专题2.1 等式性质与不等式性质专项训练-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册

专题2.1 等式性质与不等式性质 考点预览 考点一 不等式的性质与命题真假的判断 考点二 作差法比较大小 考点三 作商法与中间量法比较大小 考点四 利用不等式性质求取值范围 考点五 不等式的证明（作差法与综合法） 一、知识填空 1．等式的基本性质 （1）性质 1（对称性）：如果 ，那么 。 （2）性质 2（传递性）：如果 ，，那么 。 （3）性质 3：如果 ，那么 。 （4）性质 4：如果 ，那么 ；如果 且 ，那么 。 2．两个实数比较大小的方法 （1）作差法： ； ； 。 （2）作商法：当 时， ；当 时， 。 （3）比较大小的一般步骤是： 下结论。 3．不等式的性质 （1）对称性： 。 （2）传递性：， 。 （3）可加性： ；推论（同向可加）：， 。 （4）可乘性：， ；， 。 （5）正数同向可乘：， 。 （6）乘方性质： （，）。 （7）开方性质： 。 4．几个常用的结论（糖水不等式） （1）若 ，，则 ， 。 （2）若 ，，则 。 （3）若 ，则 ；若 ，则 。 5．求取值范围的规范做法 （1）同向不等式只能 ，不能 或 。 （2）要求 的范围，应先由 的范围求出 的范围，再与 的范围 。 （3）要求 的范围，应先求出 的范围，再与 的范围 。 二、考点专练 考点一 不等式的性质与命题真假的判断 方法与技巧： 1. 判断不等式命题是否成立，唯一依据是五条性质：对称性、传递性、可加性、可乘性（乘正数方向不变，乘负数必须变号）、正数同向可乘。 1. 排除假命题最快的手法是举反例： 且 既推不出 ，也推不出 ，取几个负数立刻推翻。 1. 高频陷阱：由 推 缺少 的前提；由 推 需先说明 。 【例题精讲】 1．已知 ，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题中正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【变式训练】 1．若 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．对于实数 ，，，下列命题中的真命题是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【巩固练习】 1．设 ，，则 与 的大小关系为 。 2．已知 ， 为实数，则 与 的大小关系为 。 3．若命题“若 ，则 ”是假命题，则可取的反例为 。 4．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ， 满足 ，，则 ，，， 的大小关系为 。 6．若 ，，且 ，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 ，， 的大小关系为 。 8．下列推理正确的是（　　） A． B． C． D．， 考点二 作差法比较大小 方法与技巧： 1. 作差法固定三步：作差 变形 判号。变形的落脚点通常是完全平方式、几个因式相乘、或者通分后的单个分式。 1. 看到二次式先想配方：；看到三次式先想因式分解：。 1. 判不出符号时要分类讨论；作差后能取到 的，结论要写成 （或 ）并注明取等号的条件。 【例题精讲】 1．已知 ，比较 与 的大小。 2．已知 ，比较 与 的大小。 【变式训练】 1．已知 ，比较 与 的大小。 2．已知 ，比较 与 的大小。 3．已知 ， 且 ，比较 与 的大小。 【巩固练习】 1．比较 与 的大小。 2．已知 ，比较 与 的大小。 3．已知 ，比较 与 的大小。 4．已知 ，，比较 与 的大小。 5．已知 ，比较 与 的大小。 6．已知 ，比较 与 的大小。 7．已知 ，比较 与 的大小。 8．已知 ，，比较 与 的大小。 考点三 作商法与中间量法比较大小 方法与技巧： 1. 两个正数比较，用作商法：，；有一正一负时直接判号即可。 1. 指数幂比大小常把指数化为相同： 与 都拆成 次方，核心是找 与 的最大公约数。 1. 根式比大小先分子有理化：，无理数差立刻变成分数，分母大的反而小。 【例题精讲】 1．设 ，，比较 与 的大小。 2．已知 ，比较 与 的大小。 【变式训练】 1．比较 与 的大小。 2．比较 与 的大小。 3．比较 与 的大小。 【巩固练习】 1．比较 与 的大小。 2．比较 与 的大小。 3．比较 与 的大小。 4．已知 ，比较 与 的大小。 5．已知 ，比较 与 的大小。 6．设 ，则 与 的大小关系为 。 7．已知 ，比较 与 的大小。 8．已知 ，比较 与 的大小。 考点四 利用不等式性质求取值范围 方法与技巧： 1. 求取值范围的规范要求：必须把目标式写成已知范围的式子的线性组合，再套用同向可加与正数同向可乘，切忌逐个字母“估计”。 1. 待定系数法：设 ，比较系数解出 ，，这是处理 型与 型条件万能的一招。 1. 同向不等式只能相加，不能相减或相除。求 先化 的范围，求 先化 的范围，这一步漏掉就整题丢分。 【例题精讲】 1．已知 ，，求 与 的取值范围。 2．已知 ，，求 的取值范围。 【变式训练】 1．已知 ，，求 与 的取值范围。 2．已知 ，，求 的取值范围。 3．已知 ，，求 的取值范围。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 的取值范围是 。 2．已知 ，，则 的取值范围是 。 3．已知 ，，则 的取值范围是 。 4．已知 ，，则 的取值范围是 。 5．已知 ，，则 的取值范围是 。 6．已知 ，，且 ，则 的取值范围是 。 7．已知 ，，则 的取值范围是 。 8．已知 ，，则 的取值范围是 。 考点五 不等式的证明（作差法与综合法） 方法与技巧： 1. 证明不等式的通法是作差—变形—判号，判号的落脚点总是“完全平方非负”“几个正因式相乘”“配方后加正数”。 1. 凡是结论带 （或 ）的，最后必须交代等号成立的条件，少这一句是高考最常见的失分点。 1. 配 倍（或乘 ）是凑完全平方的常用手段：证 时两边同乘 再拆成三个平方和。 【例题精讲】 1．已知 ，，求证：。 2．求证：对任意实数 ，，都有 。 【变式训练】 1．已知 ，求证：。 2．求证：对任意实数 ，都有 。 3．已知 ，，求证：。 【巩固练习】 1．求证：，并指出等号成立的条件。 2．求证：。 3．已知 ，求 的最小值，并指出取最小值时 的值。 4．已知 ，，求证：。 5．求证：。 6．已知 ，求证：。 7．求证：，并指出等号成立的条件。 8．已知 ，，且 ，求证：。 三、达标检测 1．若 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．设 ，，，且 ，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 4．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．比较 与 的大小，结论为（　　） A． B． C． D．不能确定 8．比较 与 的大小，正确的是（　　） A． B． C．两者相等 D．不能确定 9．已知 ，，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D．不能确定 10．已知 ，则 的最小值与取最小值时 的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 11．已知 ，，且 ，则 的最大值与此时 ， 的值为（　　） A．， B．， C．，， D．， 12．已知 ， 为正实数，且 ，则 与 的大小关系为（　　） A．大于 B．小于 C．等于 D．不大于 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质 考点预览 考点一 不等式的性质与命题真假的判断 考点二 作差法比较大小 考点三 作商法与中间量法比较大小 考点四 利用不等式性质求取值范围 考点五 不等式的证明（作差法与综合法） 一、知识填空 1．等式的基本性质 （1）性质 1（对称性）：如果 ，那么 。 （2）性质 2（传递性）：如果 ，，那么 。 （3）性质 3：如果 ，那么 。 （4）性质 4：如果 ，那么 ；如果 且 ，那么 。 2．两个实数比较大小的方法 （1）作差法： ； ； 。 （2）作商法：当 时， ；当 时， 。 （3）比较大小的一般步骤是： 下结论。 3．不等式的性质 （1）对称性： 。 （2）传递性：， 。 （3）可加性： ；推论（同向可加）：， 。 （4）可乘性：， ；， 。 （5）正数同向可乘：， 。 （6）乘方性质： （，）。 （7）开方性质： 。 4．几个常用的结论（糖水不等式） （1）若 ，，则 ， 。 （2）若 ，，则 。 （3）若 ，则 ；若 ，则 。 5．求取值范围的规范做法 （1）同向不等式只能 ，不能 或 。 （2）要求 的范围，应先由 的范围求出 的范围，再与 的范围 。 （3）要求 的范围，应先求出 的范围，再与 的范围 。 自检自纠： 1．（1） （2） （3） （4）； 2．（1）；； （2）； （3）作差；变形；判断符号 3．（1） （2） （3）； （4）； （5） （6） （7） 4．（1）； （2） （3）； 5．（1）相加；相减；相除 （2）；相加 （3）；相乘 二、考点专练 考点一 不等式的性质与命题真假的判断 方法与技巧： 1. 判断不等式命题是否成立，唯一依据是五条性质：对称性、传递性、可加性、可乘性（乘正数方向不变，乘负数必须变号）、正数同向可乘。 1. 排除假命题最快的手法是举反例： 且 既推不出 ，也推不出 ，取几个负数立刻推翻。 1. 高频陷阱：由 推 缺少 的前提；由 推 需先说明 。 【例题精讲】 1．已知 ，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由同向不等式可加性， 与 相加得 ，故 C 成立。 A 错，取 ，，，，则 ，， 不成立； B 错，取 ，，，，则 ，， 不成立； D 错，， 可能为 或负数，且题目未给出 。故选 C。 2．下列命题中正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】B 【详解】B 中由分母 知 ，两边同乘 得 ，成立。 A 错，当 时 ，不等式不成立； C 错，取 ，，，，则 ，； D 错，取 ，，，，则 ，。故选 B。 【变式训练】 1．若 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。 由 得 ，，，故差小于 ，即 ，C 正确。 取 ， 检验：，故 A 错；，故 B 错；，故 D 错。故选 C。 2．已知 ，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可加性， 两边同加 得 ，A 恒成立。 B 错， 为负数时方向要改变； C 错，如 ， 时 ； D 错，如 ， 时 。故选 A。 3．对于实数 ，，，下列命题中的真命题是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【详解】C 中 ，其中 ，且 保证它不为 ，故 ，C 为真。 A 错， 时两边相等； B 错，； D 错，如 ， 时 但 。故选 C。 【巩固练习】 1．设 ，，则 与 的大小关系为 。 【答案】 【详解】。 由 ， 得 ，，故差大于 ，即 。 2．已知 ， 为实数，则 与 的大小关系为 。 【答案】 【详解】由 ，当 时 ，当 时 ，综上 。 3．若命题“若 ，则 ”是假命题，则可取的反例为 。 【答案】 【详解】取 ，则 ，不等式 不成立，故 即为反例。 4．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】（因 ），故 B 成立。 由 得 ，A 错；，，故 C、D 均错。故选 B。 5．已知 ， 满足 ，，则 ，，， 的大小关系为 。 【答案】 【详解】由 得 ；由 得 ；又 。 故 ，即 。 6．若 ，，且 ，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由同向可加性得 ，A 恒成立。 B、C 成立还需要“正数”的前提，D 中相减不保号，均不恒成立。故选 A。 7．已知 ，，则 ，， 的大小关系为 。 【答案】 【详解】由 且 得 ；又 ，两边乘负数 得 。 于是 ，即 。 8．下列推理正确的是（　　） A． B． C． D．， 【答案】B 【详解】B 中由 得 ，取倒数得 ，正确。 A 错， 时取等号；C 中 无关前提，且结论形式错误； D 中由 得 ，与 相加只能得 需要 之外的条件，事实上取 ，，， 得 成立，但取 ，，， 亦成立，取 ，，， 则 ， 成立，难以否决，但 A 已被 否决，故选推理无误的 B。故选 B。 考点二 作差法比较大小 方法与技巧： 1. 作差法固定三步：作差 变形 判号。变形的落脚点通常是完全平方式、几个因式相乘、或者通分后的单个分式。 1. 看到二次式先想配方：；看到三次式先想因式分解：。 1. 判不出符号时要分类讨论；作差后能取到 的，结论要写成 （或 ）并注明取等号的条件。 【例题精讲】 1．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 故对任意实数 ，都有 。 2．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 由 得 ，，故差小于 ，即 。 【变式训练】 1．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 故 。 2．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】，当 时取等号 【详解】作差： 整理得 。 当且仅当 时取等号，故 。 3．已知 ， 且 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 由 得 ，又 ，故差大于 ，即 。 【巩固练习】 1．比较 与 的大小。 【答案】 【详解】，作差得 ，故前者大。 2．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 其中 （若它为 必有 ，与 矛盾）。 又 ，故 ，即 。 3．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：，故 。 4．已知 ，，比较 与 的大小。 【答案】，当 时取等号 【详解】作差：。 当且仅当 时取等号。 5．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 由 得 ，，故差大于 ，即 。 6．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 故 。 7．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】，当 时取等号 【详解】作差：。 当且仅当 时取等号。 8．已知 ，，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 由 ， 得 ，，故差小于 ，即 。 考点三 作商法与中间量法比较大小 方法与技巧： 1. 两个正数比较，用作商法：，；有一正一负时直接判号即可。 1. 指数幂比大小常把指数化为相同： 与 都拆成 次方，核心是找 与 的最大公约数。 1. 根式比大小先分子有理化：，无理数差立刻变成分数，分母大的反而小。 【例题精讲】 1．设 ，，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作商：。 由 得 ，故 ，又 ，所以 。 2．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作商：。 由 得 ，且指数 ，故 ，从而 。 【变式训练】 1．比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作商：。 故 。 2．比较 与 的大小。 【答案】 【详解】分子有理化：，。 由 得 ，故 。 3．比较 与 的大小。 【答案】相等 【详解】对后者分子有理化：。 两式化为同一形式，故相等。 【巩固练习】 1．比较 与 的大小。 【答案】 【详解】 与 的最大公约数为 ，，故 。 2．比较 与 的大小。 【答案】 【详解】两边均为正数，平方后比较：，。 由 得 ，故 。 3．比较 与 的大小。 【答案】 【详解】，。 由 得前者小于后者。 4．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 故 。 5．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作商：。 由 且底数 得 ，故前者小于后者。 6．设 ，则 与 的大小关系为 。 【答案】 【详解】分母有理化：。 由 得 。 7．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：，由 得 且 ，故 ，即 。 8．已知 ，比较 与 的大小。 【答案】 【详解】作差：。 由 得 ，，故前者大于后者。 考点四 利用不等式性质求取值范围 方法与技巧： 1. 求取值范围的规范要求：必须把目标式写成已知范围的式子的线性组合，再套用同向可加与正数同向可乘，切忌逐个字母“估计”。 1. 待定系数法：设 ，比较系数解出 ，，这是处理 型与 型条件万能的一招。 1. 同向不等式只能相加，不能相减或相除。求 先化 的范围，求 先化 的范围，这一步漏掉就整题丢分。 【例题精讲】 1．已知 ，，求 与 的取值范围。 【答案】； 【详解】由 得 ，与 相加得 ，即 。 由 得 ，与 相乘（均为正数）得 。 2．已知 ，，求 的取值范围。 【答案】 【详解】设 ，比较 ， 的系数得 ，，解得 ，。 于是 。 由 与 相加得 。 【变式训练】 1．已知 ，，求 与 的取值范围。 【答案】； 【详解】由 得 ；由 得 ，相加得 。 又由 得 ，与 相加得 ，即 。 2．已知 ，，求 的取值范围。 【答案】 【详解】设 ，比较系数得 ，，解得 ，。 于是 。 由 得 ；由 得 。 相加得 。 3．已知 ，，求 的取值范围。 【答案】 【详解】由 得 。 又 ，其中 ，，于是当 取最大值 、 取最小值 时乘积最小，当 取最小值 、 取最大值 时乘积最大。 故 。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】由同向可加性，两式相加得 ，即 。 2．已知 ，，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】由 得 ，与 相加得 ，即 。 3．已知 ，，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】由 得 ，与 相乘得 。 4．已知 ，，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】设 ，比较系数得 ，，解得 ，。 于是 。 由 得 ；由 得 。 相加得 。 5．已知 ，，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】设 ，比较系数得 ，，解得 ，。 于是 。 由 与 相加得 。 6．已知 ，，且 ，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】由 代入得 。 由 得 ，即 ，从而 。 7．已知 ，，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】由 ， 均为正数，可用正数同向可乘性：，即 。 8．已知 ，，则 的取值范围是 。 【答案】 【详解】由 得 ，从而 。 与 相加得 ，即 。 考点五 不等式的证明（作差法与综合法） 方法与技巧： 1. 证明不等式的通法是作差—变形—判号，判号的落脚点总是“完全平方非负”“几个正因式相乘”“配方后加正数”。 1. 凡是结论带 （或 ）的，最后必须交代等号成立的条件，少这一句是高考最常见的失分点。 1. 配 倍（或乘 ）是凑完全平方的常用手段：证 时两边同乘 再拆成三个平方和。 【例题精讲】 1．已知 ，，求证：。 【答案】证明见详解 【详解】作差：。 由 ， 得 ，又 ，故差不小于 ，即 。 当且仅当 时取等号。 2．求证：对任意实数 ，，都有 。 【答案】证明见详解 【详解】两边同乘 后作差： 整理得 。 故 ，即 。 当且仅当 时取等号。 【变式训练】 1．已知 ，求证：。 【答案】证明见详解 【详解】作差：。 由 得差 ，故 ，当且仅当 时取等号。 2．求证：对任意实数 ，都有 。 【答案】证明见详解 【详解】配方：。 由 得 ，故不等式成立。 3．已知 ，，求证：。 【答案】证明见详解 【详解】作差：。 由 ， 得差 ，不等式得证，当且仅当 时取等号。 【巩固练习】 1．求证：，并指出等号成立的条件。 【答案】当且仅当 时取等号 【详解】作差：，故 ，当且仅当 时取等号。 2．求证：。 【答案】证明见详解 【详解】作差：，故 ，当且仅当 时取等号。 3．已知 ，求 的最小值，并指出取最小值时 的值。 【答案】最小值为 ，此时 【详解】作差：。 故 ，当且仅当 时取等号，最小值为 。 4．已知 ，，求证：。 【答案】证明见详解 【详解】作差：。 由 ， 得分母为正，分子非负，故不等式成立，当且仅当 时取等号。 5．求证：。 【答案】证明见详解 【详解】两边同乘 作差： 。 故 ，当且仅当 时取等号。 6．已知 ，求证：。 【答案】证明见详解 【详解】作差：。 由 得 ，，故差小于 ，即 。 7．求证：，并指出等号成立的条件。 【答案】当且仅当 时取等号 【详解】作差：，故 。 当 ，即 时取等号。 8．已知 ，，且 ，求证：。 【答案】证明见详解 【详解】由 得 。 又 ，故 ，即 。 当且仅当 时取等号。 三、达标检测 1．若 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，B 正确；，故 A 错；，，故 C、D 错。故选 B。 2．设 ，，，且 ，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可加性， 两边同加 不等号方向不变，A 恒成立；其余三项均缺条件。故选 A。 3．已知 ，则 与 的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】作差：，故 。故选 A。 4．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，与 相加得 。故选 A。 5．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，与 相乘得 ，即 。故选 A。 6．若 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由两式相加得 ，即 。故选 A。 7．比较 与 的大小，结论为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】作商：，故 。故选 B。 8．比较 与 的大小，正确的是（　　） A． B． C．两者相等 D．不能确定 【答案】B 【详解】分子有理化得 ，。 由 得前者小于后者。故选 B。 9．已知 ，，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】作差：，故 。故选 B。 10．已知 ，则 的最小值与取最小值时 的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，故最小值为 ，当 时取得。故选 A。 11．已知 ，，且 ，则 的最大值与此时 ， 的值为（　　） A．， B．， C．，， D．， 【答案】A 【详解】由 ，直接配方更简：设 ，，则 ，当 ，即 时取最大值 。故选 A。 12．已知 ， 为正实数，且 ，则 与 的大小关系为（　　） A．大于 B．小于 C．等于 D．不大于 【答案】A 【详解】（因 ），故 。故选 A。 学科网（北京）股份有限公司 $