D正确. 4．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·江西赣州·开学考试） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】BC 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，因为，所以，当且仅当即时取“”.故B正确； 对C，当时，，当且仅当时取“”.故C正确； 对D，当时，.故D错误. 5．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·河南周口·阶段检测） A．时， B．时， C．时， D．时， 【答案】ACD 【详解】A项： 时，，当且仅当时取等号，A选项正确. B项： 时，，当且仅当时取等号，B选项错误. C项： 时，，当且仅当时取等号，C选项正确. D项： 时，，当且仅当时取等号，D选项正确. 题型二　用基本不等式求和的最小值（共6小题） 【知识积累】 和定积最大、积定和最小：正数 、 的积一定时， 有最小值 。 凑“积为定值”：把所求式配成两项（或多项）之和，使各项之积为常数，再套基本不等式。 检验等号：求出最小值后，检查等号是否能取到；取不到则最小值不成立，需另想办法。 【典例】 6．已知，且，则的最小值为（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】先展开代数式，利用已知化简，再用基本不等式求最小值，验证等号可取，得到原式最小值. 【详解】因为且， 所以， 当且仅当时取等号，结合可知，此时. 所以的最小值为. 【变式训练】 7．已知，，则的最小值为____________________．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测） 【答案】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 8．已知，则的最小值为______．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测） 【答案】3 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 9．存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______．（26-27高一上·重庆·阶段检测） 【答案】50 【分析】先根据存在性，把问题转化成求右侧齐次式代数式最小值；利用双换元减少变量化成可用基本不等式的形式，最后验证等号成立的条件. 【详解】原不等式变形为， 题目为存在性问题，只需大于等于右侧代数式的最小值即可. 令，则 当且仅当即时取等号. 故即的最小值为 10．已知实数、满足．则的最小值为________；的最小值为________．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） 【答案】 / 【分析】由已知等式得出，再结合基本不等式可求出、的最小值. 【详解】因为实数、满足，所以，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 11．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测） (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元 (2) 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， ，又，故， 即的取值范围为. 题型三　用基本不等式求积的最大值（共6小题） 【知识积累】 和一定求积的最大：正数 、 满足 （定值）时，。 系数配平： 时，常写成 ，从而得到 的上限。 二次型： 时，由 得 。 【典例】 12．若，，已知，则取得（     ）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） A．最大值为3 B．最小值为3 C．最大值为9 D．最小值为9 【答案】A 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立， 即当或时，取得最大值为． 【变式训练】 13．的最大值为（    ）（26-27高一上·天津·期中） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式化简即可得出结果. 【详解】由 ， 则由基本不等式可得：， 当且仅当时取等号，即的最大值为. 14．已知正数，满足，则的最大值为（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 即，所以，当且仅当时，等号成立． 因此的最大值为. 15．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________（24-25高一上·福建宁德·阶段检测） 【答案】 / / 【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值，并求得此时的，得到的值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 16．已知，则的最大值为______.（26-27高一上·河南安阳·阶段检测） 【答案】 【详解】已知，因此，， 对原式平方，展开得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，也就是时等号成立， 代入平方可得：， 由于，两边开平方得，即最大值为. 17．已知，且，则的最大值为________．（26-27高一上·山西运城·开学考试） 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 题型四　“1”的妙用求最值（共8小题） 【知识积累】 “1”的代换：已知 或 等形式时，用 去乘所求式，再拆项。 常见拆法： 展开后用基本不等式。 注意定义域：拆项后每一项都要为正，且等号条件能同时成立。 【典例】 18．若，则的最小值为（     ）（26-27高一上·江西抚州·阶段检测） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】因为，，，即， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 【变式训练】 19．已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（    ）（26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测） A．1 B． C．15 D．25 【答案】D 【详解】 ，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为. 20．设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·广西桂林·阶段检测） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．当时， 【答案】BD 【分析】通过基本不等式，依次判断各选项即可. 【详解】对于A，由平均值不等式得，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，由得，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由于，令，则，故C错误； 对于D，已知，则且， 因此， 当且仅当，即时取等号，符合题意，故D正确； 21．若，则的最小值是（     ）（25-26高一上·山东济宁·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知，利用基本不等式“1”的应用，即可求出的最小值. 【详解】由，，所以，由基本不等式可得， ， 当且仅当，即时，取等号，此时取最小值为4. 22．已知正数满足，则的最小值为（    ）（25-26高一下·陕西西安·开学考试） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为9. 23．已知正实数满足，则的最小值为（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A．9 B． C． D．13 【答案】B 【详解】已知正实数满足，由于，，等式两边同时除以， 化简得， 通过“1”的代换得. 由于，因此，当且仅当即时等号成立. 将代入，解得，满足正实数条件， 因此的最小值为. 24．若，则的最小值为（    ）（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，由已知条件确定，且，展开后利用均值不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则， 所以， ，当且仅当， 即时等号成立，故的最小值为. 25．若，，，则的最小值为（    ）（25-26高一下·贵州毕节·期末） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 题型五　条件等式下的最值与实际应用（共6小题） 【知识积累】 条件等式：由 或 先表示一个字母，再代入所求式；或直接配凑。 增长率、道路容量等实际问题：先根据题意列出关系式，化成基本不等式可处理的形式。 多选题：每个选项单独用基本不等式或性质判断，注意等号能否取到。 【典例】 26．已知a，b，c为正实数，且，则（    ）（25-26高一下·山东潍坊·期中） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接用基本不等式即可判断；对于B，将其变形为，利用基本不等式化成关于的一元二次不等式求解判断；对于C，将其变形为，利用基本不等式计算判断；对于D，利用将化成，两次应用基本不等式计算判断. 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 三、概念填空 【变式训练】 27．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b（，），这两年的平均增长率为x，则（     ）（26-27高一上·重庆永川·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合基本不等式，即可得到答案. 【详解】根据题意，这两年的平均增长率为， 可得，所以， 因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以. 28．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路单位时间内通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速．当安全距离取时，该道路的“道路容量”的最大值约为（    ）（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测） A．90 B．96 C．110 D．122 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】 当且仅当，即时等号成立， 所以该道路的“道路容量”的最大值约为. 29．已知，，下列说法错误的是（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，若，，则，， 不满足； 对于B，若，，则，不满足； 对于C，若， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； 对于D，若， 则， 当且仅当，即时等号成立，不满足. 30．若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】BCD 【分析】已知等式约束条件，逐个选项利用基本不等式，求解最值并验证等号成立的条件. 【详解】A选项：因为，，所以，则，解得， 当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项A错误； B选项：因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项B正确； C选项：由，得， 即，得， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项C正确； D选项：因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项D正确. 31．下列结论正确的是（    ）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测） A．当时，的最小值是3 B．当时，的最小值是5 C．设，且，则的最小值是 D．设，且，则的最小值为4 【答案】AC 【分析】根据基本不等式判断A，取特殊值判断B，根据“1”的变形技巧结合基本不等式判断C，D即可. 【详解】当时，可得， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 当时，不妨取，，故B错误； 因为，由， 因，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为，故D错误. 题型六　基本不等式的证明与判断（共4小题） 【知识积累】 证明思路：作差法、作商法或直接用基本不等式；有时先配方。 判断正误：看是否满足“一正二定三相等”；等号取不到的“最小值”说法是错的。 由 等条件：把 代入或换成 ，再放大、缩小。 【典例】 32．已知，，则（    ）（26-27高一上·全国·课堂例题） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当时，，A错误. 对于B，如，，，此时不成立，B错误. 对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 又，所以，C正确. 对于D，如，，，此时不成立，D错误. 【变式训练】 33．若是正实数且满足，则以下选项中正确的有（ ）（26-27高一上·贵州·期中） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项 A： 因为是正实数且满足， 所以由基本不等式得： ， 当且仅当 ，即 ，结合 ，得 时取等. 因此，选项 A正确； 选项 B： 因为是正实数，所以由基本不等式得：，当且仅当 时取等. 但 且 ，所以 ，因此 （因为 ）. 因此，选项 B正确； 选项 C： ， 由是正实数且满足得：， 因此：，即 ，与选项 C中 的 不等号 相反. 因此，选项 C错误； 选项 D： 利用 ，即 ，代入：， 因为是正实数且满足，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时取等号. 故，因此，选项 D正确. 34．已知，，则下列说法不正确的有（     ）（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABC 【分析】当时，不等式显然不成立，即可判断A；举反例判断B，C；用作差法判断D. 【详解】对于A，当时，，，而， 则显然不成立，故A错误； 对于B，因为，，， 当时，满足上述条件， 但，故B错误； 对于C，因为，，， 当时，满足上述条件， 但，故C错误； 对于D，因为，， 且， 所以，故D正确. 35．已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项通过消元，结合二次函数即可判断，BCD通过基本不等式和乘“1”法即可判断. 【详解】对于A，由题意得，， 则， 当且仅当时等号成立，故A错误. 对于B，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，，由基本不等式得， 故，当且仅当时等号成立，故D正确. 题型七　基本不等式求最值（解答）（共6小题） 【知识积累】 解题步骤：先看定义域（字母为正、分母不为零等），再配凑，最后求等号条件。 分式型：（）的最小值是 ；注意 的范围能否取到等号。 多小问：每问独立完成，书写要有“由基本不等式”“当且仅当”等关键语句。 【典例】 36．(1)已知实数x，y满足，，求的取值范围．（24-25高一上·山东烟台·阶段检测） (2)已知实数，求的最小值． (3)已知x，且，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由不等式的性质求解． （2）由基本不等式求最小值． （3）由，可得，从而有，进一步即可求出的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 （3）由，，得，当且仅当时等号成立， 由得， ， 令，则， 即， 解得舍去，或， 即，当且仅当时等号成立， 所以的取值范围是． 【变式训练】 37．(1)已知，求的最小值；（26-27高一上·宁夏石嘴山·阶段检测） (2)已知，，且，求的最大值； (3)若正数，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当 ，即，即时取等号， 故的最小值为． （2）因为，，则， 又，则，即，即， 当且仅当，即， 时取等号， 故的最大值为． （3）由正数，满足，则， 所以， 当且仅当，即， 时取等号， 故的最小值为． 38．（1）已知，求的最小值.（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） （2）已知，且，求的最小值； 【答案】（1）5；（2）24 【分析】（1）由配凑法结合基本不等式求解即可. （2）利用乘1法结合基本不等式求解即可. 【详解】（1） ， ，， 则， 当且仅当，即时，取最小值5， （2），， 当且仅当时，取最小值24， 又因为，所以当且仅当时，取最小值24. 39．（1）设，求的最大值；（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测） （2）已知实数，且，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），， ， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以，即. 联立，解得，，满足，等号可取. 故的最大值为. （2）由，且得， 当且仅当时等号成立. 联立，解得，，满足，等号可取. 故的最大值为16. 40．已知，，且．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件结合基本不等式可求得的最小值； （2）由已知等式得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，，所以，即，可得， 当时，即当时取等，. （2）由得，， 因此， 当且仅当时，即当时取等，故取得最小值. 41．（1）已知，求函数的最小值；（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） （2）已知，，且，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）． 【分析】（1）将函数解析式变形凑出乘积为定值的两项，结合基本不等式求解最小值，需验证等号成立的条件. （2）利用已知的进行常数代换，将目标式变形展开后结合基本不等式求解最小值，需验证等号成立的条件. 【详解】（1） 因为，所以．由基本不等式： 当且仅当，即 时取等号． 所以 （2）利用“1”的代换： 由基本不等式 所以 当且仅当，即时取等号． 结合，得．所以最小值为 题型八　基本不等式的综合与恒成立问题（共7小题） 【知识积累】 恒成立求参数：先用基本不等式求出左边的最小值（或最大值），再与参数比较。 取值范围：所求式的取值范围写成不等式或集合。 实际建模：设出变量，列出约束（周长、面积等），化为基本不等式问题。 【典例】 42．若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（    ）（24-25高一上·山东烟台·阶段检测） A．5 B．4 C．7 D．9 【答案】B 【分析】将不等式化为，利用基本不等式求出，即可得解. 【详解】因为，所以，，， 不等式， 即， 即 又 当且仅当时，取等号， 则，即， 则整数k的最大值为 【点睛】本题考查基本不等式求最值. 【变式训练】 43．若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ）（25-26高一下·浙江杭州·期末） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 44．若，，且满足，则的最小值为_________．（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） 【答案】/ 【分析】由题意可得，，且，化简得 ，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，，， 即有， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 45．（1）若，求的最大值；（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） （2）已知，求的最大值； （3）若正数x，y满足：，求xy的取值范围. 【答案】 （1）；（2）；（3） 【详解】（1）当时，，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的最大值为； （2）当时，，变形得， 由基本不等式得， 因此， 当且仅当，即时取等号，因此的最大值为； （3），由基本不等式得，当且仅当时取等号， 代入条件，得， 令，不等式化为， 解得或（舍去），因此，即， 故的取值范围是. 46．回答以下问题：（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测） (1)当时，比较与的大小； (2)已知正数，满足，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) 【详解】（1）因为， 所以当时，；当时， （2）因为是正数，所以是正数， 因为， 所以 ， 等号成立时，即， 因为恒成立，所以， 故的取值范围为. 47．某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为x米，平行于墙的一条边长为y米，且．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） (1)已知所用的篱笆长为60米． ①当菜地面积为400平方米时，求x的值． ②设菜地面积为S平方米，当y为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． (2)若要围成面积为128平方米的菜地，需要用的篱笆长最少是多少米？ 【答案】(1)①；②当时，取得最大值为450平方米 (2)32米． 【分析】（1）（2）根据题意列出相互间的等量关系，再利用基本不等式求其最值. 【详解】（1）因为所用的篱笆长为60米，所以． ①因为菜地面积为400平方米，所以． 联立，解得或， 依题意，，则； ②因， 当且仅当，即，时，取得最大值为450平方米； （2）因需要用的篱笆长为米．且， 则， 当且仅当时等号成立，即需要用的篱笆长最少是32米． 48．为正实数，，求的最小值．（2026高一上·全国·专题练习） 【答案】3 【分析】由题意可得,把三式变形相加后利用基本不等式即可求得最值. 【详解】由可得, 变形得, 所以 , 当且仅当,,时等号成立． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $