基本不等式专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以9类题型构建从条件判断到综合应用的完整训练体系，聚焦数学思维与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件判断|9题|考查“一正二定三相等”条件辨析|概念理解基础，为后续应用铺垫| |和积最值|含选择、填空、解答题|直接应用基本不等式求最值|承接条件判断，强化公式正向应用| |直接/配凑/常数代换/消元法|各5-10题|针对不同结构特征的最值求解技巧|从简单到复杂，体现方法递进| |恒成立问题|15题|结合参数范围考查不等式应用|深化最值理解，提升推理意识| |实际应用|8题|联系生活情境构建数学模型|培养应用意识，体现数学语言表达| |证明|6题|利用基本不等式证明代数不等式|综合运用知识，发展逻辑推理|

基本不等式专题训练 （参考答案） 题型1：基本不等式使用条件的判断 题型2：利用基本不等式求和与积的最值 题型3：直接法求最值 题型4：配凑法求最值 题型5：常数的代换求最值 题型6：消元法求最值 题型7：基本不等式恒成立问题 题型8：基本不等式在实际问题中的应用 题型9：运用基本不等式证明不等式 题型1：基本不等式使用条件的判断 1．（2026·合肥·月考）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】A 由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 2．（2025·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【解析】D 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 3．（湘教版课后习题）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【解析】C 对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 4．（2025·辽宁·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】B 成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件. 5．（2025·昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【解析】D 因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 6．（2026·浙江·期中）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】B 当时，不等式显然不成立，故选项A错误； 因为，故选项B正确； ，不等式显然不成立，故选项C错误； 不等式成立的条件为，，故选项D错误. 7．（2026·陕西·阶段检测）（多选）下列各式中，最小值是2的有（    ） A． B． C． D． 【解析】AD对于A，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故A符合题意； 对于B，当时，，B不符合题意； 对于C，，此时无解， 即，则C不符合题意； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故D符合题意. 8．（2026·四川·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【解析】ACD 选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 9．（2025·内蒙古呼和浩特·期中）（多选）下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【解析】AD 对于A，当时，，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，时，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，，当且仅当，即时取等号，故D正确. 题型2：利用基本不等式求和与积的最值 1．（2026·驻马店·开学考）已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解析】B 原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 2．（2026·南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】B 由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 3．（2025·厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】C 因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 4．（2025·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【解析】A 由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 5．（2025·云南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【解析】D 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 6．（2025·丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】C 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 7. 已知 ， ，则 的最小值为 . 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 8. 已知正实数，，满足，则的最小值为 . 【解析】， 又，为正实数，所以， 则，当时取等， 所以的最小值为3. 9. 已知，且，则的最大值为 ． 【解析】由，得，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为25； 10. 已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【解析】时，和都为正值，，即和为定值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是1． 由于时，和都为正值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是． 11. 求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【解析】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 12. （1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以， 所有， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. （2）∵， ， ∴， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 13. 回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 【解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； （2）， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； （3）因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 题型3：直接法求最值 1．（2026·河北·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【解析】B由题意得，，等号成立时， 故的最小值为. 2．（2026·北京·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【解析】D 且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 3．（2025·福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解析】B若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 4．设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【解析】C ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 5．（2026·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【解析】D由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 6．已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【解析】B ， 当且仅当时等号成立， 因为， 所以解得时等号成立，取最小值，即. 7．（2026·重庆·开学考试）已知，，则的最小值为________． 【解析】由，，得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 8．若，则的最大值是______． 【解析】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 9．（2026·天津·期末）若，则的最大值为________． 【解析】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 题型4：配凑法求最值 1. 已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解析】D 由题意， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 2. 已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【解析】D 因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 3. 若函数在处取最小值，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 【解析】B 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得. 4. 实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解析】B 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 5. 若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【解析】B 因为，， 所以 则 当且仅当时，取得最小值2. 6. 若，则的最小值为 ． 【解析】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 题型5：常数的代换求最值 1．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】C ∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 2．已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】B 因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 3．（2026·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【解析】C 已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 4．已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】B 由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 5．（2026·南京·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【解析】A 由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 6．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【解析】C 已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 7．（2026·天津·开学考试）若，且，则的最小值为___________． 【解析】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 8．已知，，则的最小值为__________． 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 9．（2026·商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【解析】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 10．已知，，且，则的最小值为__________． 【解析】因为，，，所以， ， . 所以， . 所以 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 题型6：消元法求最值 1. 已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】C 因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 2. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【解析】A 由，可得，故， 则， 当且仅当，时取等号，故目标式的最小值为9. 3. 已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解析】C 由得， 即， 当且仅当，取到等号， 4. 已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解析】C 根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立. 5. 已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【解析】C 由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 6. 已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【解析】B 由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 7. 已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【解析】B 由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为. 8. 若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【解析】B 由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 题型7：基本不等式恒成立问题 1．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【解析】A 因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 2．已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【解析】C 不等式恒成立， 即， 因，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则，故． 3．若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【解析】B 依题意有， 因为,故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，得． 4．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【解析】A 因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 5．若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【解析】A 当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 6．（2026·安徽·阶段检测）设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【解析】C 、是正实数，且， 则， 则， 当且仅当即时等号成立， 但、是正实数，所以的最小值的极限值为1， 因为不等式恒成立，所以. 故实数的最大值为1. 7．（2026·云南·阶段检测）若正数x，y满足，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】D ， ，当且仅当，即，时取等号， ， ，解得， 的取值范围为． 8．（2025·辽宁·阶段检测）（多选）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】CD 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有，， 9．（多选）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】AB 由题意知，， 所以， 当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确. 10．已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 【解析】因为，故， 因为，故， 而，故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故，故实数的最大值是. 11．（2026·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【解析】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   12．已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【解析】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 13．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【解析】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 14．（2026·广东·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【解析】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当时等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 15．求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型8：基本不等式在实际问题中的应用 1．（2025·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【解析】C 由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 2．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【解析】B 由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 3．（2026·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【解析】B 设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 4．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【解析】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 5．（2025·南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【解析】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 6．（2026·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【解析】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 7．（2026·阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【解析】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 8．（2026·福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【解析】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 题型9：运用基本不等式证明不等式 1．已知，证明：. 【解析】， ， 当且仅当，即，时，等号成立， . 2．（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 【解析】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 3．（2026·河北·期中）已知证明： (1) (2) 【解析】(1) 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． (2) 因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 4．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【解析】(1) 因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． (2) 因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 5．（2026·海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 【解析】（1）因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，得证； （2）因为，所以（当且仅当时等号成立）， 因为，移项，得， 所以， 设，则，解得（舍去）或， 因为，所以， 故的取值范围为． 6．已知实数，满足下列条件： (1)当时，比较与的大小； (2)当，且时，证明：； (3)当，且时，求的最小值. 【解析】(1) 当时， 当时，． (2)证明: 已知，且， 则 ， 即，得，当且仅当时取等号， 所以． （3）已知，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式专题训练 题型1：基本不等式使用条件的判断 题型2：利用基本不等式求和与积的最值 题型3：直接法求最值 题型4：配凑法求最值 题型5：常数的代换求最值 题型6：消元法求最值 题型7：基本不等式恒成立问题 题型8：基本不等式在实际问题中的应用 题型9：运用基本不等式证明不等式 题型1：基本不等式使用条件的判断 1．（2026·合肥·月考）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 3．（湘教版课后习题）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 4．（2025·辽宁·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江·期中）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西·阶段检测）（多选）下列各式中，最小值是2的有（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·内蒙古呼和浩特·期中）(多选)下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 题型2：利用基本不等式求和与积的最值 1．（2026·驻马店·开学考）已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 5．（2025·云南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 6．（2025·丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 已知 ， ，则 的最小值为 . 8. 已知正实数，，满足，则的最小值为 . 9. 已知，且，则的最大值为 ． 10. 已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 11. 求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 12. （1）已知求的最大值； （2） 已知，求的最小值． 13. 回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 题型3：直接法求最值 1．（2026·河北·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 2．（2026·北京·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 5．（2026·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 6．已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 7．（2026·重庆·开学考试）已知，，则的最小值为________． 8．若，则的最大值是______． 9．（2026·天津·期末）若，则的最大值为________． 题型4：配凑法求最值 1. 已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 3. 若函数在处取最小值，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 4. 实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5. 若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 6. 若，则的最小值为 ． 题型5：常数的代换求最值 1．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 4．已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·南京·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 6．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 7．（2026·天津·开学考试）若，且，则的最小值为___________． 8．已知，，则的最小值为__________． 9．（2026·商丘·期末）已知，则的最小值为________． 10．已知，，且，则的最小值为__________． 题型6：消元法求最值 1. 已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 3. 已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4. 已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5. 已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 6. 已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 7. 已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 8. 若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 题型7：基本不等式恒成立问题 1．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 4．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 5．若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 6．（2026·安徽·阶段检测）设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 7．（2026·云南·阶段检测）若正数x，y满足，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁·阶段检测）（多选）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 11．（2026·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 12．已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 13．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围. 14．（2026·广东·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 15．求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 题型8：基本不等式在实际问题中的应用 1．（2025·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 2．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 5．（2025·南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 6．（2026·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 7．（2026·阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 8．（2026·福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 题型9：运用基本不等式证明不等式 1． 已知，证明：. 2．（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 3．（2026·河北·期中）已知证明： (1) (2) 4．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 5．（2026·海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 6．已知实数，满足下列条件： (1)当时，比较与的大小； (2)当，且时，证明：； (3)当，且时，求的最小值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $