专题2.1 等式性质与不等式性质专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.1 等式性质与不等式性质（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型·1·用不等式表示不等关系 1 题型·2·作差法比较代数式的大小 3 题型3·作商法比较代数式的大小 4 题型·4·由已知条件判断所给不等式是否正确 6 题型·5·由不等式的性质证明不等式 7 题型·1·用不等式表示不等关系 1．限速50km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过50km/h，写成不等式就是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】速度不超过，写成不等式就是. 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 3．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 4．某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【分析】根据题意可得不等式，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. 5．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 题型·2·作差法比较代数式的大小 6．设，，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助作差法计算即可得. 【详解】 ， 故. 7．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 8．比较代数式的大小：______.（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【详解】因为，所以. 9．（1）已知，比较与的大小； （2）已知、且、，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用作差法计算即可得； （2）利用作差法计算即可得. 【详解】（1） ， 由，则，由，则， 故； （2） ， 故. 10．（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可求解， （2）利用作差法，结合配方以及平方的性质即可求解. 【详解】（1）．     因为，，所以，， 所以．    因为，所以，     又，，所以，所以， 所以，   所以，即．     （2） ．    因为，，所以， 所以． 题型3·作商法比较代数式的大小 11．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 13．如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 【答案】 【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。 【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。 综上： 故答案为： 【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。 14．比较与（且，且）的大小． 【答案】（当且仅当时等号成立） 【分析】由且，且，得，；通过作商法比较与的大小. 【详解】且，且，，. . 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 当时，，，得，则； 综上所述，（当且仅当时等号成立）. 15．已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 题型·4·由已知条件判断所给不等式是否正确 16．若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若或，则或无意义，故B错误； 对于C，若或，则或无意义，故C错误； 对于D，由，，则，故D正确． 17．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A选项，若，时，，故A选项错误； 对于B选项，当，时，，故B选项错误； 对于C选项，，即且， ，即，故C选项正确； 对于D选项，当，时，，故D选项错误. 18．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，，可得. 对于A，取，，，， ，，此时，故A错误； 对于B，因为，，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，，. 由，两边同时乘以，得到. 又，两式相乘得，于是，故C正确； 对于D，取，，，， 此时，故D错误. 题型·5·由不等式的性质证明不等式 19．已知非零实数，，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】当时，，当时，，当时，，因此不能推出，充分性不成立， 反之，同理当时，，但当时，，因此不能推出，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 20．已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项AD：例如，，，满足， 但，，故AD错误； 对于选项B：例如，，，满足， 但，故B错误； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确. 21．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合重要不等式和赋值法，根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若，则， 所以，故必要性成立. 取，，则， 但，充分性不成立. 因此“”是“”的必要不充分条件. 22．设是实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，以及充分不必要条件的性质，证明结果即可. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，， 当时，满足，不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 23．已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 24．已知，且，求证： 【答案】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合综合法，即可得证. 【详解】略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型·1·用不等式表示不等关系 1 题型·2·作差法比较代数式的大小 2 题型3·作商法比较代数式的大小 2 题型·4·由已知条件判断所给不等式是否正确 3 题型·5·由不等式的性质证明不等式 3 题型·1·用不等式表示不等关系 1．限速50km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过50km/h，写成不等式就是（   ） A． B． C． D． 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 4．某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 5．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型·2·作差法比较代数式的大小 6．设，，则有（     ） A． B． C． D． 7．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 8．比较代数式的大小：______.（填“>”“=”或“<”） 9．（1）已知，比较与的大小； （2）已知、且、，试比较与的大小． 10．（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与． 题型3·作商法比较代数式的大小 11．设，，则（    ）． A． B． C． D． 12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 13．如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 14．比较与（且，且）的大小． 15．已知，试比较和的大小. 题型·4·由已知条件判断所给不等式是否正确 16．若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 17．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型·5·由不等式的性质证明不等式 19．已知非零实数，，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 20．已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 21．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．设是实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23． 已知，求证:. 24．已知，且，求证： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $